山東省濱州市中考數(shù)學(xué)第四章幾何初步與三角形第六節(jié)解直角三角形及其應(yīng)用課件

1、考點(diǎn)一考點(diǎn)一 銳角三角函數(shù)銳角三角函數(shù) (5(5年年1 1考考) )例例1 1 (2018 (2018德州中考德州中考) )如圖，在如圖，在4 44 4的正方形方格圖形中，小正方形的頂點(diǎn)稱為的正方形方格圖形中，小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，格點(diǎn)，abcabc的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則bacbac的正弦值是的正弦值是 【分析分析】 先根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出先根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出abcabc的形狀，再由銳角三角函數(shù)的定的形狀，再由銳角三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論義即可得出結(jié)論【自主解答自主解答】由勾股定理可得由勾股定理可得abab2 23 32 24 42 22525，bcbc2

2、21 12 22 22 25 5，acac2 22 22 24 42 22020，abab2 2bcbc2 2acac2 2，acbacb9090，abcabc為直角三角形，為直角三角形，求三角函數(shù)值的方法求三角函數(shù)值的方法在三角形中求一般角的三角函數(shù)值時(shí)，往往需要通過(guò)作三角形的高，構(gòu)造一個(gè)包在三角形中求一般角的三角函數(shù)值時(shí)，往往需要通過(guò)作三角形的高，構(gòu)造一個(gè)包含所求角的直角三角形，然后利用三角函數(shù)的定義解決在網(wǎng)格圖中求銳角的三含所求角的直角三角形，然后利用三角函數(shù)的定義解決在網(wǎng)格圖中求銳角的三角函數(shù)值，要充分利用格點(diǎn)之間連線的特殊位置構(gòu)造直角三角形，借助勾股定理角函數(shù)值，要充分利用格點(diǎn)之間連

3、線的特殊位置構(gòu)造直角三角形，借助勾股定理解答解答1 1在正方形網(wǎng)格中，在正方形網(wǎng)格中，abcabc的位置如圖所示，則的位置如圖所示，則coscos b b的值的值為為( )( )a a2 2(2018(2018濱州中考濱州中考) )在在abcabc中，中，c c9090，若，若tantan a a ，則，則sinsin b b 考點(diǎn)二考點(diǎn)二 特殊角的三角函數(shù)值特殊角的三角函數(shù)值 (5(5年年0 0考考) )例例2 2 在在abcabc中，若中，若| |sinsin a a | |( ( coscos b) b)2 20 0，a a，b b都是銳角，則都是銳角，則c c 【分析分析】 根據(jù)絕對(duì)值

4、及完全平方的非負(fù)性，可得出根據(jù)絕對(duì)值及完全平方的非負(fù)性，可得出a a及及b b的度數(shù)，再利用三的度數(shù)，再利用三角形的內(nèi)角和定理即可得出角形的內(nèi)角和定理即可得出c c的度數(shù)的度數(shù)【自主解答自主解答】 又又a a，b b都是銳角，都是銳角，a a4545，b b3030，c c18018045453030105105. .故答案為故答案為105105. .熟記特殊角的三角函數(shù)值的兩種方法熟記特殊角的三角函數(shù)值的兩種方法(1)(1)按值的變化：按值的變化：3030，4545，6060角的正余弦的分角的正余弦的分母都是母都是2 2，正弦的分子分別是，正弦的分子分別是1 1， 余弦的分子余弦的分子分別是

5、分別是 ， ，1 1，正切分別是，正切分別是 ，1 1， . .(2)(2)特殊值法特殊值法在直角三角形中，設(shè)在直角三角形中，設(shè)3030角所對(duì)的直角邊為角所對(duì)的直角邊為1 1，那，那么三邊么三邊長(zhǎng)分別為長(zhǎng)分別為1 1， ，2 2；在直角三角形中，設(shè)在直角三角形中，設(shè)4545角所對(duì)的直角邊為角所對(duì)的直角邊為1 1，那，那么三邊么三邊長(zhǎng)分別為長(zhǎng)分別為1 1，1 1， . .3 3(2017(2017煙臺(tái)中考煙臺(tái)中考) )在在rtrtabcabc中，中，c c9090，abab2 2，bcbc ，則，則sinsin 124 4(2016(2016臨沂中考臨沂中考) )一般地，當(dāng)一般地，當(dāng)，為任意角時(shí)

6、，為任意角時(shí)，sinsin()與與sinsin()的值可以用下面的公式求得：的值可以用下面的公式求得：sinsin()sinsin coscos coscos sinsin ；sinsin()sinsin coscos coscos sinsin . .例如例如sinsin 90 90sinsin(60(603030) )sinsin 60 60coscos 30 30coscos 60 60sinsin 30 30 1.1. 類似地，可以求得類似地，可以求得sinsin 15 15的值是的值是 624考點(diǎn)三考點(diǎn)三 解直角三角形解直角三角形 (5(5年年3 3考考) )例例3 3 (2017

7、(2017濱州中考濱州中考) )如圖，在如圖，在rtrtabcabc中，中，acbacb9090，cdabcdab，垂足為，垂足為d d，tantanacdacd ，abab5 5，那么，那么cdcd的長(zhǎng)的長(zhǎng)是是 【分析分析】 根據(jù)余角的性質(zhì)得到根據(jù)余角的性質(zhì)得到b bacdacd，然后利用三角函數(shù)及勾股定理得到，然后利用三角函數(shù)及勾股定理得到acac，bcbc的長(zhǎng)，最后根據(jù)三角形的面積公式即可得到的長(zhǎng)，最后根據(jù)三角形的面積公式即可得到cdcd的長(zhǎng)的長(zhǎng)【自主解答自主解答】 acb acb9090，cdabcdab，acdacdbcdbcdbcdbcdb b9090，b bacd.acd.設(shè)設(shè)a

8、cac3x3x，bcbc4x.4x.acac2 2bcbc2 2abab2 2，(3x)(3x)2 2(4x)(4x)2 25 52 2，解得解得x x1 1，acac3 3，bcbc4.4.5 5(2014(2014濱州中考濱州中考) )在在rtrtacbacb中，中，c c9090，abab1010， 則則bcbc的長(zhǎng)為的長(zhǎng)為( () )a a6 6 b b7.57.5c c8 8 d d12.512.5a a6 6如圖，在如圖，在rtrtabcabc中，中，acbacb9090，cdcd是邊是邊abab的中線，的中線，若若cdcd6.56.5，bcbc12.12.sinsin b b的值

9、是的值是 513考點(diǎn)四考點(diǎn)四 解直角三角形的應(yīng)用解直角三角形的應(yīng)用 (5(5年年0 0考考) )命題角度命題角度仰角、俯角問(wèn)題仰角、俯角問(wèn)題例例4 4 (2017 (2017臨沂中考臨沂中考) )如圖，兩座建筑物的水平距離如圖，兩座建筑物的水平距離bcbc30 30 m m，從，從a a點(diǎn)測(cè)得點(diǎn)測(cè)得d d點(diǎn)的俯角點(diǎn)的俯角為為3030，測(cè)得，測(cè)得c c點(diǎn)的俯角點(diǎn)的俯角為為6060，求這兩座建筑物的高度，求這兩座建筑物的高度【分析分析】 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)a a作作aecdaecd，交，交cdcd的延長(zhǎng)線于點(diǎn)的延長(zhǎng)線于點(diǎn)e e，在，在rtrtadeade中，由題意求出中，由題意求出dede的的長(zhǎng)，在長(zhǎng)，在r

10、trtaceace中，由題意得出中，由題意得出cece的長(zhǎng)，進(jìn)而得出的長(zhǎng)，進(jìn)而得出abab的長(zhǎng)根據(jù)的長(zhǎng)根據(jù)cdcdcecedede即可得即可得解解【自主解答自主解答】如圖，過(guò)點(diǎn)如圖，過(guò)點(diǎn)a a作作aecdaecd，交，交cdcd的延長(zhǎng)線于點(diǎn)的延長(zhǎng)線于點(diǎn)e.e.在在adeade中，中，aedaed9090，aeae3030，7 7(2018(2018聊城中考聊城中考) )隨著我市農(nóng)產(chǎn)品整體品牌形象隨著我市農(nóng)產(chǎn)品整體品牌形象“聊聊勝一籌！勝一籌！”的推出，的推出，現(xiàn)代農(nóng)業(yè)得到了更快發(fā)展某農(nóng)場(chǎng)為擴(kuò)大生產(chǎn)建設(shè)了一批新型鋼管裝配式大棚，現(xiàn)代農(nóng)業(yè)得到了更快發(fā)展某農(nóng)場(chǎng)為擴(kuò)大生產(chǎn)建設(shè)了一批新型鋼管裝配式大棚，

11、如圖如圖1.1.線段線段abab，bdbd分別表示大棚的墻高和跨度，分別表示大棚的墻高和跨度，acac表示保溫板的長(zhǎng)已知墻高表示保溫板的長(zhǎng)已知墻高abab為為2 2米，墻面與保溫板所成的角米，墻面與保溫板所成的角bacbac150150，在點(diǎn)，在點(diǎn)d d處測(cè)得處測(cè)得a a點(diǎn)，點(diǎn)，c c點(diǎn)的仰角分別點(diǎn)的仰角分別為為9 9，15.615.6，如圖，如圖2.2.求保溫板求保溫板acac的長(zhǎng)是多少米？的長(zhǎng)是多少米？( (精確到精確到0.10.1米米) )( (參考數(shù)據(jù)：參考數(shù)據(jù)： 0.860.86，sinsin 9 90.160.16，coscos 9 90.990.99，tantan 9 90.16

12、0.16，sinsin 15.6 15.60.270.27，coscos 15.6 15.60.960.96，tantan 15.6 15.60.28.)0.28.)解：設(shè)解：設(shè)acacx x，在，在abdabd中，中， 如圖，作如圖，作cebdcebd，垂足為點(diǎn)，垂足為點(diǎn)e e，作，作agceagce，垂足為點(diǎn)，垂足為點(diǎn)g.g.命題角度命題角度坡度、坡角問(wèn)題坡度、坡角問(wèn)題例例5 5 某地的一座人行天橋如圖所示，天橋高為某地的一座人行天橋如圖所示，天橋高為 6 6 m m，坡面，坡面bcbc的坡度為的坡度為1111，為了方便行人推車過(guò)天橋，有關(guān)部門(mén)決，為了方便行人推車過(guò)天橋，有關(guān)部門(mén)決定降低坡

13、度，使新坡面定降低坡度，使新坡面acac的坡度為的坡度為1 .1 .(1)(1)求新坡面的坡角求新坡面的坡角；(2)(2)原天橋底部正前方原天橋底部正前方8 8 m m處處(fb(fb的長(zhǎng)的長(zhǎng)) )的文化墻的文化墻fmfm是否需要拆除？請(qǐng)說(shuō)明理由是否需要拆除？請(qǐng)說(shuō)明理由【分析分析】 (1) (1)由新坡面的坡度為由新坡面的坡度為1 1 ，可得，可得tantan ，然后由特殊角的三角函數(shù)值求得答案；然后由特殊角的三角函數(shù)值求得答案；(2)(2)由坡面由坡面bcbc的坡度為的坡度為1111，新坡面的坡度為，新坡面的坡度為1 1 ，即可，即可求得求得abab的長(zhǎng)，則可求得答案的長(zhǎng)，則可求得答案【自主

14、解答自主解答】 (1) (1)如圖，過(guò)點(diǎn)如圖，過(guò)點(diǎn)c c作作abab的垂線，交直線的垂線，交直線abab于于點(diǎn)點(diǎn)d d，(2)cd(2)cd6 6，坡面，坡面bcbc的坡度為的坡度為1111，bdbd6.6.同理同理adad6 .6 .ababadadbdbd6 6 6868，文化墻文化墻fmfm不需要拆除不需要拆除解決坡度、坡角問(wèn)題時(shí)的注意點(diǎn)解決坡度、坡角問(wèn)題時(shí)的注意點(diǎn)首先要認(rèn)真讀題，弄清題意，理解坡度、坡角的實(shí)際意義及坡度與坡角的關(guān)系，首先要認(rèn)真讀題，弄清題意，理解坡度、坡角的實(shí)際意義及坡度與坡角的關(guān)系，其次是從圖中確定要解的直角三角形，充分使用坡度、坡角提供的相關(guān)數(shù)據(jù)，正其次是從圖中確定

15、要解的直角三角形，充分使用坡度、坡角提供的相關(guān)數(shù)據(jù)，正確選擇關(guān)系式確選擇關(guān)系式8 8(2018(2018棗莊中考棗莊中考) )如圖，某商店?duì)I業(yè)大廳自動(dòng)扶梯如圖，某商店?duì)I業(yè)大廳自動(dòng)扶梯abab的的傾斜角為傾斜角為3131，abab的長(zhǎng)為的長(zhǎng)為1212米，則大廳兩層之間的高度為米，則大廳兩層之間的高度為 _ _ 米米( (結(jié)果保留兩個(gè)有效數(shù)字結(jié)果保留兩個(gè)有效數(shù)字)()(參考數(shù)據(jù)：參考數(shù)據(jù)：sinsin 31 310.5150.515，coscos 31 310.8570.857，tantan 31 310.601)0.601)6.26.29 9(2018(2018邵陽(yáng)中考邵陽(yáng)中考) )某商場(chǎng)為方便

16、消費(fèi)者購(gòu)物，準(zhǔn)備將原來(lái)的階梯式自動(dòng)扶梯某商場(chǎng)為方便消費(fèi)者購(gòu)物，準(zhǔn)備將原來(lái)的階梯式自動(dòng)扶梯改造成斜坡式自動(dòng)扶梯如圖所示，已知原階梯式自動(dòng)扶梯改造成斜坡式自動(dòng)扶梯如圖所示，已知原階梯式自動(dòng)扶梯abab長(zhǎng)為長(zhǎng)為10 10 m m，坡角，坡角abdabd為為3030；改造后的斜坡式自動(dòng)扶梯的坡角；改造后的斜坡式自動(dòng)扶梯的坡角acbacb為為1515，請(qǐng)你計(jì)算改造后，請(qǐng)你計(jì)算改造后的斜坡式自動(dòng)扶梯的斜坡式自動(dòng)扶梯acac的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度( (結(jié)果精確到結(jié)果精確到0.1 0.1 m m參考數(shù)據(jù)：參考數(shù)據(jù)：sinsin 15 150.260.26，coscos 15 150.970.97，tantan 15 1

17、50.27)0.27)解：在解：在rtrtabdabd中，中，abdabd3030，abab1010，adadab ab sinsinabdabd1010sinsin 30 305.5.在在rtrtacdacd中，中，acdacd1515，sinsinacdacd 答：改造后的斜坡式自動(dòng)扶梯答：改造后的斜坡式自動(dòng)扶梯acac的長(zhǎng)度約為的長(zhǎng)度約為19.2 19.2 m m. .命題角度命題角度方向角問(wèn)題方向角問(wèn)題例例6 6 (2016 (2016臨沂中考臨沂中考) )一艘輪船位于燈塔一艘輪船位于燈塔p p南偏西南偏西6060方向，方向，距離燈塔距離燈塔2020海里的海里的a a處，它向東航行多少

18、海里到達(dá)燈塔處，它向東航行多少海里到達(dá)燈塔p p南南偏西偏西4545方向上的方向上的b b處處( (參考數(shù)據(jù)：參考數(shù)據(jù)： 1.7321.732，結(jié)果精確，結(jié)果精確到到0.1)0.1)【分析分析】 延長(zhǎng)延長(zhǎng)abab，交南北方向線于點(diǎn)，交南北方向線于點(diǎn)c c，則，則acpacp9090，在，在rtrtacpacp中，解直角中，解直角三角形，然后計(jì)算三角形，然后計(jì)算acacbcbc即可即可【自主解答自主解答】如圖，延長(zhǎng)如圖，延長(zhǎng)abab，交南北方向線于點(diǎn)，交南北方向線于點(diǎn)c c，則，則acpacp9090. .解決方向角問(wèn)題的方法解決方向角問(wèn)題的方法方向角問(wèn)題應(yīng)結(jié)合實(shí)際問(wèn)題抽象出示意圖并構(gòu)造三角形，

19、還要分析三角形中的已方向角問(wèn)題應(yīng)結(jié)合實(shí)際問(wèn)題抽象出示意圖并構(gòu)造三角形，還要分析三角形中的已知元素和未知元素，如果這些元素不在同一個(gè)三角形中或者在同一個(gè)斜三角形中，知元素和未知元素，如果這些元素不在同一個(gè)三角形中或者在同一個(gè)斜三角形中，就需要添加輔助線在解題的過(guò)程中，有時(shí)需要設(shè)未知數(shù)，通過(guò)構(gòu)造方程就需要添加輔助線在解題的過(guò)程中，有時(shí)需要設(shè)未知數(shù)，通過(guò)構(gòu)造方程 ( (組組) )來(lái)求解這類題目主要考查學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力來(lái)求解這類題目主要考查學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力1010如圖，在某監(jiān)測(cè)點(diǎn)如圖，在某監(jiān)測(cè)點(diǎn)b b處望見(jiàn)一艘正在作業(yè)的漁船在南偏西處望見(jiàn)一艘正在作業(yè)的漁船在南偏西1515方向的方向的a a處，若處，若漁船沿北偏西漁船沿北偏西7575方向以方向以4040海里海里/ /小時(shí)的速度航行，航行半小時(shí)后到達(dá)小時(shí)的速度航行，航行半小時(shí)后到達(dá)c c處，在處，在c c處觀測(cè)到處觀測(cè)到b b在在c