高中數(shù)學(xué)蘇教版選修21學(xué)案2.5圓錐曲線的統(tǒng)一定義Word版含解析

1、2.5圓錐曲線的統(tǒng)一定義1了解圓錐曲線的統(tǒng)一定義，掌握圓錐曲線的離心率、焦點、準(zhǔn)線等概念(重點)2理解并會運用圓錐曲線的共同性質(zhì)，解決一些與圓錐曲線有關(guān)的簡單幾何問題和實際問題(難點)基礎(chǔ)·初探教材整理圓錐曲線的統(tǒng)一定義閱讀教材p56“思考”以上的部分，完成下列問題1平面內(nèi)到一個定點f和到一條定直線l(f不在l上)的距離的比等于常數(shù)e的點的軌跡當(dāng)0<e<1時，它表示橢圓；當(dāng)e>1時，它表示雙曲線；當(dāng)e1時，它表示拋物線其中e是圓錐曲線的離心率，定點f是圓錐曲線的焦點，定直線l是圓錐曲線的準(zhǔn)線2橢圓1(ab0)的準(zhǔn)線方程為x±，1(ab0)的準(zhǔn)線方程為y&#

2、177;.雙曲線1(a0，b0)的準(zhǔn)線方程為x±，雙曲線1(a0，b0)的準(zhǔn)線方程為y±.1判斷(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)平面內(nèi)到一個定點f和到一條定直線l的距離的比等于2的點的軌跡是雙曲線()(2)橢圓y21的準(zhǔn)線方程是x±.()(3)雙曲線離心率的取值范圍是(1，)()(4)圓錐曲線的準(zhǔn)線與其對稱軸垂直()【答案】(1)×(2)(3)(4)×2雙曲線y21的準(zhǔn)線方程為_【解析】易知a215，b21，c2a2b216，即c4，則雙曲線的準(zhǔn)線方程為x±.【答案】x±3焦點坐標(biāo)為f1(2,0)，f2(2,

3、0)，則準(zhǔn)線方程為x±的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_. 【導(dǎo)學(xué)號：09390050】【解析】由題意知c2，則，故a25，所以b2a2c21，則橢圓的方程為y21.【答案】y214雙曲線1(a0，b0)的離心率為2，右準(zhǔn)線為x，則右焦點的坐標(biāo)為_【解析】據(jù)題意知解得a1，c2，則右焦點的坐標(biāo)為(2,0)【答案】(2,0)質(zhì)疑·手記預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：解惑：疑問2：解惑：疑問3：解惑：小組合作型已知焦點和準(zhǔn)線求圓錐曲線的方程已知某圓錐曲線的準(zhǔn)線是x1，在離心率分別取下列各值時，求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)e；(2)e1；(3)e.【精彩點撥】【

4、自主解答】(1)離心率決定了它是橢圓，準(zhǔn)線方程決定了它的焦點在x軸上，由1，解得c，a，b2，所求方程為1.(2)離心率決定了它是拋物線，準(zhǔn)線方程決定了它的焦點在x軸負(fù)半軸上，1，可得y24x.(3)離心率決定了它是雙曲線，準(zhǔn)線方程決定了它的焦點在x軸上，1，解得c，a，b2.所求方程為1.1本例中，由于要求的是圓錐曲線的“標(biāo)準(zhǔn)”方程，其準(zhǔn)線有固定公式，因而可直接列出基本量滿足的關(guān)系式2已知焦點、準(zhǔn)線及離心率，也可直接由e求出m點的軌跡方程再練一題1若拋物線的頂點在原點，開口向上，f為焦點，m為準(zhǔn)線與y軸的交點，a為拋物線上一點，且|am|，|af|3，求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程【解】設(shè)所求拋物線的

5、標(biāo)準(zhǔn)方程為x22py(p0)，設(shè)a(x0，y0)，由題知m.|af|3，y03，|am|，x217，x8，代入方程x2py0得，82p，解得p2或p4.所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24y或x28y.用圓錐曲線的統(tǒng)一定義求軌跡已知動點p(x，y)到點a(0,3)與到定直線y9的距離之比為，求動點p的軌跡【精彩點撥】此題解法有兩種：一是定義法，二是直譯法【自主解答】法一：由圓錐曲線的統(tǒng)一定義知，p點的軌跡是橢圓，c3，9，則a227，a3，e，與已知條件相符橢圓中心在原點，焦點為(0，±3)，準(zhǔn)線y±9.b218，其方程為1.法二：由題意得.整理得1.p點的軌跡是以(0，±

6、;3)為焦點，以y±9為準(zhǔn)線的橢圓解決此類題目有兩種方法：(1)是直接列方程，代入后化簡整理即得方程.(2)是根據(jù)定義判斷軌跡是什么曲線，然后確定其幾何性質(zhì)，從而得出方程.再練一題2方程|xy1|對應(yīng)點p(x，y)的軌跡為_. 【導(dǎo)學(xué)號：09390051】【解析】由|xy1|，得.可看作動點p(x，y)到定點(1,0)的距離與到定直線xy10的距離比為>1的軌跡方程，由圓錐曲線統(tǒng)一定義可知，軌跡為雙曲線【答案】雙曲線圓錐曲線統(tǒng)一定義的應(yīng)用已知a(4,0)，b(2,2)是橢圓1內(nèi)的兩個點，m是橢圓上的動點(1)求mamb的最大值和最小值；(2)求mbma的最小值及此時點m的坐標(biāo)【

7、精彩點撥】(1)利用橢圓的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解(2)注意e，則mad(d為點m到右準(zhǔn)線的距離)，然后利用數(shù)形結(jié)合思想求解【自主解答】(1)如圖所示，由1，得a5，b3，c4.所以a(4,0)為橢圓的右焦點，f(4，0)為橢圓的左焦點因為mamf2a10，所以mamb10mfmb.因為|mbmf|bf2，所以2mbmf2.故102mamb102，即mamb的最大值為102，最小值為102.(2)由題意得，橢圓的右準(zhǔn)線l的方程為x.由圖可知，點m到右準(zhǔn)線的距離為mm，由圓錐曲線的統(tǒng)一定義，得e，所以mamm.所以mbmambmm.由圖可知，當(dāng)b，m，m三點共線時，mbmm最小，即bm2.當(dāng)y2時，有1

8、，解得x(舍去負(fù)值)，即點m的坐標(biāo)為.故mbma的最小值為，此時點m的坐標(biāo)為.1解答此類題目時，應(yīng)注意式子中的系數(shù)特點，依此恰當(dāng)?shù)剡x取定義2圓錐曲線的統(tǒng)一定義，可以靈活地將曲線上點到焦點的距離與到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而簡化解題過程再練一題3已知雙曲線1和點a(4,1)，f是雙曲線的右焦點，p是雙曲線上任意一點，求papf的最小值【解】由雙曲線的方程，知a2，b2，c4，離心率e2，右準(zhǔn)線的方程為x1，設(shè)點p到右準(zhǔn)線的距離為d，由圓錐曲線的定義，有2，即pfd，如圖所示，過p作右準(zhǔn)線的垂線，垂足為d，則papfpadpapd，所以當(dāng)p，a，d三點共線時，papd的值最小，為413.探究共研

9、型圓錐曲線的統(tǒng)一定義探究1圓錐曲線的統(tǒng)一定義又稱第二定義，那么第一定義與第二定義有哪些區(qū)別？【提示】橢圓、雙曲線的第一定義突出了動點與兩定點的距離關(guān)系，第二定義主要表現(xiàn)了動點與一定點和一條定直線的距離之比的關(guān)系，所以在選用兩種定義時可根據(jù)題目條件的不同適當(dāng)選擇利用第一定義可以把到一個定點的距離轉(zhuǎn)化為到另一點的距離，利用第二定義可以把到定點與到定直線的距離互相轉(zhuǎn)化，對于拋物線，第一定義與第二定義是一致的探究2在圓錐曲線的統(tǒng)一定義中，定點f和直線l是如何對應(yīng)的？【提示】在統(tǒng)一定義中，圓錐曲線是橢圓或雙曲線時，若定點是左焦點，則定直線是左準(zhǔn)線，若定點是右焦點，則定直線是右準(zhǔn)線而拋物線只有一個焦點對應(yīng)

10、一條準(zhǔn)線也就是說，定點f和定直線是“相對應(yīng)”的探究3利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義，如何表示焦半徑？【提示】根據(jù)定義e，則pfed(e為離心率)(1)橢圓的焦半徑設(shè)p(x0，y0)是橢圓1(a>b>0)的一點，且f1是左焦點，f2是右焦點，則pf1aex0，pf2aex0.(2)雙曲線的焦半徑設(shè)p(x0，y0)是雙曲線1(a>0，b>0)的一點，且f1是左焦點，f2是右焦點，則pf1|ex0a|，pf2|ex0a|.(3)拋物線的焦半徑設(shè)p(x0，y0)是拋物線y22px的一點，f是焦點，則pfx0.橢圓c的一個焦點為f1(2,0)，相應(yīng)準(zhǔn)線為x8，離心率e.(1)求橢圓的方程

11、；(2)求過另一個焦點且傾斜角為45°的直線截橢圓c所得的弦長【精彩點撥】(1)利用統(tǒng)一定義求解；(2)利用焦點弦弦長公式求解【自主解答】(1)設(shè)橢圓上任一點p(x，y)，由統(tǒng)一定義得，兩邊同時平方，得4(x2)2y2(8x)2，化簡得1.(2)設(shè)橢圓的另一個焦點為f2(2,0)，過f2且傾斜角為45°的直線方程為yx2，與橢圓1聯(lián)立消去y，得7x216x320.設(shè)交點a(x1，y1)，b(x2，y2)，則x1x2，abaf2bf2aex1aex22ae(x1x2)2×4(x1x2).再練一題4過雙曲線1的右焦點f，且傾斜角為45°的直線與雙曲線交于a，

12、b兩點，求線段ab的長【解】易知f(5,0)，則直線的方程yx5.由得7x2160x5440.設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則x1x2.由圓錐曲線的統(tǒng)一定義，知afe·dex1a，同理bfx2a，abafbf2a×8.即ab的長為.構(gòu)建·體系1已知a(2,0)，b(2,0)，點p(x，y)滿足，則papb_.【解析】點p到a(2,0)的距離與它到直線x3的距離之比為，點p的軌跡是橢圓，且，c2，a，故papb2a2.【答案】22已知橢圓y21，則以橢圓的左準(zhǔn)線為準(zhǔn)線的拋物線方程為_【解析】由橢圓的方程，知a24，b21，所以c23，即c，故橢圓的左準(zhǔn)線方程

13、為x，故所求拋物線的方程為y2x.【答案】y2x3到點f(2,0)與直線x的距離的比等于2的曲線方程為_. 【導(dǎo)學(xué)號：09390052】【解析】由圓錐曲線的統(tǒng)一定義可知，曲線為焦點在x軸上的雙曲線，且c2，即a21，故b23，則雙曲線的方程為x21.【答案】x214橢圓1上一點p到左焦點f1的距離為3，則點p到左準(zhǔn)線的距離為_【解析】由1，得a5，b4，c3，e.根據(jù)橢圓的第二定義得e.又pf13，d3×5，點p到左準(zhǔn)線的距離為5.【答案】55過雙曲線x21的左焦點f1作傾斜角為的弦ab，求abf2的周長(f2為雙曲線的右焦點)【解】根據(jù)題意，得f1(2,0)，f2(2,0)，直線a

14、b的方程為yx2.令a(x1，y1)，b(x2，y2)，由得2x24x70，x1x22，x1x2.ab ×6.由x1x2<0知，弦ab與雙曲線左、右兩支均相交，由焦半徑公式，得af2aex112x1，bf2ex2a2x21，af2bf212x12x212(x2x1)26.abf2的周長為abaf2bf266.我還有這些不足：(1)(2)我的課下提升方案：(1)(2)學(xué)業(yè)分層測評(建議用時：45分鐘)學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)一、填空題1若直線axy10經(jīng)過拋物線y24x的焦點，則實數(shù)a_.【解析】拋物線y24x的焦點是(1,0)，直線axy10過焦點，a10，a1.【答案】12已知橢圓的準(zhǔn)線方程

15、為y±4，離心率為，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_. 【導(dǎo)學(xué)號：09390053】【解析】由題意4，a4e2.e，c1，b2a2c23.由準(zhǔn)線方程是y±4可知，橢圓的焦點在y軸上，標(biāo)準(zhǔn)方程為1.【答案】13已知拋物線y22px的準(zhǔn)線與雙曲線x2y22的左準(zhǔn)線重合，則拋物線的焦點坐標(biāo)為_【解析】雙曲線的左準(zhǔn)線為x1，拋物線的準(zhǔn)線為x，所以1，所以p2.故拋物線的焦點坐標(biāo)為(1,0)【答案】(1,0)4(2015·全國卷改編)已知橢圓e的中心在坐標(biāo)原點，離心率為，e的右焦點與拋物線c：y28x的焦點重合，a，b是c的準(zhǔn)線與e的兩個交點，則|ab|_.【解析】拋物線y28x的焦點

16、為(2,0)，橢圓中c2，又，a4，b2a2c212，從而橢圓方程為1.拋物線y28x的準(zhǔn)線為x2，xaxb2，將xa2代入橢圓方程可得|ya|3，由圖象可知|ab|2|ya|6.【答案】65若橢圓1(ab0)的左焦點到右準(zhǔn)線的距離等于3a，則雙曲線的離心率為_【解析】由題意知，c3a，即a2c23ac，e23e10，解得e.【答案】6設(shè)雙曲線1的右焦點為f(3,0)，p(4，2)是雙曲線上一點，若雙曲線的右準(zhǔn)線為xm，則實數(shù)m的值是_【解析】法一：由題意可知解得b2，a2，故右準(zhǔn)線x，即m.法二：由題意pf3，根據(jù)橢圓的第二定義得e.又m，.c3，e2，2，m211m160，m，m<c

17、3，m.【答案】7已知橢圓1上有一點p，它到左、右焦點距離之比為13，則點p到兩準(zhǔn)線的距離分別為_【解析】設(shè)p(x，y)，左、右焦點分別為f1，f2，由橢圓方程，可得a10，b6，c8，e，則pf1pf22a20.又3pf1pf2，pf15，pf215.設(shè)點p到兩準(zhǔn)線的距離分別為d1，d2，可得d1，d2.故點p到兩準(zhǔn)線的距離分別為，.【答案】，8已知點p在雙曲線1上，并且p到雙曲線的右準(zhǔn)線的距離恰是p到雙曲線的兩個焦點的距離的等差中項，那么p的橫坐標(biāo)是_【解析】記實半軸、虛半軸、半焦距的長分別為a，b，c，離心率為e，點p到右準(zhǔn)線l的距離為d，則a4，b3，c5，e，右準(zhǔn)線l的方程為x.如果

18、p在雙曲線右支上，則pf1pf22aed2a.從而，pf1pf2(ed2a)ed2ed2a>2d，這不可能；故p在雙曲線的左支上，則pf2pf12a，pf1pf22d.兩式相加得2pf22a2d.又pf2ed，從而edad.故d16.因此，p的橫坐標(biāo)為16.【答案】二、解答題9已知橢圓的一個焦點是f(3,1)，相應(yīng)于f的準(zhǔn)線為y軸，l是過f且傾斜角為60°的直線，l被橢圓截得的弦ab的長是，求橢圓的方程【解】設(shè)橢圓離心率為e，m(x，y)為橢圓上任一點，由統(tǒng)一定義e，得e，整理得(x3)2(y1)2e2x2.直線l的傾斜角為60°，直線l的方程為y1(x3)，聯(lián)立得(4e2)x224x360.設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，由韋達(dá)定理得x1x2，abe(x1x2)e·，e，橢圓的方程為(x3)2(y1)2x2，即1.10已知定點a(2，)，點f為橢圓1的右焦點，點m在橢圓上運動，求am2mf的最小值，并求此時點m的坐標(biāo)【解】a4，b2，c2，離心率e.a點在橢圓內(nèi)，設(shè)m到右準(zhǔn)線的距離為d，則e，即mfedd，右準(zhǔn)線l：x8，am2mfamd.a點在橢圓內(nèi)，過a作akl(l為右準(zhǔn)線)于k，交橢圓于點m0.則a，m，k三點共線，即m與m0重合時，amd最小為ak，其值為8(2)10.故