摩擦引起振動的分岔與混沌

1、摩擦引起振動的分岔與混沌引言摩擦引起的振動是動力學(xué)界廣泛研究的現(xiàn)象，這是因為摩擦模型的重要產(chǎn)業(yè)關(guān)聯(lián)性和不斷發(fā)展的新進(jìn)展。在本文中，我們將報告一個單一的自由度機(jī)械振動的表面上一個單一的程度的分岔的研究結(jié)果。我們使用的摩擦模型是由canudas de Wit等人開發(fā)的一個日益受到社會各界的認(rèn)可的力學(xué)模型。利用這個模型，我們發(fā)現(xiàn)在一個穩(wěn)定的極限環(huán)在中間的滑動速度為一個單一的自由度機(jī)械振子，而且，機(jī)械振子可以表現(xiàn)出混亂的運(yùn)動。對于某些參數(shù)，數(shù)值模擬表明Silnikov同宿軌道的存在性。這是不應(yīng)該在一個單自由度系統(tǒng)中存在。由于摩擦模型中包含一個內(nèi)部變量，這樣混沌的發(fā)生就成為可能。這實驗演示了一個獨(dú)特的摩

2、擦模型特性。與大多數(shù)的摩擦模型不同的是，本模型是能夠同時在非常低的滑動速度建模自我激勵和預(yù)測粘滑。1.簡介摩擦引起的振動對機(jī)械和工程系統(tǒng)有著不同的影響。制動尖叫是一個摩擦引起振動的眾所周知的例子。摩擦引起的振動，往往會導(dǎo)致過度磨損機(jī)器部件，限制生產(chǎn)過程的精度和生產(chǎn)率，并降低了控制系統(tǒng)的精度。此外，摩擦振動引起的噪聲同樣是令人討厭的。摩擦力學(xué)系統(tǒng)的動力學(xué)研究有著悠久的歷史。最早是由Den Hartog研究的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)機(jī)械振蕩器結(jié)合庫侖摩擦和粘性阻尼。DEN Hartogs論文清楚地說明了存在摩擦動力學(xué)系統(tǒng)的非線性性質(zhì)；非線性體現(xiàn)在激勵和響應(yīng)之間的比例的損失。其他涉及摩擦自激振動和堅持的重要動力學(xué)現(xiàn)

3、象包括滑移現(xiàn)象。由于兩者之間的接觸表面基本物理和化學(xué)的復(fù)雜性，所以精確建模的摩擦仍然是一個活躍的研究領(lǐng)域。由于涉及兩個固體表面互相滑動摩擦，所以摩擦力是受許多因素影響，如散裝和表面層材料的性能，接觸表面的粗糙度，應(yīng)力水平的滑動速度、溫度、環(huán)境，以及潤滑劑和潤滑條的性能。此外，摩擦往往伴隨著磨損?？梢韵胂蟮氖?，摩擦力可以是與時間相關(guān)的。在這些潛在變量中，好的摩擦模型是捕獲必要的點，但不是太復(fù)雜，這樣會使他們不切實際。庫侖摩擦模型，也許是區(qū)別靜態(tài)和動態(tài)摩擦系數(shù)之間最簡單的摩擦模型。但庫侖模型的不確定和不連續(xù)的性質(zhì)使得它非常難以模擬機(jī)械系統(tǒng)的動力學(xué)、間歇性的粘滑表面之間的發(fā)生情況。因此，動態(tài)研究，摩

4、擦模型必須包括依賴性最低的速度。在引入的速度依賴性是否滿足動力學(xué)摩擦系數(shù)是否確實是一個遞減函數(shù)的滑動速度。很顯然，這些爭論都是通過實驗來解決的。在典型的實驗裝置中，摩擦是不可避免地耦合到系統(tǒng)的慣性、彈性力和耗散力，提取的數(shù)據(jù)往往需要進(jìn)行理論模型的研究。由于摩擦力破壞了動態(tài)系統(tǒng)響應(yīng)于它的輸入比例，這種非線性將導(dǎo)致出現(xiàn)復(fù)雜的現(xiàn)象，這往往是不被贊賞的簡單的模型?；诤唵文Ｐ偷南到y(tǒng)動力學(xué)理論研究為解釋實驗數(shù)據(jù)提供了必要的理解。在本文中，我們研究了一個單一的振蕩器耦合到一個滑動摩擦表面的分岔和混沌。我們證明Silnikov同宿軌道意味著混沌動力學(xué)在一個單自由度系統(tǒng)的數(shù)值證據(jù)存在。雖然混沌已被證明發(fā)生在涉

5、及多自由度系統(tǒng)摩擦中，但通過實驗證明存在混沌的一個單自由度的自由度系統(tǒng)有助于說明實驗難以識別的摩擦模型參數(shù)。我們使用的是由canudas de Wit等人提出的模型。該模型包含一個內(nèi)部變量，當(dāng)耦合到一個單一的自由度系統(tǒng)中，我們有一個三維一階自治常微分系統(tǒng)方程。我們選擇了滑動速度作為分岔參數(shù)，研究了固定點的穩(wěn)定性和參數(shù)變化的穩(wěn)定性。我們發(fā)現(xiàn)Hopf分岔，即固定點的穩(wěn)定性發(fā)生改變。固定點不穩(wěn)定時，產(chǎn)生自激振蕩。此外，通過數(shù)值模擬已經(jīng)確定了同宿軌道系統(tǒng)的發(fā)生。當(dāng)這樣的軌道存在時，混亂已經(jīng)發(fā)生了。我們特別指出在其中中提出的摩擦模型的顯著特點。在第3節(jié)中，我們進(jìn)行局部分叉分析的固定點和它的穩(wěn)定性。在4節(jié)

6、中，我們提出了一個常微分方程組的數(shù)值積分的結(jié)果。特別是，我們表明系統(tǒng)同宿軌道和混沌。我們在最后一節(jié)做了一些總結(jié)性發(fā)言。2摩擦模型在2中給出的摩擦模型的文獻(xiàn)中已經(jīng)提出了許多摩擦模型。由于摩擦過程的復(fù)雜性，直觀上明顯的簡單模型往往是不夠的。例如，庫侖摩擦模型可以解釋堅持滑移現(xiàn)象，卻不能解釋自激振蕩沒有滑棒棒（滑移不會發(fā)生如果兩個表面滑動速度不夠快彼此相對）。其他模型的摩擦力與速度曲線的負(fù)斜率可以預(yù)測將自激振蕩但難以建模滑棒。canudas de Wit等人提出了一種摩擦模型，集成了一個內(nèi)部變量（類似于在8中定義的變量），在滑動面考慮到小的彈性變形的“毛”，這個內(nèi)部變量由以下公式控制： （1）其中V

7、是表面的滑動速度和函數(shù)g（v）是描述摩擦力在穩(wěn)定狀態(tài)依賴滑動的速度。在非穩(wěn)定狀態(tài)下，摩擦力取決于滑動速度和狀態(tài)變量如下： （2）請注意，如果（1）被替換為（2），摩擦力是由刷毛與滑動速度的偏轉(zhuǎn)所決定的。21靜態(tài)極限根據(jù)上面提出的模型，當(dāng)一個力逐漸被應(yīng)用于表面滑動時，摩擦力會先將兩者保持在一起，并且只會出現(xiàn)微小的刷毛。這是真的，直到達(dá)到一個極限的摩擦?xí)r。這種準(zhǔn)靜態(tài)過程沒有宏觀滑動，方程（2）表明毛偏轉(zhuǎn)，即內(nèi)部變量，比例與摩擦力增大。刷毛自由（改變符號）當(dāng)時。因此，最大靜摩擦發(fā)生在， 和時。在 6 ，函數(shù)是以下： （3）因此，在準(zhǔn)靜態(tài)載荷作用下，參數(shù)是最大靜摩擦系數(shù)。22穩(wěn)定滑動摩擦力在穩(wěn)定狀態(tài)下

8、，當(dāng)兩表面滑動彼此相對為時，給出摩擦力如下： 這個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是由 （4）上述第一項是可以忽略不計的很小的和很大，相比與滑動速度的兩個特殊值，記為和。摩擦力速度函數(shù)是在和單調(diào)增加。對于，摩擦力是單調(diào)遞減函數(shù)的速度。在和，摩擦力與滑動速度曲線的斜率為零。和的值可以通過求解方程確定，即 (5)由于較小，設(shè)，我們得到一個近似值： (6)的值接近和得到迭代： (7)與初始猜測。在表1中給出的參數(shù)中，我們發(fā)現(xiàn)穩(wěn)態(tài)摩擦力與滑動速度曲線具有負(fù)斜率的區(qū)間為，其中和。摩擦力與滑動速度曲線的特點如圖1所示。表1在模擬中使用的參數(shù)值圖.1摩擦力與滑動速度在穩(wěn)定狀態(tài)下的示意圖23在規(guī)定的力量下滑動當(dāng)一個規(guī)定的力被施加到

9、導(dǎo)致一個質(zhì)量的滑動上，如圖2，由運(yùn)動方程給出 (8)對于上述模型的摩擦模型，在表1中給出了已被用來研究結(jié)果的外力的數(shù)值方法。圖3中顯示了規(guī)定的力、摩擦力、質(zhì)量和內(nèi)部變量的位移。規(guī)定的力是在第一個斜坡，然后水平撤銷到一個值。圖3的加載過程很慢。由于物體被卡住，只有微觀位移（10-5米）。圖3代表慢反應(yīng)。幾乎相同的結(jié)果時，得到的加載速率是圖中的10倍。圖.2在規(guī)定力的表面上的物塊滑動力學(xué)模型.圖.3緩慢施加力下系統(tǒng)的響應(yīng)。最大的力量是1.425N，略低于,只發(fā)生微觀位移.圖.4快速施加規(guī)定力下系統(tǒng)的響應(yīng).最大的力量是1.425N，略低于當(dāng)加載速度是圖3中的100倍時，我們注意到在圖4中，物體發(fā)生宏

10、觀位移。在表面發(fā)生滑動。刷毛的撓度減小，摩擦力也下降。這表明該模型的一個非常有趣方面：即使最大的力從未超過，不發(fā)生宏觀滑動。3在表面上滑動的單一的振蕩器動力學(xué) 上面的摩擦模型可以用來研究單自由度振蕩器自激振蕩。考慮圖5所示的力學(xué)模型。根據(jù)其表示物體的速度，我們有以下的運(yùn)動方程： （9） 圖.5滑塊、彈簧、皮帶系統(tǒng)的力學(xué)模型這些三維非線性常微分方程是可以改變的（時間不明確）。3.1穩(wěn)態(tài)（不動點）的局部分岔分析及其穩(wěn)定性 對應(yīng)于滑動速度恒定的穩(wěn)態(tài)解，即。因此可得到： 小擾動在穩(wěn)態(tài)，我們可以通過檢查在評價的雅可比矩陣特征值的穩(wěn)定性研究；對于足夠小擾動附近的穩(wěn)定滑動，滑動速度不反向。我們可以讓，由于線

11、性穩(wěn)定性是基于“無窮小”，故從穩(wěn)態(tài)擾動不斷滑動的矩陣是：穩(wěn)態(tài)的穩(wěn)定性是由矩陣的特征值，這是下面的特征方程的根： （10） （11） （12）由于始終是正的，特征方程的特征值不能為零。換句話說，對穩(wěn)態(tài)的穩(wěn)定性只能通過Hopf分岔的變化，即通過對復(fù)雜的根穿越虛軸。這種分歧的必要條件是： （13）由于，和，取決于和，同時受到Hopf分岔的質(zhì)量和系統(tǒng)的剛度影響。一旦一對復(fù)雜的特征值的交叉純虛軸，他們可以成為在真正的軸第一次合并。當(dāng)它們合并時，特征方程將有2個重復(fù)的根。因此，下面的兩個方程同時求解：二次方程是通過區(qū)分第一個相對于X的第二個方程，以消除k，我們找到了條件，對復(fù)雜的特征值變化到兩個正的方程：

12、 (14)當(dāng)滿足上述方程時，復(fù)共軛雙特征值的虛部為零。對于表1中給出的參數(shù)，在區(qū)間的分岔集即。這如圖6所示。Hopf分岔發(fā)生在幾乎垂直的兩條平行線之間。這兩條線是非常接近和時。圖.6固定點附近的分叉集和局部向量場。所有參數(shù)都在表1中給出.在（6）和（7）?？磀到Hopf分岔主要發(fā)在由摩擦力的負(fù)斜率與滑動速度曲線相同地方。對于表1中給出的參數(shù)，彈簧的剛度和質(zhì)量不出現(xiàn)影響的Hopf分岔。然而，當(dāng)我們改變R1的值到一個更大的值時，依賴的Hopf分岔曲線上的彈簧剛度和質(zhì)量是顯而易見的。我們指出圖6中固定點的性質(zhì)。注意：在兩個垂直線之間的參數(shù)是不確定的。左邊的垂直線對應(yīng)。因為是很小的區(qū)域，左邊的這條線也

13、很小。曲線將兩者之間的區(qū)域分隔為2個部分。在曲線上，該矩陣具有一對正實部的復(fù)特征值。在曲線上，這2個特征值變得真實且積極。在曲線的穩(wěn)定性沒有變化，但附近的固定點的變化從一個不穩(wěn)定的螺旋到一個不穩(wěn)定的節(jié)點的流量的性質(zhì)。這個變化是顯著時Silnikov同宿軌道，我們不久將描述，發(fā)現(xiàn)會引起混沌動力學(xué)和Silnikov現(xiàn)象不會發(fā)生下面的曲線參數(shù)。4.分岔數(shù)值的研究 固定點局部分叉的分析，呈現(xiàn)在固定點附近的動態(tài)信息。例如，當(dāng)沒有穩(wěn)定的固定點的存在，可以發(fā)生對應(yīng)于自激振蕩周期解。此外，當(dāng)一個固定點是穩(wěn)定時，它可能有一個很小的吸引域和偏離穩(wěn)定的固定點的解決方案，幾乎滿足所有的初始條件。我們已經(jīng)進(jìn)行了數(shù)值模擬

14、方程（9）。已使用MATLAB函數(shù)ode23s。我們的方程是不光滑的，當(dāng)滑動速度是接近零。E-12與E-14分別為相對和絕對公差。所有變量都是在零開始。再次使用表1中給出的參數(shù)。我們選擇目前的k=15000和1500 N / m的仿真結(jié)果。4.1 k=15000 N / m的情況下我們的分析表明，固定點大約在間隔,無量綱的滑動速度。當(dāng)從零初始條件，我們發(fā)現(xiàn)自激振蕩存在超過一個多間隔較大的滑動速度（，可以證明固定點是穩(wěn)定的，如果我們使初始條件非常接近固定點。定性的研究結(jié)果于圖7中的最大速度的質(zhì)量和最大摩擦力被繪制對無量綱的滑動速度。根據(jù)滑動速度，我們觀察到三個不同的結(jié)果。對于足夠大的滑動速度，振

15、蕩器的運(yùn)動最終定為穩(wěn)定的固定點。下面是臨界速度，發(fā)生自激振蕩。在大多數(shù)情況下，導(dǎo)致穩(wěn)定的周期性振蕩自激振蕩周期的一個典型的案，如圖8所示。隨著滑動速度的減小，軌道的周期增大。圖9顯示了的結(jié)果。這個參數(shù)值，該變量是非常接近的值在很長一段時間的固定點。周期軌道近似同宿軌道連接固定點本身，圖10。它僅僅是一種由于近似同宿軌道會無限長的階段。在這個參數(shù)值中，固定點的特征值是。當(dāng)一個固定點的鞍焦點型的同宿軌道連接到系統(tǒng)本身現(xiàn)象說起來。該系統(tǒng)包含馬蹄映射現(xiàn)象。我們的固定點有2個不穩(wěn)定和一個穩(wěn)定流形。在時間相反時，滿足Silnikov現(xiàn)象條件。由于時間反轉(zhuǎn)不影響系統(tǒng)的分析，利用已知現(xiàn)象出現(xiàn)在我們的系統(tǒng)。直接

16、產(chǎn)生混沌馬蹄圖結(jié)果。我們觀察到的混沌振蕩在和0.5。混沌振蕩如圖11所示為狀態(tài)變量和時間曲線圖。平面如圖12所示。圖.7K=15000 N / m，即不動點在3以上是3上穩(wěn)定的分岔圖，解是穩(wěn)定的周期軌道。圖.8 周期解的自激振蕩。參數(shù)：k=15000 N / m，-0:004米/秒圖.9長周期解。大部分時間在不穩(wěn)定固定點附近,參數(shù)：k=15000 N / m，-0:0004米/秒圖.10.一個周期軌道非常接近一個同宿軌道。參數(shù)與圖9中的相同上述發(fā)生在參數(shù)區(qū)域中的周期性和混沌振蕩，其中的摩擦力與滑動速度的曲線有一個負(fù)斜率。我們稱這些自激振蕩區(qū)分他們從堅持滑移現(xiàn)象在下面。圖.11混沌振動。參數(shù)：k

17、=15000 N / m，-0:0003米/秒。圖.12混沌振動表現(xiàn)為在平面內(nèi)投影。參數(shù)與圖11中的相同4.2 k=1500 N / m的情況下 當(dāng)k=1500 N / m代表小彈簧剛度。分岔圖如圖13所示。如圖，除了定期的自激振蕩，似乎有兩倍的振蕩周期解。圖14中示出了一個典型的情況，并在圖15中顯示了相應(yīng)的周期軌道。自龐加萊克森定理排除期在二維自治系統(tǒng)的周期分叉，這是摩擦模型，使這種可能發(fā)生的額外的內(nèi)部變量。此外，如果我們進(jìn)一步降低滑動速度，滑塊花費(fèi)大量的時間到皮帶上，皮帶在一個恒定的速度。這持續(xù)到的力量大到足以打破粘附的表面和滑塊的摩擦力，直到彈簧再次被壓縮和滑塊再次移動，圖16。這種現(xiàn)象被稱為粘滑，因為在特定的時間，沒有宏觀的滑塊和表面之間的滑動。我們看到，在檢查的模型中是能夠處理自我激勵和粘滑多的。圖.13 分岔圖k-1500 KN / m的。即使在定點在3以上，解決方案是穩(wěn)定的周期平穩(wěn)當(dāng)初始條件是使用，其兩次周期是可見的。圖.14 兩倍周期軌道。參數(shù)：k=1500 N / m，-0:018米/秒圖.15周期2軌道在平面。參數(shù)與圖14中的相