多元正態(tài)抽樣分布

1、），（其中則且相互獨立，記設的二次型維隨機向量分量獨立的正態(tài)變量二次型的分布一nnnniiinxxxxninxxn12121),(,),2 , 1)(,(. 1 )(1), 1(012122nxxxniniii時，則：當結(jié)論 一、維希特（一、維希特（wishartwishart） 1 1、定義、定義隨機矩陣的分布npnnppxxxxxxxxx212222111211x設隨機矩陣 矩陣中的每一個元素均為隨機變量，則矩陣x的分布是其行向量拉長，組成一個長向量的分布。npnppxxxxxx1221111x 定義定義 維希特（維希特（wishartwishart）分布的統(tǒng)計量）分布的統(tǒng)計量 設 個隨機

2、向量 n), 3 , 2 , 1(),(21nixxxipiii x)()2()1(212222111211npnnpnnppxxxxxxxxxxxxx 獨立同分布于 ，則隨機矩陣),( pn( )( )iiwni 1 服從自由度為 的非中心維斯特分布，記為 。n),(nwwpnlljilxxw1npnnppnpppnnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxw212222111211212221212111 在一元正態(tài)隨機變量中，我們曾經(jīng)討論了 分布，在多元正態(tài)隨機變量也有類似的樣本分布。維希特分布（wishart）相當于一元統(tǒng)計中的 分布。 22 定理1：若 ，且 ， ，則 的分布密度為特

3、別，當 和 時， 服從 分布。),(nwppn 0 0,)21(|2)21exp(|)(1221)1(212)1( ainatraafpinnppnpp1 p1 2維希特（ wishart）分布的密度函數(shù)（1）若w1和w2獨立，其分布分別 和 ，則 的分布為 ，即維斯特(wishart)分布有可加性。),(1nwp),(2nwp21ww ),(21nnwp （2） ，c為mp階的矩陣，則 的分布為 分布。),(nwwpccw),(ccnwm 定理1：設x1,x2,xn是來自多元正態(tài)總體np(,)的簡單隨機樣本，有),(11211 pxxx1x),(222212 pxxxx),(21 npnnn

4、xxxx niin11令n1ixxxx)(iia 則有1niianix xxx)1,(1nnp、相互獨立和、a2), 1(3nwap、證明： 111211212222111nnijn nnrrrrrrnnn 設為一正交矩陣 nnxxx2121)(令為正交矩陣，所以且獨立同正態(tài)分布由于,), 4 , 3 , 2 , 1(ni ix獨立同正態(tài)分布)(21n niinn11) 1, 3 , 2 , 1()()(1 nareenjjajanjajr110naj njjnr r jijicovji0),(njajnrn11neneniin 1)(1)(znnvar1)()1,(1nnnpnx1()()n

5、jjjaxx xx1niianix xxx1niinna ix xnna11njjja相互獨立與a), 1(11nwapnjjj當 ， 時， 由卡方分布的定義可知1 p1 1122) 1(niinya可見維希特分布是由卡方分布在多元下的推廣。), 4 , 3 , 2 , 1(ni ix)(1)(0120 xx0nt )()(01xx0n服從自由度為 的卡方分布。p定理定理2 2 設 獨立同正態(tài)分布 ，則統(tǒng)計量),(pn 證： 由于樣本均值 )1,(npnx)(21 xn令 )()(21xneepndd )()(21x)()(21io,xpnn )2222212pzzzp（所以 相互獨立的標準正

6、態(tài)分布的平方和為自由度為 的卡方分布。p 在一元正態(tài)的情形下，我們有樣本的統(tǒng)計量當總體的方差未知時，我們必須用樣本的方差來代替總體的方差，則那么在多元正態(tài)的情形下，是否有相同的問題呢？回答時肯定的。) 1 , 0( nnxz niixxns122*)(11) 1(* ntnsxt定義： ( , )( , ),ppwwnn設和x相互獨立 則),(212nptxwxn稱t2服從參數(shù)為p和n的非中心霍特林（hotelling)分布。定理定理：),()()(212nptxwxn則相互獨立和設,),(),(ppnxnww 當 時， 服從自由度為n的中心霍特林分布，記為 。0xwxn12xwxn12),(

7、2npt) 1,(12pnpftnppn ),(11211 pxxx1x),(222212 pxxxx),(21 npnnnxxxx樣本均值令niin11樣本叉積矩陣n1ixxxx)(iia) 1,()()() 1(212nptxaxnn則),() 1(),(2pnpfpnpnnpt且 定理定理：設 是來自多元正態(tài)總體 的簡單隨機樣本，有n21xxx,(, )pn),() 1(),() 1) 1( ,() 1(1122pnpftpnpnpnpfpnpftpnpn即 定理：設 是來自多元正態(tài)總體 的簡單隨機樣本，1,n21xxx1( , )pn ),(11211 pxxx1x),(222212

8、pxxxx),(111121pnnnnxxxx),(222221pnnnnyyyy),(11211pyyyy1),(222212pyyyy12:若212121212()() ( ,2)pnnxyaxytp nnn n 則 12122paaann 設 是來自多元正態(tài)總體 的簡單隨機樣本，),(2pn2,n21yyy定義：設 和 ，且 相互獨立， 和 ， ，則稱服從wilks分布，記 。 可以證明，當 和 時，wilks分布可以用 分布近似。),(1nwp),(2nwp,pn 1pn 20 | ),(21nnp2 p22 n2 四、基于四、基于維斯特維斯特(wishart)分布的統(tǒng)計量分布的統(tǒng)計量f 在一元方差分析中，常常遇到基于獨立的 分布隨機變量比值的 統(tǒng)計量。在多元統(tǒng)計分析中，起到相同作用的是統(tǒng)計量 和 分布。2 2、統(tǒng)計量和分布 設k個總體 ，它們服從 。分別抽出如下的樣本：kgg,1),()(ipn)1()1(2)1(11,nxxx)2()2(2)2(12,nxxx)()(2)(1,knkkkxxxkaann1)()(2)(1,anaaaxxxaxkaniaiaxn11)(1xaniaiaaxn1)(1x總的偏差平方和kania11)(x)(xxxw(a)i(a)i組內(nèi)偏差平方和kan