周易八卦的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)周易是我國(guó)傳統(tǒng)文化的瑰寶她雖然不是

1、第一章 周易八卦的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu) 周易是我國(guó)傳統(tǒng)文化的瑰寶.她雖然不是一本數(shù)學(xué)書，但她的太極、八卦、占巫、河圖和洛書卻涉及到幾何、坐標(biāo)、奇偶、排列、組合、同余式等數(shù)學(xué)內(nèi)容. 著名德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲(g.w.leibniz 1646-1716)就是受到周易的啟發(fā)而建立了二進(jìn)制計(jì)數(shù). 另外，我國(guó)數(shù)學(xué)家吳文俊先生創(chuàng)立的機(jī)械化算法，也直接或間接地受到了周易的思想方法的影響. 本章僅討論上述內(nèi)容以外的太極、兩儀、四象和八卦的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu). 指出陰爻和陽(yáng)爻是數(shù)學(xué)中的虛數(shù)單位和實(shí)數(shù)單位的符號(hào).八卦是八元數(shù)代數(shù)的基底的符號(hào).太極圖是用來(lái)說(shuō)明八卦(八元數(shù))性質(zhì)的示意圖. 周易是利用八元數(shù)代數(shù)(八卦)來(lái)解釋宇宙間萬(wàn)事萬(wàn)物的

2、演化規(guī)律.在本書后面的內(nèi)容中，讀者將會(huì)看到，物理現(xiàn)象的規(guī)律受八元數(shù)代數(shù)支配,周易八卦學(xué)說(shuō)的正確性在物理學(xué)方面得到了證實(shí)，八元數(shù)是自然現(xiàn)象演化的本質(zhì)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).本章中用到的一些數(shù)學(xué)概念將在第二章和第三章中介紹.§1.1 周 易簡(jiǎn) 介 周易是我國(guó)傳統(tǒng)文化的精髓. 她利用八卦圖，以陰陽(yáng)變化來(lái)說(shuō)明宇宙萬(wàn)物的一切現(xiàn)象，有“眾經(jīng)之首”、“大道之源”和“天人之學(xué)”之稱.就象數(shù)學(xué)、物理和化學(xué)是學(xué)習(xí)其它各種自然科學(xué)的基礎(chǔ)一樣，在中國(guó)古代,周易也是學(xué)習(xí)各種知識(shí)和技術(shù)的一門必修的基礎(chǔ)課. 例如，中醫(yī)和中藥的理論基礎(chǔ)就是周易，我國(guó)古代名醫(yī)孫思邈曾說(shuō)：“不知易，不足以言太醫(yī)”. 周易是我國(guó)流傳至今的最早的典籍

3、之一，在左傳中就已有周易的記載. 如左傳.襄公九年：“姜曰：亡，是于周易曰：隨，元亨利貞.”又如左傳.昭公七年：“孔成子以周易巫之.”這說(shuō)明周易最晚在春秋時(shí)代就已經(jīng)出現(xiàn)了. 周易的起源眾說(shuō)不一，一說(shuō)，夏、商、周曾三代易名，分別叫連山、歸藏和周易. 關(guān)于“易”的含義也有多種解釋，根據(jù)東漢鄭玄的解釋，“易”有三“義”，即“簡(jiǎn)易”、“變易”和“不易”. 西漢時(shí)期，儒家學(xué)派將周易與詩(shī)、書、禮、樂(lè)、春秋奉為經(jīng)典，稱為“六經(jīng)”,于是周易又被稱為易經(jīng). 周易的作者，根據(jù)傳說(shuō)和后人的注釋，尚不能確切地認(rèn)定.周易中說(shuō)：“古者包犧氏之王天下也，仰則觀象于天，俯則觀法于地，觀鳥獸之文與地之宜，近取諸身，遠(yuǎn)取諸物，于

4、是始作八卦，以通神明之德，以類萬(wàn)物之情.” 包犧氏就是伏羲，所以一般認(rèn)為伏羲是八卦的作者. 司馬遷在史記中說(shuō)：“崇侯虎潛西伯于殷紂，紂乃囚西伯于酉里文王因囚酉里，蓋易之八卦為六十四卦.”西伯就是周文王，所以周文王是六十四卦的作者. 經(jīng)過(guò)歷代演變，現(xiàn)今我們所見到的周易分為經(jīng)和傳兩部分.易經(jīng)主要是八卦和由八卦復(fù)合而成的六十四卦與三百八十四爻，有卦辭、爻辭為之說(shuō)明，作占卜用.易傳是解釋卦辭、爻辭的，共有十篇稱為十翼. 翼有輔助的意思，意即輔助解釋易經(jīng). 十翼包括傳上下、象傳上下、系詞傳上下、文言傳、說(shuō)卦傳、序卦傳和雜卦傳.一提起周易，人們往往就與占卜、算卦、封建迷信活動(dòng)聯(lián)系起來(lái).“算卦”成了周易的代

5、名詞. 其實(shí)這是對(duì)周易的曲解. 比如系辭講：“易有圣人之道四焉，以言者尚其辭，以動(dòng)者尚其變，以制器言者尚其象，以卜巫者尚其占.”可見周易的作者也不認(rèn)為她是純粹卜巫、算卦的著作. 又比如，荀子曾說(shuō)“善為易者不占”. 意思是真正擅長(zhǎng)周易的人是不通過(guò)占卜、算卦來(lái)決斷的,不占而知. 荀子是既肯定周易,但又不主張占卜、算卦的. 周易包含的內(nèi)容十分廣泛，她既含有哲學(xué)、文學(xué)、政治、歷史、社會(huì)學(xué)、倫理學(xué)、美學(xué)、邏輯、法律、軍事等社會(huì)科學(xué)的內(nèi)容，也含有天文、數(shù)學(xué)、音律、醫(yī)學(xué)、生物等自然科學(xué)的內(nèi)容.周易的著作十分豐富，幾乎各朝各代都有，流傳至今的各種傳本就約有三千余種. 另外，南韓的國(guó)旗是太極八卦圖，日本也有許多

6、周易愛好者,周易的著作也非常多. 梁?jiǎn)⒊壬艚o清華大學(xué)的校訓(xùn)，“自強(qiáng)不息, 厚德載物.”就來(lái)源于周易.周易在大象中關(guān)于乾卦有“天行健，君子以自強(qiáng)不息.”，關(guān)于坤卦有“地勢(shì)坤，君子以厚德載物.”的卦辭.孔子晚年才開始讀周易，愛不釋手，以至于把編竹簡(jiǎn)的繩子磨斷了三次，留下“韋編三絕”的美談. 從中國(guó)數(shù)學(xué)史上來(lái)看，受周易影響不是個(gè)別的，也不是某朝某代所特有的現(xiàn)象. 例如，三世紀(jì)大數(shù)學(xué)家劉徽，在他所寫的九章算術(shù)注釋的序言中就有這樣的話：“古者包犧氏始畫八卦，以通神明之德，以類萬(wàn)物之情；作九九之術(shù)，以合六爻之變.于是建歷紀(jì)協(xié)律呂，用稽到原，然后兩儀四象精徽之器氣，可得而效焉.”又比如，十三世紀(jì)大數(shù)學(xué)家

7、秦九韶，在他所寫的數(shù)書九章中把“蓍卦發(fā)徽”列于數(shù)書九章八十一問(wèn)之首，并在書序言中稱：“圣有大衍微寓于易.其余取策，群數(shù)皆捐.衍而究之，探隱之原.”可見他將周易所載蓍卜巫之法視為天算中求一術(shù)之遠(yuǎn)源，置于異常重要的地位.§1.2 周易八卦的代數(shù)結(jié)構(gòu)周易中說(shuō)：“古者包犧氏之王天下也，仰則觀象于天，俯則觀法于地，觀鳥獸之文與地之宜，近取諸身，遠(yuǎn)取諸物，于是始作八卦，以通神明之德，以類萬(wàn)物之情.”包犧氏就是古代帝王伏羲氏.這段話說(shuō)明八卦是古人在對(duì)各種自然現(xiàn)象觀察研究的基礎(chǔ)上總結(jié)出來(lái)的，利用八卦可以描述解釋所有的自然現(xiàn)象.至于六十四卦以及利用六十四卦進(jìn)行占卜乃是后人所為. 關(guān)于這一點(diǎn)可以在史記中

8、找到根據(jù).1. 陰爻、陽(yáng)爻與虛數(shù)和實(shí)數(shù) 周易中采用符號(hào) - - 和 分別表示陰和陽(yáng)，并稱 - - 為陰爻 為陽(yáng)爻. 認(rèn)為宇宙間一切變化都是陰陽(yáng)相互作用的結(jié)果.事實(shí)上，這陰和陽(yáng)的本質(zhì)是數(shù)學(xué)中的實(shí)數(shù)和虛數(shù). 陰爻 - - 是虛數(shù)單位i，陽(yáng)爻 是實(shí)數(shù)單位1.2. 太極、兩儀、四象、八卦之間的代數(shù)關(guān)系 周易的系辭上傳中說(shuō)：“易有太極，是生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦，八卦定吉兇，吉兇生大業(yè).”認(rèn)為“太極”是派生萬(wàn)物的本原，由太極分出陰陽(yáng)“兩儀”，這陰陽(yáng)兩儀相互作用，產(chǎn)生了由太陰、太陽(yáng)、少陰、少陽(yáng)組成的“四象”. 再由四象繼續(xù)與陰陽(yáng)相互作用，于是便產(chǎn)生了由“乾、兌、離、震、撰、坎、艮、坤”組成的“八卦”

9、，而八卦便可定吉兇禍福，主宰大業(yè)的成敗.上述太極、兩儀、四象和八卦之間的關(guān)系,可以用陰爻 - - 和陽(yáng)爻 表示.太極、兩儀、四象和八卦之間的上述關(guān)系是與實(shí)數(shù)域、復(fù)數(shù)域、四元數(shù)體和八元數(shù)代數(shù)之間的關(guān)系是相同的. 上述關(guān)系也可用代數(shù)的基底表示.陽(yáng)陽(yáng) 陰 - -太陽(yáng) 少陰 少陽(yáng) 太陰 - - - - - - - -乾 兌 離 震 撰 坎 艮 坤 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -圖1-1 太極、兩儀、四象和八卦的符號(hào)11 i - -1 i j k - - - - - - - - 1 i j k e ie je ke - - - - - -

10、- - - - - - - - - - - - - - - - - -圖1-2 實(shí)交錯(cuò)代數(shù)的基底顯然，周易中的“生”相當(dāng)代數(shù)學(xué)中的“擴(kuò)張”和“超越擴(kuò)張”.根據(jù)數(shù)學(xué)中推廣的frobenius定理，實(shí)數(shù)域、復(fù)數(shù)域、四元數(shù)體和八元數(shù)代數(shù)是實(shí)數(shù)域上僅有的有限為維的交錯(cuò)代數(shù)，它們的維數(shù)分別為1，2，4，8. 這是一個(gè)非常美的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).周易八卦學(xué)說(shuō)就是建立在這樣一個(gè)美的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)之上的. 在周易中一般沒(méi)有十六卦和三十二卦的提法. 另外，在周易中，用陰爻和陽(yáng)爻表示的太極、兩儀、四象和八卦本質(zhì)上是實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)、四元數(shù)和八元數(shù)的基底的一種表示.在周易中以“天、澤、火、雷、風(fēng)、水、山、地”表示事物的各個(gè)方面，也有數(shù)學(xué)

11、中基底的味道. 圖1-3 太極生兩儀 兩儀生四象 四象生八卦1 i j k e ie je ke 天 澤 火 雷 風(fēng) 水 山 地 圖1-4 八元數(shù)代數(shù)的基底這種基底的符號(hào)還具有形象化的特點(diǎn)，與象形文字類似，是一種象形數(shù)學(xué)符號(hào). 例如，陰爻 - - 是用虛線表示的虛數(shù)單位，陽(yáng)爻 是用實(shí)線表示的實(shí)數(shù)單位. 又比如 1 i j k=ij - - - - - - - -顯然1表示都是陽(yáng)爻，i表示第一行是陰爻，j表示第二行是陰爻， k=ij 表示第一行和第二行都是陰爻. 再比如 e ie je (ij)e - - - - - - - - - - - - - - -e表示第三行是陰爻,ie表示第一行和第三

12、行是陰爻，je表示第二行和第三行是陰爻，ke=(ij)e表示第一行、第二行和第三行都是陰爻. 這些都多麼形象呀，因此，八卦圖的數(shù)學(xué)含義遲早是會(huì)被人們發(fā)現(xiàn)的.3. 太極圖的代數(shù)表示 太極圖是周易中一個(gè)重要概念. 太極圖的基本結(jié)構(gòu)好象兩條魚，首尾相隨，形成一個(gè)圓，俗稱陰陽(yáng)魚，見圖1-5. 它以簡(jiǎn)單、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)的形式表達(dá)著陰陽(yáng)對(duì)稱，陰中有陽(yáng)，陽(yáng)中有陰，陰陽(yáng)之中，又有陰陽(yáng)，一分為二，合二而一的哲學(xué)思想.事實(shí)上，太極圖表達(dá)了八卦(八元數(shù))的性質(zhì)，對(duì)任一八元數(shù) (3.1)都可寫成 (3.2)的形式. 式中都是四元數(shù). 由于 是八元數(shù)的基底，它們具有相同的含義. 因此，和在八元數(shù)中的地位是完全相同的.又由于

13、，任一四元數(shù) (3.3)也都可以寫成(3.2)式的形式，即 (3.4)式中 ， 均為復(fù)數(shù). 所以四元數(shù)和八元數(shù)形式上都可以寫成“復(fù)數(shù)”的形式，即 (3.5)式中稱為實(shí)部(陽(yáng))，稱為虛部(陰). 因此，四元數(shù)和八元數(shù)的“實(shí)部”和“虛部”之中又有“實(shí)部”和“虛部”. 所以，若太極圖代表八元數(shù)，則陰魚和陽(yáng)魚分別表示和. 中都具有陰中有陽(yáng)，陽(yáng)中有陰，陰陽(yáng)之中，又有陰陽(yáng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu). 另外，太極圖的陰陽(yáng)魚是握在一起的左手和右手，兩只魚眼是手的大拇指的指向，魚頭是手與手腕子相連的部分，魚尾是手指頭的那部分. 黑色和白色相當(dāng)于物理學(xué)中的符號(hào)和. 因此，太極圖還表示了左旋性和右旋性,即物理學(xué)中的左手定則和右手定

14、則. 這也與八元數(shù)的結(jié)構(gòu)有關(guān)， 圖1-5 太極圖例如 (3.6) (3.7)正好是一個(gè)右手關(guān)系和一個(gè)左手關(guān)系. 因此，太極圖是表示八元數(shù)(八卦)性質(zhì)的示意圖. 這一結(jié)論是我在研究了八元數(shù)的性質(zhì)以后得出的。4. 河圖和洛書與(八元數(shù))八卦的關(guān)系 周易中關(guān)于八卦的起源共有三種說(shuō)法. 一是據(jù)周易中說(shuō)的“古者包犧氏之王天下也，仰則觀象于天，俯則觀法于地，觀鳥獸之文與地之宜，近取諸身，遠(yuǎn)取諸物，于是始作八卦，以通神明之德，以類萬(wàn)物之情”. 二是周易中的“易有太極，是生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦，八卦定吉兇，吉兇生大業(yè)”. 三是“河出圖，洛出書，圣人則之”. 即八卦圖是根據(jù)河圖和洛書畫出來(lái)的.河圖和洛書

15、的圖形，見圖1-6和圖1-7. 表面上來(lái)看，好象看不出與八卦有什麼聯(lián)系，其實(shí)不然. 河圖的中央是一個(gè)五，外面第二圈是兩個(gè)五，再外面第三圈是一、二、三、四，加起來(lái)又是兩個(gè)五，最外面第四圈是六、七、八、九，加起來(lái)是六個(gè)五. 河圖中的五居重要的地位，這可能與五進(jìn)制有關(guān).從另外一個(gè)角度來(lái)看，河圖的中間是一個(gè)五，外面第二圈是五的二倍，第二圈加第三圈是五的四倍，第二圈加第三圈再加第四圈是五的八倍. 正好是1，2，4，8，與太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦相對(duì)應(yīng). 從數(shù)學(xué)上來(lái)看，1，2，4，8正好是僅有的四個(gè)實(shí)交錯(cuò)代數(shù)的維數(shù). 圖1-6 河 圖 圖1-7 洛 書洛書又名九宮，是由1，2，3，4，5，6，7，8，9這九個(gè)數(shù)字組合成的一個(gè)表.四個(gè)角為偶數(shù)其余的為奇數(shù)，中間為五，但要求橫、豎以及對(duì)角的三個(gè)數(shù)之和均為十五.從數(shù)學(xué)上來(lái)看，洛書是一個(gè)三階幻方. 但是，洛書中三個(gè)數(shù)之和為十五的數(shù)目正好為八個(gè)，其中包含五的有四個(gè)，不含五的有四個(gè)，分為兩組. 在周易中，奇數(shù)表示陽(yáng)，偶數(shù)表示陰. 所以洛書中也有四個(gè)陽(yáng)的，四個(gè)陰的.一個(gè)八元數(shù)可以寫成一個(gè)四元數(shù)加上一個(gè)四元數(shù)乘上一個(gè)虛數(shù)單位e(陰). 因此，洛書的結(jié)構(gòu)也與八元數(shù)(八卦)有關(guān).綜上所述