初一數(shù)學壓軸題學校教學

1、一解答題（共19小題）1（2013揚州）如果10b=n，那么b為n的勞格數(shù)，記為b=d（n），由定義可知：10b=n與b=d（n）所表示的b、n兩個量之間的同一關系（1）根據(jù)勞格數(shù)的定義，填空：d（10）=，d（102）=；（2）勞格數(shù)有如下運算性質(zhì)：若m、n為正數(shù)，則d（mn）=d（m）+d（n），d（）=d（m）d（n）根據(jù)運算性質(zhì)，填空：=（a為正數(shù)），若d（2）=0.3010，則d（4）=，d（5）=，d（0.08）=；（3）如表中與數(shù)x對應的勞格數(shù)d（x）有且只有兩個是錯誤的，請找出錯誤的勞格數(shù)，說明理由并改正x1.5356891227d（x）3ab+c2aba+c1+abc33a3

2、c4a2b3b2c6a3b2（2012安慶一模）先閱讀下列材料，再解答后面的問題一般地，若an=b（a0且a1，b0），則n叫做以a為底b的對數(shù)，記為logab（即logab=n）如34=81，則4叫做以3為底81的對數(shù)，記為log381（即log381=4）（1）計算以下各對數(shù)的值：log24=，log216=，log264=（2）觀察（1）中三數(shù)4、16、64之間滿足怎樣的關系式，log24、log216、log264之間又滿足怎樣的關系式；（3）猜想一般性的結(jié)論：logam+logan=（a0且a1，m0，n0），并根據(jù)冪的運算法則：aman=am+n以及對數(shù)的含義證明你的猜想3（201

3、2沈陽模擬）認真閱讀材料，然后回答問題：我們初中學習了多項式的運算法則，相應的，我們可以計算出多項式的展開式，如：（a+b）1=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=（a+b）2（a+b）=a3+3a2b+3ab2+b3，下面我們依次對（a+b）n展開式的各項系數(shù)進一步研究發(fā)現(xiàn)，當n取正整數(shù)時可以單獨列成表中的形式：上面的多項式展開系數(shù)表稱為“楊輝三角形”；仔細觀察“楊輝三角形”，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律回答下列問題：（1）多項式（a+b）n的展開式是一個幾次幾項式？并預測第三項的系數(shù)；（2）請你預測一下多項式（a+b）n展開式的各項系數(shù)之和（3）結(jié)合上述材料，推斷出多項式（a+b）n

4、（n取正整數(shù)）的展開式的各項系數(shù)之和為s，（結(jié)果用含字母n的代數(shù)式表示）4（2009佛山）閱讀材料：把形如ax2+bx+c的二次三項式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法配方法的基本形式是完全平方公式的逆寫，即a2±2ab+b2=（a±b）2例如：（x1）2+3、（x2）2+2x、（x2）2+x2是x22x+4的三種不同形式的配方（即“余項”分別是常數(shù)項、一次項、二次項見橫線上的部分）請根據(jù)閱讀材料解決下列問題：（1）比照上面的例子，寫出x24x+2三種不同形式的配方；（2）將a2+ab+b2配方（至少兩種形式）；（3）已知a2+b2+c2ab3b2c+4=0，求a

5、+b+c的值5（2007東營）根據(jù)以下10個乘積，回答問題：11×29；12×28；13×27；14×26；15×25； 16×24；17×23；18×22；19×21；20×20（1）試將以上各乘積分別寫成一個“22”（兩數(shù)平方差）的形式，并寫出其中一個的思考過程；（2）將以上10個乘積按照從小到大的順序排列起來；（3）若用a1b1，a2b2，anbn表示n個乘積，其中a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn為正數(shù)試由（1）、（2）猜測一個一般性的結(jié)論（不要求證明）6（2006浙江）如果

6、一個正整數(shù)能表示為兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個正整數(shù)為“神秘數(shù)”如：4=2202，12=4222，20=6242，因此4，12，20都是“神秘數(shù)”（1）28和2012這兩個數(shù)是“神秘數(shù)”嗎？為什么？（2）設兩個連續(xù)偶數(shù)為2k+2和2k（其中k取非負整數(shù)），由這兩個連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的神秘數(shù)是4的倍數(shù)嗎？為什么？（3）兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差（k取正數(shù)）是神秘數(shù)嗎？為什么？8（2015于洪區(qū)一模）如圖1，在abc中，acb為銳角，點d為射線bc上一點，連接ad，以ad為一邊且在ad的右側(cè)作正方形adef（1）如果ab=ac，bac=90°，當點d在線段bc上時（與點b不重合），如圖2，線段c

7、f、bd所在直線的位置關系為，線段cf、bd的數(shù)量關系為；當點d在線段bc的延長線上時，如圖3，中的結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；（2）如果abac，bac是銳角，點d在線段bc上，當acb滿足什么條件時，cfbc（點c、f不重合），并說明理由9（2015菏澤）如圖，已知abc=90°，d是直線ab上的點，ad=bc（1）如圖1，過點a作afab，并截取af=bd，連接dc、df、cf，判斷cdf的形狀并證明；（2）如圖2，e是直線bc上一點，且ce=bd，直線ae、cd相交于點p，apd的度數(shù)是一個固定的值嗎？若是，請求出它的度數(shù)；若不是，請說明理由10（2015鐵嶺一模）已知：a

8、bc中，bd、ce分別是ac、ab邊上的高，bq=ac，點f在ce的延長線上，cf=ab，求證：afaq11（2013廬陽區(qū)校級模擬）如圖，將兩個全等的直角三角形abd、ace拼在一起（圖1）abd不動，（1）若將ace繞點a逆時針旋轉(zhuǎn)，連接de，m是de的中點，連接mb、mc（圖2），證明：mb=mc（2）若將圖1中的ce向上平移，cae不變，連接de，m是de的中點，連接mb、mc（圖3），判斷并直接寫出mb、mc的數(shù)量關系（3）在（2）中，若cae的大小改變（圖4），其他條件不變，則（2）中的mb、mc的數(shù)量關系還成立嗎？說明理由12（2012昌平區(qū)模擬）（1）如圖，在四邊形abcd中，

9、ab=ad，b=d=90°，e、f分別是邊bc、cd上的點，且eaf=bad求證：ef=be+fd； （2）如圖，在四邊形abcd中，ab=ad，b+d=180°，e、f分別是邊bc、cd上的點，且eaf=bad，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？（3）如圖，在四邊形abcd中，ab=ad，b+adc=180°，e、f分別是邊bc、cd延長線上的點，且eaf=bad，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關系，并證明13（2011泰安）已知：在abc中，ac=bc，acb=90°，點d是ab的中點，點e是ab邊上一點（1）直

10、線bf垂直于直線ce于點f，交cd于點g（如圖1），求證：ae=cg；（2）直線ah垂直于直線ce，垂足為點h，交cd的延長線于點m（如圖2），找出圖中與be相等的線段，并證明14（2005揚州）（本題有3小題，第（1）小題為必答題，滿分5分；第（2）、（3）小題為選答題，其中，第（2）小題滿分3分，第（3）小題滿分6分，請從中任選1小題作答，如兩題都答，以第（2）小題評分）在abc中，acb=90°，ac=bc，直線mn經(jīng)過點c，且admn于d，bemn于e（1）當直線mn繞點c旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，求證：adcceb；de=ad+be；（2）當直線mn繞點c旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，求證

11、：de=adbe；（3）當直線mn繞點c旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，試問de、ad、be具有怎樣的等量關系？請寫出這個等量關系，并加以證明注意：第（2）、（3）小題你選答的是第2小題15（2012淮安）閱讀理解如圖1，abc中，沿bac的平分線ab1折疊，剪掉重復部分；將余下部分沿b1a1c的平分線a1b2折疊，剪掉重復部分；將余下部分沿bnanc的平分線anbn+1折疊，點bn與點c重合，無論折疊多少次，只要最后一次恰好重合，bac是abc的好角小麗展示了確定bac是abc的好角的兩種情形情形一：如圖2，沿等腰三角形abc頂角bac的平分線ab1折疊，點b與點c重合；情形二：如圖3，沿bac的平分線

12、ab1折疊，剪掉重復部分；將余下部分沿b1a1c的平分線a1b2折疊，此時點b1與點c重合探究發(fā)現(xiàn)（1）abc中，b=2c，經(jīng)過兩次折疊，bac是不是abc的好角？（填“是”或“不是”）（2）小麗經(jīng)過三次折疊發(fā)現(xiàn)了bac是abc的好角，請?zhí)骄縝與c（不妨設bc）之間的等量關系根據(jù)以上內(nèi)容猜想：若經(jīng)過n次折疊bac是abc的好角，則b與c（不妨設bc）之間的等量關系為應用提升（3）小麗找到一個三角形，三個角分別為15°、60°、105°，發(fā)現(xiàn)60°和105°的兩個角都是此三角形的好角請你完成，如果一個三角形的最小角是4°，試求出三角形另

13、外兩個角的度數(shù)，使該三角形的三個角均是此三角形的好角16（2011房山區(qū)一模）已知：等邊三角形abc（1）如圖1，p為等邊abc外一點，且bpc=120°試猜想線段bp、pc、ap之間的數(shù)量關系，并證明你的猜想；（2）如圖2，p為等邊abc內(nèi)一點，且apd=120°求證：pa+pd+pcbd17（2010丹東）如圖，已知等邊三角形abc中，點d，e，f分別為邊ab，ac，bc的中點，m為直線bc上一動點，dmn為等邊三角形（點m的位置改變時，dmn也隨之整體移動）（1）如圖1，當點m在點b左側(cè)時，請你判斷en與mf有怎樣的數(shù)量關系？點f是否在直線ne上？都請直接寫出結(jié)論，不

14、必證明或說明理由；（2）如圖2，當點m在bc上時，其它條件不變，（1）的結(jié)論中en與mf的數(shù)量關系是否仍然成立？若成立，請利用圖2證明；若不成立，請說明理由；（3）若點m在點c右側(cè)時，請你在圖3中畫出相應的圖形，并判斷（1）的結(jié)論中en與mf的數(shù)量關系是否仍然成立？若成立，請直接寫出結(jié)論，不必證明或說明理由18（2006西崗區(qū)）如圖，以abc的邊ab、ac為直角邊向外作等腰直角abe和acd，m是bc的中點，請你探究線段de與am之間的關系說明：（1）如果你經(jīng)歷反復探索，沒有找到解決問題的方法，請你把探索過程中的某種思路寫出來（要求至少寫3步）；（2）在你經(jīng)歷說明（1）的過程之后，可以從下列、

15、中選取一個補充或更換已知條件，完成你的證明畫出將acm繞某一點順時針旋轉(zhuǎn)180°后的圖形；bac=90°（如圖）附加題：如圖，若以abc的邊ab、ac為直角邊，向內(nèi)作等腰直角abe和acd，其它條件不變，試探究線段de與am之間的關系19（2006大連）如圖1，rtabc中ab=ac，點d、e是線段ac上兩動點，且ad=ec，am垂直bd，垂足為m，am的延長線交bc于點n，直線bd與直線ne相交于點f試判斷def的形狀，并加以證明說明：（1）如果你經(jīng)歷反復探索，沒有找到解決問題的方法，請你把探索過程中的某種思路寫出來（要求至少寫3步）；（2）在你經(jīng)歷說明（1）的過程之后，

16、可以從下列、中選取一個補充或者更換已知條件，完成你的證明1、畫出將bad沿ba方向平移ba長，然后順時針旋轉(zhuǎn)90°后圖形；2、點k在線段bd上，且四邊形aknc為等腰梯形（ackn，如圖2）附加題：如圖3，若點d、e是直線ac上兩動點，其他條件不變，試判斷def的形狀，并說明理由2016年06月26日842051969的初中數(shù)學組卷參考答案與試題解析一解答題（共19小題）1（2013揚州）如果10b=n，那么b為n的勞格數(shù)，記為b=d（n），由定義可知：10b=n與b=d（n）所表示的b、n兩個量之間的同一關系（1）根據(jù)勞格數(shù)的定義，填空：d（10）=1，d（102）=2；（2）勞格

17、數(shù)有如下運算性質(zhì)：若m、n為正數(shù)，則d（mn）=d（m）+d（n），d（）=d（m）d（n）根據(jù)運算性質(zhì)，填空：=3（a為正數(shù)），若d（2）=0.3010，則d（4）=0.6020，d（5）=0.6990，d（0.08）=1.0970；（3）如表中與數(shù)x對應的勞格數(shù)d（x）有且只有兩個是錯誤的，請找出錯誤的勞格數(shù)，說明理由并改正x1.5356891227d（x）3ab+c2aba+c1+abc33a3c4a2b3b2c6a3b【考點】整式的混合運算；反證法菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】壓軸題【分析】（1）根據(jù)定義可知，d（10）和d（102）就是指10的指數(shù)，據(jù)此即可求解；（2）根據(jù)d（a3）=d（a

18、aa）=d（a）+d（a）+d（a）即可求得的值；（3）通過9=32，27=33，可以判斷d（3）是否正確，同理以依據(jù)5=10÷2，假設d（5）正確，可以求得d（2）的值，即可通過d（8），d（12）作出判斷【解答】解：（1）d（10）=1，d（102）=2；故答案為：1，2；（2）=3；因為d（2）=0.3010故d（4）=d（2）+d（2）=0.6020，d（5）=d（10）d（2）=10.3010=0.6990，d（0.08）=d（8×102）=3d（2）+d（102）=1.0970；（3）若d（3）2ab，則d（9）=2d（3）4a2b，d（27）=3d（3）6a3

19、b，從而表中有三個勞格數(shù)是錯誤的，與題設矛盾，d（3）=2ab，若d（5）a+c，則d（2）=1d（5）1ac，d（8）=3d（2）33a3c，d（6）=d（3）+d（2）1+abc，表中也有三個勞格數(shù)是錯誤的，與題設矛盾d（5）=a+c表中只有d（1.5）和d（12）的值是錯誤的，應糾正為：d（1.5）=d（3）+d（5）1=3ab+c1，d（12）=d（3）+2d（2）=2b2c【點評】本題考查整式的運算，正確理解規(guī)定的新的運算法則是關鍵2（2012安慶一模）先閱讀下列材料，再解答后面的問題一般地，若an=b（a0且a1，b0），則n叫做以a為底b的對數(shù)，記為logab（即logab=n）

20、如34=81，則4叫做以3為底81的對數(shù)，記為log381（即log381=4）（1）計算以下各對數(shù)的值：log24=2，log216=4，log264=6（2）觀察（1）中三數(shù)4、16、64之間滿足怎樣的關系式，log24、log216、log264之間又滿足怎樣的關系式；（3）猜想一般性的結(jié)論：logam+logan=loga（mn）（a0且a1，m0，n0），并根據(jù)冪的運算法則：aman=am+n以及對數(shù)的含義證明你的猜想【考點】同底數(shù)冪的乘法菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】壓軸題；新定義【分析】（1）根據(jù)材料敘述，結(jié)合22=4，24=16，26=64即可得出答案；（2）根據(jù)（1）的答案可得出lo

21、g24、log216、log264之間滿足的關系式；（3）設logam=b1，logan=b2，則ab1=m，ab2=n，分別表示出mn及b1+b2的值，即可得出猜想【解答】解：（1）log24=2，log216=4，log264=6；（2）log24+log216=log264；（3）猜想logam+logan=loga（mn）證明：設logam=b1，logan=b2，則ab1=m，ab2=n，故可得mn=ab1ab2=ab1+b2，b1+b2=loga（mn），即logam+logan=loga（mn）【點評】本題考查了同底數(shù)冪的乘法運算，題目出得比較新穎，解題思路以材料的形式給出，需要

22、同學們仔細閱讀，理解并靈活運用所給的信息3（2012沈陽模擬）認真閱讀材料，然后回答問題：我們初中學習了多項式的運算法則，相應的，我們可以計算出多項式的展開式，如：（a+b）1=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=（a+b）2（a+b）=a3+3a2b+3ab2+b3，下面我們依次對（a+b）n展開式的各項系數(shù)進一步研究發(fā)現(xiàn)，當n取正整數(shù)時可以單獨列成表中的形式：上面的多項式展開系數(shù)表稱為“楊輝三角形”；仔細觀察“楊輝三角形”，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律回答下列問題：（1）多項式（a+b）n的展開式是一個幾次幾項式？并預測第三項的系數(shù)；（2）請你預測一下多項式（a+b）n展開式的各項系

23、數(shù)之和（3）結(jié)合上述材料，推斷出多項式（a+b）n（n取正整數(shù)）的展開式的各項系數(shù)之和為s，（結(jié)果用含字母n的代數(shù)式表示）【考點】完全平方公式菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】壓軸題；閱讀型；規(guī)律型【分析】（1）由題意可求得當n=1，2，3，4，時，多項式（a+b）n的展開式是一個幾次幾項式，第三項的系數(shù)是多少，然后找規(guī)律，即可求得答案；（2）首先求得當n=1，2，3，4時，多項式（a+b）n展開式的各項系數(shù)之和，即可求得答案；（3）結(jié)合（2），即可推斷出多項式（a+b）n（n取正整數(shù)）的展開式的各項系數(shù)之和【解答】解：（1）當n=1時，多項式（a+b）1的展開式是一次二項式，此時第三項的系數(shù)為：0=，當

24、n=2時，多項式（a+b）2的展開式是二次三項式，此時第三項的系數(shù)為：1=，當n=3時，多項式（a+b）3的展開式是三次四項式，此時第三項的系數(shù)為：3=，當n=4時，多項式（a+b）4的展開式是四次五項式，此時第三項的系數(shù)為：6=，多項式（a+b）n的展開式是一個n次n+1項式，第三項的系數(shù)為：；（2）預測一下多項式（a+b）n展開式的各項系數(shù)之和為：2n；（3）當n=1時，多項式（a+b）1展開式的各項系數(shù)之和為：1+1=2=21，當n=2時，多項式（a+b）2展開式的各項系數(shù)之和為：1+2+1=4=22，當n=3時，多項式（a+b）3展開式的各項系數(shù)之和為：1+3+3+1=8=23，當n=

25、4時，多項式（a+b）4展開式的各項系數(shù)之和為：1+4+6+4+1=16=24，多項式（a+b）n展開式的各項系數(shù)之和：s=2n【點評】此題屬于規(guī)律性、閱讀性題目此題難度較大，由特殊到一般的歸納方法的應用是解此題的關鍵4（2009佛山）閱讀材料：把形如ax2+bx+c的二次三項式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法配方法的基本形式是完全平方公式的逆寫，即a2±2ab+b2=（a±b）2例如：（x1）2+3、（x2）2+2x、（x2）2+x2是x22x+4的三種不同形式的配方（即“余項”分別是常數(shù)項、一次項、二次項見橫線上的部分）請根據(jù)閱讀材料解決下列問題：（1）比照

26、上面的例子，寫出x24x+2三種不同形式的配方；（2）將a2+ab+b2配方（至少兩種形式）；（3）已知a2+b2+c2ab3b2c+4=0，求a+b+c的值【考點】完全平方公式菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】壓軸題；閱讀型【分析】（1）（2）本題考查對完全平方公式的靈活應用能力，由題中所給的已知材料可得x24x+2和a2+ab+b2的配方也可分別常數(shù)項、一次項、二次項三種不同形式；（3）通過配方后，求得a，b，c的值，再代入代數(shù)式求值【解答】解：（1）x24x+2的三種配方分別為：x24x+2=（x2）22，x24x+2=（x+）2（2+4）x，x24x+2=（x）2x2；（2）a2+ab+b2=（a

27、+b）2ab，a2+ab+b2=（a+b）2+b2；（3）a2+b2+c2ab3b2c+4，=（a2ab+b2）+（b23b+3）+（c22c+1），=（a2ab+b2）+（b24b+4）+（c22c+1），=（ab）2+（b2）2+（c1）2=0，從而有ab=0，b2=0，c1=0，即a=1，b=2，c=1，a+b+c=4【點評】本題考查了根據(jù)完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2進行配方的能力5（2007東營）根據(jù)以下10個乘積，回答問題：11×29；12×28；13×27；14×26；15×25；16×

28、;24；17×23；18×22；19×21；20×20（1）試將以上各乘積分別寫成一個“22”（兩數(shù)平方差）的形式，并寫出其中一個的思考過程；（2）將以上10個乘積按照從小到大的順序排列起來；（3）若用a1b1，a2b2，anbn表示n個乘積，其中a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn為正數(shù)試由（1）、（2）猜測一個一般性的結(jié)論（不要求證明）【考點】平方差公式菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】壓軸題【分析】利用兩數(shù)的和與這兩數(shù)的差的積，就是它們的平方差如11×29；可想幾加幾等于29，幾減幾等于11，可得20+9和209，可得11×29=

29、20292，同理思考其它的【解答】解：（1）11×29=20292；12×28=20282；13×27=20272；14×26=20262；15×25=20252；16×24=20242；17×23=20232；18×22=20222；19×21=20212；20×20=20202（4分）例如，11×29；假設11×29=22，因為22=（+）（）；所以，可以令=11，+=29解得，=20，=9故11×29=20292（5分）（或11×29=（209）（2

30、0+9）=202925分）（2）這10個乘積按照從小到大的順序依次是：11×2912×2813×2714×2615×2516×2417×2318×2219×2120×20（7分）（3）若a+b=40，a、b是自然數(shù)，則ab202=400（8分）若a+b=40，則ab202=400（8分）若a+b=m，a、b是自然數(shù)，則ab（9分）若a+b=m，則ab（9分）若a1+b1=a2+b2=a3+b3=an+bn=40且|a1b1|a2b2|a3b3|anbn|，則a1b1a2b2a3b3anbn（10

31、分）若a1+b1=a2+b2=a3+b3=an+bn=m且|a1b1|a2b2|a3b3|anbn|，則a1b1a2b2a3b3anbn（10分）說明：給出結(jié)論或之一的得（1分）；給出結(jié)論或之一的得（2分）；給出結(jié)論或之一的得（3分）【點評】此題主要考查了乘法的平方差公式即兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積等于這兩個數(shù)的平方差，這個公式就叫做乘法的平方差公式6（2006浙江）如果一個正整數(shù)能表示為兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個正整數(shù)為“神秘數(shù)”如：4=2202，12=4222，20=6242，因此4，12，20都是“神秘數(shù)”（1）28和2012這兩個數(shù)是“神秘數(shù)”嗎？為什么？（2）設兩個連續(xù)偶數(shù)為

32、2k+2和2k（其中k取非負整數(shù)），由這兩個連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的神秘數(shù)是4的倍數(shù)嗎？為什么？（3）兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差（k取正數(shù)）是神秘數(shù)嗎？為什么？【考點】平方差公式菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】壓軸題；新定義【分析】（1）試著把28、2012寫成平方差的形式，解方程即可判斷是否是神秘數(shù)；（2）化簡兩個連續(xù)偶數(shù)為2k+2和2k的差，再判斷；（3）設兩個連續(xù)奇數(shù)為2k+1和2k1，則（2k+1）2（2k1）2=8k=4×2k，即可判斷兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差不是神秘數(shù)【解答】解：（1）設28和2012都是“神秘數(shù)”，設28是x和x2兩數(shù)的平方差得到，則x2（x2）2=28，解得：x=8，x2=6，即2

33、8=8262，設2012是y和y2兩數(shù)的平方差得到，則y2（y2）2=2012，解得：y=504，y2=502，即2012=50425022，所以28，2012都是神秘數(shù)（2）（2k+2）2（2k）2=（2k+22k）（2k+2+2k）=4（2k+1），由2k+2和2k構(gòu)造的神秘數(shù)是4的倍數(shù)，且是奇數(shù)倍（3）設兩個連續(xù)奇數(shù)為2k+1和2k1，則（2k+1）2（2k1）2=8k=4×2k，即：兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差是4的倍數(shù)，是偶數(shù)倍，不滿足連續(xù)偶數(shù)的神秘數(shù)為4的奇數(shù)倍這一條件兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差不是神秘數(shù)【點評】此題首先考查了閱讀能力、探究推理能力對知識點的考查，主要是平方差公式的靈活

34、應用7（2007淄博）根據(jù)以下10個乘積，回答問題：11×29； 12×28； 13×27； 14×26； 15×25；16×24； 17×23； 18×22； 19×21； 20×20（1）試將以上各乘積分別寫成一個“22”（兩數(shù)平方差）的形式，并寫出其中一個的思考過程；（2）將以上10個乘積按照從小到大的順序排列起來；（3）試由（1）、（2）猜測一個一般性的結(jié)論（不要求證明）【考點】整式的混合運算；絕對值菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】壓軸題；規(guī)律型【分析】（1）根據(jù)要求求出兩數(shù)的平均數(shù)，再寫成平方差

35、的形式即可（2）減去的數(shù)越大，乘積就越小，據(jù)此規(guī)律填寫即可（3）根據(jù)排列的順序可得，兩數(shù)相差越大，積越小【解答】解：（1）11×29=20292；12×28=20282；13×27=20272；14×26=20262；15×25=20252；16×24=20242；17×23=20232；18×22=20222；19×21=20212；20×20=20202 （4分）例如，11×29；假設11×29=22，因為22=（+）（）；所以，可以令=11，+=29解得，=20，=9故

36、11×29=20292（或11×29=（209）（20+9）=20292（2）這10個乘積按照從小到大的順序依次是：11×2912×2813×2714×2615×2516×2417×2318×2219×2120×20（3）若a+b=40，a，b是自然數(shù)，則ab202=400若a+b=40，則ab202=400 （8分）若a+b=m，a，b是自然數(shù)，則ab若a+b=m，則ab若a，b的和為定值，則ab的最大值為若a1+b1=a2+b2=a3+b3=an+bn=40且|a1b1|

37、a2b2|a3b3|anbn|，則 a1b1a2b2a3b3anbn （10分）若a1+b1=a2+b2=a3+b3=an+bn=m且|a1b1|a2b2|a3b3|anbn|，則a1b1a2b2a3b3anbn若a+b=m，a，b差的絕對值越大，則它們的積就越小說明：給出結(jié)論或之一的得（1分）；給出結(jié)論、或之一的得（2分）；給出結(jié)論、或之一的得（3分）【點評】本題主要考查整式的混合運算，找出規(guī)律是解答本題的關鍵8（2015于洪區(qū)一模）如圖1，在abc中，acb為銳角，點d為射線bc上一點，連接ad，以ad為一邊且在ad的右側(cè)作正方形adef（1）如果ab=ac，bac=90°，當點

38、d在線段bc上時（與點b不重合），如圖2，線段cf、bd所在直線的位置關系為垂直，線段cf、bd的數(shù)量關系為相等；當點d在線段bc的延長線上時，如圖3，中的結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；（2）如果abac，bac是銳角，點d在線段bc上，當acb滿足什么條件時，cfbc（點c、f不重合），并說明理由【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】壓軸題；開放型【分析】（1）當點d在bc的延長線上時的結(jié)論仍成立由正方形adef的性質(zhì)可推出dabfac，所以cf=bd，acf=abd結(jié)合bac=90°，ab=ac，得到bcf=acb+acf=90°即cfbd（2）當acb=

39、45°時，過點a作agac交cb的延長線于點g，則gac=90°，可推出acb=agc，所以ac=ag，由（1）可知cfbd【解答】證明：（1）正方形adef中，ad=af，bac=daf=90°，bad=caf，又ab=ac，dabfac，cf=bd，b=acf，acb+acf=90°，即cfbd當點d在bc的延長線上時的結(jié)論仍成立由正方形adef得ad=af，daf=90度bac=90°，daf=bac，dab=fac，又ab=ac，dabfac，cf=bd，acf=abdbac=90°，ab=ac，abc=45°，ac

40、f=45°，bcf=acb+acf=90度即cfbd（2）當acb=45°時，cfbd（如圖）理由：過點a作agac交cb的延長線于點g，則gac=90°，acb=45°，agc=90°acb，agc=90°45°=45°，acb=agc=45°，ac=ag，dag=fac（同角的余角相等），ad=af，gadcaf，acf=agc=45°，bcf=acb+acf=45°+45°=90°，即cfbc【點評】本題考查三角形全等的判定和直角三角形的判定，判定兩個三角形全

41、等的一般方法有：sss、sas、asa、aas、hl判定兩個三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件9（2015菏澤）如圖，已知abc=90°，d是直線ab上的點，ad=bc（1）如圖1，過點a作afab，并截取af=bd，連接dc、df、cf，判斷cdf的形狀并證明；（2）如圖2，e是直線bc上一點，且ce=bd，直線ae、cd相交于點p，apd的度數(shù)是一個固定的值嗎？若是，請求出它的度數(shù)；若不是，請說明理由【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】壓軸題【分析】（1）利用sas證明afd和bdc全等，

42、再利用全等三角形的性質(zhì)得出fd=dc，即可判斷三角形的形狀；（2）作afab于a，使af=bd，連結(jié)df，cf，利用sas證明afd和bdc全等，再利用全等三角形的性質(zhì)得出fd=dc，fdc=90°，即可得出fcd=apd=45°【解答】解：（1）cdf是等腰直角三角形，理由如下：afad，abc=90°，fad=dbc，在fad與dbc中，faddbc（sas），fd=dc，cdf是等腰三角形，faddbc，fda=dcb，bdc+dcb=90°，bdc+fda=90°，cdf是等腰直角三角形；（2）作afab于a，使af=bd，連結(jié)df，c

43、f，如圖，afad，abc=90°，fad=dbc，在fad與dbc中，faddbc（sas），fd=dc，cdf是等腰三角形，faddbc，fda=dcb，bdc+dcb=90°，bdc+fda=90°，cdf是等腰直角三角形，fcd=45°，afce，且af=ce，四邊形afce是平行四邊形，aecf，apd=fcd=45°【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)的運用，平行四邊形的判定及性質(zhì)的運用，等腰直角三角形的判定及性質(zhì)的運用解答時證明三角形全等是關鍵10（2015鐵嶺一模）已知：abc中，bd、ce分別是ac、ab邊上的高，bq=a

44、c，點f在ce的延長線上，cf=ab，求證：afaq【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】證明題；壓軸題【分析】首先證明出abd=ace，再有條件bq=ac，cf=ab可得abqacf，進而得到f=baq，然后再根據(jù)f+fae=90°，可得baq+fae90°，進而證出afaq【解答】證明：bd、ce分別是ac、ab邊上的高，adb=90°，aec=90°，abq+bad=90°，bac+ace=90°，abd=ace，在abq和acf中，abqacf（sas），f=baq，f+fae=90°，baq+fae9

45、0°，afaq【點評】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，關鍵是掌握全等三角形的判定方法，以及全等三角形的性質(zhì)定理11（2013廬陽區(qū)校級模擬）如圖，將兩個全等的直角三角形abd、ace拼在一起（圖1）abd不動，（1）若將ace繞點a逆時針旋轉(zhuǎn)，連接de，m是de的中點，連接mb、mc（圖2），證明：mb=mc（2）若將圖1中的ce向上平移，cae不變，連接de，m是de的中點，連接mb、mc（圖3），判斷并直接寫出mb、mc的數(shù)量關系（3）在（2）中，若cae的大小改變（圖4），其他條件不變，則（2）中的mb、mc的數(shù)量關系還成立嗎？說明理由【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)

46、版權(quán)所有【專題】證明題；幾何綜合題；壓軸題【分析】（1）連接am，根據(jù)全等三角形的對應邊相等可得ad=ae，ab=ac，全等三角形對應角相等可得bad=cae，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到mad=mae，然后利用“邊角邊”證明abm和acm全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等即可得證；（2）延長db、ae相交于e，延長ec交ad于f，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到bd=be，然后求出mbae，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等求出mbc=cae，同理求出mcad，根據(jù)兩直線平行，同位角相等求出bcm=bad，然后求出mbc=bcm，再根據(jù)等角對等邊即可得證；（3）延長bm交ce于f，根據(jù)兩直線平行

47、，內(nèi)錯角相等可得mdb=mef，mbd=mfe，然后利用“角角邊”證明mdb和mef全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得mb=mf，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半證明即可【解答】證明：（1）如圖2，連接am，由已知得abdace，ad=ae，ab=ac，bad=cae，md=me，mad=mae，madbad=maecae，即bam=cam，在abm和acm中，abmacm（sas），mb=mc；（2）mb=mc理由如下：如圖3，延長db、ae相交于e，延長ec交ad于f，bd=be，ce=cf，m是ed的中點，b是de的中點，mbae，mbc=cae，同理：mcad，bcm=ba

48、d，bad=cae，mbc=bcm，mb=mc；（3）mb=mc還成立如圖4，延長bm交ce于f，cebd，mdb=mef，mbd=mfe，又m是de的中點，md=me，在mdb和mef中，mdbmef（aas），mb=mf，ace=90°，bcf=90°，mb=mc【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，等角對等邊的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，以及三角形的中位線定理，綜合性較強，但難度不大，作輔助線構(gòu)造出等腰三角形或全等三角形是解題的關鍵12（2012昌平區(qū)模擬）（1）如圖，在四邊形abcd中，ab=ad，b=d=90&#

49、176;，e、f分別是邊bc、cd上的點，且eaf=bad求證：ef=be+fd；（2）如圖，在四邊形abcd中，ab=ad，b+d=180°，e、f分別是邊bc、cd上的點，且eaf=bad，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？（3）如圖，在四邊形abcd中，ab=ad，b+adc=180°，e、f分別是邊bc、cd延長線上的點，且eaf=bad，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關系，并證明【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】證明題；壓軸題；探究型【分析】（1）可通過構(gòu)建全等三角形來實現(xiàn)線段間的轉(zhuǎn)換延長eb到g，使bg=d

50、f，連接ag目的就是要證明三角形age和三角形aef全等將ef轉(zhuǎn)換成ge，那么這樣ef=be+df了，于是證明兩組三角形全等就是解題的關鍵三角形abe和aef中，只有一條公共邊ae，我們就要通過其他的全等三角形來實現(xiàn)，在三角形abg和afd中，已知了一組直角，bg=df，ab=ad，因此兩三角形全等，那么ag=af，1=2，那么1+3=2+3=eaf=bad由此就構(gòu)成了三角形abe和aef全等的所有條件（sas），那么就能得出ef=ge了（2）思路和作輔助線的方法與（1）完全一樣，只不過證明三角形abg和adf全等中，證明abg=adf時，用到的等角的補角相等，其他的都一樣因此與（1）的結(jié)果完

51、全一樣（3）按照（1）的思路，我們應該通過全等三角形來實現(xiàn)相等線段的轉(zhuǎn)換就應該在be上截取bg，使bg=df，連接ag根據(jù)（1）的證法，我們可得出df=bg，ge=ef，那么ef=ge=bebg=bedf所以（1）的結(jié)論在（3）的條件下是不成立的【解答】證明：（1）延長eb到g，使bg=df，連接agabg=abc=d=90°，ab=ad，abgadfag=af，1=21+3=2+3=eaf=badgae=eaf又ae=ae，aegaefeg=efeg=be+bgef=be+fd（2）（1）中的結(jié)論ef=be+fd仍然成立（3）結(jié)論ef=be+fd不成立，應當是ef=befd證明：在

52、be上截取bg，使bg=df，連接agb+adc=180°，adf+adc=180°，b=adfab=ad，abgadfbag=daf，ag=afbag+ead=daf+ead=eaf=badgae=eafae=ae，aegaefeg=efeg=bebgef=befd【點評】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)；本題中通過全等三角形來實現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)換是解題的關鍵，沒有明確的全等三角形時，要通過輔助線來構(gòu)建與已知和所求條件相關聯(lián)全等三角形13（2011泰安）已知：在abc中，ac=bc，acb=90°，點d是ab的中點，點e是ab邊上一點（1）直線bf垂直于直線ce于點f

53、，交cd于點g（如圖1），求證：ae=cg；（2）直線ah垂直于直線ce，垂足為點h，交cd的延長線于點m（如圖2），找出圖中與be相等的線段，并證明【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】幾何綜合題；壓軸題【分析】（1）首先根據(jù)點d是ab中點，acb=90°，可得出acd=bcd=45°，判斷出aeccgb，即可得出ae=cg，（2）根據(jù)垂直的定義得出cma+mch=90°，bec+mch=90°，再根據(jù)ac=bc，acm=cbe=45°，得出bcecam，進而證明出be=cm【解答】（1）證明：點d是ab中點，ac=bc，acb=90°，cdab，acd=bcd=45°，cad=cbd=45°，cae=bcg，又bfce，cbg+bcf=90°，又ace+bcf=90°，ace=cbg，在aec和cgb中，aeccgb（asa），ae=cg，（2）解：be=cm證明：chhm，cded，cma+mch=90°，bec+mch=90°，cma=bec，又acm=cbe=45°，在bce和cam中，bcecam（aas），be=cm【點評】本題主要考查了全等三角形的判定方法以及全等三角形對應