二次函數(shù)存在性問題專題復(fù)習(xí)(全面典型含答案)

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)存在性問題存在性問題是 指判斷滿足某種條件的事物是否存在的問題，這類問題的知識(shí)覆蓋面較廣 ，綜合性較強(qiáng)，題意構(gòu)思非常精巧，解題方法靈活，對學(xué)生分析問題和解決問題的能力要求較高 ，是近幾年來包括深圳在內(nèi)各地中考的“熱點(diǎn) ”。這類題目解法的一般思路是：假設(shè)存在推理論證得出結(jié)論。若能導(dǎo)出合理的結(jié)果，就做出“存在”的判斷，導(dǎo)出矛盾，就做出不存在的判斷。以下為 幾種典型 的二次函數(shù)中出現(xiàn)的存在性問題，講解后希望各位考生在以后的考試中如果遇到此類型時(shí)能夠很 順暢 的把過程寫下來。一、二次函數(shù)中相似三角形的存在性問題1. （ 2011 棗 莊 10 分 ）如圖，在平面直角坐標(biāo)

2、系xoy 中，把拋物線yx2 向左平移 1 個(gè)單位，再向下平移4 個(gè)單位，得到拋物線y(xh)2k . 所得拋物線與x 軸交于 A， B 兩點(diǎn)（點(diǎn)A 在點(diǎn) B 的左邊），與 y 軸交于點(diǎn) C，頂點(diǎn)為 D.（ 1）寫出 h、 k 的值；（ 2）判斷 ACD的形狀，并說明理由；（ 3）在線段 AC上是否存在點(diǎn) M，使 AOM ABC？若存在， 求出點(diǎn) M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由 .2. （ 2011 臨沂 13 分） 如圖，已知拋物線經(jīng)過A（ 2，0）， B（ 3，3）及原點(diǎn) O，頂點(diǎn)為C（ 1）求拋物線的解析式；（ 2）若點(diǎn)D 在拋物線上，點(diǎn)E 在拋物線的對稱軸上，且A、 O、D、 E 為頂點(diǎn)

3、的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（ 3） P 是拋物線上的第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P 作 PMx 軸，垂足為M，是否存在點(diǎn)P，使得以P、 M、 A 為頂點(diǎn)的三角形BOC相似？若存在，求出點(diǎn)P 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由二、二次函數(shù)中面積的存在性問題學(xué)習(xí)必備歡迎下載3. （ 2011 日照 10 分）如圖，拋物線 y ax 2bx a > 0與雙曲線 yk 相交x于點(diǎn) A，B已知點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（ 2， 2），點(diǎn) A 在第一象限內(nèi)，且tan AOX 4過點(diǎn) A 作直線 AC x 軸，交拋物線于另一點(diǎn) C（ 1）求雙曲線和拋物線的解析式；（ 2）計(jì)算 ABC的面積；（ 3）在拋物線上是否

4、存在點(diǎn) D，使 ABD的面積等于 ABC的面積若存在，請你寫出點(diǎn) D 的坐標(biāo)；若不存在，請你說明理由4. （ 20XX年深圳，9 分）如圖9，拋物線y ax2 c（ a 0）經(jīng)過梯形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)，梯形的底AD在x軸上，其中A（ 2,0）， B（ 1,3）（ 1）求拋物線的解析式； （3 分）（ 2）點(diǎn)M為y 軸上任意一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M到A、B 兩點(diǎn)的距離之和為最小時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；（ 2 分）（ 3）在第（ 2）問的結(jié)論下，拋物線上的點(diǎn)P使 S PAD 4S ABM成立，求點(diǎn) P 的坐標(biāo)（ 4 分）(4) 自編：在拋物線的 BD段上是否存在點(diǎn) Q使三角形 BDQ的面積最大，若有，求出點(diǎn) Q

5、的坐標(biāo)，若沒有，請說明理由。yADOxBC圖 9三、二次函數(shù)中直角三角形的存在性問題5. （ 2011 重慶潼南中考，12 分）如圖 , 在平面直角坐標(biāo)系中，ABC是直角三角形, ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4，拋物線yx2bxc 經(jīng)過A， B 兩點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為D學(xué)習(xí)必備歡迎下載（ 1）求 b, c 的值；（ 2）點(diǎn) E 是直角三角形 ABC斜邊 AB上一動(dòng)點(diǎn) ( 點(diǎn) A、 B 除外 ) ，過點(diǎn) E 作 x 軸的垂線交拋物線于點(diǎn) F，當(dāng)線段 EF 的長度最大時(shí)，求點(diǎn) E 的坐標(biāo)；（ 3）在（ 2）的條件下：求以點(diǎn)、為頂點(diǎn)的四邊形的面積；在拋物線上是否存在一點(diǎn) P，使 EFP是

6、以 EF 為直角邊的直角三角形? 若存在，求出所有點(diǎn)P 的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.yyBBACACOxOxDD26 題圖26 題備用圖四、二次函數(shù)中等腰三角形的存在性問題6. （ 2011 湘潭市中考， 10分）如圖，直線 y3x 3 交 x 軸于 A 點(diǎn)，交 y 軸于 B 點(diǎn)，過 A、 B 兩點(diǎn)的拋物線交 x 軸于另一點(diǎn) C（3,0） .y 求拋物線的解析式 ; 在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使 ABQ是等腰三角形？若存在，求出符B合條件的 Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.AxOC五、二次函數(shù)中等腰梯形、直角梯形的存在性問題7 (2010山東臨沂） 如圖，二次函數(shù)y= x2 ax b 的

7、圖像與 x 軸交于 A(1，0)、B(2 ， 0) 兩點(diǎn)，且與 y 軸交于點(diǎn) C；2yC(1)求該拋物線的解析式，并判斷的形狀；ABC(2)在 x 軸上方的拋物線上有一點(diǎn)D，且以 A、 C、 D、B 四x點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是等腰梯形，請直接寫出D點(diǎn)的坐標(biāo)；A OB學(xué)習(xí)必備歡迎下載(3) 在此拋物線上是否存在點(diǎn) P，使得以 A、C、B、 P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是直角梯形？若存在，求出P 點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。六、二次函數(shù)中菱形的存在性問題8（ 2012?遼寧鐵嶺） 如圖，已知拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O和 x 軸上一點(diǎn)A（ 4， 0），拋物線頂點(diǎn)為E，它的對稱軸與 x 軸交于點(diǎn)D直線 y= 2x 1 經(jīng)

8、過拋物線上一點(diǎn)B（ 2，m）且與 y 軸交于點(diǎn) C，與拋物線的對稱軸交于點(diǎn) F（ 1）求 m的值及該拋物線對應(yīng)的解析式；（ 2） P（ x， y）是拋物線上的一點(diǎn)，若 S ADP=SADC，求出所有符合條件的點(diǎn) P 的坐標(biāo)；（ 3）點(diǎn) Q是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，點(diǎn)M從點(diǎn) F 出發(fā)，沿對稱軸向上以每秒1 個(gè)單位長度的速度勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn) M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t 秒，是否能使以Q、A、 E、 M四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若能，請直接寫出點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t 的值；若不能，請說明理由七、二次函數(shù)中與圓有關(guān)存在性問題9. 已知：拋物線 y x2(12m x64m與 x 軸交于兩點(diǎn) A（ x1，0），B（ x2，0）(

9、x1x2， x10)，)x2它的對稱軸交 x 軸于點(diǎn) N（ x3，0），若 A，B 兩點(diǎn)距離不大于6，（ 1）求 m的取值范圍；（ 2）當(dāng) AB=5時(shí)，求拋物線的解析式； （ 3）試判斷，是否存在m的值，使過點(diǎn) A 和點(diǎn) N能作圓與 y 軸切于點(diǎn)（ 0，1），或過點(diǎn) B和點(diǎn) N 能作圓與 y 軸切于點(diǎn)（0， 1），若存在找出滿足條件的m的值，若不存在試說明理由學(xué)習(xí)必備歡迎下載定值問題：1.（ 2012 四川自貢） 如圖所示，在菱形ABCD中， AB=4 ， BAD=120°， AEF為正三角形，點(diǎn)E、F 分別在菱形的邊BC CD 上滑動(dòng)，且E、 F 不與 B C D 重合（ 1）證明

10、不論E、F 在 BCCD 上如何滑動(dòng)，總有BE=CF ；（ 2）當(dāng)點(diǎn) E、F 在 BC CD 上滑動(dòng)時(shí)，分別探討四邊形AECF求出這個(gè)定值；如果變化，求出最大（或最?。┲岛?CEF的面積是否發(fā)生變化？如果不變，1、【答案】 解：（ 1）由平移的性質(zhì)知，y( x h) 2k 的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，）， h1， k4。（ 2）由（ 1）得 y=x24.1當(dāng) y=0 時(shí)， x 12 解之，得 x13，x2 1 。4 0 A( 3，0)，B( 1，0) .又當(dāng) x2243 ，0 時(shí)， y= x 14 0 1學(xué)習(xí)必備歡迎下載 C 點(diǎn)坐標(biāo)為（ 0， 3）。又拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)D（ 1， 4），作拋物線的對稱軸x1

11、交 x 軸于點(diǎn) E， DF y 軸于點(diǎn) F。易知222222在 Rt AED中， AD=2 +4 =20，在 Rt AOC中， AC=3 +3 =18，222222在 Rt CFD中， CD=1 +1 =2， AC CD AD。 ACD是直角三角形。（ 3）存在作 OMBC交 AC于 M，點(diǎn)即為所求點(diǎn)。由（ 2）知， AOC為等腰直角三角形，BAC 450， AC1832 。由 AOM ABC，得 AOAM 。即3AM,AM92 。ABAC4324922819過 M點(diǎn)作 MG AB于點(diǎn) G，則 AG=MG=42，164OG=AO AG=3 93。又點(diǎn) M在第三象限，所以M（3， 9）。4444

12、2、【答案】 解：（ 1）設(shè)拋物線的解析式為y ax2bxca0，4a2bc=0a=1拋物線過 A（ 2， 0），B（ 3， 3）， O（ 0， 0）可得9a3bc=3 ，解得 b=2 。c=0c=0拋物線的解析式為yx22x 。（ 2）當(dāng) AE為邊時(shí)， A、 O、 D、 E 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，DE=AO=2，則 D 在 x 軸下方不可能， D在 x 軸上方且 DE=2，則 D（ 1， 3）， D （ 3，3）。當(dāng) AO12為對角線時(shí)，則DE與 AO互相平分。點(diǎn) E 在對稱軸上，且線段AO的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為1，由對稱性知，符合條件的點(diǎn)D 只有一個(gè)，與點(diǎn)C 重合，即C（ 1， 1）。故符合

13、條件的點(diǎn)D 有三個(gè)，分別是D1（ 1， 3）， D2（ 3， 3）， C（ 1， 1）。（ 3）存在，如圖：B（ 3， 3）， C（ 1， 1），根據(jù)勾股定理得：222222BO=18， CO=2， BC=20， BO+CO=BC BOC是直角三角形。假設(shè)存在點(diǎn)P，使以 P，M， A 為頂點(diǎn)的三角形與 BOC相似，設(shè) P（ x ， y ），由題意知x 0， y 0，且 yx22x ，若 AMP BOC，則 AMPM 。BOCO即x +2=3（ x 2+2 x ）得： x 1= 1 ， x 2= 2（舍去）3學(xué)習(xí)必備歡迎下載當(dāng) x = 1 時(shí)， y = 7 ，即 P（ 1 ， 7 ）。3939若

14、 PMA BOC，則， BOPM 。COBO即： x 2+2 x =3（ x +2）得： x 1=3， x 2= 2（舍去）當(dāng) x =3 時(shí)， y =15，即 P（ 3，15）故符合條件的點(diǎn) P 有兩個(gè)，分別是P（1 ， 7）或（ 3， 15）。393、【答案】 解：（ 1）把點(diǎn) B（ 2， 2）的坐標(biāo)代入yk 得， 2k ， k 4。x2雙曲線的解析式為： y4 。x設(shè) A 點(diǎn)的坐標(biāo)為（m， n） A 點(diǎn)在雙曲線上，mn 4。又 tan AOX 4， m 4，即 m 4n。 n2 1， n± 1。n A 點(diǎn)在第一象限，n 1， m 4。 A 點(diǎn)的坐標(biāo)為（1， 4）。把 A、 B 點(diǎn)

15、的坐標(biāo)代入 yax2ab 4bx 得，解得， a 1， b 3。4a2b2拋物線的解析式為：yx23x 。（ 2） AC x 軸，點(diǎn)C 的縱坐標(biāo)y 4，代入 yx23x 得方程， x23x40 ，解得 x 1 4， x 2 1（舍去）。 C 點(diǎn)的坐標(biāo)為（4， 4），且 AC 5。又 ABC的高為 6， ABC的面積1 × 5× 6 15。2（ 3）存在 D 點(diǎn)使 ABD的面積等于 ABC的面積。理由如下：過點(diǎn) C 作 CDAB 交拋物線于另一點(diǎn) D，此時(shí) ABD的面積等于ABC的面積（同底：AB，等高： CD和 AB的距離）。直線 AB相應(yīng)的一次函數(shù)是：y2 x2 ，且 C

16、D AB，可設(shè)直線CD解析式為y2xp ，把 C 點(diǎn)的坐標(biāo)（ 4， 4）代入可得， p 12 。直線 CD相應(yīng)的一次函數(shù)是： y 2x 12 。解方程組yx23x ，解得，x3 。y2x12y18點(diǎn) D 的坐標(biāo)為（ 3， 18）。學(xué)習(xí)必備歡迎下載4. （ 1）、因?yàn)辄c(diǎn) A、B 均在拋物線上，故點(diǎn) A、B 的坐標(biāo)適合拋物線方程4ac0解之得：a1；故 yx24 為所求ac3c4（ 2）如圖 2，連接 BD，交 y 軸于點(diǎn) M，則點(diǎn) M就是所求作的點(diǎn)設(shè)的解析式為ykxb，則有2kb0，k1，BDkb3b2故 BD的解析式為 yx2 ；令 x0, 則 y2，故 M (0,2)(3) 、如圖 3，連接

17、，交y軸于點(diǎn)，由（ 2）知，290AM BCNOM=OA=OD=， AMB易知 BN=MN=1，易求 AM2 2,BM2yP2P11S ABM2222 ；設(shè) P( x, x24)，2依題意有： 1 ADx2442 ，即：14 x244222AD解之得： x22 ， x0 ，故符合條件的P 點(diǎn)有三個(gè)：OxMP1 (22,4), P2 (22,4), P3 (0, 4)BNC圖 3P35. 解答： 解：（ 1）由已知得： A（ 1， 0）， B（ 4，5），二次函數(shù)y=x2+bx+c 的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（ 1， 0），B（ 4， 5），解得： b=2， c= 3；（ 2）如圖：直線 AB經(jīng)過點(diǎn) A（

18、1， 0）， B（ 4， 5），直線 AB的解析式為： y=x+1，二次函數(shù)y=x2 2x3，設(shè)點(diǎn) E（t ， t+1 ），則 F（ t ，t 2 2t 3）， EF=（ t+1 ）（t 22t 3） =（ t ）2+，當(dāng)t=時(shí)， EF 的最大值為，點(diǎn)E 的坐標(biāo)為（，）；（ 3）如圖：順次連接點(diǎn)E、B、 F、 D得四邊形EBFD可求出點(diǎn)F 的坐標(biāo)（，），點(diǎn) D 的坐標(biāo)為（ 1， 4）學(xué)習(xí)必備歡迎下載S 四邊形 EBFD=SBEF+S DEF=××（ 4 ）+××（1）=；如圖：2）過點(diǎn)E作 a EF交拋物線于點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn) P（ m，m 2m3）2則有： m

19、 2m 2= ，解得：m1=，m2 =， P1（，），P2（， ），2）過點(diǎn)F 作 b EF交拋物線于P3，設(shè) P3（n， n 2n3）解得： n1= ，n2= （與點(diǎn) F 重合，舍去），P3（ ，），綜上所述：所有點(diǎn)P 的坐標(biāo)： P1（，），P2（， ）， P3（，）能使 EFP組成以 EF 為直角邊的直角三角形6. 解：（ 1）當(dāng) x =0 時(shí)， y =3當(dāng) y =0 時(shí)， x = 1 A（ 1，0）， B （0，3） C （ 3， 0）·············

20、;············· 1 分學(xué)習(xí)必備歡迎下載設(shè)拋物線的解析式為y =a（ x +1）（ x 3） 3=a× 1×（ 3） a= 1此拋物線的解析式為y =（ x + 1 ）（ x 3） =- x 2 +2 x +3····· 2 分（ 2）存在拋物線的對稱軸為：x=13 =1·········

21、3;····· 4 分2如圖對稱軸與x 軸的交點(diǎn)即為Q1 OA=OQ 1， BO AQ 1 AB=Q 1 B Q 1 （ 1， 0）·························· 6 分當(dāng) Q 2 A = Q 2 B 時(shí)，設(shè) Q 2 的坐標(biāo)為（ 1，m） 2 2 +m2 =1 2 +

22、（3 m） 2 m=1 Q 2 （ 1，1）·························· 8 分當(dāng) Q 3 A = AB 時(shí)，設(shè) Q 3 （ 1，n） 2 2 +n 2 =1 2 +3 2 n 0 n= 6 Q 3（1，6 ）符合條件的 Q 點(diǎn)坐標(biāo)為 Q 1 （ 1，0）， Q 2 （1， 1）， Q 3 （ 1，6）·

23、10 分學(xué)習(xí)必備歡迎下載7、答案： 解 (1) 根據(jù)題意，將 A(1， 0)， B(2 ，0) 代入 y=x2ax b 中，得11 a24242a個(gè)方程，得 a= 3 ，b=1，該拋物線的解析式為y= x23 x 1，當(dāng) x=0 時(shí)， y=1，22點(diǎn)C的坐標(biāo)為 (0 ，1) 。在中，=OA2OC2=1)2125。AOCAC(=22在 BOC中， BC=OB2OC2 =2212 =5。AB=OA OB= 12=5，AC2BC2= 55=25 =AB 2， ABC是直角三角形。2244(2) 點(diǎn) D的坐標(biāo)為 ( 3 ，1) 。2(3) 存在。由 (1) 知， AC BC。若以 BC為底邊，則 BC

24、/AP，如圖1 所示，可求得直線yBC的解析式為 y=1 x 1，直線 AP可以看作是由直線C2A1 x b，BC平移得到的，所以設(shè)直線AP的解析式為 y=O2把點(diǎn) A(1 ， 0) 代入直線 AP的解析式，求得 b=1 ，211 。點(diǎn)4直線的解析式為y=P既在拋物線上，又在直線上，APx4AP2點(diǎn) P 的縱坐標(biāo)相等，即 x23 x 1=1 x1 ，解得 x1= 5 ，y2242x2=1 ( 舍去 ) 。當(dāng) x= 5 時(shí)， y=3 ，點(diǎn) P(5， 3)。CA22222O若以 AC為底邊，則 BP/AC，如圖2 所示?？汕蟮弥本€ AC的解析式為 y=2x 1。直線可以看作是由直線平移得到的，BP

25、AC所以設(shè)直線 BP的解析式為 y=2x b，把點(diǎn) B(2 ， 0) 代入直線的解析式，求得= 4，BPb直線 BP的解析式為 y=2x 4。點(diǎn) P既在拋物線上，又在直線 BP上，點(diǎn) P的縱坐標(biāo)相等，即 x23x 1=2x4，解得 x =5， x =2(舍去)。2122當(dāng) x=5 時(shí)， y=9，點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 (5， 9)。22P5， 3)或(綜上所述，滿足題目條件的點(diǎn)P為 (5， 9)。2228解：（ 1）點(diǎn) B（ 2， m）在直線y= 2x 1 上 m=3 即 B（ 2， 3）又拋物線經(jīng)過原點(diǎn) O設(shè)拋物線的解析式為y=ax 2+bx點(diǎn) B（ 2， 3）， A（ 4， 0）在拋物線上b 0

26、 ，解這b 0BxPB x，學(xué)習(xí)必備歡迎下載解得：設(shè)拋物線的解析式為（ 2） P（x， y）是拋物線上的一點(diǎn)，若 SADP=S ADC，又點(diǎn) C 是直線 y= 2x 1 與 y 軸交點(diǎn)， C（ 0， 1）， OC=1，即或，解得：點(diǎn)P 的坐標(biāo)為（ 3）結(jié)論：存在拋物線的解析式為，頂點(diǎn) E（2， 1），對稱軸為x=2；點(diǎn) F 是直線 y= 2x 1 與對稱軸x=2 的交點(diǎn)， F（ 2， 5）， DF=5又 A（ 4，0）， AE= 如右圖所示，在點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過程中，依次出現(xiàn)四個(gè)菱形：菱形 AEM1Q1此時(shí) DM1=AE=， M1F=DF DE DM1=4 ， t 1=4；菱形 AEOM2此時(shí) DM

27、2=DE=1， M2F=DF+DM2=6， t 2=6；菱形 AEM3Q3此時(shí) EM3=AE=， DM3=EM3 DE= 1， M3F=DM3+DF=（ 1） +5=4+， t 3=4+；44菱形 AMEQ此時(shí) AE 為菱形的對角線，設(shè)對角線4444AE與 MQ交于點(diǎn) H，則 AE MQ，易知 AED M4EH，學(xué)習(xí)必備歡迎下載，即，得 M4E= ， DM4=M4E DE= 1= ， M4F=DM4+DF= +5= ，t4=綜上所述，存在點(diǎn)M、點(diǎn)t 2 =6， t 3=4+， t 4=Q，使得以Q、 A、 E、M四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形；時(shí)間t 的值為：t 1 =4，x2m x6m0x1x2，且x1，x10，x209. 解：（1