小學(xué)奧數(shù)知識總結(jié)手冊

1、1、和差倍問題和差問題和倍問題已知條件幾個數(shù)的和與差幾個數(shù)的和與倍數(shù)公式適用范圍已知 兩個數(shù) 的和，差，倍數(shù)關(guān)系 (和差 ) ÷2=較小數(shù)較小數(shù)差 =較大數(shù)和÷ (倍數(shù) 1)= 小數(shù)和較小數(shù) =較大數(shù)公式小數(shù)×倍數(shù) =大數(shù) (和差 ) ÷2=較大數(shù)和小數(shù) =大數(shù)較大數(shù)差 =較小數(shù)和較大數(shù) =較小數(shù)關(guān)鍵問題求出同一條件下的和與差和與倍數(shù)2、年齡問題的三個基本特征：差倍問題幾個數(shù)的差與倍數(shù)差÷ (倍數(shù) - 1)= 小數(shù)小數(shù)×倍數(shù) =大數(shù)小數(shù)差 =大數(shù)差與倍數(shù)兩個人的年齡差是不變的；兩個人的年齡是同時增加或者同時減少的；兩個人的年齡的倍數(shù)是

2、發(fā)生變化的；3、歸一問題的基本特點：問題中有一個不變的量，一般是那個“單一量” ，題目一般用“照這樣的速度”等詞語來表示。關(guān)鍵問題：根據(jù)題目中的條件確定并求出單一量；4、植樹問題在直線或者不封閉的曲在直線或者不封閉的在直線或者不封閉的曲線基本類型曲線上植樹，兩端都封閉曲線上植樹線上植樹，兩端都植樹不植樹上植樹，只有一端植樹棵數(shù) =段數(shù) 1棵數(shù) =段數(shù) 1棵數(shù) =段數(shù)基本公式棵距×段數(shù) =總長棵距×段數(shù) =總長棵距×段數(shù) =總長關(guān)鍵問題確定所屬類型，從而確定棵數(shù)與段數(shù)的關(guān)系5、雞兔同籠問題基本概念：雞兔同籠問題又稱為置換問題、假設(shè)問題，就是 把假設(shè)錯的那部分置換出來

3、；基本思路：假設(shè)，即假設(shè)某種現(xiàn)象存在（甲和乙一樣或者乙和甲一樣）：假設(shè)后，發(fā)生了和題目條件不同的差，找出這個差是多少；每個事物造成的差是固定的，從而找出出現(xiàn)這個差的原因；再根據(jù)這兩個差作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，消去出現(xiàn)的差?；竟剑喊阉须u假設(shè)成兔子：雞數(shù)（兔腳數(shù)×總頭數(shù)總腳數(shù)）÷（兔腳數(shù)雞腳數(shù)）把所有兔子假設(shè)成雞：兔數(shù)（總腳數(shù)一雞腳數(shù)×總頭數(shù)）÷（兔腳數(shù)一雞腳數(shù)）關(guān)鍵問題：找出總量的差與單位量的差。6、盈虧問題基本概念：一定量的對象，按照某種標(biāo)準(zhǔn)分組，產(chǎn)生一種結(jié)果：按照另一種標(biāo)準(zhǔn)分組，又產(chǎn)生一種結(jié)果，由于分組的標(biāo)準(zhǔn)不同，造成結(jié)果的差異，由它們的關(guān)系求對象分組的組

4、數(shù)或?qū)ο蟮目偭炕舅悸罚合葘煞N分配方案進(jìn)行比較，分析由于標(biāo)準(zhǔn)的差異造成結(jié)果的變化，根據(jù)這個關(guān)系求出參加分配的總份數(shù)，然后根據(jù)題意求出對象的總量基本題型：一次有余數(shù)，另一次不足；基本公式：總份數(shù)（余數(shù)不足數(shù)）÷兩次每份數(shù)的差當(dāng)兩次都有余數(shù)；基本公式：總份數(shù)（較大余數(shù)一較小余數(shù)）÷兩次每份數(shù)的差當(dāng)兩次都不足；基本公式：總份數(shù)（較大不足數(shù)一較小不足數(shù)）÷兩次每份數(shù)的差基本特點：對象總量和總的組數(shù)是不變的。關(guān)鍵問題：確定對象總量和總的組數(shù)。7、牛吃草問題基本思路：假設(shè)每頭牛吃草的速度為“ 1”份，根據(jù)兩次不同的吃法，求出其中的總草量的差；再找出造成這種差異的原因，即可確

5、定草的生長速度和總草量?；咎攸c：原草量和新草生長速度是不變的；關(guān)鍵問題：確定兩個不變的量?；竟剑荷L量 =（較長時間×長時間牛頭數(shù) - 較短時間×短時間牛頭數(shù)）÷（長時間 - 短時間）；總草量 =較長時間×長時間牛頭數(shù) - 較長時間×生長量；8、周期循環(huán)與數(shù)表規(guī)律周期現(xiàn)象：事物在運(yùn)動變化的過程中，某些特征有規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)。周期：我們把連續(xù)兩次出現(xiàn)所經(jīng)過的時間叫周期。關(guān)鍵問題：確定循環(huán)周期。閏年：一年有 366 天；年份能被4 整除；如果年份能被100 整除，則年份必須能被400 整除；平年：一年有 365 天。年份不能被4 整除；如果年份能

6、被100 整除，但不能被400 整除；9、平均數(shù)基本公式：平均數(shù)=總數(shù)量÷總份數(shù)總數(shù)量 =平均數(shù)×總份數(shù)總份數(shù) =總數(shù)量÷平均數(shù)平均數(shù) =基準(zhǔn)數(shù)每一個數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)差的和÷總份數(shù)基本算法：求出總數(shù)量以及總份數(shù)，利用基本公式進(jìn)行計算 . 基準(zhǔn)數(shù)法：根據(jù)給出的數(shù)之間的關(guān)系，確定一個基準(zhǔn)數(shù)；一般選與所有數(shù)比較接近的數(shù)或者中間數(shù)為基準(zhǔn)數(shù)；以基準(zhǔn)數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，求所有給出數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)的差；再求出所有差的和；再求出這些差的平均數(shù)；最后求這個差的平均數(shù)和基準(zhǔn)數(shù)的和，就是所求的平均數(shù)，具體關(guān)系見基本公式10、抽屜原理抽屜原則一：如果把（n+1 ）個物體放在n 個抽屜里，那么必有一個

7、抽屜中至少放有2 個物體。例：把 4 個物體放在3 個抽屜里，也就是把4 分解成三個整數(shù)的和，那么就有以下四種情況：4=4+0+0 4=3+1+0 4=2+2+0 4=2+1+1觀察上面四種放物體的方式，我們會發(fā)現(xiàn)一個共同特點：總有那么一個抽屜里有2 個或多于2 個物體，也就是說必有一個抽屜中至少放有2 個物體。抽屜原則二：如果把n 個物體放在m 個抽屜里，其中n>m，那么必有一個抽屜至少有: k=n/m +1 個物體：當(dāng) n 不能被 m 整除時。k=n/m 個物體：當(dāng) n 能被 m 整除時。理解知識點： X 表示不超過 X 的最大整數(shù)。例4.351=4 ； 0.321=0 ； 2.99

8、99=2 ；關(guān)鍵問題：構(gòu)造物體和抽屜。也就是找到代表物體和抽屜的量，而后依據(jù)抽屜原則進(jìn)行運(yùn)算。11、定義新運(yùn)算基本概念：定義一種新的運(yùn)算符號，這個新的運(yùn)算符號包含有多種基本（混合）運(yùn)算?；舅悸罚簢?yán)格按照新定義的運(yùn)算規(guī)則，把已知的數(shù)代入，轉(zhuǎn)化為加減乘除的運(yùn)算，然后按照基本運(yùn)算過程、規(guī)律進(jìn)行運(yùn)算。關(guān)鍵問題：正確理解定義的運(yùn)算符號的意義。注意事項：新的運(yùn)算不一定符合運(yùn)算規(guī)律，特別注意運(yùn)算順序。每個新定義的運(yùn)算符號只能在本題中使用。12、數(shù)列求和等差數(shù)列：在一列數(shù)中，任意相鄰 兩個數(shù)的差是一定的，這樣的一列數(shù)，就叫做等差數(shù)列?；靖拍睿菏醉棧旱炔顢?shù)列的第一個數(shù)，一般用a1 表示；項數(shù)：等差數(shù)列的所有

9、數(shù)的個數(shù)，一般用n 表示；公差：數(shù)列中任意相鄰兩個數(shù)的差，一般用d 表示；通項：表示數(shù)列中每一個數(shù)的公式，一般用an 表示；數(shù)列的和：這一數(shù)列全部數(shù)字的和，一般用Sn 表示基本思路：等差數(shù)列中涉及五個量： a1 ,an, d, n, sn,通項公式中涉及四個量，如果己知其中三個，就可求出第四個；求和公式中涉及四個量，如果己知其中三個，就可以求這第四個?；竟剑和椆剑篴n = a1+（ n 1） d；通項首項（項數(shù)一1) ×公差；數(shù)列和公式：sn,= (a1+ an)× n÷2；數(shù)列和（首項末項）×項數(shù)÷2；項數(shù)公式： n= (an+ a1

10、) ÷ d 1；項數(shù) =（末項 -首項）÷公差1；公差公式： d =（ an a1）÷（ n 1）；公差 =（末項首項）÷（項數(shù)1）；關(guān)鍵問題：確定已知量和未知量，確定使用的公式；13、二進(jìn)制及其應(yīng)用十進(jìn)制：用 0 9 十個數(shù)字表示，逢 10 進(jìn) 1；不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義，十位上的 2 表示 20，百位上的 2 表示 200。所以 234=200+30+4=2× 102+3× 10+4。=An× 10n-1+An-1 × 10n-2 +An-2 × 10n-3 +An-3 × 10n-

11、4 +An-4 ×n-5n-721010+An-6 × 10+ +A3× 10 +A2×10 +A1× 100注意： N =； N =N（其中 N是任意自然數(shù)）二進(jìn)制：用0 1 兩個數(shù)字表示，逢2 進(jìn) 1；不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義。（2 ）= An×2n-1 +An-1 ×2n-2 +An-2 × 2n-3 +An-3 × 2n-4 +An-4 × 2n-5+An-6× 2n-7 + +A3× 22+A2× 21+A1× 20注意： An 不是 0

12、就是 1。十進(jìn)制化成二進(jìn)制：根據(jù)二進(jìn)制滿 2 進(jìn) 1 的特點，用 2 連續(xù)去除這個數(shù)，直到商為 0，然后把每次所得的余數(shù)按自下而上依次寫出即可。先找出不大于該數(shù)的2 的 n 次方，再求它們的差，再找不大于這個差的2 的n 次方，依此方法一直找到差為0，按照二進(jìn)制展開式特點即可寫出。14、加法乘法原理和幾何計數(shù)加法原理：如果完成一件任務(wù)有n 類方法，在第一類方法中有m1 種不同方法，在第二類方法中有m2 種不同方法，在第n 類方法中有 mn 種不同方法，那么完成這件任務(wù)共有：m1+ m2. +m n種不同的方法。關(guān)鍵問題：確定工作的分類方法?；咎卣鳎好恳环N方法都可完成任務(wù)。乘法原理： 如果完成

13、一件任務(wù)需要分成 n 個步驟進(jìn)行， 做第 1 步有 m1 種方法， 不管第 1 步用哪一種方法，第 2 步總有 m2 種方法不管前面 n-1 步用哪種方法， 第 n 步總有 mn 種方法， 那么完成這件任務(wù)共有： m1× m2. × mn 種不同的方法。關(guān)鍵問題：確定工作的完成步驟?；咎卣鳎好恳徊街荒芡瓿扇蝿?wù)的一部分。直線：一點在直線或空間沿一定方向或相反方向運(yùn)動，形成的軌跡。直線特點：沒有端點，沒有長度。線段：直線上任意兩點間的距離。這兩點叫端點。線段特點：有兩個端點，有長度。射線：把直線的一端無限延長。射線特點：只有一個端點；沒有長度。數(shù)線段規(guī)律：總數(shù) 1+2+3 +

14、 +（點數(shù)一 1）；數(shù)角規(guī)律 =1+2+3 +（射線數(shù)一 1）；數(shù)長方形規(guī)律：個數(shù) =長的線段數(shù)×寬的線段數(shù)：數(shù)長方形規(guī)律：個數(shù) =1× 1+2× 2+3×3+ +行數(shù)×列數(shù)15、質(zhì)數(shù)與合數(shù)質(zhì)數(shù)：一個數(shù)除了1 和它本身之外，沒有別的約數(shù)，這個數(shù)叫做質(zhì)數(shù)，也叫做素數(shù)。合數(shù)：一個數(shù)除了1 和它本身之外，還有別的約數(shù)，這個數(shù)叫做合數(shù)。質(zhì)因數(shù)：如果某個質(zhì)數(shù)是某個數(shù)的約數(shù)，那么這個質(zhì)數(shù)叫做這個數(shù)的質(zhì)因數(shù)。分解質(zhì)因數(shù)：把一個數(shù)用質(zhì)數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。通常用短除法分解質(zhì)因數(shù)。任何一個合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)的結(jié)果是唯一的。分解質(zhì)因數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)表示形式：N

15、=，其中 aaa a都是合數(shù) N 的質(zhì)因數(shù)，且 a <a <a < <a 。1、 2、 3n123n求約數(shù)個數(shù)的公式： P=(r +1) ×(r2+1) × (r+1)×× (rn+1)13互質(zhì)數(shù)：如果兩個數(shù)的最大公約數(shù)是1，這兩個數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)。16、約數(shù)與倍數(shù)約數(shù)和倍數(shù)：若整數(shù)a 能夠被 b 整除， a 叫做 b 的倍數(shù)， b 就叫做 a 的約數(shù)。公約數(shù)：幾個數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公約數(shù)；其中最大的一個，叫做這幾個數(shù)的最大公約數(shù)。最大公約數(shù)的性質(zhì)：1、 幾個數(shù)都除以它們的最大公約數(shù)，所得的幾個商是互質(zhì)數(shù)。2、 幾個數(shù)的最大

16、公約數(shù)都是這幾個數(shù)的約數(shù)。3、 幾個數(shù)的公約數(shù)，都是這幾個數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)。4、 幾個數(shù)都乘以一個自然數(shù)m，所得的積的最大公約數(shù)等于這幾個數(shù)的最大公約數(shù)乘以m。例如： 12 的約數(shù)有1、 2、 3、4、 6、 12；18 的約數(shù)有： 1、 2、 3、6、 9、 18；那么 12 和 18 的公約數(shù)有： 1、 2、3、 6；那么 12 和 18 最大的公約數(shù)是： 6，記作（ 12， 18） =6；求最大公約數(shù)基本方法：1、分解質(zhì)因數(shù)法：先分解質(zhì)因數(shù)，然后把相同的因數(shù)連乘起來。2、短除法：先找公有的約數(shù)，然后相乘。3、輾轉(zhuǎn)相除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除，能夠整除的那個余數(shù)，就是所求的最大公約

17、數(shù)。公倍數(shù)：幾個數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個，叫做這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。12 的倍數(shù)有： 12、 24、 36、 48；18 的倍數(shù)有： 18、 36、 54、 72；那么 12和18的公倍數(shù)有： 36、 72、108；那么 12和18最小的公倍數(shù)是 36，記作 12 ，18=36 ；最小公倍數(shù)的性質(zhì)：1 、兩個數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)。2 、兩個數(shù)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個數(shù)的乘積。求最小公倍數(shù)基本方法： 1、短除法求最小公倍數(shù)； 2、分解質(zhì)因數(shù)的方法17、數(shù)的整除一、基本概念和符號：1、整除：如果一個整數(shù)a，除以一個自然數(shù)b，得到一個整數(shù)商c

18、，而且沒有余數(shù)，那么叫做a 能被b 整除或 b 能整除 a，記作 b|a 。2、常用符號：整除符號“| ”，不能整除符號“”；因為符號“” ，所以的符號“” ；二、整除判斷方法：1.能被 2、 5 整除：末位上的數(shù)字能被2、 5 整除。2.能被 4、 25 整除：末兩位的數(shù)字所組成的數(shù)能被4、 25 整除。3.能被 8、 125 整除：末三位的數(shù)字所組成的數(shù)能被8、125 整除。4.能被 3、 9 整除：各個數(shù)位上數(shù)字的和能被3、 9 整除。5.能被 7 整除：末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成數(shù)之差能被7 整除。逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的2 倍后能被 7 整除。6.能被

19、 11 整除：末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被11 整除。奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)的數(shù)字和的差能被11 整除。逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字后能被11 整除。7.能被 13 整除：末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的9 倍后能被13 整除。三、整除的性質(zhì)：13 整除。1. 如果 a、 b 能被 c 整除，那么（ a+b）與（ a-b ）也能被 c 整除。2. 如果 a 能被 b 整除， c 是整數(shù)，那么 a 乘以 c 也能被 b 整除。3. 如果 a 能被 b 整除， b 又能被 c 整除，那么 a 也能

20、被 c 整除。4. 如果 a 能被 b、c 整除，那么 a 也能被 b 和 c 的最小公倍數(shù)整除。18、余數(shù)及其應(yīng)用基本概念：對任意自然數(shù)a、b、 q、r ，如果使得a÷ b=q r ，且 0<r<b, 那么 r 叫做 a 除以 b 的余數(shù)， q叫做a 除以b 的不完全商。余數(shù)的性質(zhì)：余數(shù)小于除數(shù)。若 a、 b 除以 c 的余數(shù)相同，則a 與 b 的和除以c 的余數(shù)等于a 與 b 的積除以c 的余數(shù)等于c|a-b a 除以 a 除以或 c|b-a 。c 的余數(shù)加上b 除以 c 的余數(shù)的和除以c 的余數(shù)與b 除以 c 的余數(shù)的積除以c 的余數(shù)。c 的余數(shù)。19、余數(shù)、同余與

21、周期一、同余的定義：若兩個整數(shù) a、b 除以 m的余數(shù)相同，則稱a、 b 對于模 m同余。已知三個整數(shù)a、 b、m，如果 m|a-b ，就稱 a、 b 對于模 m同余，記作a b(mod m) ，讀作 a 同余于b 模 m。二、同余的性質(zhì)：自身性： a a(mod m) ；對稱性：若 a b(mod m) ，則 ba(mod m) ；傳遞性：若 ab(mod m)，bc(mod m)，則 a c(mod m) ；和差性：若a b(mod m) ， c d(mod m) ，則 a+c b+d(mod m) ，a-c b-d(mod m) ；相乘性：若 a b(modm)，cd(mod m)，則

22、a×c b×d(mod m)；乘方性：若 a b(mod m) ，則 an bn(mod m) ；同倍性 : 若 a b(mod m)，整數(shù) c，則 a×c b× c(mod m×c) ；三、關(guān)于乘方的預(yù)備知識：若 A=a×b，則Aa× babM=M =（ M）Bc+dcd若 B=c+d 則 M=M =M× M四、被 3、9、 11 除后的余數(shù)特征：一個自然數(shù) M， n 表示 M的各個數(shù)位上數(shù)字的和，則一個自然數(shù) M，X 表示 M的各個奇數(shù)位上數(shù)字的和，Mn(mod 9) 或（ mod 3）；Y 表示 M的各個偶數(shù)

23、數(shù)位上數(shù)字的和，則M Y-X或 M11- （ X-Y） (mod 11) ；五、費(fèi)爾馬小定理：如果p 是質(zhì)數(shù)（素數(shù)），a 是自然數(shù)，且 a 不能被 p 整除，則 ap-11(mod p) 。20、分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用基本概念與性質(zhì)：分?jǐn)?shù)：把單位“ 1”平均分成幾份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)。分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時乘以或除以相同的數(shù)（0 除外），分?jǐn)?shù)的大小不變。分?jǐn)?shù)單位：把單位“ 1”平均分成幾份，表示這樣一份的數(shù)。百分?jǐn)?shù)：表示一個數(shù)是另一個數(shù)百分之幾的數(shù)。常用方法：逆向思維方法：從題目提供條件的反方向（或結(jié)果）進(jìn)行思考。對應(yīng)思維方法：找出題目中具體的量與它所占的率的直接對應(yīng)關(guān)系。轉(zhuǎn)化思

24、維方法：把一類應(yīng)用題轉(zhuǎn)化成另一類應(yīng)用題進(jìn)行解答。最常見的是轉(zhuǎn)換成比例和轉(zhuǎn)換成倍數(shù)關(guān)系；把不同的標(biāo)準(zhǔn)（在分?jǐn)?shù)中一般指的是一倍量）下的分率轉(zhuǎn)化成同一條件下的分率。常見的處理方法是確定不同的標(biāo)準(zhǔn)為一倍量。假設(shè)思維方法：為了解題的方便，可以把題目中不相等的量假設(shè)成相等或者假設(shè)某種情況成立，計算出相應(yīng)的結(jié)果，然后再進(jìn)行調(diào)整，求出最后結(jié)果。量不變思維方法：在變化的各個量當(dāng)中，總有一個量是不變的，不論其他量如何變化，而這個量是始終固定不變的。有以下三種情況：A、分量發(fā)生變化，總量不變。B、總量發(fā)生變化，但其中有的分量不變。 C、總量和分量都發(fā)生變化，但分量之間的差量不變化。替換思維方法：用一種量代替另一種量

25、，從而使數(shù)量關(guān)系單一化、量率關(guān)系明朗化。同倍率法：總量和分量之間按照同分率變化的規(guī)律進(jìn)行處理。濃度配比法：一般應(yīng)用于總量和分量都發(fā)生變化的狀況。21、分?jǐn)?shù)大小的比較基本方法：通分分子法：使所有分?jǐn)?shù)的分子相同，根據(jù)同分子分?jǐn)?shù)大小和分母的關(guān)系比較。通分分母法：使所有分?jǐn)?shù)的分母相同，根據(jù)同分母分?jǐn)?shù)大小和分子的關(guān)系比較?；鶞?zhǔn)數(shù)法：確定一個標(biāo)準(zhǔn)，使所有的分?jǐn)?shù)都和它進(jìn)行比較。分子和分母大小比較法：當(dāng)分子和分母的差一定時，分子或分母越大的分?jǐn)?shù)值越大。倍率比較法：當(dāng)比較兩個分子或分母同時變化時分?jǐn)?shù)的大小，除了運(yùn)用以上方法外，可以用同倍率的變化關(guān)系比較分?jǐn)?shù)的大小。（具體運(yùn)用見同倍率變化規(guī)律）轉(zhuǎn)化比較方法：把所有

26、分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)（求出分?jǐn)?shù)的值）后進(jìn)行比較。倍數(shù)比較法：用一個數(shù)除以另一個數(shù)，結(jié)果得數(shù)和大小比較法：用一個分?jǐn)?shù)減去另一個分?jǐn)?shù)，得出的數(shù)和倒數(shù)比較法：利用倒數(shù)比較大小，然后確定原數(shù)的大小。1 進(jìn)行比較。0 比較?；鶞?zhǔn)數(shù)比較法：確定一個基準(zhǔn)數(shù)，每一個數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)比較。22、分?jǐn)?shù)拆分一、將一個分?jǐn)?shù)單位分解成兩個分?jǐn)?shù)之和的公式：=+；=+（ d 為自然數(shù)）；23、完全平方數(shù)完全平方數(shù)特征：1. 末位數(shù)字只能是： 0、 1、 4、5、 6、 9；反之不成立。2. 除以 3 余 0 或余 1；反之不成立。3. 除以 4 余 0 或余 1；反之不成立。4. 約數(shù)個數(shù)為奇數(shù)；反之成立。5. 奇數(shù)的平方的十位數(shù)字為

27、偶數(shù)；反之不成立。6. 奇數(shù)平方個位數(shù)字是奇數(shù)；偶數(shù)平方個位數(shù)字是偶數(shù)。7. 兩個相臨整數(shù)的平方之間不可能再有平方數(shù)。平方差公式： X2-Y 2=（ X-Y）（ X+Y）完全平方和公式： （ X+Y）222=X +2XY+Y完全平方差公式： （ X-Y）2=X2-2XY+Y224、比和比例比：兩個數(shù)相除又叫兩個數(shù)的比。比號前面的數(shù)叫比的前項，比號后面的數(shù)叫比的后項。比值：比的前項除以后項的商，叫做比值。比的性質(zhì)：比的前項和后項同時乘以或除以相同的數(shù)（零除外），比值不變。比例：表示兩個比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或比例的性質(zhì)：兩個外項積等于兩個內(nèi)項積( 交叉相乘 ) ， ad=bc。正比

28、例：若A 擴(kuò)大或縮小幾倍，B 也擴(kuò)大或縮小幾倍（AB的商不變時），則 A 與 B 成正比。反比例：若A 擴(kuò)大或縮小幾倍，B 也縮小或擴(kuò)大幾倍（AB的積不變時），則 A 與 B 成反比。比例尺：圖上距離與實際距離的比叫做比例尺。按比例分配：把幾個數(shù)按一定比例分成幾份，叫按比例分配。25、綜合行程基本概念：行程問題是研究物體運(yùn)動的，它研究的是物體速度、時間、路程三者之間的關(guān)系基本公式：路程 =速度×時間；路程÷時間 =速度；路程÷速度 =時間.關(guān)鍵問題：確定運(yùn)動過程中的位置和方向。相遇問題：速度和×相遇時間=相遇路程（請寫出其他公式）追及問題：追及時間路程差

29、÷速度差（寫出其他公式）流水問題：順?biāo)谐?（船速 +水速）×順?biāo)畷r間逆水行程 =（船速 - 水速）×逆水時間順?biāo)俣?=船速 +水速逆水速度 =船速 - 水速靜水速度 =（順?biāo)俣?+逆水速度）÷ 2水速 =（順?biāo)俣?- 逆水速度）÷ 2流水問題：關(guān)鍵是確定物體所運(yùn)動的速度，參照以上公式。過橋問題：關(guān)鍵是確定物體所運(yùn)動的路程，參照以上公式。主要方法：畫線段圖法基本題型：已知路程（相遇路程、追及路程） 、時間（相遇時間、追及時間） 、速度（速度和、速度差）中任意兩個量，求第三個量。26、工程問題基本公式：工作總量 =工作效率×工作時

30、間工作效率 =工作總量÷工作時間工作時間 =工作總量÷工作效率基本思路：假設(shè)工作總量為“1”（和總工作量無關(guān)） ；假設(shè)一個方便的數(shù)為工作總量 （一般是它們完成工作總量所用時間的最小公倍數(shù)） ，利用上述三個基本關(guān)系，可以簡單地表示出工作效率及工作時間 .關(guān)鍵問題：確定工作量、工作時間、工作效率間的兩兩對應(yīng)關(guān)系。經(jīng)驗簡評：合久必分，分久必合。27、邏輯推理基本方法簡介：條件分析假設(shè)法：假設(shè)可能情況中的一種成立，然后按照這個假設(shè)去判斷，如果有與題設(shè)條件矛盾的情況，說明該假設(shè)情況是不成立的，那么與他的相反情況是成立的。例如，假設(shè)a 是偶數(shù)成立，在判斷過程中出現(xiàn)了矛盾，那么a 一定是

31、奇數(shù)。條件分析列表法：當(dāng)題設(shè)條件比較多，需要多次假設(shè)才能完成時，就需要進(jìn)行列表來輔助分析。列表法就是把題設(shè)的條件全部表示在一個長方形表格中，表格的行、列分別表示不同的對象與情況，觀察表格內(nèi)的題設(shè)情況，運(yùn)用邏輯規(guī)律進(jìn)行判斷。條件分析圖表法：當(dāng)兩個對象之間只有兩種關(guān)系時，就可用連線表示兩個對象之間的關(guān)系，有連線則表示“是，有”等肯定的狀態(tài)，沒有連線則表示否定的狀態(tài)。例如A 和 B 兩人之間有認(rèn)識或不認(rèn)識兩種狀態(tài)，有連線表示認(rèn)識，沒有表示不認(rèn)識。邏輯計算：在推理的過程中除了要進(jìn)行條件分析的推理之外，還要進(jìn)行相應(yīng)的計算，根據(jù)計算的結(jié)果為推理提供一個新的判斷篩選條件。簡單歸納與推理：根據(jù)題目提供的特征和

32、數(shù)據(jù)，分析其中存在的規(guī)律和方法，并從特殊情況推廣到一般情況，并遞推出相關(guān)的關(guān)系式，從而得到問題的解決。28、幾何面積基本思路：在一些面積計算上，不能直接運(yùn)用公式情況下，一般需要對圖形進(jìn)行割補(bǔ)，平移、旋轉(zhuǎn)、翻折、分解、變形、重疊等，使不規(guī)則圖形變?yōu)橐?guī)則圖形進(jìn)行計算；另外需要掌握和記憶一些常規(guī)的面積規(guī)律。常用方法：1. 連輔助線方法2. 利用等底等高的兩個三角形面積相等。3.大膽假設(shè)（有些點的設(shè)置題目中說的是任意點，解題時可把任意點設(shè)置在特殊位置上）。4.利用特殊規(guī)律等腰直角三角形，已知任意一條邊都可求出面積。梯形對角線連線后，兩腰部分面積相等。圓的面積占外接正方形面積的78.5%。（斜邊的平方除

33、以4 等于等腰直角三角形的面積）29、立體圖形名稱圖形特征表面積體積長8 個頂點； 6 個面；相對的面相等；V=abh方S=2(ab+ah+bh)12 條棱；相對的棱相等；=Sh體正8 個頂點； 6 個面；所有面相等； 12方S=6a2V=a3條棱；所有棱相等；體圓上下兩底是平行且相等的圓；側(cè)面展S=S側(cè) +2S 底柱V=Sh開后是長方形；S 側(cè)=Ch體圓下底是圓；只有一個頂點；l: 母線，S=S側(cè)+S 底錐V=Sh頂點到底圓周上任意一點的距離；S 側(cè)=rl體球圓心到圓周上任意一點的距離是球S=4r 2V=r 3體的半徑。30、時鐘問題快慢表問題基本思路：1、 按照行程問題中的思維方法解題；2

34、、 不同的表當(dāng)成速度不同的運(yùn)動物體；3、 路程的單位是分格（表一周為60 分格）；4、 時間是標(biāo)準(zhǔn)表所經(jīng)過的時間；5、 合理利用行程問題中的比例關(guān)系；31、時鐘問題鐘面追及基本思路：封閉曲線上的追及問題。關(guān)鍵問題：確定分針與時針的初始位置；確定分針與時針的路程差；基本方法：分格方法：時鐘的鐘面圓周被均勻分成60 小格，每小格我們稱為1 分格。分針每小時走60 分格，即一周；而時針只走 5 分格，故分針每分鐘走 1 分格，時針每分鐘走 112 分格。度數(shù)方法：從角度觀點看，鐘面圓周一周是360°，分針每分鐘轉(zhuǎn)度，即 6°，時針每分鐘轉(zhuǎn)度，即度。32、濃度與配比經(jīng)驗總結(jié)：在配比

35、的過程中存在這樣的一個反比例關(guān)系，進(jìn)行混合的兩種溶液的重量和他們濃度的變化成反比。溶質(zhì)：溶解在其它物質(zhì)里的物質(zhì)（例如糖、鹽、酒精等）叫溶質(zhì)。溶劑：溶解其它物質(zhì)的物質(zhì)（例如水、汽油等）叫溶劑。溶液：溶質(zhì)和溶劑混合成的液體（例如鹽水、糖水等）叫溶液?；竟剑喝芤褐亓?=溶質(zhì)重量 +溶劑重量；溶質(zhì)重量 =溶液重量×濃度；濃度 =× 100%=× 100%理論部分小練習(xí)：試推出溶質(zhì)、溶液、溶劑三者的其它公式。經(jīng)驗總結(jié)：在配比的過程中存在這樣的一個反比例關(guān)系，進(jìn)行混合的兩種溶液的重量和他們濃度的變化成反比。33、經(jīng)濟(jì)問題利潤的百分?jǐn)?shù) =（賣價 -成本）÷成本×100%；賣價 =成本×（ 1+利潤的百分?jǐn)?shù)） ；成本 =賣價÷（ 1+利潤的百分?jǐn)?shù)） ；商品的定價按照期望的利潤來確定；定價 =成本×（ 1+期望利潤