一元函數(shù)積分知識(shí)點(diǎn)完整版

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載一元函數(shù)積分相關(guān)問(wèn)題前言：考慮到學(xué)習(xí)的效率問(wèn)題， 我在本文獻(xiàn)中常常會(huì)讓一個(gè)知識(shí)點(diǎn)在分隔比較遠(yuǎn)的地方出現(xiàn)兩次。 這種方法可以讓你在第二次遇到同樣的知識(shí)點(diǎn)時(shí)順便復(fù)習(xí)下這個(gè)知識(shí)點(diǎn)， 同時(shí)第二次出現(xiàn)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)時(shí)問(wèn)題會(huì)稍微升華點(diǎn)，不做無(wú)用的重復(fù)。一考查原函數(shù)與不定積分的概念和基本性質(zhì)講解：需要掌握原函數(shù)與不定積分的定義、原函數(shù)與不定積分的關(guān)系，知道求不定積分與求微分是互逆的關(guān)系，理解不定積分的線性性質(zhì)。問(wèn)題 1：若 f (x) 的導(dǎo)函數(shù)是 sin x ，則所有可能成為f ( x) 的原函數(shù)的函數(shù)是_。二考查定積分的概念和基本性質(zhì)講解：需要掌握定積分的定義與幾何意義，了解可積的充分條件和必

2、要條件，掌握定積分的基本性質(zhì)。定積分的基本性質(zhì)有如下七點(diǎn)：1、線性性質(zhì)2、對(duì)區(qū)間的可加性3、改變有限個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值不會(huì)改變定積分的可積性與積分值4、比較定理（及其三個(gè)推論）5、積分中值定理6、連續(xù)非負(fù)函數(shù)的積分性質(zhì)7、設(shè) f ( x) 在 a,b 上連續(xù)，若在 a, b 的任意子區(qū)間 c, d 上總是有df ( x) dx 0 ，則當(dāng)cx a, b 時(shí)， f (x) 0問(wèn)題 2：設(shè) M2 sin(sin x)dx ， N2 cos(cosx)dx ，則有（）00（A） M1N（B） MN1（C） NM1（D） 1MN三考查一元函數(shù)積分的基本定理講解：需要掌握變限定積分函數(shù)的連續(xù)性與可導(dǎo)性、原函數(shù)

3、存在定理、不定積分與變限積學(xué)習(xí)必備歡迎下載分的關(guān)系，了解初等函數(shù)在定義域內(nèi)一定存在原函數(shù)但不一定能積出來(lái)，需要重點(diǎn)掌握牛頓萊布尼茲公式及其推廣。其中變限積分的求導(dǎo)方法為：設(shè) f ( x) 在 a,b 上 連 續(xù) ，( x) 和( x)在 , 上 可 導(dǎo) ， 當(dāng) x,時(shí)，a( x),( x)f (t )dt 在 , 上可以對(duì) x 求導(dǎo)，且( x) b ，則 y( x)dyf ( (x)'( x)f ( ( x) ' (x)dx牛頓萊布尼茲定理為：設(shè) f (x) 在 a,b 上連續(xù)， F ( x) 是 f ( x) 在 a, b 上的一個(gè)原函數(shù)，則bF (b)F ( a)f ( x

4、)dxa問(wèn)題 3：已知 f (x)ln( x 1)tet dt ，求 f '( x) ( x0)2 x四考查奇偶函數(shù)和周期函數(shù)的積分性質(zhì)講解：需要掌握對(duì)稱區(qū)間上奇偶函數(shù)的定積分性質(zhì)、周期函數(shù)的積分性質(zhì)，學(xué)會(huì)用性質(zhì)化簡(jiǎn)積分。問(wèn)題 4：設(shè) f (x) 在 0,1 上連續(xù)，2 f ( cos x )dx A ，則 I2f ( cos x )dx _。00五利用定積分的定義求某些數(shù)列極限講解：需要掌握把某些和項(xiàng)數(shù)列和積項(xiàng)數(shù)列求極限的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解定積分的方法。關(guān)鍵是確定被積函數(shù)、積分區(qū)間及區(qū)間的分點(diǎn)。常見(jiàn)的情形有：f ( x)dxlimni(ba) ) baf ( aban1nnibn(i1)

5、(ba)b alimf ( af ( x)dx)an1nni問(wèn)題 5：n n tan i求 w lim2nnn ii 1六考察基本積分表講解：需要掌握基本初等函數(shù)的積分公式。七考察分項(xiàng)積分方法學(xué)習(xí)必備歡迎下載講解：利用不定積分（定積分）線性性質(zhì)把復(fù)雜函數(shù)分解成幾個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的和，再求積分。問(wèn)題 6：求下列不定積分：21cos xdx1cos2x八考察定積分的分段積分方法講解：利用定積分的區(qū)間可加性把復(fù)雜的區(qū)間分解成幾個(gè)簡(jiǎn)單區(qū)間的和，再求積分。問(wèn)題 7：計(jì)算以下定積分：2 ( x 1) min 0.5,cos x dx2九考察不定積分的分段積分方法講解：有時(shí)被積函數(shù)是用分段函數(shù)的形式表示的，這時(shí)應(yīng)

6、該采用分段積分法。問(wèn)題 8：x2 ,0x1設(shè)函數(shù) f (x)，求 fx dx2 x,1 x2( )(0 x 2)十考察不定積分的湊微分方法（第一換元法）講解：湊微分方法的具體過(guò)程為如下：設(shè)f u duF uC ，且函數(shù)( x)可導(dǎo)，則( )( )f ( ( x)' (x)dxf ( ( x) d ( (x)F ( (x) C 。若 f ( (x) ' ( x)dx 不好求，而 f (u)du 好求，則可以采用這種方法。需要注意的是通常碰到的問(wèn)題是求( x)dx ，其中( x)并未表達(dá)為f (x)' (x)的形式，這時(shí)我們需要根據(jù)(x)的特點(diǎn)選擇適合的(x)。問(wèn)題 9：求

7、下列不定積分：secxdx十一考察不定積分與定積分的第二換元法講解：需要掌握不定積分與定積分第二換元法的定理，掌握常見(jiàn)的變量替代。和第一換元法相反， 若f (u)du 不好求，而f ( ( x) '( x)dx 好求，則可以采用這種方法，關(guān)鍵是如何選擇變量替換。這些我在后面介紹。學(xué)習(xí)必備歡迎下載十二常用變量替換一：三角函數(shù)替換講解：三角函數(shù)替換法常用于被積函數(shù)中含有二次根式，一般的二次根式Ax2Bx C 可先采用配方法化成標(biāo)準(zhǔn)形式：1.若 A0B24ACB2B則其可化成AxAx2 A4 A，令 uA2當(dāng) 4AC B20 ， 令 a 24AC B2， 則Ax2Bx C 可 化 成u2a

8、2 ， 此 時(shí) 令4Au a tan t （t）22當(dāng) 4AC B20 ， 令 a 2B24AC ，則Ax2Bx C 可 化 成u 2a2 ， 此 時(shí) 令4 Au asect （ 0t且 t2）2.若 A0B2B 2B則其可化成Ax4 ACuAxA4 A，令2A2顯然此時(shí)4 ACB20（否則被積函數(shù)無(wú)意義） ，令 a24 ACB2，則Ax2Bx C 可4A化成 a2u2，此時(shí)令 uasin t （t）22問(wèn)題 10：求下列不定積分：2x1十三常用變量替換二：冪函數(shù)替換（簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)積分）講解：冪函數(shù)替換常用于被積函數(shù)中含有n ax b ， n axb 的根式。cxd對(duì)于第一個(gè)可令n axb t

9、 ，則 xt nb ；a對(duì)于第二個(gè)可令axbbdt nnt ，則 xct n，再轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)積分。cxda學(xué)習(xí)必備歡迎下載如果被積函數(shù)中同時(shí)含有(axb)， ( axb)，(axb)，其中，是分?jǐn)?shù)，則令m axbt，其中m 是，分母的最小公倍數(shù)。問(wèn)題 11：求下列不定積分：dx13xx十四常用變量替換三：指數(shù)函數(shù)替換講解：當(dāng)被積函數(shù)含有ex 或 ax 時(shí)，可考慮采用這種替換方法（tex ， tax ）問(wèn)題 12：求下列不定積分：dxex1ex1十五常用變量替換四：倒替換1講解：當(dāng)被積函數(shù)的分母最高次數(shù)高于分子的最高次數(shù)時(shí)，有時(shí)可以考慮倒替換（t）x問(wèn)題 13：求下列定積分：31dx21x 3

10、x22x 1十六考察不定積分和定積分的分部積分法講解：需要掌握不定積分和定積分的分部積分法，并會(huì)用分部積分法推導(dǎo)遞推公式不定積分的分部積分法則為：假定uu( x)與vv( x)均具有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，則uv'dxuvvu'dx（或?qū)懗蓇dvuvvdu ）定積分的分部積分法則為：若 u' ( x) 與 v' (x) 在 a,b 上連續(xù)，則bbbbbbuv'dxuvvu' dx （或?qū)懗?udv uvvdu ）aaaaaa分部積分法的關(guān)鍵是恰當(dāng)原則u 和 v' ，選取的原則一般為：v' 容易積分，vdu 比udv 容積計(jì)算。學(xué)習(xí)必備歡迎下

11、載問(wèn)題 14：求 I n2 sin n xdx 和 Jn2 cosn xdx （ n 0,1,2 ）00十七考察有理函數(shù)的積分講解：有理函數(shù)可以分解成多項(xiàng)式和真分式之和。積分的關(guān)鍵是求真分式的積分。設(shè) 有真 分 式 R( x)P(x)。 首 先 將 Q ( x) 因 式 分 解 ， 若 分 解 后 含有 因 子 ( xa1 )n1 ，Q (x)( x a2 )n2n2p1 x q1 )m1， (x2p2 x q2 )m2 ( x2p j xmj， ( x ai ) i ， ( xq j )（要求 p24q 0 ） ( 按照高等代數(shù)的知識(shí)，一定可以分解成不超過(guò)二次的因式)則采用待定系數(shù)法將R(x

12、) 分解為AAA1,n1,11,21x a1(x a1 )2(x a1 )n1A2,1A2,2A2,n 2x a2( x a ) 2( x a2)n22AAAi , ni ,1i ,2ix a ( x a )2(x a )niii1B1,1xC1,1B1,2 x C1,2B1,m xC1,m11x2p x q(x2p x q )2(x2p x q )m1111111BxC2,1BxCB2,m xC2 ,m22 ,12,22 ,22x2px q2( x2px q)2(x2p x q )m222222Bj , 2 x C j ,2Bj ,2 x Cj , 2Bj ,mjx C j , mjx2p

13、j x q j( x2pj x q j )2(x2p j x q j )m j此時(shí)只含有四類積分： （ D 為任意常數(shù)）（1）AdxAln xa Dxa（2）Am dxAm 1D （m）( xa)(m1)( xa)1（3）BxCdxB ln x2px q2C Bp arctan 2xBpDx2px q24q p24q p2BxCBpxq)m 1 (CBp1（4）( x2pxq) m dx2(m 1)( x 22)( x2pxq)m dx學(xué)習(xí)必備歡迎下載其中dx可令p4q p2dxdt，t xa，則(x2pxq)m2，2px q)m(t 2a2 ) m2(x再利用分部積分法得到遞推公式求解。問(wèn)題

14、 15：按照自己喜好填寫A1 , A2 , B1 , B2 , C1 ,C2 , D1 , D2 , E1, E2 的值，再按照上面方法求積分。A1 x4B1x3C1x2D1 xE1 dxA2 x4B2 x3C2 x2D2 x E2十八考察三角有理式的積分講解：所謂三角有理式是指以sin x 與 cos x 為變量的有理函數(shù)，即為R(sin x, cos x) 。此時(shí)總可以采用萬(wàn) 能代換tanx被積 函數(shù)有理化，即t 使2R(sin x, cos x) dxR(2t2 ,1t 22dtt1t2 )1t21問(wèn)題 16：求下列不定積分：1Jdx1sin x十九利用定積分的幾何意義求定積分的值b講解

15、：若f ( x)dx 是熟知的平面圖形的面積，則可以直接使用幾何意義求解定積分的值。a問(wèn)題 17：求下列定積分：Jb2 ( x a)( x b) dxxa二十利用被積函數(shù)的分解與結(jié)合來(lái)求定積分的積分值講解：有時(shí)我們可以采用分項(xiàng)積分將被積函數(shù)進(jìn)行分解，再對(duì)其中某幾項(xiàng)采用第二換元法轉(zhuǎn)換為另一種形式，再與其他項(xiàng)結(jié)合在一起求解積分。問(wèn)題 18：求下列定積分：x sin xI0 1cos2 x dx二十一考察反常積分講解：反常積分我們專業(yè)考察較弱（不知道你們數(shù)學(xué)專業(yè)如何） ，重點(diǎn)考察無(wú)窮區(qū)間上反常積分的概念、瑕積分的概念、用定義判斷反常積分的收斂性及計(jì)算積分值，需要掌握常見(jiàn)學(xué)習(xí)必備歡迎下載反常積分的收斂

16、性判斷、反常積分的運(yùn)算法則。問(wèn)題 19：計(jì)算下列反常積分的值：（1）dxx22x ( x 1)43e 1dx（ 2） 0 x(ln x)2二十二考察與定積分概念有關(guān)的題目（復(fù)習(xí)類）講解：你需要復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)二。問(wèn)題 20：設(shè) f (x) 為連續(xù)函數(shù)，且滿足 f (x) x1xf (x)dx ，求 f (x)0二十三利用定積分的基本性質(zhì)確定積分值的符合（復(fù)習(xí)類）講解：你需要復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)二、知識(shí)點(diǎn)四和知識(shí)點(diǎn)十六。問(wèn)題 21：函數(shù) F ( x)x 2f (t)dt ，其中 f (t)esin 2 t (1 sin 2 t) cos2t ，則 F (x) （）x（A）為正數(shù)（B）為負(fù)數(shù)（C）為零（D）不是常

17、數(shù)二十四根據(jù)定積分的比較定理證明積分不等式（復(fù)習(xí)類）講解：你需要復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)二。問(wèn)題 22：證明下列不等式：22 4 x tan xdx80032二十五考察原函數(shù)的存在定理（復(fù)習(xí)類）講解：你需要復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)三。問(wèn)題 23：設(shè) f (x) 在 (a,b) 內(nèi)有定義， c (a,b) ，又 f ( x) 在 (a,b) 內(nèi)僅有 c 一個(gè)間斷點(diǎn)，且為第一類間斷點(diǎn)，討論f ( x) 在 (a,b) 內(nèi)是否存在原函數(shù)？二十六考察常用的不定積分計(jì)算方法（復(fù)習(xí)類）學(xué)習(xí)必備歡迎下載講解：你需要復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)六到知識(shí)點(diǎn)十八（除了知識(shí)點(diǎn)八）。問(wèn)題 24：（ 1）（ 2）（ 3）x 1x dx1xa1 sin xb1 co

18、s xdx （ a2b20 ）a sin xb cos xln( x1 x2 )3dx(1x2 ) 2二十七考察常用的定積分計(jì)算方法（復(fù)習(xí)類）講解：你需要復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)六到知識(shí)點(diǎn)二十（除了知識(shí)點(diǎn)九）。問(wèn)題 25：（1）2sin xdx01 sin xcos x（2）16arctanx 1dx1二十八考察分段函數(shù)的積分（復(fù)習(xí)類）講解：你需要復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)八，知識(shí)點(diǎn)十一。問(wèn)題 26：設(shè)函數(shù) f ( x) 在 (,) 內(nèi)滿足 f ( x)f ( x)sin x ，且 f ( x)x( x0,) ，求3f ( x)dx二十九考察廣義積分（復(fù)習(xí)類）講解：你需要復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)二十一。問(wèn)題 27：計(jì)算下列反常積分：ax dx(a 0)x0 a x三十利用換元法證明積分等式（復(fù)習(xí)類）講解：你需要復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)十一到十五。（我們專業(yè)每年都至少會(huì)考察一個(gè)證明題）問(wèn)題 28：假定下列所涉及的反常積分均收斂，證明：f (x1 )dxf ( x)dxx三十一利用分部積分法證明積分等式（復(fù)習(xí)類）學(xué)習(xí)必備歡迎下載講解：你需要復(fù)習(xí)