北京市海淀區(qū)2013屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中練習(xí)試題理新人教A版

1、海淀區(qū)高三年級(jí)第一學(xué)期期中練習(xí)數(shù)學(xué)（理科）2012. 11本試卷共 4 頁(yè)， 150 分?？荚嚂r(shí)長(zhǎng) 120 分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、 選擇題：本大題共8 小題，每小題5 分，共40 分在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)1已知全集 UR，集合 A x | x21 ，則 eU AA (,1)B(1,1)C (1,)D (,1)U(1,)2下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)是減函數(shù)的是A f (x)1B f ( x)xC f ( x)1D f (x)tan xx2xuuruuur3在平面直角坐標(biāo)系xoy 中，已知 O(0,0)，

2、A(0,1) ，B(1,3) ，則 OAAB 的值為A 1B31C 3D314已知數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和 Sn22n 1 ，則 a3A 1B 2C 4D 85 sin15cos15 的值為A 1B6C6D3 224226“ t 0 ”是“函數(shù)f ( x)x2txt 在 (,) 內(nèi)存在零點(diǎn)”的A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件7已知函數(shù) f ( x)1, x0,1)1的解集為1, x則不等式 xf ( x0,A 1,)B (,1C 1,2D 1,18已知集合 M( x, y) | yf ( x) ，若對(duì)于任意 (x1, y1)M ，存在 (x2 , y2

3、 )M ，使得 x1x2y1 y20 成立，則稱(chēng)集合M 是“好集合” 給出下列4 個(gè)集合： M( x, y) | y1 M( x, y) | yex2x M( x, y) | ycos x M( x, y) | yln x用心愛(ài)心專(zhuān)心1其中所有“好集合”的序號(hào)是ABCD二、填空題：本大題共6 小題，每小題5 分，共 30 分19 exdx010設(shè) a0.5 ，blog3 2 ，ccos2 ，則 a, b, c 從大到小 的順序?yàn)?1函數(shù)x2112) 的值域?yàn)閒 ( x)(xx2uuur uuuruuuruuruuur12在ABC 中，點(diǎn) M 為邊 AB 的中點(diǎn)，若 OP OM ，且 OPxOA

4、yOB( x 0) ，則 yyx13已知函數(shù) y g( x) 的圖象由 f (x)sin 2x 的圖象向右平移(0) 個(gè)單位得到， 這兩個(gè)函數(shù)的部分圖象O 8如圖所示，則17x2414數(shù)列 an 中，如果存在 ak ，使得“ akak 1 且 akak 1 ”成立（其中 k2 ，kN ），則稱(chēng) ak為 an 的一個(gè)峰值（）若 an3n211n ，則 an 的峰值為；（）若 ant ln nn ，且 an 不存在峰值， 則實(shí)數(shù) t 的取值范圍是三、解答題：本大題共6 小題，共 80 分 解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程15（本小題滿分 13 分）已知等差數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn，且a2

5、，205 S5（）求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；（）求使不等式 Snan 成立的 n 的最小值用心愛(ài)心專(zhuān)心216（本小題滿分13 分）2已知函數(shù)f ( x)2sinxcos(2x) （）求f () 的值；8（）求函數(shù)f ( x) 的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間17（本小題滿分13 分）在ABC 中， A，tan( A B)7，AC 3 24（）求 sinC 的值；（）求ABC 的面積AEF18（本小題滿分13 分）MPD如圖所示，已知邊長(zhǎng)為8 米的正方形鋼板有一個(gè)角被銹蝕，其中AE 4 米，CD6 米為了合理利用這塊鋼板，將在五邊形 ABCDE 內(nèi)截取一個(gè)矩形塊BNPM ，使點(diǎn) P 在邊 DE 上BN

6、C（）設(shè) MPx 米，PNy 米，將 y 表示成 x 的函數(shù)，求該函數(shù)的解析式及定義域；（）求矩形BNPM 面積的最大值用心愛(ài)心專(zhuān)心319（本小題滿分 14 分）已知函數(shù) f ( x)1 x31 (2a 1)x2(a2a) x 32（）若（）若（）若f (x) 在 x1 處取得極大值， 求實(shí)數(shù) a 的值；mR ，直線 ykx m 都不是曲線 yf (x) 的切線，求 k 的取值范圍；a1，求 f ( x)在區(qū)間 0,1 上的最大值20（本小題滿分14 分）已知數(shù)集 A a1 , a2 , , an (1 a1 a2 an , n 2) 具有性質(zhì) P：對(duì)任意的 k(2 k n) ， i , j

7、(1 i j n) ，使得 ak ai a j 成立（）分別判斷數(shù)集1, 3, 4 與 1, 2, 3, 6 是否具有性質(zhì)P，并說(shuō)明理由；（）求證： an2a1a2an 1( n2) ；（）若 an72 ，求數(shù)集 A 中所有元素的和的最小值海淀區(qū)高三年級(jí)第一學(xué)期期中練習(xí)數(shù)學(xué)（理）參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)2012 11說(shuō)明：合理答案均可酌情給分，但不得超過(guò)原題分?jǐn)?shù).一、 選擇題（本大題共8 小題 , 每小題 5 分 , 共 40 分）題號(hào)12345678用心愛(ài)心專(zhuān)心4答案BCBDCADB二、填空題（本大題共6 小題 , 每小題 5 分 ,有兩空的小題，第一空3 分，第二空2 分，共30 分）9 e 1

8、10 a b c11 2, 521 或112 113 14 10； t |tt, n N* 且n 2ln 2n 13ln()n三、解答題 ( 本大題共 6 小題 , 共 80分 )15（本小題滿分13 分）解：（ I ）設(shè) a 的公差為d，n依題意，有a2a1d5,S5 5a1 10d20a1d5聯(lián)立得10d205a1a16解得d 1所以 an6( n1) 1n7（ II ）因?yàn)?ann7 ，所以 Sna1an nn( n 13)22令 n(n13)n7 ，即 n2 15n1402解得 n1 或 n14又 nN * ，所以 n 14所以 n 的最小值為 152 分5 分 7 分 9 分 11

9、分13 分16. （本小題滿分13 分）用心愛(ài)心專(zhuān)心5解：（）因?yàn)?f ( x)2cos2xcos(2x)22cos 2 xsin2 x 2 分1cos2xsin2 x 4 分2 sin(2 x1 6 分)4所以 f (2 sin( 121 7 分)4)84（）因?yàn)閒 ( x)2 sin(2 x1)2 4所以 T 9 分23又 ysin x 的單調(diào)遞減區(qū)間為 （2k 10 分,2 k）， (k Z ) 2k 322所以令2k 2x 11 分2425解得k8xk8 12 分5所以函數(shù) f ( x) 的單調(diào)減區(qū)間為 13 分( k+, k) ， (k Z )8817（本小題滿分13 分）解：（ I

10、 ）在ABC中，因?yàn)?ABC 1 分所以 tanCtan ( AB)tan( AB) 3 分因?yàn)?tan(AB)7 ，所以 tanC7 4 分tanCsin C7又cosCsin2 Ccos2 C1解得 | sin C |72 5 分10因?yàn)?C(0, ),用心愛(ài)心專(zhuān)心672所以 sin C10（II ）因?yàn)?A1tan B，所以 tan(A B)174tan B3解得 tan B4因?yàn)?C3(0, ), 所以 sin B5bcc 7由正弦定理，代入得到sin BsinC1bc sin A所以 S ABC2132 7 sin 2124218. （本小題滿分 13 分）解：（ I ）作 PQAF

11、 于 Q ，所以 PQ8y, EQx4EQEF在EDF 中，PQFDx44所以y28所以 y1 x 10，定義域?yàn)?x |4 x 82(II) 設(shè)矩形 BNPM 的面積為 S，則S( x) xy x(10 x)1 (x 10)2 5022 6 分 8 分9 分 11 分13 分2 分 4 分6 分 9 分所以 S( x) 是關(guān)于 x 的二次函數(shù)，且其開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為x10所以當(dāng) x(4,8)， S(x) 單調(diào)遞增11 分用心愛(ài)心專(zhuān)心7所以當(dāng) x8 米時(shí)，矩形 BNPM 面積取得最大值48平方米13 分19. （本小題滿分 14 分）解：（）因?yàn)閒 ( x)x2(2 a1)x( a 2a )(

12、 xa ) x(a1)2 分令 f ( x)0 ，得 x1(a1) ， x2a所以 f ( x) ， f ( x) 隨 x 的變化情況如下表：x( ,a)a( a,a 1)a 1f '(x)00f (x)極大值極小值所以 a1（ II ）因?yàn)?f ( x) (x2a 1)2124因?yàn)閙R ，直線 ykx m 都不是曲線 yf (x) 的切線所以f ( x)2a1 21R 成立( x)k 對(duì) x24只要 f ( x) 的最小值大于 k所以k14(III) 因?yàn)?a 1,所以 a 1 0,當(dāng) a1時(shí)， f( x) 0 對(duì) x 0,1 成立所以當(dāng) x 1時(shí)， f ( x) 取得最大值 f (

13、1)a216當(dāng) 0a 1時(shí)， 在 x (0, a) 時(shí)， f ( x)0 ， f (x) 單調(diào)遞增(a1,) 4 分 5 分6 分 7 分8 分9 分在 x(a,1) 時(shí)， f ( x)0 ， f ( x) 單調(diào)遞減用心愛(ài)心專(zhuān)心8所以當(dāng) xa 時(shí)， f ( x) 取得最大值f (a)1312 10 分aa32當(dāng) a0 時(shí)， 在 x(0,1) 時(shí)， f (x) 0 ， f (x) 單調(diào)遞減所以當(dāng) x0 時(shí)， f ( x) 取得最大值 f (0)0 11 分當(dāng)1a 0 時(shí)，在 x(0, a1) 時(shí)， f( x)0 ， f ( x) 單調(diào)遞減在 x(a1,1) 時(shí)， f ( x)0 ， f (x)

14、單調(diào)遞增又 f (0)0, f (1)a21，6當(dāng)1 a6 時(shí)， f ( x) 在 x1取得最大值f (1)a 2166當(dāng)6a0 時(shí)， f ( x) 在 x0 取得最大值 f (0)06當(dāng) a6 時(shí)， f ( x) 在 x0 ， x1 處都取得最大值0 . 14 分6綜上所述，當(dāng) a1或 1a6 時(shí)， f ( x) 取得最大值f (1)a2166當(dāng) 0a1時(shí)， f ( x) 取得最大值f ( a)1 a31 a232當(dāng) a6 時(shí)， f ( x) 在 x0 ， x1處都取得最大值06當(dāng)6a0 時(shí)， f ( x) 在 x0 取得最大值 f (0)0 .620. （本小題滿分 14 分）解：()因?yàn)?/p>

15、 31 1 ， 所以 1,3, 4 不具有性質(zhì) P.因?yàn)?=12,3=1+2,6=33，所以 1,2,3,6具有性質(zhì) P 4 分( ) 因?yàn)榧?A= a1,a2 ,an 具有性質(zhì) P：即對(duì)任意的 k (2kn),i ,j (1 i jn) ，使得 ak =ai +a j 成立，又因?yàn)? a1 <a2 <<an , n2 ，所以 aiak ,a jak所以 aiak1 ,a jak 1 ，所以 ak =ai +a j2ak 1即 an2an 1 ， an 12an 2 , an 2 2an 3,., a32a2, a2 2a1 6 分用心愛(ài)心專(zhuān)心9將上述不等式相加得a2 +

16、an1 +an2(a1+ a2 + an1)所以 an2a1 +a2 +an 1 9 分( ) 最小值為 147.首先注意到 a1 =1，根據(jù)性質(zhì) P, 得到 a2 =2a1 =2所以易知數(shù)集A 的元素都是整數(shù) .構(gòu)造 A=1,2,3,6,9,18,36,72 或者 A=1,2,4,5,9,18,36,72 ，這兩個(gè)集合具有性質(zhì) P,此時(shí)元素和為 147.下面，我們證明 147 是最小的和假設(shè)數(shù)集 A= a1 ,a2 , ,an ( a1 <a2 <<an ,n2)n，滿足 Sai147 最小（存在性i =1n147 的數(shù)集 A 只有有限個(gè)） .顯然，因?yàn)闈M足aii =1第一

17、步：首先說(shuō)明集合A= a1 ,a2, ,an( a1<a2 <<an ,n2) 中至少有個(gè)元素 :由 ( ) 可知 a2 2a1 ,a32a2.又 a1=1，所以 a22, a34, a48, a516, a632, a76472 ，所以 n8第二步：證明 an 136, an 2 18, an 39 ：若 36 A ，設(shè) at =36 ，因?yàn)?ann7236 36 ，為了使得 Sai最小，在集合 Ai =1中一定不含有元素ak ，使得 36<ak72，從而 an 1 36；假設(shè) 36A ，根據(jù)性質(zhì) P，對(duì) an72 ，有 ai , a j，使得 an72aia j顯然

18、 aia j, 所以 anaia j144而此時(shí)集合A 中至少還有5 個(gè)不同于 an , ai , a j的元素，從而 S( anaia j )5a1 149 ，矛盾，用心愛(ài)心專(zhuān)心10所以 36A ，進(jìn)而 at =36 ，且 an 136 ；同理可證： an 218,an39（同理可以證明：若18A ，則 an2 18假設(shè) 18A .因?yàn)?an 136, 根據(jù)性質(zhì) P，有 ai , aj ，使得 an136aiaj顯然 aia j , 所以 anan 1aia j 144 ，而此時(shí)集合A 中至少還有個(gè)不同于an , an 1 , ai , a j 的元素從而 Sanan 1aia j 4a1148 ，矛盾，所以 18A ，且 an 218同理可以證明：若9A ，則 an 39假設(shè) 9A因?yàn)?an 218, 根據(jù)性質(zhì) P，有 ai , aj ，使得 an218aiaj顯然 aia j , 所以 anan 1an 2aia j144而此時(shí)集合A 中至少還有個(gè)不同于an ,an 1 , an2 , ai ,a j 的元素從而 Sanan 1an2ai a j3a1147 ，矛盾，所以