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1、17.1 點到直線的距離公式點到直線的距離公式2若M(x0y0)是平面上一定點,它到直線l: :Ax+By+C=0的距離d為0022|AxByCdAB試用向量方法給出簡單的證明3證明 如圖, M(x0,y0) 是直線外一定點,P(x,y)是直線上任意一點,由直線l: :Ax+By+C=0,可以取它的方向向量v v=(B,-A).P P(x,y)M(x0y0)nl02222(,)ABABABn|n|n nO Oxy設(shè)n n=(A,B),因為n nv v=(A,B) (B,-Aa) =AB-BA=0所以n v,故稱n為直線l的法向量.與n同向的單位向量400222200220022|(,) (,)

2、|()()|()|dPMABxx yyABABA xxB yyABAxByAxByAB n n所以,點M(x0y0) 到直線l: :Ax+By+C=0的距離等于向量 在n n0 0方向上射影的長度.PM 5又因為P(x,y)為l上任意一點,所以c=-(Ax+By)0022|AxBycdAB故6例1 求點P(1,2)到直線l：2x+y+1=0的距離。解 由點到直線的距離公式，得222 1 1 2 15,21d 所以點P(1,2)到直線l的距離為5.7 分析分析：以A為原點建立直角坐標(biāo)系，應(yīng)該有四個解. 例2 若向量 =(2,3), =(1,k), k R，ABC為直角三角形，求k的值.AB AC

3、yx A CB8yx A CB(2,3),(1, ),( 1,3),ABACkBCkABBC 解: 向量11時,-2+3(k-3)=0,k=3,BCAC 313時,-1+k(k-3)=0,k=32.ABAC 時,2+3k=0,k=-39分析分析：在所求直線上任取一點：在所求直線上任取一點P,則則 a ,利用向量平行的條件利用向量平行的條件寫出方程寫出方程.解:設(shè)點P(x,y)是所求直線上的任意一點,則 =(x+1,y-2). 例3 求過點A(-1,2),且平行于向量a=(3,1)的直線方程.AP AP AP a(1)3(2)0 xy370 xy即370 xy 所求直線的方程為10解:設(shè)點Q(x,y)是所求直線上的任意一點,則 =(x-1,y+1). 練習(xí) 求過點P(1,-1),且與向量n=(4,-3)垂直的直線方程.PQ PQn 1)3(1)0 xy即4(370 xy 4所求直線的方程為0PQ n 11小結(jié)：小結(jié)：（1） 點點M(x0,y0) 到直線到直線l:ax+by+c=0的距離等于向的距離等于向量量 在在l的單位向量的單位向量n0上射影的長度上射影的長度,；（

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