典型方程和定解條件的推導(dǎo)

1、1數(shù)學(xué)物理方法數(shù)學(xué)物理方法第一章第一章 一些典型方程和定解條件的推導(dǎo)一些典型方程和定解條件的推導(dǎo)2第一章第一章 一些典型方程和定解條件的推導(dǎo)一些典型方程和定解條件的推導(dǎo)1.1 1.1 基本方程（泛定方程）的建立基本方程（泛定方程）的建立 物理模型物理模型（現(xiàn)象、過程）（現(xiàn)象、過程） 數(shù)學(xué)形式表述數(shù)學(xué)形式表述（偏微分方程并求解）（偏微分方程并求解）目的：掌握基本分析方法，培養(yǎng)歸納、目的：掌握基本分析方法，培養(yǎng)歸納、綜合、綜合、抽象、猜測、試探、演繹的科學(xué)素質(zhì)。抽象、猜測、試探、演繹的科學(xué)素質(zhì)。步驟步驟：（：（1 1）確定研究對象（物理量），建立合適的坐標(biāo)系；）確定研究對象（物理量），建立合適的坐

2、標(biāo)系； （2 2）在系統(tǒng)內(nèi)部，任取一微元，利用物理規(guī)律，）在系統(tǒng)內(nèi)部，任取一微元，利用物理規(guī)律， 分析其與相鄰部分間的作用；分析其與相鄰部分間的作用； （3 3）忽略次要因素，抓住主要矛盾；）忽略次要因素，抓住主要矛盾； （4 4）化簡整理，得到偏微分方程。）化簡整理，得到偏微分方程。 數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)不含初始條件不含初始條件不含邊界條件不含邊界條件3物理狀態(tài)描述物理狀態(tài)描述: : 設(shè)有一根均勻、柔軟的細(xì)弦，平衡時沿設(shè)有一根均勻、柔軟的細(xì)弦，平衡時沿直線拉緊，除受到重力外，不受其它外力影直線拉緊，除受到重力外，不受其它外力影響，在鉛直平面內(nèi)作橫向、微小振動。響，在鉛

3、直平面內(nèi)作橫向、微小振動。平衡位置平衡位置任意截取一小段，并抽象性夸大。任意截取一小段，并抽象性夸大。弦的振動：雖然經(jīng)典，但弦的振動：雖然經(jīng)典，但 極具啟發(fā)性。極具啟發(fā)性。數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)一一. 均勻弦的橫振動方程的建立均勻弦的橫振動方程的建立4X1 1、建立坐標(biāo)系、建立坐標(biāo)系 選定微元選定微元uodsMNMNxx+dx2 2、微元、微元dsds的動力學(xué)方程（牛頓第二運(yùn)動定律）的動力學(xué)方程（牛頓第二運(yùn)動定律）TT gds.3、忽略與近似、忽略與近似4、整理化簡、整理化簡T、T 微元兩端所受張力微元兩端所受張力 細(xì)弦的線密度（單細(xì)弦的線密度（單 位長度內(nèi)的質(zhì)量位長度內(nèi)

4、的質(zhì)量 g 重力加速度重力加速度數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)5X1 1、建立坐標(biāo)系、建立坐標(biāo)系 選定微元選定微元uodsMNMNxx+dx2 2、微元、微元dsds的動力學(xué)方程（牛頓第二運(yùn)動定律）的動力學(xué)方程（牛頓第二運(yùn)動定律）TT gds.數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)0coscos TTt tudsgdsTT sinsin(1)(2)63、忽略與近似、忽略與近似0coscos TTt tudsgdsTT sinsin(1)(2)dsMNMNTT gds.uoxx+dx對于小振動：對于小振動：0;0 所以有：所以有：1cos;1cos 1cos1sec1222

5、tgxxutgtgtg 21sindxxxutgtgtg 21sin73、忽略與近似、忽略與近似0coscos TTt tudsgdsTT sinsin(1)(2)對于小振動：對于小振動：0;0 所以有：所以有：1cos;1cos xxutgtgtg 21sindxxxutgtgtg 21sin于是（于是（1）式變?yōu)椋海┦阶優(yōu)椋篢T（2）式變?yōu)椋海┦阶優(yōu)椋?(sinsingudsTTt t 一般說來，一般說來， 將將 g 略去。略去。)(gudsxuTxuTttxdxx gutt)(gudsxuTxuTttxdxx 83、忽略與近似、忽略與近似于是（于是（1）式變?yōu)椋海┦阶優(yōu)椋篢T（2）式變?yōu)?/p>

6、：）式變?yōu)椋?(sinsingudsTTt t 一般說來，一般說來， 將將 g 略去，得略去，得)(gudsxuTxuTttxdxx guttttxdxxudsxuTxuT 考慮到角度很小，考慮到角度很小，近似地與近似地與 u 無關(guān)：無關(guān)：dxds 于是左下角式變?yōu)椋河谑亲笙陆鞘阶優(yōu)椋簍txdxxudxxuxuT )(93、忽略與近似、忽略與近似ttxdxxudxxuxuT )(ttudxxtxuxtdxxuT ),(),(上式實(shí)際上可以明確表示為：上式實(shí)際上可以明確表示為：這里表示：自變量由這里表示：自變量由 x 增加增加到到 x+dx 時，函數(shù)的增量。時，函數(shù)的增量。既然既然 dx 很小，

7、這個這個增量很小，這個這個增量不妨用微分帶代替。不妨用微分帶代替。ttudxdxxuTx 2222tuxuT 令令 ，于是有：，于是有：2aT t txxuua2一維波動方程一維波動方程10+LLCC+ +- -二二. 傳輸線方程傳輸線方程(電報方程電報方程)的建立的建立物理狀態(tài)描述物理狀態(tài)描述: : 對于直流電或低頻的交流電對于直流電或低頻的交流電, ,電路的基爾霍夫（電路的基爾霍夫（KirchhoffKirchhoff）定律指出：同一支路中的電流相等。但對于較高頻率的電流（指頻率還未定律指出：同一支路中的電流相等。但對于較高頻率的電流（指頻率還未高到顯著輻射電磁波出去的程度），電路導(dǎo)線中的

8、自感和電容的效應(yīng)不能高到顯著輻射電磁波出去的程度），電路導(dǎo)線中的自感和電容的效應(yīng)不能被忽視，因而同一支路中電流呈現(xiàn)瞬態(tài)變化。被忽視，因而同一支路中電流呈現(xiàn)瞬態(tài)變化。 現(xiàn)在考慮電流一來一往的高頻傳輸線，它被當(dāng)作具有分布參數(shù)的導(dǎo)體現(xiàn)在考慮電流一來一往的高頻傳輸線，它被當(dāng)作具有分布參數(shù)的導(dǎo)體, ,每單位長導(dǎo)線所具有的電阻、電感、電容、電導(dǎo)分別以每單位長導(dǎo)線所具有的電阻、電感、電容、電導(dǎo)分別以R R、L L、C C、G G 表示。表示。).(txvdvvxdxxRdxLdxCdxGdx),(txidiiP1 1、建立坐標(biāo)系、建立坐標(biāo)系 選定微元選定微元2 2、微元的電路方程、微元的電路方程數(shù)學(xué)物理方程

9、與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)idiiPP電路的節(jié)點(diǎn)電路的節(jié)點(diǎn)時刻時刻 t 電路中的瞬時電流電路中的瞬時電流11 udtLidtdiLuLidtduLLLL1 idtqdtduCdtCuddtdqiCuq)(tdduCiCCtddiLuLL數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)電容元件：電容元件：電感元件：電感元件：換路定理換路定理: :在換路瞬間，電容上的電壓、電感中的電流不能突變。在換路瞬間，電容上的電壓、電感中的電流不能突變。電路準(zhǔn)備知識電路準(zhǔn)備知識12+LLCC+ +- -二二. 傳輸線方程傳輸線方程(電報方程電報方程)的建立的建立與同學(xué)們商榷的與同學(xué)們商榷的幾個幾個問題：（問

10、題：（P4-5P4-5）（1 1）設(shè)某時刻）設(shè)某時刻 t t ，輸入與輸出端的對應(yīng)關(guān)系是否合理，輸入與輸出端的對應(yīng)關(guān)系是否合理? ?（2 2）電流）電流 作為初始條件，在流經(jīng)電感時是否要變化？作為初始條件，在流經(jīng)電感時是否要變化？（3 3）按照圖示，電容與電導(dǎo)兩端的電壓如何界定（注意）按照圖示，電容與電導(dǎo)兩端的電壓如何界定（注意P5. -1.5P5. -1.5式）？式）？),(txvdvvxdxxRdxLdxCdxGdx),(txidiiP1 1、建立坐標(biāo)系、建立坐標(biāo)系 選定微元選定微元2 2、微元的電路方程、微元的電路方程數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)idiiPP電路的節(jié)點(diǎn)？電

11、路的節(jié)點(diǎn)？時刻時刻 t 電路中的瞬時電流電路中的瞬時電流ivGdxtvCdxdiii)(“另外另外,由基爾霍夫第一定律由基爾霍夫第一定律,流入節(jié)點(diǎn)的電流應(yīng)等于流出該節(jié)點(diǎn)的電流流入節(jié)點(diǎn)的電流應(yīng)等于流出該節(jié)點(diǎn)的電流,即即13梁昆淼先生的做法：梁昆淼先生的做法： “今考慮一來一往的高頻傳輸線，每單位長一來一往所具有的電阻，電感，電今考慮一來一往的高頻傳輸線，每單位長一來一往所具有的電阻，電感，電容，電漏分別記以容，電漏分別記以R R，L L，C C，G G。于是。于是dxx xjdjj vdvv tjLdxRdxjdv)(CdxvtGdxvdj亦即亦即tjLRjxvtvCGvxj亦即亦即0)(jtL

12、Rxv0)(xjvtCG將將 作用于第一式作用于第一式, 作用于第二式作用于第二式,兩結(jié)果相減兩結(jié)果相減,就消去了就消去了 而得而得 的方程的方程tCGt vj0)(2222xjtjLCtjRCLGRGj0)(2222xvtvLCtvRCLGRGv同理同理,消去消去 ,得到得到 的方程的方程jv14二二. 傳輸線方程傳輸線方程(電報方程電報方程)的建立的建立 設(shè)如圖傳輸線是分布參數(shù)電路，即傳輸線上電阻設(shè)如圖傳輸線是分布參數(shù)電路，即傳輸線上電阻 R R、電感、電感 L L、電容、電容 C C 和和電導(dǎo)電導(dǎo) G G 是按單位長度計算其對應(yīng)的物理量，并且在是按單位長度計算其對應(yīng)的物理量，并且在 x+

13、dx x+dx 范圍之內(nèi)的所有元范圍之內(nèi)的所有元件無論布局如何，均認(rèn)為其長度為件無論布局如何，均認(rèn)為其長度為 dx.dx.數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)dxxii 設(shè)某時刻設(shè)某時刻 t ，對應(yīng)關(guān)系如下：，對應(yīng)關(guān)系如下：左端：左端： ； 右端右端: txitxvx,dxxiidxxvvdxx txv, txi,+LLCC+ +- -xdxx tdxxvvCdxdxxvvGdxdxxvv tdduCiCCtddiLuL 輸入端輸入端輸出端輸出端15 txv, txi,+LLCC+ +- -xdxx tdxxvvCdxdxxvvGdxdxxvv dxxii數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理

14、方程與特殊函數(shù)由基爾霍夫電壓定律由基爾霍夫電壓定律:)(dxxvvvUULRdxxvtiLdxiRdx0RitiLxv由基爾霍夫電流定律由基爾霍夫電流定律:dxxitxidxxvvGdxdxxvvtCdxtxi),()()()(),(tdduCiCCtddiLuL 電容上的電流：電容上的電流：電感上的電壓：電感上的電壓：流入流入流出流出16 txv, txi,+LLCC+ +- -xdxx tdxxvvCdxdxxvvGdxdxxvv dxxii 數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)由基爾霍夫電壓定律由基爾霍夫電壓定律:0RitiLxv由基爾霍夫電流定律由基爾霍夫電流定律:dxxitx

15、idxxvvGdxdxxvvtCdxtxi),()()()(),(tdduCicc tddiLuL 電容上的電流：電容上的電流：電感上的電壓：電感上的電壓：，整理后得到：，整理后得到：0)(dxxvGGvdxxvtCtvCxi0GvtvCxi，略去高階無，略去高階無 窮小量得：窮小量得：02dxxvGGvdxxtvCtvCxi17由基爾霍夫電壓定律由基爾霍夫電壓定律:0RitiLxv由基爾霍夫電流定律由基爾霍夫電流定律:0GvtvCxi(1.4)(1.5)聯(lián)立上述兩個方程（代入消元法），注意假定聯(lián)立上述兩個方程（代入消元法），注意假定 與與 都對都對 是二次是二次連續(xù)可微的，即可得到：連續(xù)可微

16、的，即可得到：vitx,22222tixiat txxiia222222txat txxa2LCa12其中數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)18例例3. 電磁場方程電磁場方程基本電磁場量基本電磁場量 場的物質(zhì)方程場的物質(zhì)方程 Maxwell方程方程電場強(qiáng)度電場強(qiáng)度磁場強(qiáng)度磁場強(qiáng)度電感應(yīng)強(qiáng)度電感應(yīng)強(qiáng)度磁感應(yīng)強(qiáng)度磁感應(yīng)強(qiáng)度BDHEDEBHJE 0BrotEtDrotHJtdivDdivB : 介質(zhì)的介電常數(shù)介質(zhì)的介電常數(shù)導(dǎo)磁率導(dǎo)磁率導(dǎo)電率導(dǎo)電率:J 傳導(dǎo)電流的面密度傳導(dǎo)電流的面密度電荷的體密度電荷的體密度2222222:Laplace operatorxyz :Hamilton oper

17、atorijkxyz Vector difference operator19目標(biāo)目標(biāo): 利用上述關(guān)系利用上述關(guān)系,分別解出分別解出 、 。HE由由DrotHJt JEDE 將將 代入上式，得代入上式，得 ErotHEt 對上式兩邊求旋度，對上式兩邊求旋度， 得得rot rotHrotErotEt 再將再將 代入上式，得代入上式，得 BrotEtBH 22HHrotrotHtt 這是一個關(guān)于磁場強(qiáng)度的這是一個關(guān)于磁場強(qiáng)度的二階微分方程二階微分方程2022HHrotrotHtt 為進(jìn)一步化簡，利用為進(jìn)一步化簡，利用 Hamilton 算子的運(yùn)算性質(zhì)算子的運(yùn)算性質(zhì) 將將 代入上式，得代入上式，得

18、2()()rotrotHHHH 10div Hdiv B 磁場強(qiáng)度、磁感應(yīng)強(qiáng)度的散度為零。磁場強(qiáng)度、磁感應(yīng)強(qiáng)度的散度為零。222HHHtt 如法炮制，可得關(guān)于電場強(qiáng)度的方程如法炮制，可得關(guān)于電場強(qiáng)度的方程222EEEtt 如果介質(zhì)不導(dǎo)電（如果介質(zhì)不導(dǎo)電（=0），），上述方程簡化為：上述方程簡化為：22222211HHtEEt 三維波動方程三維波動方程21目標(biāo)目標(biāo): 建立關(guān)于電位建立關(guān)于電位 u 的方程的方程 由電感應(yīng)強(qiáng)度由電感應(yīng)強(qiáng)度 與電場強(qiáng)度與電場強(qiáng)度 的定義知：的定義知：D E div Ddiv Ediv E （電荷體密度）（電荷體密度）而電場強(qiáng)度與電位之間的關(guān)系，由下式確定而電場強(qiáng)度與電

19、位之間的關(guān)系，由下式確定Egrad u 由此可得：由此可得：div grad u 依據(jù)依據(jù)Hamilton 算子的運(yùn)算性質(zhì)：算子的運(yùn)算性質(zhì)：2()div grad uuuu這個非齊次方程稱為泊松這個非齊次方程稱為泊松（Poisson）方程）方程若靜電場是無源的，即若靜電場是無源的，即 ，上式又可寫成，上式又可寫成0 這個齊次方程稱為拉普拉這個齊次方程稱為拉普拉斯（斯（Laplace）方程）方程 上式可寫成上式可寫成2u 20u 22例例4. 熱傳導(dǎo)方程熱傳導(dǎo)方程物理模型物理模型: 均勻且各向同性的導(dǎo)熱體均勻且各向同性的導(dǎo)熱體, 在傳熱過程中所滿足的微分方程在傳熱過程中所滿足的微分方程.研究對象

20、研究對象: 熱場中任一閉曲面熱場中任一閉曲面 S ,體積為體積為 V,熱場熱場V(體積體積)S(閉曲面閉曲面) t 時刻時刻, V 內(nèi)任一點(diǎn)內(nèi)任一點(diǎn) M(x,y,z) 處處 的溫度為的溫度為 u(x,y,z,t).M M 曲面元曲面元 ds 的法向的法向 (從從V內(nèi)內(nèi) V外外) nnds物理規(guī)律物理規(guī)律: 由熱學(xué)的由熱學(xué)的(Fourier)實(shí)驗(yàn)可知實(shí)驗(yàn)可知: dt 時間之內(nèi)時間之內(nèi),流經(jīng)面元流經(jīng)面元 ds 的熱量的熱量 dQ, 與與時間時間 dt 成正比；成正比； 曲面面積曲面面積 ds 成正比；成正比； 溫度溫度 u 沿曲面法方向的方向沿曲面法方向的方向 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù) 成正比。成正比。dndu數(shù)

21、學(xué)表述為：數(shù)學(xué)表述為：tdsdnukdQ 23M MdsnV(體積體積)S(閉曲面閉曲面)熱場熱場數(shù)學(xué)表述為：數(shù)學(xué)表述為：tdsdnukdQ k=k(x,y,z). 物體的傳熱系數(shù)物體的傳熱系數(shù),各向均勻且同性時為常數(shù)各向均勻且同性時為常數(shù). “-”號號,表示熱量流動的方向表示熱量流動的方向,與溫度梯度的正方向與溫度梯度的正方向(grad u) 相反相反.從從 t1 t2 ,通過曲面元通過曲面元 S ,流入?yún)^(qū)域流入?yún)^(qū)域 V 的熱量為的熱量為tdSdugradkQttS 21必然等于必然等于 V 內(nèi)各點(diǎn)所吸收的熱量內(nèi)各點(diǎn)所吸收的熱量(熱量守恒熱量守恒) VdtzyxutzyxucV 12,(),

22、( 問題問題: 上面數(shù)學(xué)表述中的上面數(shù)學(xué)表述中的“-”，為何不見了？，為何不見了？ 上式中的上式中的 ，在熱學(xué)中的意義？，在熱學(xué)中的意義？ c24tdSdugradkQttS 21 VdtzyxutzyxucV 12,(),( 數(shù)學(xué)處理：由于數(shù)學(xué)處理：由于 S 為閉曲面，假設(shè)為閉曲面，假設(shè) u(x,y,z) 具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 那么那么 依據(jù)奧斯特羅依據(jù)奧斯特羅格拉德斯基公式格拉德斯基公式 SVVdugraddivkSdugradkVdukV 2因此有：因此有：uuuugraddivazayaxaadivzukyujxuiugradzyx 2)(tdVdtuctdVdukttVttV 21212 25tdVdtuctdVdukttVttV 21212 由于由于 t1 , t2 以及區(qū)域以及區(qū)域 V 的任意性的任意性 , 且被積函數(shù)為連續(xù)且被積函數(shù)為連續(xù), 因此有因此有VdtucVduk 2)(2222222zuyuxuckucktu 若令若令: , 那么上述方程可寫為那么上述方程可寫為 cka 2uatu22 三維熱傳導(dǎo)方程三維熱傳導(dǎo)方程26222222222()uuuuauatxyz 討論討論:222222