小學(xué)六年級(jí)數(shù)學(xué)求陰影面積與周長(zhǎng)

1、求陰影面積的常用方法計(jì)算平面圖形的面積問(wèn)題是常見(jiàn)題型，求平面陰影部分的面積是這類(lèi)問(wèn)題的難點(diǎn)。不規(guī)則陰影面積常常由三角形、四邊形、弓形、扇形和圓、圓弧等基本圖形組合而成的，在解此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，要注意觀察和分析圖形，會(huì)分解和組合圖形或平移旋轉(zhuǎn)或割補(bǔ)?，F(xiàn)介紹幾種常用的方法。一、轉(zhuǎn)化法此法就是通過(guò)等積變換、平移、旋轉(zhuǎn)、 割補(bǔ)等方法將不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化成面積相等的規(guī)則圖形，再利用規(guī)則圖形的面積公式，計(jì)算出所求的不規(guī)則圖形的面積。例 1. 如圖 1，點(diǎn) C、D 是以 AB 為直徑的半圓O 上的三等分點(diǎn)，AB=12 ，則圖中由弦AC 、AD 和 CD 圍成的陰影部分圖形的面積為_(kāi) 。分析：連結(jié) CD、OC、OD

2、，如圖 2。易證 AB/CD ，則ACD和 OCD 的面積相等，所以圖中OCD 的面積。易得 COD 60，故 S陰影S扇形 DCO6062陰影部分的面積就等于扇形6 。360二、和差法有一些圖形結(jié)構(gòu)復(fù)雜，通過(guò)觀察，分析出不規(guī)則圖形的面積是由哪些規(guī)則圖形組合而成的，再利用這些規(guī)則圖形的面積的和或差來(lái)求，從而達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的目的。例 2. 如圖 3 是一個(gè)商標(biāo)的設(shè)計(jì)圖案，1 圓，求陰影部分面積。AB=2BC=8 ， ADE 為4分析：經(jīng)觀察圖3 可以分解出以下規(guī)則圖形：矩形ABCD 、扇形ADE 、 Rt EBC 。所以，S陰影S扇形 ADES矩形 ABCDSRt EBC904211248 。4

3、843602三、重疊法就是把所求陰影部分的面積問(wèn)題轉(zhuǎn)化為可求面積的規(guī)則圖形的重疊部分的方法。這類(lèi)題陰影一般是由幾個(gè)圖形疊加而成。要準(zhǔn)確認(rèn)清其結(jié)構(gòu)，理順圖形間的大小關(guān)系。例 3. 如圖 4，正方形的邊長(zhǎng)為 a，以各邊為直徑在正方形內(nèi)作半圓，求所圍成陰影部分圖形的面積。解：因?yàn)?4 個(gè)半圓覆蓋了正方形，而且陰影部分重疊了兩次，所以陰影部分的面積等于4 個(gè)半圓的面積和與正方形面積的差。故S陰影 2 ( a ) 2a2(1)a 2 。22四、補(bǔ)形法將不規(guī)則圖形補(bǔ)成特殊圖形，利用特殊圖形的面積求出原不規(guī)則圖形的面積。例 4. 如圖 5，在四邊形ABCD 中， AB=2 ， CD=1，A60 ，BD90

4、，求四邊形ABCD 所在陰影部分的面積。解：延長(zhǎng) BC、AD，交于點(diǎn) E，因?yàn)锳60， B90 ，所以 E30 ，又EDC 90 ，所以CE2CD，DE3 ，易求得BE 23，所以S陰影S ABE S CDE1AB BE1 CDDE33 。222五、拼接法例 5. 如圖 6，在一塊長(zhǎng)為 a、寬為 b 的矩形草地上，有一條彎曲的柏油小路（小路任何地方的水平寬都是 c 個(gè)單位），求陰影部分草地的面積。解：（ 1）將“小路”沿著左右兩個(gè)邊界“剪去”；（ 2）將左側(cè)的草地向右平移得到一個(gè)新的矩形（如圖7）。由于新矩形的縱向?qū)捜匀粸閎，水平方向的長(zhǎng)變成了c 個(gè)單位； （ 3）(ac) ，所以草地的面積為

5、b(ac)abbc 。六、特殊位置法例 6. 如圖 8，已知兩個(gè)半圓中長(zhǎng)為4 的弦 AB 與直徑 CD 平行，且與小半圓相切，那么圖中陰影部分的面積等于_。分析：在大半圓中，任意移動(dòng)小半圓的位置，陰影部分面積都保持不變，所以可將小半圓移動(dòng)至兩個(gè)半圓同圓心位置（如圖 9）。解：移動(dòng)小半圓至兩半圓同圓心位置，如圖9。設(shè)切點(diǎn)為H ，連結(jié)OH 、 OB ，由垂徑定理，知BH1 AB2 。又 AB 切小半圓于點(diǎn)H，故 OH AB ，故 OB 2OH 22BH 24S陰影1OB 21OH 21(OB 2OH2) 2222七、代數(shù)法將圖形按形狀、大小分類(lèi)，并設(shè)其面積為未知數(shù)，通過(guò)建立方程或方程組來(lái)解出陰影部

6、分面積的方法。例 7. 如圖 10，正方形的邊長(zhǎng)為a，分別以?xún)蓚€(gè)對(duì)角頂點(diǎn)為圓心、以a 為半徑畫(huà)弧，求圖中陰影部分的面積。解：設(shè)陰影部分的面積為x，剩下的兩塊形狀、大小相同的每塊面積為y，則圖中正方形的面積是 x2y ，而 xy 是以半徑為a 的圓面積的1 。故有 x 2 y a 2 ， x ya2 。解得44x (1)a2。即陰影部分的面積是 ()21 a。22需要說(shuō)明的是，在求陰影部分圖形的面積問(wèn)題時(shí)，要具體問(wèn)題具體分析，從而選取一種合理、簡(jiǎn)捷的方法。思考吧如圖 11，正方形的邊長(zhǎng)為1，以 CD 為直徑在正方形內(nèi)畫(huà)半圓，再以點(diǎn)C 為圓心、 1為半徑畫(huà)弧BD ，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)。求陰影

7、部分的面積21.計(jì)算圖 19-1 中陰影部分面積是多少平方厘米？（圓的半徑r=10 厘米， 取 3.14）分析 ：要計(jì)算圖 19-1 中陰影部分的面積， 關(guān)鍵在于處理圖中空白部分的面積。利用割補(bǔ)進(jìn)行轉(zhuǎn)化， 把空白部分轉(zhuǎn)移到圓的邊緣。如圖 19-2 所示，這樣陰影部分面積就可以轉(zhuǎn)化為1 圓面積加上兩個(gè)正方形的面積來(lái)計(jì)算。4解×102×1+102×2=25 4+200=78.5+200=278.52. 圖 19-3 大小兩圓相交部分面積是大圓面積的4 ，是小圓面積的 3 ，量得小圓的半徑是 5 厘米，155問(wèn)大圓的半徑是多少厘米？分析 ：因?yàn)橐阎幱安糠峙c大圓， 小圓

8、的面積比，所以可以先求出兩圓面積的比，繼而求出它們的半徑比。解 設(shè)陰影部分的面積為1. 則小圓面積是15 ，小4圓面積是 5 。于是：3大圓面積： 小圓面積 =15 ：5= 9=（ 3）254342× 3 =7.5 厘米23. 如圖 19-4 ，正方形面積是8 平方厘米。求陰影4. 如圖 19-7 ，求空白部分的面積是正方形面積的部分的面積是多少平方厘米？幾分之幾？分析 ：這道題按常規(guī)思路是：要求陰影部分的面積，用正方形的面積減去一個(gè)四分之一圓的面積。分析 ：因?yàn)閳A和正方形它們的對(duì)稱(chēng)性，可以先畫(huà)因此，只要知道圓的半徑，問(wèn)題就得到解決了。出兩條輔助線(xiàn)幫助分析，即將正方形分成4 個(gè)全但是

9、，從題中的已知條件知道，圓的半徑是不可等的小正方形。先看上面的兩個(gè)小正方形，從圓能求出的，問(wèn)題難以得解。這時(shí)，就必須改變解中可知， A=B， C=D。故有 A+D=B+C。這樣，可以題思路， 重新審題和分析圖形，從圖中不難看到，得到陰影部分的面積與空白部分的面積是正方形正方形的邊長(zhǎng)等于圓的半徑，進(jìn)而可以推出a×面積的二分之一。a=r × r=8 平方厘米。所以，在求四分之一圓的面積時(shí)，就不必按常規(guī)的方法，去求解圓的半徑，而直接用 8平方厘米代替 r × r的面積，四分之一圓的面積是3.14 ×8× 1 =6.28平方厘米，則陰4影部分的面積就是

10、 8-3.14 × 8× 1 =1.72平方厘4米。5. 求圖 19-8中陰影部分的面積。6. 如圖 19-9 ，A，B 是兩個(gè)圓的圓心， 那么兩個(gè)陰影部分的面積差是多少？分析 ：陰影部分的面積是以邊長(zhǎng)為20 的正方形與半徑為20 的1圓面積差減去邊長(zhǎng)為10 的正方形與半徑為414圓面積差的2 倍。分析 ：兩個(gè)陰影部分面積都難以直接求得，要計(jì)算它們面積的差需要轉(zhuǎn)化。甲 - 乙 =（甲 +丙 +?。?- （乙 +丙 +?。妆〉拿娣e之和是大圓面積的四分之一，3.14 × 4×S 陰影 =20 × 20-3.14 × 202×

11、; 1-10 × 10-3.14 ×4× 1 ；乙丙丁的面積， 乙加丙是一個(gè)長(zhǎng)方形，44102× 1 × 2=（ 86-21.5 ）× 2=1292× 4 ，丁的面積可以直接求，3.14×2×2×41 。這樣兩個(gè)陰影部分的面積差可以求得。43.14 ×4× 4× 1 -（ 4×2+3.14 ×2× 2×1 ）=1.42447. 求圖 19-10 陰影部分的面積。 分析：這道題的8. 如圖 19-12 ， ABCG和 CDEF都

12、是正方形， DC等陰影部分可以從半徑為6 的 1 圓面積中減去其中于 12 厘米， CB等于 10 厘米。求陰影的面積。4的空白部分的面積。3.14 ×6×6× 1 - （6×4-3.14 ×4×4× 1 ）4 4 =28.26-11.44=16.82分析 ：要運(yùn)用求積公式直接求出陰影部分的面積是行不通的， 因?yàn)殛幱安糠值拿娣e是不規(guī)則圖形。可以運(yùn)用轉(zhuǎn)化的方法， 先求出直角梯形 ABCF的面積和圓心角為 FCD的扇形面積，所得的差就是陰影部分的面積。直角梯形的面積為： （ 10+12）×10÷ 2=110

13、平方厘米。1 圓的面積： 3.14 × 122÷44=3.14 × 144÷ 4=113.04直角三角形的面積為： 10×（ 10+12）÷2=22× 5=110陰影部分的面積為 110+113.04-110=113.04平方厘米。9. 求圖 19-15 中的陰影部分的面積。 （OB=4厘米） 10. 如圖 19-17 ，以小正方形 4 角的頂點(diǎn)為圓心，邊長(zhǎng)的一半為半徑，作 4 個(gè)圓，在 4 個(gè)圓外作一正方形，每邊都與其中兩個(gè)圓各有一個(gè)接觸點(diǎn)，求陰影部分的面積 S。單位厘米。分析 ： 如圖 19-16 ，首先可以用虛線(xiàn)連接A

14、C、BC、 分析 ：仔細(xì)分析觀察后，便可看出陰影部分的面OC，并標(biāo)出 S1、 S2、 S3、 S4，則陰影部分S1 與積 S 等于大正方形面積S 減去小正方形的面積和空白部分 S3 面積相等。陰影部分 S2 與空白部分4 個(gè) 3 小圓面積的和。S4 面積相等， 所以陰影部分的面積等于1圓面積442減去 1 個(gè)直角三角形的面積。 3.14 × 42× 1 -4 × 4解： S=40× 40- （ 40÷2） 3.14 ×（ 40÷ 2÷ 2）42× 3 × 4=1600-400+942=1600-

15、1432=258平× 1=3.14 × 4-8=4.56 平方厘米42方厘米求陰影部分面積3例 1.求陰影部分的面積。( 單位 : 厘米 )例 2.正方形面積是7 平方厘米，求陰影部分的面積。(單位:厘米)解：這也是一種最基本的方法用正方形的面積減去解：這是最基本的方法：圓面積減去等腰直角三角形的面積，圓的面積。設(shè)圓的半徑為r ，因?yàn)檎叫蔚拿娣e為7 平方×- 2×1=1.14（平方厘米）厘米，所以=7，所以陰影部分的面積為：7-=7-×7=1.505 平方厘米例 3.求圖中陰影部分的面積。( 單位 : 厘米 )例 4.求陰影部分的面積。 (

16、單位 : 厘米 )解：同上，正方形面積減去圓面積，16- ( )=16-4 解：最基本的方法之一。用四個(gè)圓組成一個(gè)圓，=3.44 平方厘米用正方形的面積減去圓的面積，所以陰影部分的面積： 2×2 - 0.86平方厘米。例 5.求陰影部分的面積。( 單位 : 厘米 )例 6. 如圖：已知小圓半徑為2 厘米，大圓半徑是小圓的 3 倍，問(wèn)：空白部分甲比乙的面積多多少厘米？解：這是一個(gè)用最常用的方法解最常見(jiàn)的題，為方解：兩個(gè)空白部分面積之差就是兩圓面積之差（全便起見(jiàn)，加上陰影部分）我們把陰影部分的每一個(gè)小部分稱(chēng)為“葉 - ( )=100.48 平方厘米形”，是用兩個(gè)圓減去一個(gè)正方形，（注：這

17、和兩個(gè)圓是否相交、交的情況如何無(wú)( ) ×2-16=8 -16=9.12平方厘米關(guān)）另外：此題還可以看成是 1題中陰影部分的 8倍。例 7.求陰影部分的面積。( 單位 : 厘米 )例 8.求陰影部分的面積。( 單位 : 厘米 )解：正方形面積可用 ( 對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)×對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)÷ 2，求 ) 解：右面正方形上部陰影部分的面積，等于左面正正方形面積為： 5×5÷2=12.5方形下部空白部分面積，割補(bǔ)以后為圓，所以陰影面積為： ÷4-12.5=7.125平方厘米所以陰影部分面積為： ()=3.14 平方厘米( 注 :以上幾個(gè)題都可以直接用圖形的差

18、來(lái)求,無(wú)需割、補(bǔ)、增、減變形 )例 9.求陰影部分的面積。(單位:厘米)例 10.求陰影部分的面積。(單位: 厘米)解：把右面的正方形平移至左邊的正方形部分，則陰影部分合成一個(gè)長(zhǎng)方形，所以陰影部分面積為： 2×3=6平方厘米解：同上，平移左右兩部分至中間部分，則合成一個(gè)長(zhǎng)方形，所以陰影部分面積為2×1=2 平方厘米( 注 : 8 、 9、10 三題是簡(jiǎn)單割、補(bǔ)或平移)例 11. 求陰影部分的面積。(單位: 厘米)例 12.每個(gè)扇形半徑為3 ，求陰影部分的面積。(單位:厘米 )解：這種圖形稱(chēng)為環(huán)形，可以用兩個(gè)同心圓的面積差或差的一部分來(lái)求。解：三個(gè)部分拼成一個(gè)半圓面積（ -

19、）×= ×3.14=3.66平方厘 ( ) ÷ 14.13平方厘米米例 13. 求陰影部分的面積。(單位: 厘米)例 14.求陰影部分的面積。(單位: 厘米)解 :連對(duì)角線(xiàn)后將 " 葉形 " 剪開(kāi)移到右上面的空白部解：梯形面積減去圓面積，分,湊成正方形的一半 .所以陰影部分面積為： 8×8÷2=32 平方厘米(4+10) ×4-=28-4 =15.44 平方 厘米 .例 15. 已知直角三角形面積是 12 平方厘米，求陰影例 16.求陰影部分的面積。(單位: 厘米)部分的面積。解：分析 :此題比上面的題有一定難度,

20、 這是 " 葉形 " 的=(116-36)=40 =125.6 平方厘米一個(gè)半 .解:設(shè)三角形的直角邊長(zhǎng)為r ，則=12，=6圓面積為： ÷2=3 。圓內(nèi)三角形的面積為 12÷2=6，陰影部分面積為：(3 - 6) ×=5.13平方厘米例 17. 圖中圓的半徑為(單位:厘米)5 厘米 , 求陰影部分的面積。例 18.如圖，在邊長(zhǎng)為 6 厘米的等邊三角形中挖去三個(gè)同樣的扇形 , 求陰影部分的周長(zhǎng)。解：上面的陰影部分以AB 為軸翻轉(zhuǎn)后，整個(gè)陰影部分成為梯形減去直角三角形，或兩個(gè)小直角三角形AED、 BCD面積和。所以陰影部分面積為： 5×

21、5÷2+5×10÷2=37.5平方厘米例 19. 正方形邊長(zhǎng)為2 厘米，求陰影部分的面積。解：陰影部分的周長(zhǎng)為三個(gè)扇形弧，拼在一起為一個(gè)半圓弧，所以圓弧周長(zhǎng)為： 2×3.14 ×3÷2=9.42厘米例 20.如圖，正方形ABCD的面積是36 平方厘米，求陰影部分的面積。解：右半部分上面部分逆時(shí)針，下面部分順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到左半部分，組成一個(gè)矩形。所以面積為： 1×2=2 平方厘米解：設(shè)小圓半徑為r ，4=36, r=3 ，大圓半徑為R，=2=18,將陰影部分通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)移在一起構(gòu)成半個(gè)圓環(huán),所以面積為: (-) ÷2=4.5

22、 =14.13平方厘米例21 .圖中四個(gè)圓的半徑都是1 厘米，求陰影部分的例22.如圖，正方形邊長(zhǎng)為8 厘米，求陰影部分的面積。面積。解：把中間部分分成四等分，分別放在上面圓的四解法一 :將左邊上面一塊移至右邊上面 , 補(bǔ)上空白 ,個(gè)角上，補(bǔ)成一個(gè)正方形，邊長(zhǎng)為2厘米，則左邊為一三角形, 右邊一個(gè)半圓 . 陰影部分為一個(gè)所以面積為： 2×2=4 平方厘米三角形 和一個(gè)半圓面積之和 . () ÷ 2+4× 4=8 +16=41.12 平方厘米解法二 :補(bǔ)上兩個(gè)空白為一個(gè)完整的圓 .所以陰影部分面積為一個(gè)圓減去一個(gè)葉形 , 葉形面積為 : () ÷2- 4&

23、#215; 4=8-16所以陰影部分的面 積為 : ()-8 +16=41.12 平方厘米例 23. 圖中的 4 個(gè)圓的圓心是正方形的4 個(gè)頂點(diǎn)，例 24.如圖，有 8個(gè)半徑為 1 厘米的小圓，用他們的它們的公共點(diǎn)是該正方形的中心，如果每個(gè)圓的半圓周的一部分連成一個(gè)花瓣圖形，圖中的黑點(diǎn)是這徑都是 1 厘米，那么陰影部分的面積是多少？些圓的圓心。 如果圓周 率取 3.1416 ，那么花瓣圖形的的面積是多少平方厘米？解：面積為個(gè)圓減去個(gè)葉形，葉形面積為：分析：連接角上四個(gè)小圓的圓心構(gòu)成一個(gè)正方形，- 1× 1= -1各個(gè)小圓被切去個(gè)圓，所 以 陰 影 部 分 的 面 積 為 :4 -8(

24、這四個(gè)部分正好合成個(gè)整圓，而正方形中的空白-1)=8平方厘米部分合成兩個(gè)小圓例 25. 如圖，四個(gè)扇形的半徑相等，求陰影部分的面積。(單位:厘米)解：陰影部分為大正方形面積與一個(gè)小圓面積之和為：4×4+ =19.1416 平方厘米例 26.如圖，等腰直角三角形ABC和四分之一圓DEB，AB=5 厘米， BE=2厘米，求圖中陰影部分的面積。分析：四個(gè)空白部分可以拼成一個(gè)以為半徑的圓所以陰影部分的面積為梯形面積減去圓的面解 :將三角形CEB以 B 為圓心，逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)90 度，積，到三角形ABD位置 , 陰影部分成為三角形ACB面積減4×(4+7) ÷2 - =22-4

25、 =9.44 平方厘米去個(gè)小圓面積 ,為: 5×5÷2- ÷4=12.25 -3.14=9.36平方厘米例 27. 如圖，正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC=2厘米，扇形例 28.求陰影部分的面積。( 單位 : 厘米 )ACB是以 AC為直徑的半圓， 扇形 DAC是以 D 為圓心，AD為半徑的圓的一部分，求陰影部分的面積。解:因?yàn)?2=4，所以=2以 AC 為直徑的圓面積減去三角形 ABC面積加上弓形 AC面積，解法一：設(shè) AC中點(diǎn)為 B, 陰影面積為三角形ABD面積加弓形 BD的面積 ,三角形 ABD的面積為 :5 ×5÷2=12.5弓形面積為 :

26、÷2- 5×5 ÷2=7.125所以陰影面積為:12.5+7.125=19.625平方厘米- 2×2÷4+ ÷4-2解法二：右上面空白部分為小正方形面積減去小圓= -1+( -1)面積，其值為： 5×5 -=25-= -2=1.14 平方厘米陰影面積為三角形ADC減去空白部分面積，為：10×5÷2- （25-） =19.625 平方厘米例 29. 圖中直角三角形 ABC 的直角三角形的直角邊例 30.如圖，三角形ABC是直角三角形，陰影部分甲AB=4厘米， BC=6厘米，扇形 BCD所在圓是以 B 為圓比

27、陰影部分乙面積大28 平方厘米， AB=40 厘米。求心，半徑為 BC 的圓， CBD= ，問(wèn)：陰影部分甲BC 的長(zhǎng)度。比乙面積小多少？解 : 甲、乙兩個(gè)部分同補(bǔ)上空白部分的三角形后合成一個(gè)扇形 BCD，一個(gè)成為三角形 ABC，此兩部分差即為：××4×65-12=3.7 平方厘米例 31. 如圖是一個(gè)正方形和半圓所組成的圖形， 其中 P 為半圓周的中點(diǎn)， Q為正方形一邊上的中點(diǎn)，求陰影部分的面積。解：連 PD、PC轉(zhuǎn)換為兩個(gè)三角形和兩個(gè)弓形，兩三角形面積為：APD 面積 + QPC面積 =（5×10+5×5）=37.5兩弓形 PC、PD面積為：

28、 - 5×5解：兩部分同補(bǔ)上空白部分后為直角三角形ABC，一個(gè)為半圓，設(shè)BC長(zhǎng)為 X，則40X÷2- ÷2=28所以 40X-400 =56 則 X=32.8 厘米例 32.如圖，大正方形的邊長(zhǎng)為 6 厘米，小正方形的邊長(zhǎng)為 4 厘米。求陰影部分的面積。解：三角形DCE的面積為 :×4×10=20 平方厘米梯形ABCD的面積為 :(4+6) ×4=20平方厘米從而知道它們面積相等, 則三角形ADF面積等于三角形 EBF面積，陰影部分可補(bǔ)成圓 ABE的面積， 其面積為：所 以 陰 影 部 分 的 面 積 為 ： 37.5+÷4=9 =28.26 平方厘米 -25=51.75 平方厘米例 33. 求陰影部分的面積。( 單位 : 厘米 )例 34.求陰影部分的面積。( 單位 : 厘米 )解 : 用 大圓的面積減去長(zhǎng)方形面積再加上一個(gè)以2解：兩個(gè)弓形面積為