4稿幾何直觀空間觀念的差異及其教學(xué)側(cè)重點

1、幾何直觀與空間觀念的差異及教學(xué)側(cè)重點孔凡哲(東北師范大學(xué)南湖實驗學(xué)校，314000浙江省嘉興市南湖區(qū)智慧路77號)王延萍(東北師范大學(xué)第二附屬小學(xué), 130000吉林省長春市朝陽區(qū)繁榮路8號)新世紀小學(xué)數(shù)學(xué)2012年第5期（雙月刊）幾何直觀作為核心名詞，2011年底首次出現(xiàn)在小學(xué)階段（盡管2003年頒布的普通高中數(shù)學(xué)課程標準（實驗）參考文獻：中華人民共和國教育部制訂.普通高中數(shù)學(xué)課程標準（實驗）m，北京：人民教育出版社，2003年.早就明確提出了針對“幾何直觀”的要求“培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力”）；同時，義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）首次將幾何直觀與空間觀念、推理能力并列，成為“圖形

2、與幾何”領(lǐng)域的核心目標的三大組成要素。幾何直觀與空間觀念究竟是什么關(guān)系？在教學(xué)中，如何有針對性地培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀與空間觀念？這些問題都是小學(xué)數(shù)學(xué)領(lǐng)域亟待理清的問題。本文就此闡述。一、幾何直觀與空間觀念的含義差異分析正如義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）指出的，“直觀與推理是圖形與幾何領(lǐng)域的核心目標”，其中，“空間觀念”是指“根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運動和變化；依據(jù)語言描述畫出圖形等”，“幾何直觀”是指“利用圖形描述和分析數(shù)學(xué)問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，

3、預(yù)測結(jié)果。特別地，空間觀念的培養(yǎng)要貫穿整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中”。其實，“這是針對幾何直觀的作用的解釋性說明，”孔凡哲、史寧中.關(guān)于幾何直觀的含義與表現(xiàn)形式對義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）的一點認識j,課程·教材·教法，2012年第32卷第7期：第92-97頁.。盡管如此，我們認為：幾何直觀有助于將抽象的數(shù)學(xué)對象直觀化、顯性化，尋找數(shù)學(xué)對象的直觀模型是有效發(fā)揮幾何直觀的重要環(huán)節(jié)之一。作為“圖形與幾何”的核心名詞，幾何直觀與空間觀念分別從不同的角度涵蓋了幾何學(xué)習(xí)的重要目標，二者有局部的差異，但各有側(cè)重。（一）二者的側(cè)重點非常明顯幾何直觀通常是在有背景的條件下進行的，而借助幾何

4、直觀“看”出來的結(jié)果，往往需要經(jīng)過邏輯推理的驗證。而空間觀念側(cè)重于“想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系”，“描述圖形的運動和變化”，“依據(jù)語言描述畫出圖形”等等，這些活動未必必須憑借看得見、摸得著的真實圖形，而可以憑借語言、頭腦的想象物等等。不僅如此，幾何直觀側(cè)重利用圖形整體把握問題，而空間觀念側(cè)重于刻畫學(xué)習(xí)者對于空間的感知和把握程度，前者更接近應(yīng)用層面，可以歸為運用圖形的能力，后者側(cè)重于幾何學(xué)習(xí)對學(xué)習(xí)者帶來的變化和發(fā)展。（二）二者觸及的領(lǐng)域各有側(cè)重幾何直觀側(cè)重于利用圖形整體分析和把握數(shù)學(xué)問題，而這里的問題幾乎涉及數(shù)學(xué)的各個領(lǐng)域，而空間觀念大多局限在“圖形與幾何”領(lǐng)域雖然有時觸及幾何與數(shù)學(xué)的

5、其他分支學(xué)科的交叉領(lǐng)域。（三）二者在若干局部領(lǐng)域具有交叉性、重疊性即，對于憑借圖形分析其對應(yīng)的實際物體，二者具有重疊部分，幾何直觀側(cè)重于整體把握問題、分析解決相關(guān)的問題（雖然問題未必都是幾何問題），而空間觀念側(cè)重于看到圖形想到事物，能夠進行圖形與其相關(guān)事物之間的轉(zhuǎn)換等。（四）對于學(xué)生的形象思維的發(fā)展，二者共同發(fā)揮作用在日常教學(xué)中，我們應(yīng)該幫助學(xué)生建立空間觀念，注重培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀與推理能力。幫助學(xué)生逐步形成初步的幾何直觀，感受幾何直觀的作用。特別地，就整個義務(wù)教育階段而言，推理能力的培養(yǎng)必須以學(xué)生已有的幾何活動經(jīng)驗、幾何直觀為先導(dǎo)，但必須強調(diào)概念或觀念的明確定義，以及幾何量的代數(shù)運算。在小學(xué)

6、階段，推理能力屬于滲透，而不是重點培養(yǎng)，但是，這是整個九年發(fā)展推理能力的必不可少的階段，屬于奠基性工作。二、幾何直觀與空間觀念的作用、價值的差異分析幾何直觀屬于直觀感知基礎(chǔ)之上所形成的理性思考所致，是學(xué)習(xí)者對于數(shù)學(xué)對象的幾何屬性（或與幾何屬性密切相關(guān)的一些屬性）的整體把握和直接判斷的能力；同時，幾何直觀是學(xué)習(xí)者、研究者對于數(shù)學(xué)對象的全貌和本質(zhì)進行的直接把握，這種直接判斷建立在針對幾何圖形長期有效的觀察和思考的基礎(chǔ)之上，既有相對豐富的經(jīng)驗積淀，更有經(jīng)驗基礎(chǔ)之上的理性的概括和升華。（一）二者都是圖形與幾何領(lǐng)域長期學(xué)習(xí)的積淀所形成的結(jié)果，具有連續(xù)性1幾何直觀需要長期的積淀，即利用圖形、采取整體思維的

7、方式把握問題的本質(zhì)，逐漸形成針對幾何圖形（及其等價量）的數(shù)學(xué)直觀。例如，看到a2+b2，完全下意識地（自覺地）想到直角三角形的兩條直角邊的平方和，它等于斜邊的平方。2長期從事圖形與幾何的操作活動，并善于分析幾何活動要素之間的關(guān)系，可以逐步形成空間觀念。同時，空間觀念的發(fā)展具有（兒童發(fā)展的）時節(jié)性，已有的研究表明，義務(wù)教育階段是發(fā)展兒童空間觀念的最佳期，一旦錯過，幾乎無法修復(fù)或者重新發(fā)展。而幾何的啟蒙活動應(yīng)該借助探索、研究、分析、討論生活中的真實形體，充分使用學(xué)生原有的、處在生活經(jīng)驗狀態(tài)的幾何認知，熟練地描述與表征周圍的環(huán)境。這些實驗、觀察、探索的活動需要不間斷地安排在不同的學(xué)習(xí)層次中，探索形體

8、的要素、發(fā)現(xiàn)性質(zhì)、找出形體間的關(guān)系，讓學(xué)生透過有趣的操作實踐活動更多地了解幾何世界，促進他們幾何思維的發(fā)展。（二）二者都具有一定的邏輯性幾何直觀屬于從整體的視角直接把握問題的本質(zhì)，其間需要摒棄大量無關(guān)的次要信息，而把握核心要素之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，其邏輯的成分顯而易見；與此相對，空間觀念的各個成分幾乎都涉及邏輯成分，無論是實物與其相應(yīng)的圖形之間的邏輯關(guān)系，還是圖形之中的各個要素之間的關(guān)系，無論是二維、三維圖形之間的轉(zhuǎn)換，還是將復(fù)雜的圖形與其基本圖形之間的關(guān)系，無論是根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，還是想象出物體的方位及其相互的位置關(guān)系，無論是描述圖形的運動和變化，還是依據(jù)語言的描述畫出圖形，都或多或少地

9、涉及邏輯因素。（三）二者具有密切的關(guān)聯(lián)性作為幾何學(xué)習(xí)的重要目的，無論是幾何直觀，還是空間觀念，都深深融入學(xué)生的幾何學(xué)習(xí)活動之中，而這些學(xué)習(xí)與學(xué)生親身參與的幾何活動交織在一起，在許多情況下幾乎無法嚴格區(qū)分。雖然空間觀念、幾何直觀都有先天的成分，但是，其實質(zhì)性的發(fā)展都是在后天完成的，同時，二者的發(fā)展相互制約、相互促進。1空間觀念的發(fā)展對于幾何直觀的發(fā)展具有重要的促進作用，并構(gòu)成幾何直觀形成的重要基礎(chǔ)（雖然不是唯一基礎(chǔ)，幾何直觀發(fā)展的另一個重要基礎(chǔ)，就是整體思維方式的形成，這需要適度的抽象水平，能夠撇開無關(guān)要素、單刀直入把握要害。2幾何直觀的發(fā)展對于空間觀念具有重要的強化作用。正如我們在中指出的：中

10、小學(xué)數(shù)學(xué)中的幾何直觀具體表現(xiàn)為四種基本形式“實物直觀、簡約符號直觀、圖形直觀、替代物直觀”。這些不同層面的幾何直觀其實與空間觀念的發(fā)展密切聯(lián)系在一起：在實物直觀（即實物層面的幾何直觀）階段，學(xué)生借助與研究對象有著一定關(guān)聯(lián)的現(xiàn)實世界中的實際存在物，以此作為參照物，借助其與研究對象之間的關(guān)聯(lián)，進行簡捷、形象的思考，獲得針對研究對象的深刻判斷（的一種能力），與其同時，學(xué)生也在漸漸地經(jīng)歷圖形抽象的過程，空間觀念的“根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形”“根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實際物體”“依據(jù)語言的描述畫出圖形等”等成分不斷發(fā)展。在簡約符號直觀（即簡約符號層面的幾何直觀）階段，學(xué)生在實物直觀的基礎(chǔ)上，進行一定

11、程度的抽象而形成半符號化的直觀，諸如行程問題中的線路圖等等，運用這種直觀形式，學(xué)生可以很好地“描述物體的方位及其相互之間的位置關(guān)系”“描述物體的運動和變化”。在運用圖形直觀的階段，學(xué)生可以采以明確的幾何圖形為載體分析處理相關(guān)的問題，既可以涉及代數(shù)問題，也可以觸及幾何問題。其中，分析圖形的基本要素之間的相關(guān)關(guān)系，是準確運用圖形直觀的關(guān)鍵，這恰恰是空間觀念的重要成分之一。作為實物直觀、簡約符號直觀、圖形直觀的復(fù)合物，替代物直觀是一種復(fù)合的幾何直觀，既可以依托簡捷的直觀圖形，也可能依托用語言或數(shù)學(xué)學(xué)科表征物所代表的直觀形式，對于“根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形”“根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實際物體”等等

12、成分的培養(yǎng)具有顯著作用。（四）二者彼此具有不可替代性作為“圖形與幾何”領(lǐng)域?qū)W習(xí)的重要目標，幾何直觀和空間觀念彼此無法替代，幾何直觀側(cè)重于應(yīng)用，而空間觀念側(cè)重于學(xué)習(xí)者對于幾何對象的把握程度。從而，具有良好的幾何直觀（能力）就構(gòu)成檢驗空間觀念的重要指標之一（雖然不是唯一指標）。三、幾何直觀與空間觀念的培養(yǎng)側(cè)重點及其典型案例分析（一）空間觀念需要滲透在“圖形與幾何”學(xué)習(xí)的方方面面，而幾何直觀需要滲透在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的各個領(lǐng)域，特別是，在“數(shù)與代數(shù)”“統(tǒng)計與概率”“實踐與綜合”領(lǐng)域例如，通過觀察、操作等活動，進一步認識三角形、平行四邊形、梯形、長方體、正方體等幾何形體，利用學(xué)生周圍常見的事物，引導(dǎo)學(xué)生感受和

13、探索圖形的特征，豐富圖形與幾何的活動經(jīng)驗，建立初步的空間觀念和幾何直觀。因而，積累幾何活動經(jīng)驗就成為幾何教育的一個更加直接的目標和追求。擁有豐富的幾何活動經(jīng)驗并且善于反思的人，他的幾何直觀更有可能達到更高的水平。與此相對應(yīng)，借助于恰當?shù)膱D形、幾何模型進行解釋，能夠啟迪思路，幫助學(xué)生理解和接受抽象的內(nèi)容和方法，而抽象觀念、形式化語言的直觀背景和幾何形象，都為學(xué)生創(chuàng)造了一個主動思考的機會和揭示經(jīng)驗的策略，使學(xué)生從洞察和想象的內(nèi)部源泉入手，通過自主探索、發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造，經(jīng)歷反思性循環(huán)，體驗和感受數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程。（二）幾何直觀更多地體現(xiàn)在問題解決之中、新知建構(gòu)的過程之中，而空間觀念需要全方位地體現(xiàn)在學(xué)生

14、親身參與幾何活動之中例如，借鑒俄羅斯l.v.沙雷金和l.n.葉爾岡日耶娃合著的直觀幾何呂乃剛譯，沙雷金著，直觀幾何m，上海：華東師范大學(xué)出版社，2001年.中的做法，通過折紙、擺火柴、走迷宮、鑲嵌等操作活動，接觸反射與對稱、拓撲經(jīng)驗、“七橋問題”、單向曲面、六面體的展開、多邊形鋪設(shè)、坐標與方位、密碼通訊等課題，讓小學(xué)生用直觀的方法接觸大量的、生動的幾何世界，既可以在問題解決之中體會幾何直觀帶來的美妙，又可以在活動之中發(fā)展空間觀念，開闊學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，體驗了數(shù)學(xué)的魅力和情趣孔凡哲、史亮.幾何課程設(shè)計方式的比較分析-直觀幾何、實驗幾何與綜合幾何課程設(shè)計的國際比較j, 數(shù)學(xué)通報,2006年第10期：

15、第711頁.。（三）隨著年級的升高，幾何直觀的層次需要逐級提升，從最初側(cè)重于實物直觀，逐步過渡到符號直觀、圖形直觀。而空間觀念的發(fā)展需要從涵蓋“根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形”“根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實際物體”“想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系”“描述圖形的運動和變化”“依據(jù)語言描述畫出圖形”等各個方面，而不可局限在某些方面，比如，從實物到圖形的轉(zhuǎn)換。例如，小學(xué)低學(xué)段可用如下的案例案例1 北師版3年級上冊 第26-37頁 搭配中的學(xué)問教學(xué)片斷：師：誰愿意把星期五的菜譜（葷菜：肉丸子、蝦；素菜：白菜、豆腐、冬瓜）有幾種不同的搭配方法呢？生1：我是這樣想的： 肉丸子白菜， 蝦白菜， 肉丸子豆腐， 蝦豆腐， 肉丸子冬瓜； 蝦冬瓜。 一共有六種搭配方法。生2：我用代表肉丸子，代表蝦，代表白菜，代表豆腐，代表冬瓜。 一共有六種搭配方法。生3：我是用畫圖的方法記錄的：肉丸子 蝦 白菜 豆腐 冬瓜 一共有六種方法。（四）幾何直觀需要更較高的思維水平，從而，更需要教師在日常教學(xué)中不斷主動地運用幾何直觀幫助學(xué)生建構(gòu)自己的數(shù)學(xué)理解，有意識地培養(yǎng)學(xué)生的整體思維方式和數(shù)形結(jié)合的意識，并幫助學(xué)生把握往往起核心的那些基本圖形（諸如三角形、正方形等等）。比如，在統(tǒng)計問題中，可以借助一個圓片代表樣本數(shù)據(jù)1，由此可以很好地理解“移多補少”，進而掌握平均數(shù)的概念。這里的“圓片”就是樣本數(shù)據(jù)1的替代物