點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)期末考試練習(xí)題含答案

1、點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)期末考試一、單項(xiàng)選擇題（每題1分）1、已知X a,b,c,d,e,下列集族中，（ ）是X上的拓?fù)?T X, ,a, a,b, a,c,e T X, ,a,b, c, a,b,d, a,b, c,e T X, ,a,a,b T X, ,a, b, c, d, e答案：2、設(shè)X a,b,c，下列集族中,（ ）是X上的拓?fù)銽X,a, a,b, cTX,a, a, b, a,cTX,a, b, a,cTX,a, b, c答案：3、已知Xa,b,c,d,下列集族中，'(）是X上的拓?fù)銽X,a, a, b, a,c,dTX, ,a,b,c, a, b, dTX,a, b, a,c,dTX

2、, ,a,b答案：4、設(shè)X a, b, c，下列集族中,（ ）是X上的拓?fù)?TX,b, c, a,bTX,a, b, a,b, a,cTX,a, b, a,cTX,a, b, c答案：5、已知汨Xa,b,c,d,下列集:族中，（(）是X上的拓?fù)銽X,a,b, a,c,dTX, ,a,b, a,c, dTX,a, b, a,c,dTX, ,a, c, a,c答案：6、設(shè)Xa, b, c，下列集族中,(）是:X上的拓?fù)銽X,a, b, b,cTX,a,b, b, cTX,a, a, cTX,a, b, c答案：7、已知Xa,b,c,d，拓扌卜 TX,a,則b=()©Xbb, c, d答案

3、:8、已知 X a,b,c,d，拓?fù)?T X, ,a,則b,c,d=()Xbb, c, d答案：9、已知Xa,b，拓?fù)?、T X, ,a,則面=()©Xab答案10、已知Xa,b，拓?fù)?、T X, ,a,則b=()©Xab答案:11、已知Xa,b,c, d，拓?fù)銽X, ,a,則面=()©Xa,bb, c,d答案:12、已知Xa,b,c, d，拓?fù)銽X, ,a,則® =()©Xa,cb,c, d答案:13、設(shè)X a,b,c,d,拓?fù)銽 X, ,a, b,c,d,則X的既開又閉的非空真子集個數(shù)（）1 234答案：14、設(shè) Xa,b,c，拓?fù)銽X,a,

4、b,c,則X的既開又閉的非空真子集的個數(shù)為()1 234 答案：15、設(shè) Xa,b,c，拓?fù)銽X,b, b,c,則X的既開又閉的非空真子集的個數(shù)為()0 123答案：16、設(shè) Xa,b，拓?fù)銽X,b,則X的既開又閉的子集的個數(shù)為（）0 123答案：17、設(shè) Xa,b，拓?fù)銽X,a, b,則X的既開又閉的子集的個數(shù)為（)1 234答案：18、設(shè)X a,b,c，拓?fù)銽 X, ,a, b, a,b, b,c , X的既開又閉的非空真子集個數(shù)（）1234 答案：19、在實(shí)數(shù)空間中，有理數(shù)集Q的內(nèi)部Q。是（ ）Q R -QR答案：20、在實(shí)數(shù)空間中，有理數(shù)集Q的邊界（Q）是（ ）R -Q答案：21、在實(shí)

5、數(shù)空間中，整數(shù)集Z的內(nèi)部Z 0是（)若 A=x1,x2,則 d(A) X若A X ,則d（A） X答案：ZR-ZR答案：22、在實(shí)數(shù)空間中，整數(shù)集Z的邊界（Z）是（ ）ZR-ZR答案：23、在實(shí)數(shù)空間中，區(qū)間 0,124、在實(shí)數(shù)空間中，區(qū)間2,325、在實(shí)數(shù)空間中，區(qū)間0,10,1）的邊界是（ ）0,1 （0,1）2,3）的邊界是（ ）2,3（2,3）0,1）的內(nèi)部是（ ）0,1 （0,1）答案：答案：答案：26、設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g,A, B是X的子集，則下列關(guān)系中錯誤的是（ d(A B) d(A) d(B) d(A B) d(A) d(B)答案：27、設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g,A, B是X的子集，

6、則下列關(guān)系中正確的是（d(A B) d(A) d(B)d(A B) d(A) d(B)答案：A, B是X的子集，則下列關(guān)系中正確的是（d(AB)A Bd(AB)d(A) d(B)29、已知X是-一個離散拓?fù)淇臻g,d(A) d(A)d(A)A d(A)30、已知X是-一個平庸拓?fù)淇臻g,若A,則ld(A)設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g,28、 A B A BXX A d(d(A) A d(A)答案：A是X的子集，則下列結(jié)論中正確的是答案：A是X的子集，則下列結(jié)論中不正確的是（若 A X。,則 d(A) X A31、 已知X是一個平庸拓?fù)淇臻g，A是X的子集，則下列結(jié)論中正確的是（）若A ,則d（A）若A X。,

7、則d（A） X若人=為也,則d（A） X A 若A xX2,則d（A） A答案：32、設(shè) X a,b,c,d，令 B a,b,c, c, d,則由 B 產(chǎn)生的 X 上的拓?fù)涫牵ǎ?X, , c, d, c, d, a, b, c X,c, d, c, d X, , c, a, b,c X, , d, b, c, b, d, b, c, d 答案：33、 設(shè)X是至少含有兩個元素的集合，p X , T G X |p G 是X的拓?fù)?，則（） 是T的基. B p,x| x X p B x| x X34、設(shè)Xa,b,c,則下列X的拓?fù)渲校?以S X, ,a為子基X, a,a, c X, aX, a,b,

8、 a, b X,答案：35、離散空間的任子集為（)B B x|答案： p,x| x Xx X p即開又閉非開非閉答案：開集閉集36、平庸空間的任一非空真子集為（）開集37、實(shí)數(shù)空間開集閉集即開又閉 R中的任一單點(diǎn)集是（閉集既開又閉1J31R的子集A =1,2©R AU 039、在實(shí)數(shù)空間38、實(shí)數(shù)空間整數(shù)集非開非閉）非開非閉1 4 ,答案：答案：AR中，下列集合是閉集的是（答案：）a,b 有理數(shù)集 無理數(shù)集答案：40、在實(shí)數(shù)空間整數(shù)集Z無理數(shù)集R中，下列集合是開集的是（） 有理數(shù)集整數(shù)集Z的補(bǔ)集Z答案：41、已知X 1,2,3上的拓?fù)銽 X, ,1,則點(diǎn)1的鄰域個數(shù)是（答案：42、已

9、知X a,b,則X上的所有可能的拓?fù)溆?) 1 個 2 個 3 個 4 個 43、已知X =a, b, c,則X上的含有4個元素的拓?fù)溆?3 5 7 9 3個答案：)個答案：44、設(shè)(X,T )為拓?fù)淇臻g，則下列敘述正確的為 X T , T當(dāng)T T時，U UUT X T ,T 當(dāng)T TT時,IUT答案：45、在實(shí)數(shù)下限拓?fù)淇臻gR中，區(qū)間a,b)是( 開集 閉集 既是開集又是閉集 非開非閉答案：46、設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g，代B X ,且滿足d(A) B A,則B是() 開集 閉集 既是開集又是閉集 非開非閉答案：47、設(shè) X1,2,3, T=,X,1,2,1,3,1,2是X的拓?fù)?，A 1,2,則X

10、的子空間A的拓?fù)錇? ) ,2, 1,2 T ,X,1,2, 1,2 T ,A,1,2 T ,X,1,2答案：48、設(shè) X 1,2,3 , T=,X,1,2,1,3,1,2是X的拓?fù)洌珹 1,3,則X的子空間A的拓?fù)錇?) T ,1,3, 1,3 T ,A,1 T ,X,1,3, 1,3 T ,X,1答案：49、設(shè) X 1,2,3, T= ,X,1,2,1,3,1,2是 X 的拓?fù)?，A 2,3,則 X 的子空間 A 的拓?fù)錇?) T ,3,2,3 T ,A,2,3 T ,X,2,3,2,3 T ,X,3答案：50、設(shè)X 1,2,3, T=,X,1,2,1,3,1,2是 X 的拓?fù)?，A 1,則X

11、 的子空間 A 的拓?fù)錇?) T ,1 T ,A,1,2 T ,X,1,3, 1,3 T ,X,1答案：51、設(shè) X 1,2,3 ,T= ,X,1,2,1,3,1,2是 X 的拓?fù)?，A 2,則 X 的子空間 A 的拓?fù)錇?) T ,2, 1,2 T ,A T ,X,2 T ,X,1,2答案：52、設(shè) X 1,2,3 ,T= ,X,1,2,1,3,1,2是 X 的拓?fù)洌珹 3,則 X 的子空間 A 的拓?fù)?T ,2, 1,2 T ,X,1,3 T ,X,3 T ,3答案：53、設(shè)R是實(shí)數(shù)空間，Z是整數(shù)集，則R的子空間Z的拓?fù)錇椋ǎ?T ,Z T P(Z)T Z 答案：54、設(shè) X Xi X2X6

12、是拓?fù)淇臻gXi,X2, L ,X6的積空間 R是X到Xi的投射，則（）單射滿的連續(xù)閉映射連續(xù)的單射滿的連續(xù)開映射答案：55、設(shè) X Xi X2X6是拓?fù)淇臻gXi,X2, L ,X6的積空間 P2是X到X2的投射，則P2是（） 單射滿的連續(xù)閉映射連續(xù)的單射滿的連續(xù)開映射答案：56、設(shè) X Xi X2X6是拓?fù)淇臻gXi,X2,L ,X6的積空間 P3是X到X3的投射，則P3是（）單射滿的連續(xù)閉映射連續(xù)的單射滿的連續(xù)開映射答案：57、設(shè) X Xi X2X6是拓?fù)淇臻gXi,X2, L ,X6的積空間 P4是X到X4的投射，則（）單射滿的連續(xù)閉映射連續(xù)的單射滿的連續(xù)開映射答案：58、設(shè) X Xi X2X

13、6是拓?fù)淇臻gXi,X2,L ,X6的積空間 F5是X到X5的投射，則Ps是（ ）單射滿的連續(xù)閉映射連續(xù)的單射滿的連續(xù)開映射答案：59、設(shè) X Xi X2X6是拓?fù)淇臻gXi,X2,L ,X6的積空間 Ps是X到X6的投射，則F6是（）單射滿的連續(xù)閉映射連續(xù)的單射滿的連續(xù)開映射答案：60、設(shè)Xi和X2是兩個拓?fù)淇臻g，Xi X2是它們的積空間Xi，B X2，則有（ A B A B A B A B (A B)° A° B° （A B） （A）（B）答案：不連通子集連通子集開集以上都不對答案：6i、有理數(shù)集Q是實(shí)數(shù)空間R的一個（）62、整數(shù)集Z是實(shí)數(shù)空間R的一個（）不連通子

14、集連通子集開集以上都不對答案：63、無理數(shù)集是實(shí)數(shù)空間R的一個（）不連通子集連通子集開集以上都不對答案：64、設(shè)丫為拓?fù)淇臻gX的連通子集,Z為X的子集,若Y Z Y,不連通子集連通子集 閉集 開集答案：65、 設(shè)Xi,X2是平庸空間，則積空間Xi X2是（）離散空間不一定是平庸空間平庸空間不連通空間答案：66、 設(shè)Xi,X2是離散空間，則積空間Xi X2是（）離散空間不一定是離散空間平庸空間連通空間答案：67、 設(shè)Xi,X2是連通空間，則積空間Xi X2是（）離散空間不一定是連通空間平庸空間連通空間答案：68、實(shí)數(shù)空間R中的連通子集E為（）開區(qū)間 閉區(qū)間 區(qū)間 以上都不對 答案：69、實(shí)數(shù)空間

15、R中的不少于兩點(diǎn)的連通子集E為（區(qū)間)以上都不對 答案：開區(qū)間閉區(qū)間70、實(shí)數(shù)空間R中的連通子集E為（)開區(qū)間閉區(qū)間區(qū)間區(qū)間或一點(diǎn)答案：71、下列敘述中正確的個數(shù)為（)（I）單位圓周S1是連通的；()R 0是連通的(E) R2 (0,0)是連通的(W) R2和R同胚1234答案： 二、填空題(每題1分)1、 設(shè)X a,b,則X的平庸拓?fù)錇?； 答案：T X, 2、設(shè)X a,b,則X的離散拓?fù)錇椋?答案：T X, ,a, b3、同胚的拓?fù)淇臻g所共有的性質(zhì)叫 ; 答案：拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)4、在實(shí)數(shù)空間R中，有理數(shù)集Q的導(dǎo)集是.答案：R5、 x d(A)當(dāng)且僅當(dāng)對于x的每一鄰域U有 答案：U (A x)6

16、設(shè)A是有限補(bǔ)空間X中的一個無限子集，則d(A)=; 答案：X7、設(shè)A是有限補(bǔ)空間X中的一個無限子集，貝U A=; 答案：X8、設(shè)A是可數(shù)補(bǔ)空間X中的一個不可數(shù)子集，則d(A)=; 答案：X9、 設(shè)A是可數(shù)補(bǔ)空間X中的一個不可數(shù)子集，則 A=; 答案：X10、為設(shè)X1,2,31,X的拓?fù)銽答案：X,2,2,2,3,則X的子集A 1,2的內(nèi)部11、設(shè)X1,2,3,X的拓?fù)銽X,1,2,3,則X的子集A 1,3的內(nèi)部為J答案：112、設(shè)X1,2,3,X的拓?fù)銽X,1,2,3,，則X的子集A 1,2的內(nèi)部為答案:113、設(shè)X1,2,3,X的拓?fù)銽X,2,2,3,則X的子集A 1,3的內(nèi)部為;答案：14

17、、設(shè)X a,b,c,則X的平庸拓?fù)錇?; 答案：T X, 15、設(shè)X a,b,c,則X的離散拓?fù)錇?6、設(shè) X 1,2,3 , X 的拓?fù)?T為;答案：317、設(shè) X 1,2,3 , X 的拓?fù)?T答案：TX, ,2,3,2,3X, ,1,3, 1,3X, ,a, b, c, a,b, a,c, b,c,則X的子集A 1,3的內(nèi)部，則X的子集A 1,2的內(nèi)部為;答案：118、f :X Y是拓?fù)淇臻gX到丫的一個映射，若它是一個單射，并且是從X到它的象集f(X)的一個同胚，則稱映射f是一個. 答案：嵌入19、f ：X Y是拓?fù)淇臻gX到丫的一個映射，如果它是一個滿射，并且丫的拓?fù)涫菍τ谟成鋐而言的商

18、拓?fù)?，則稱f是一個；答案：商映射 20、設(shè)X,Y是兩個拓?fù)淇臻g，f : X Y是一個映射，若X中任何一個開集U的象集f (U)是丫中的一個開集，則稱映射f是一個 答案：開映射 21、設(shè)X,Y是兩個拓?fù)淇臻g，f : X Y是一個映射，若X中任何一個閉集U的象集f(U)是丫中的一個閉集，貝U稱映射f是一個 答案：閉映射 22、若拓?fù)淇臻gX存在兩個非空的閉子集代B,使得A B個 ;答案：不連通空間 23、若拓?fù)淇臻gX存在兩個非空的開子集代B,使得A B個 ;答案：不連通空間24、若拓?fù)淇臻gX存在著一個既開又閉的非空真子集，則 X是一個答案：不連通空間 25、設(shè)丫是拓?fù)淇臻gX的一個連通子集，Z X滿足

19、丫 Z 丫，則Z也是X的個；答案：連通子集26、拓?fù)淇臻g的某種性質(zhì)，如果為一個拓?fù)淇臻g所具有也必然為它在任何一個連續(xù)映射下的象所具有，則稱這個性質(zhì)是一個 ;答案：在連續(xù)映射下保持不變的性質(zhì)27、拓?fù)淇臻g的某種性質(zhì)，如果為一個拓?fù)淇臻g所具有也必然為它的任何一個商空間所具有，則稱這個性質(zhì)是一個 ;答案：可商性質(zhì)28、 若任意n 1個拓?fù)淇臻gXi,X2,L ,Xn,都具有性質(zhì)P,則積空間Xi X? L Xn也具有性質(zhì)P，則性質(zhì)P稱為； 答案：有限可積性質(zhì)29、設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g，如果X中有兩個非空的隔離子集 A,B,使得A B X ,則稱X是一個 ;答案：不連通空間三判斷(每題4分，判斷1分，理由3

20、分)1、從離散空間到拓?fù)淇臻g的任何映射都是連續(xù)映射 ()答案:V理由：設(shè)X是離散空間，丫是拓?fù)淇臻g，f : X Y是連續(xù)映射，因?yàn)閷θ我?A 丫，都有f A) X ,由于X中的任何一個子集都是開集，從而f 1(A)是 中的開集，所以f : X Y 是連續(xù)的2、 設(shè)Ti,T2是集合X的兩個拓?fù)洌怳 Ti T2不一定是集合X的拓?fù)?)答案：X理由：因?yàn)?1) Ti,T2是X的拓?fù)?，故X, Ti, X, T2,從而X , Ti T2 ；(2) 對任意的 A,B Ti T 2 ,則有A,B Ti且A,B T 2 ,由于 Ti, T2是X的拓?fù)洌蔄 B Ti 且 A B T2，從而 A B Ti T

21、 2 ；(3) 對任意的TTiT2，則TTi,TT2，由于Ti,T2是X的拓?fù)洌瑥亩?utUTi,u TU T2,故 u t'U Ti T 2 ;綜上有Ti T2也是X的拓?fù)?3、從拓?fù)淇臻gX到平庸空間丫的任何映射都是連續(xù)映射()答案：V理由：設(shè)f :X Y是任一滿足條件的映射，由于丫是平庸空間，它中的開集只有Y,易知它 們在 f 下的原象分別是 X, , 均為 X 中的開集，從而 f ： X 丫連續(xù).4、設(shè)A為離散拓?fù)淇臻gX的任意子集，則d A ()答案：V理由：設(shè)p為X中的任何一點(diǎn)，因?yàn)殡x散空間中每個子集都是開集，所以 p是X的開子集，且有 p I A p ，即p d A ,從而d

22、(A).5、 設(shè)A為平庸空間X ( X多于一點(diǎn))的一個單點(diǎn)集，貝U d A ()答案：X理由：設(shè)A y,則對于任意x X,x y,x有唯一的一個鄰域 X，且有y X (A x),從而X (A x)，因此x是A的一個凝聚點(diǎn)，但對于y的唯一的鄰域X，有X (A y)，所 以有 d A X A .6設(shè)A為平庸空間X的任何一個多于兩點(diǎn)的子集，貝U d A X ()答案：V理由：對于任意x X,因?yàn)锳包含多于一點(diǎn)，從而對于x的唯一的鄰域X，且有X (A x)，因此x是A的一個凝聚點(diǎn)，即x d(A)，所以有d A X .7、設(shè)X是一個不連通空間，則 X中存在兩個非空的閉子集 A,B,使得A B ,A B

23、X()答案：V理由： 設(shè) X 是一個不連通空間，設(shè) A,B 是 X 的兩個非空的隔離子集使得 A B X , 顯然Al B，并且這時有：X (B A) (BB) B從而B是X的一個閉子集同理可證A是X的一個閉子集，這就證明了代B滿足A B , A B X .8、若拓?fù)淇臻gX中存在一個既開又閉的非空真子集，則 X是一個不連通空間() V 理由：這是因?yàn)槿粼O(shè)A是X中的一個既開又閉的非空真子集，令B A，則A,B都是X中的非空閉子集，它們滿足A B X，易見A,B是隔離子集，所以拓?fù)淇臻gX是一個不連通空. 五簡答題(每題4分)1、設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g，代B是X的子集，且A B .試說明d(A) d(B

24、).答案：對于任意x d(A),設(shè)U是x的任何一個鄰域，則有U (A x),由于A B，從而U (B x) U (A x) ，因此 x d(B)，故 d(A) d(B).2、設(shè)X,Y,Z都是拓?fù)淇臻g.f:X Y, g:Y Z都是連續(xù)映射，試說明gof :X Z也是連 續(xù)映射答案：設(shè)W是Z的任意一個開集，由于g:Y Z是一個連續(xù)映射，從而g 1(W)是丫的一個開集，由f : X Y是連續(xù)映射，故f IW)是X的一開集，因此(gof) 1(W) f 1(g 1(W) 是X的開集，所以g o f: Xz是連續(xù)映射.3、 設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g，A X .試說明：若A是一個閉集，則A的補(bǔ)集A是一個開集.

25、答案：對于x A ,則x A，由于A是一個閉集，從而x有一個鄰域U使得U (A x), 因此U A ，即U A,所以對任何x A, A是x的一個鄰域，這說明A是一個開集.4、設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g，A X .試說明：若A的補(bǔ)集A是一個開集，則A是一個閉集.答案：設(shè)x A,則x A,由于A是一個開集，所以A是x的一個鄰域，且滿足A A ,因此x A,從而A A,即有A A，這說明A是一個閉集.5、在實(shí)數(shù)空間R中給定如下等價關(guān)系：xy x, y (,1)或者 x,y 1,2)或者 x, y 2,)設(shè)在這個等價關(guān)系下得到的商集丫 0,1,2,試寫出丫的商拓?fù)銽.答案：T ，丫,0,0,16、在實(shí)數(shù)空間

26、R 中給定如下等價關(guān)系 :x y x,y ( ,1 或者 x, y (1,2 或者 x, y (2, )設(shè)在這個等價關(guān)系下得到的商集 丫 1,2,3 ,試寫出丫的商拓?fù)?T . 答案： T ,丫,3,2,37、在實(shí)數(shù)空間 R 中給定如下等價關(guān)系：x y x,y ( ,1)或者 x,y 1,2)或者 x,y 2, ) 設(shè)在這個等價關(guān)系下得到的商集 丫 1,1,2 ,試寫出 丫 的商拓?fù)?T. 答案： T ,丫, 1, 1,18、在實(shí)數(shù)空間 R 中給定如下等價關(guān)系：x y x,y ( ,1)或者 x,y 1,2)或者 x,y 2, ) 設(shè)在這個等價關(guān)系下得到的商集 丫 2,1,2 ,試寫出丫 的商

27、拓?fù)?T. 答案： T ,丫, 2, 2,19、在實(shí)數(shù)空間 R 中給定如下等價關(guān)系 :x y x,y ( ,1 或者 x, y (1,2 或者 x, y (2, ) 設(shè)在這個等價關(guān)系下得到的商集 丫 0,2,3 ,試寫出 丫的商拓?fù)?T . 答案： T ,丫,3,2,310、在實(shí)數(shù)空間 R 中給定如下等價關(guān)系 :x y x,y ( ,1 或者 x, y (1,2 或者 x, y (2, ) 設(shè)在這個等價關(guān)系下得到的商集 丫 0,2,4 ,試寫出 丫的商拓?fù)?T . 答案： T ,丫,4,2,411、在實(shí)數(shù)空間 R 中給定如下等價關(guān)系 :x y x,y ( ,1 或者 x, y (1,2 或者

28、x, y (2, )設(shè)在這個等價關(guān)系下得到的商集丫 1,2,4，試寫出丫的商拓?fù)銽 .答案：T ,丫,4,2,4六、證明題(每題8分)1、 設(shè)f ：X Y是從連通空間X到拓?fù)淇臻gY的一個連續(xù)映射.則f(X)是Y的一個連通子集. 證明：如果f(X)是丫的一個不連通子集，則存在丫的非空隔離子集A,B使得f(X) A B 3 分于是f 1(A), f 1(B)是X的非空子集，并且：11 1 1(f 1(A) f 1(B) (f 1(B) f 1(A)(f 1(A) f 1(B) (f 1(B) f 1(A)f 1(A B) (A B)所以f 1(A), f 1(B) 是 X 的非空隔離子集 此外，f 1(A) f 1(B) f 1(A B) f 1(f(X) X，這說明X不連通，矛盾.從而f (X)是丫的一個連通子集 8