三角形與多邊形

1、多邊形1多邊形及其有關(guān)概念(1)多邊形定義：在平面內(nèi)，由一些線(xiàn)段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形多邊形按組成它的線(xiàn)段的條數(shù)分為三角形、四邊形、五邊形、六邊形、由n條線(xiàn)段組成的多邊形就叫做n邊形如圖，是一個(gè)五邊形，可表示為五邊形ABCDE.三角形是最簡(jiǎn)單，邊數(shù)最少的多邊形.(2)多邊形的邊：組成多邊形的線(xiàn)段叫做多邊形的邊(3)多邊形的內(nèi)角、外角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫做多邊形的內(nèi)角，也稱(chēng)為多邊形的角；多邊形的邊與它的鄰邊的延長(zhǎng)線(xiàn)組成的角叫做多邊形的外角如圖，B，C，D，是五邊形的內(nèi)角，1是五邊形的外角談重點(diǎn) 多邊形外角的理解多邊形每一個(gè)頂點(diǎn)處有兩個(gè)外角，并且同頂點(diǎn)的外角與內(nèi)角互為鄰補(bǔ)角(4

2、)多邊形的對(duì)角線(xiàn)：定義：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線(xiàn)段，叫做多邊形的對(duì)角線(xiàn)如圖，AC，AD就是五邊形ABCDE中的兩條對(duì)角線(xiàn)拓展理解：一個(gè)n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)可以引(n3)條對(duì)角線(xiàn)，把n邊形分成(n2)個(gè)三角形一個(gè)n邊形一共有條對(duì)角線(xiàn)析規(guī)律 多邊形的對(duì)角線(xiàn)條數(shù)與頂點(diǎn)數(shù)的關(guān)系從多邊形一個(gè)頂點(diǎn)引出的對(duì)角線(xiàn)能將多邊形分割成不同的三角形，這就把多邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題來(lái)研究；所有的四邊形都有2條對(duì)角線(xiàn)，五邊形有5條對(duì)角線(xiàn)，也就是說(shuō)一個(gè)邊數(shù)一定的多邊形的對(duì)角線(xiàn)的條數(shù)是一定的(5)凸多邊形和凹多邊形：在圖(1)中，畫(huà)出四邊形ABCD的任何一條邊所在的直線(xiàn)，整個(gè)圖形都在這條直線(xiàn)的同一側(cè)，這樣的四邊形叫做凸四

3、邊形，這樣的多邊形稱(chēng)為凸多邊形；在圖(2)中，畫(huà)出DC(或BC)所在直線(xiàn)，整個(gè)四邊形不都在這條直線(xiàn)的同一側(cè)，我們稱(chēng)這個(gè)四邊形為凹四邊形，像這樣的多邊形稱(chēng)為凹多邊形【例1】 填空：(1)十邊形有_個(gè)頂點(diǎn)，_個(gè)內(nèi)角，_個(gè)外角，從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可畫(huà)_條對(duì)角線(xiàn)，它共有_條對(duì)角線(xiàn)(2)從多邊形一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)畫(huà)對(duì)角線(xiàn)將它分成了四個(gè)三角形，這個(gè)多邊形是_邊形解析：(1)一個(gè)n邊形有n個(gè)頂點(diǎn)，n個(gè)角，2n個(gè)外角，從一個(gè)頂點(diǎn)能畫(huà)出(n3)條對(duì)角線(xiàn)，共有條對(duì)角線(xiàn)；(2)一個(gè)n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)可以引(n3)條對(duì)角線(xiàn)，把n邊形分成(n2)個(gè)三角形，所以n24，n6，這個(gè)多邊形是六邊形答案：(1)101020735(2)六2

4、正多邊形(1)定義：各個(gè)角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形如等邊三角形、正方形等(2)特點(diǎn)：不僅邊都相等，角也都相等，兩個(gè)條件必須同時(shí)具備才是正多邊形如長(zhǎng)方形四個(gè)角都是直角，都相等，但邊不等，所以不是正多邊形析規(guī)律 正多邊形外角的特征因?yàn)檫厰?shù)相同的正多邊形各個(gè)內(nèi)角都相等，同頂點(diǎn)的內(nèi)角與外角互為鄰補(bǔ)角，所以邊數(shù)相同的正多邊形的各個(gè)外角也相等【例2】 下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)有()(1)由四條線(xiàn)段首尾順次相接組成的圖形是四邊形；(2)各邊都相等的多邊形是正多邊形；(3)各角都相等的多邊形一定是正多邊形；(4)正多邊形的各個(gè)外角都相等A1 B2C3 D4解析：(1)不正確，一是要在同一平面內(nèi)，二是

5、不能在同一條直線(xiàn)上；(2)不正確，各邊都相等，各角也都相等的多邊形才是正多邊形，這兩個(gè)條件必須同時(shí)具備，如菱形雖然四邊都相等，但它不是正多邊形；(3)不正確，如長(zhǎng)方形四個(gè)角都是直角，都相等，但邊不一定相等，所以不是正多邊形；(4)正確，因?yàn)檫厰?shù)相同的正多邊形各個(gè)內(nèi)角都相等，同頂點(diǎn)的內(nèi)角與外角互為鄰補(bǔ)角，所以邊數(shù)相同的正多邊形的各個(gè)外角也相等故選A.答案：A3多邊形的內(nèi)角和(1)公式：n邊形內(nèi)角和等于(n2)×180°.(2)探究過(guò)程：如圖，以五邊形、六邊形為例從五邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以畫(huà)2條對(duì)角線(xiàn)，它們將五邊形分成3個(gè)三角形，五邊形的內(nèi)角和等于180°×

6、;3540°；從六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以畫(huà)3條對(duì)角線(xiàn)，它們將六邊形分成4個(gè)三角形，六邊形的內(nèi)角和等于180°×4720°；從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以畫(huà)(n3)條對(duì)角線(xiàn)，它們將n邊形分成(n2)個(gè)三角形，n邊形的內(nèi)角和等于180°×(n2)所以多邊形內(nèi)角和等于(n2)×180°.析規(guī)律 多邊形內(nèi)角和公式的推導(dǎo)推導(dǎo)多邊形內(nèi)角和公式的方法很多，但都是將多邊形內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為三角形內(nèi)角和進(jìn)行推導(dǎo)的，這也是研究問(wèn)題的一種思路方法，將多邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題解決(3)應(yīng)用：運(yùn)用多邊形內(nèi)角和公式可以求出任何邊數(shù)的多邊形的內(nèi)角和

7、；由多邊形內(nèi)角和公式可知，邊數(shù)相同的多邊形內(nèi)角和也相等，因此已知多邊形內(nèi)角和也能求出邊數(shù)【例3】 選擇：(1)十邊形的內(nèi)角和為()A1 260° B1 440°C1 620° D1 800°(2)一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為720°，那么這個(gè)多邊形的對(duì)角線(xiàn)共有()A6條 B7條C8條 D9條解析：(1)運(yùn)用多邊形內(nèi)角和公式計(jì)算：180°×(102)1 440°，故選B；(2)一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為720°，即180°×(n2)720°，解得n6，所以該多邊形是六邊形，六邊形有9條對(duì)角線(xiàn)

8、，故選D.答案：(1)B(2)D4多邊形的外角和(1)公式：多邊形的外角和等于360°.(2)探究過(guò)程：如圖，以六邊形為例外角和：在每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角，即1，2，3，4，5，6，它們的和為外角和因?yàn)橥旤c(diǎn)處的一個(gè)內(nèi)角和外角互為鄰補(bǔ)角，所以六邊形內(nèi)、外角和等于180°×61 080°，所以1234561 080°180°×(62)360°.n邊形外角和n×180°(n2)×180°360°.(3)拓展理解：多邊形的外角和是一個(gè)恒值，即任何多邊形的外角和都是360&

9、#176;，與邊數(shù)無(wú)關(guān)多邊形的外角和與多邊形所有外角的和不是一回事，多邊形的外角和是每個(gè)頂點(diǎn)處取一個(gè)外角的和解技巧 多邊形的內(nèi)角與相鄰?fù)饨堑年P(guān)系的運(yùn)用同頂點(diǎn)的每一個(gè)內(nèi)角和外角互為鄰補(bǔ)角是解決含內(nèi)、外角問(wèn)題的關(guān)鍵，是內(nèi)、外角轉(zhuǎn)換的紐帶【例4】 填空：(1)一個(gè)多邊形每個(gè)外角都是60°，這個(gè)多邊形是_邊形，它的內(nèi)角和是_度，外角和是_度；(2)多邊形邊數(shù)每增加一條，它的內(nèi)角和會(huì)增加_，外角和增加_解析：(1)因?yàn)槊總€(gè)外角都是60°，所以360°÷60°6，所以是六邊形根據(jù)內(nèi)角和公式計(jì)算出內(nèi)角和是720°，外角和是恒值為360°(

10、也可以由每個(gè)外角都是60°，得每個(gè)內(nèi)角都是120°，進(jìn)而得到內(nèi)角和是720°)；(2)多邊形邊數(shù)每增加一條，它的內(nèi)角和會(huì)增加180°，但外角和不變答案：(1)六720360(2)180°0°5多邊形內(nèi)角和公式的應(yīng)用多邊形內(nèi)角和只與邊數(shù)有關(guān)，因此當(dāng)一個(gè)多邊形的邊數(shù)確定時(shí)，多邊形的內(nèi)角和就是一定的，所以多邊形內(nèi)角和公式就有兩個(gè)作用：(1)已知多邊形邊數(shù)(頂點(diǎn)數(shù)、內(nèi)角個(gè)數(shù))就可以求出多邊形內(nèi)角和度數(shù)，方法是直接將邊數(shù)n代入公式(n2)×180°求出(2)已知多邊形內(nèi)角和求多邊形邊數(shù)，只要根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式列出以n為未知

11、數(shù)的方程，解方程，求出n即可得到邊數(shù)破疑點(diǎn) 多邊形內(nèi)角和的理解用內(nèi)角和除以180°得到的是n2的值，不是邊數(shù)，邊數(shù)是n，這點(diǎn)要注意熟記多邊形內(nèi)角和公式是這部分內(nèi)容應(yīng)用的關(guān)鍵【例51】 若一個(gè)四邊形的四個(gè)內(nèi)角度數(shù)的比為3456，則這個(gè)四邊形的四個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為_(kāi)解析：設(shè)每一份為x°，那么四個(gè)角分別為3x°，4x°，5x°，6x°.根據(jù)四邊形內(nèi)角和是360°，列出方程3x4x5x6x360，解得x20，然后求出各角；也可以用360°÷1820°，每一份是20°，然后求解答案：60

12、6;，80°，100°，120°【例52】 一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于1 440°，則它的邊數(shù)為_(kāi)解析：根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式列出以n為未知數(shù)的方程(n2)×1801 440，解方程得n10.所以這個(gè)多邊形為十邊形答案：10【例53】 一個(gè)多邊形的內(nèi)角和不可能是()A1 800° B540° C720° D810°解析：因?yàn)檫厰?shù)只能是整數(shù)，所以多邊形的內(nèi)角和必須是180°的整數(shù)倍，故選D.答案：D6.多邊形外角、外角和公式的應(yīng)用多邊形外角和是360°，它是一個(gè)恒值，不論多邊形是幾邊形，它的外

13、角和都是360°，與邊數(shù)無(wú)關(guān)，所以對(duì)于普通多邊形，根據(jù)多邊形外角和無(wú)法判斷多邊形的邊數(shù)，因此多邊形外角很少單獨(dú)考查，它一般應(yīng)用于正多邊形中或各角都相等時(shí)的情況，因?yàn)檎噙呅蔚拿恳粋€(gè)內(nèi)角都相等，所以正多邊形的每一個(gè)外角也都相等，因此只要知道正多邊形中任一個(gè)外角的度數(shù)就能求出邊數(shù)，或知道外角的個(gè)數(shù)也能求出每一個(gè)外角的度數(shù)，進(jìn)而能求出內(nèi)角度數(shù)和內(nèi)角和的度數(shù)同頂點(diǎn)的外角和內(nèi)角互為鄰補(bǔ)角，所以多邊形外角和內(nèi)角又是相互聯(lián)系的，知道內(nèi)角能求外角，知道外角也能求內(nèi)角，它們之間能相互轉(zhuǎn)換破疑點(diǎn) 多邊形外角和與外角的關(guān)系多邊形的外角和與多邊形所有外角的和不是一回事，多邊形的外角和是每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角

14、的和，是360°，而多邊形所有外角的和是360°的2倍，是720°，這點(diǎn)要注意【例61】 如圖所示，已知ABE138°，BCF98°，CDG69°，則DAB_.解析：方法一：根據(jù)同頂點(diǎn)的外角和內(nèi)角互為鄰補(bǔ)角，求出已知角的鄰補(bǔ)角根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360°，求出A；方法二：根據(jù)四邊形外角和為360°，求出與A同頂點(diǎn)的鄰補(bǔ)角(A點(diǎn)處的外角)，再求出A.答案：125°【例62】 如圖，在四邊形ABCD中，1，2分別是BCD和BAD的鄰補(bǔ)角，且BADC140°，則12等于()A140° B40&

15、#176;C260° D不能確定解析：方法一：因?yàn)樗倪呅蝺?nèi)角和是360°，且BADC140°，所以DABDCB220°，12DABDCB180°×2，所以12360°220°140°；方法二：可求出與B，ADC同頂點(diǎn)的兩外角和為220°，根據(jù)四邊形外角和是360°，得出12360°220°140°；方法三：連接BD，根據(jù)三角形一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩內(nèi)角和，求出12的度數(shù)答案：A7.正多邊形知識(shí)的應(yīng)用正多邊形是特殊的多邊形，它特殊在每一個(gè)內(nèi)角、外角、每一

16、條邊都相等，所以在正多邊形中，只要知道一個(gè)角的度數(shù)，就能知道所有角的度數(shù)，包括每一個(gè)外角的度數(shù)知道一邊的長(zhǎng)度，就能知道每一邊的長(zhǎng)度因此它的應(yīng)用主要包括兩個(gè)方面：(1)已知內(nèi)角(或外角)能求邊數(shù)、內(nèi)角和；已知邊數(shù)能求每一個(gè)外角(或內(nèi)角)的度數(shù)及內(nèi)角和，即在內(nèi)角和、邊數(shù)、內(nèi)角度數(shù)、外角度數(shù)四個(gè)量中知道一個(gè)量就能求出其他三個(gè)量(2)因?yàn)檎噙呅蚊恳粭l邊都相等，所以知道周長(zhǎng)能求邊長(zhǎng)，知道邊長(zhǎng)能求周長(zhǎng)(因較簡(jiǎn)單所以考查較少)解技巧 利用方程思想求多邊形的邊數(shù)正多邊形中已知一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)求邊數(shù)時(shí)，一是將內(nèi)角根據(jù)“同頂點(diǎn)的內(nèi)、外角互補(bǔ)”轉(zhuǎn)化為外角，再根據(jù)外角和是360°，由360°除以一

17、個(gè)外角的度數(shù)得到邊數(shù)；二是根據(jù)內(nèi)角和公式和每個(gè)角度數(shù)都相等列方程解出邊數(shù)n.【例71】 若八邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，則其每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是_解析：由多邊形內(nèi)角和定理知，八邊形的內(nèi)角和是1 080°，每個(gè)內(nèi)角都相等，所以1 080°÷8135°.答案：135°【例72】 一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都等于30°，這個(gè)多邊形的邊數(shù)是_，它的內(nèi)角和是_解析：多邊形的外角和是360°，每個(gè)外角都是30°，所以360°÷30°12，所以該多邊形是十二邊形，內(nèi)角和是1 800°，本題也可根據(jù)共頂點(diǎn)

18、的內(nèi)、外角互補(bǔ)，求出內(nèi)角和答案：121 800°【例73】 一個(gè)多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都等于144°，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)分析：方法一：可設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，那么內(nèi)角和就是(n2)×180°，因?yàn)槊恳粋€(gè)內(nèi)角都是144°，所以?xún)?nèi)角和為144°×n，根據(jù)“表示同一個(gè)量的兩個(gè)式子相等”列方程解出；方法二：因?yàn)槊恳粋€(gè)內(nèi)角都等于144°，所以每一個(gè)外角都是36°.根據(jù)多邊形外角和為360°，用360°÷36°10，也可以得出這個(gè)多邊形為十邊形解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，則(n2

19、)×180°n×144°，解得n10.答：這個(gè)多邊形的邊數(shù)為10.8邊數(shù)、頂點(diǎn)數(shù)、內(nèi)角和、對(duì)角線(xiàn)條數(shù)之間關(guān)系的綜合應(yīng)用在多邊形問(wèn)題中，當(dāng)多邊形的邊數(shù)n一定時(shí)，不論多邊形形狀如何，多邊形的內(nèi)角和也是一定的，是(n2)×180°，多邊形對(duì)角線(xiàn)的條數(shù)也是一定的，是，并且從一個(gè)頂點(diǎn)引出的對(duì)角線(xiàn)的條數(shù)也是一定的，是(n3)條，所以在多邊形問(wèn)題中，在這些量中，只要知道其中一個(gè)量，就可以求出所有的量在多邊形問(wèn)題的綜合應(yīng)用中，一般是邊數(shù)、對(duì)角線(xiàn)的條數(shù)、內(nèi)角和之間的關(guān)系應(yīng)用較多，有時(shí)還與正多邊形知識(shí)相結(jié)合因知識(shí)限制，一般是給出內(nèi)角和，求邊數(shù)或?qū)蔷€(xiàn)條數(shù)

20、題目較多，如：已知一個(gè)多邊形內(nèi)角和是1 080°，它有幾條對(duì)角線(xiàn)？根據(jù)內(nèi)角和公式列方程，(n2)×1801 080求出邊數(shù)，再根據(jù)對(duì)角線(xiàn)公式求出對(duì)角線(xiàn)條數(shù)【例81】 過(guò)n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的所有對(duì)角線(xiàn)，把多邊形分成8個(gè)三角形，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是()A8 B9 C10 D11解析：過(guò)多邊形一個(gè)頂點(diǎn)的所有對(duì)角線(xiàn)將一個(gè)多邊形分成(n2)個(gè)三角形，所以n28，解得n10，即這個(gè)多邊形是十邊形，故選C.答案：C【例82】 多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都是150°，則此多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)引出的對(duì)角線(xiàn)的條數(shù)是()A7 B8 C9 D10解析：根據(jù)每一個(gè)內(nèi)角都是150°，求出這個(gè)多邊

21、形是十二邊形，它的一個(gè)頂點(diǎn)引出的對(duì)角線(xiàn)的條數(shù)是n31239，故選C.答案：C【例83】 一個(gè)多邊形的對(duì)角線(xiàn)的條數(shù)等于它的邊數(shù)的4倍，求這個(gè)多邊形的內(nèi)角和分析：設(shè)邊數(shù)為n，根據(jù)對(duì)角線(xiàn)的條數(shù)是邊數(shù)的4倍，列方程求出邊數(shù)，再代入多邊形內(nèi)角和公式求出內(nèi)角和解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)題意，得4n，解得n11，所以這個(gè)多邊形的內(nèi)角和為：(n2)×180°(112)×180°1 620°.9.將多邊形截去一個(gè)角問(wèn)題的探討在多邊形問(wèn)題中，有一類(lèi)問(wèn)題是將多邊形截去一個(gè)角后，探討多邊形邊數(shù)變化和內(nèi)角和變化的問(wèn)題在這類(lèi)問(wèn)題中，因截法不同，會(huì)出現(xiàn)不同的變化，現(xiàn)以

22、四邊形為例加以說(shuō)明如圖所示，將正方形的桌面截去一個(gè)角，那么余下的多邊形的內(nèi)角和度數(shù)將怎樣變化？因截法有三種情況，所以?xún)?nèi)角和也就有三種情況：(1)當(dāng)是圖所示情況時(shí)，不過(guò)任何一個(gè)頂點(diǎn)，四邊形變?yōu)槲暹呅危厰?shù)增加1，所以?xún)?nèi)角和為540°.(2)當(dāng)是圖所示情況時(shí)，過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)，四邊形邊數(shù)不變，所以?xún)?nèi)角和也不變，為360°.(3)當(dāng)是圖所示情況時(shí)，過(guò)兩個(gè)頂點(diǎn)，四邊形變?yōu)槿切危厰?shù)減少1，所以?xún)?nèi)角和也變?yōu)?80°.析規(guī)律 分類(lèi)解決問(wèn)題對(duì)于其他多邊形(三角形除外，因?yàn)槿切沃挥袃煞N情況)也有這樣的三種情況，并且截法相同，解法也相同【例91】 一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，變?yōu)槭呅?/p>

23、，則原來(lái)的多邊形的邊數(shù)為()A15或17 B16或17C16或18 D15或16或17解析：因截法不同，所以有三種可能，當(dāng)不過(guò)任何一個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，截完后邊數(shù)會(huì)增加1，因此原來(lái)多邊形應(yīng)為十五邊形；當(dāng)過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，截完后邊數(shù)不變，所以這種情況下原來(lái)的多邊形為十六邊形；當(dāng)過(guò)兩個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，邊數(shù)比原來(lái)減少1，所以原來(lái)就是十七邊形，所以原來(lái)的多邊形的邊數(shù)為15或16或17，故選D.答案：D【例92】 一個(gè)多邊形截去一個(gè)角(截線(xiàn)不過(guò)頂點(diǎn))之后，所形成的一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是2 520°，那么原多邊形的邊數(shù)是()A13 B15 C17 D19解析：一個(gè)多邊形截去一個(gè)角，因截線(xiàn)不過(guò)任何頂點(diǎn)，所以新得到的多邊形

24、邊數(shù)比原來(lái)的多邊形的邊數(shù)應(yīng)該增加1.因?yàn)樾碌玫降亩噙呅蝺?nèi)角和是2 520°，根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式列方程得(n2)×180°2 520°，解得n16，新多邊形為十六邊形，所以原多邊形為十五邊形，故選B.答案：B【例93】 如果一個(gè)多邊形的邊數(shù)增加一倍，它的內(nèi)角和是2 880°，那么原來(lái)的多邊形的邊數(shù)是()A10 B9 C8 D7解析：現(xiàn)在的多邊形的內(nèi)角和是2 880°，根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式(n2)×180°2 880°，求出n18，所以原來(lái)的多邊形的邊數(shù)就是18÷29，因此是九邊形，故選B.答案：

25、B10.多邊形內(nèi)角和少算或多算一個(gè)角類(lèi)型題目探索因?yàn)槎噙呅蔚倪厰?shù)只能是整數(shù)，由多邊形內(nèi)角和公式(n2)×180°可知，n2是正整數(shù)，所以多邊形的內(nèi)角和必定是180°的整數(shù)倍，因此：當(dāng)所給內(nèi)角和是多計(jì)算一個(gè)角的情況時(shí)，用所給內(nèi)角和除以180°，因?yàn)槎嗉拥慕谴笥?°小于180°，所以得到的余數(shù)部分就是多加角的度數(shù)，得到的整數(shù)部分加2就是邊數(shù)；當(dāng)所給內(nèi)角和是少計(jì)算一個(gè)角的情況時(shí)，因?yàn)樯偌恿私?，所以得到的整?shù)部分加2比實(shí)際的角個(gè)數(shù)少1，所以用所給內(nèi)角和除以180°，整數(shù)部分加3才是邊數(shù)，180°減余數(shù)部分就是少加的角的度數(shù)

26、破疑點(diǎn) 多邊形內(nèi)角和與邊數(shù)的關(guān)系內(nèi)角和除以180°所得到的整數(shù)并不是邊數(shù)(或角的個(gè)數(shù))n，而是n2的值，所以得到的整數(shù)加2才是邊數(shù)，這是易錯(cuò)點(diǎn)，要注意【例101】 一個(gè)多邊形除了一個(gè)內(nèi)角之外，其余內(nèi)角之和為2 670°，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)和少加的內(nèi)角的大小分析：因?yàn)檫@個(gè)多邊形的內(nèi)角和少加了一個(gè)內(nèi)角，所以?xún)?nèi)角和實(shí)際要大于2 670°，并且加上這個(gè)角后就是180°的整數(shù)倍，2 670°÷180°14150°，所以n214，n16，因少加一個(gè)角，所以實(shí)際有16117個(gè)角，所以邊數(shù)是17條，少加的內(nèi)角是180°1

27、50°30°.解：因?yàn)? 670°÷180°14150°，所以n2141，n17.所以這個(gè)多邊形的邊數(shù)是17.少加的內(nèi)角是180°150°30°.【例102】 若多邊形所有內(nèi)角與它的一個(gè)外角的和為600°，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)及內(nèi)角和分析：由已知可知，600°是多加了一個(gè)外角后的內(nèi)角和，減去多加的角就應(yīng)是180°的整數(shù)倍，因此600°÷180°360°，因此n23，所以n5，這個(gè)多邊形為五邊形，邊數(shù)是5，代入多邊形內(nèi)角和公式即可求出內(nèi)角和

28、因?yàn)槎嗉恿艘粋€(gè)角，并且多加的角是余數(shù)60°，也可以用600°減去余數(shù)(60°)得到內(nèi)角和度數(shù)解：由題意，得600°÷180°360°，所以n23，n5.所以這個(gè)多邊形的邊數(shù)是5.所以這個(gè)多邊形的內(nèi)角和為：180°×(52)540°.答：這個(gè)多邊形的邊數(shù)是5，內(nèi)角和是540°.多邊形及其內(nèi)角和習(xí)題第1題. 各角都相等的邊形的一個(gè)外角可能取得的值是（）以上都不對(duì)第2題. 一個(gè)多邊形的內(nèi)角和比它的外角的3倍少180°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是（）第3題. 過(guò)邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的所有對(duì)角線(xiàn)，

29、把多邊形分成個(gè)三角形，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是（）第4題. 若一個(gè)多邊形的對(duì)角線(xiàn)的條數(shù)恰好為邊數(shù)的3倍，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為（）第5題. 一個(gè)多邊形的對(duì)角線(xiàn)的條數(shù)等于它的邊數(shù)的4倍，求這個(gè)多邊形的內(nèi)角和第6題. 圖中是三種將多邊形分成三角形的不同方法它們將多邊形分成三角形的個(gè)數(shù)分別是（用含的代數(shù)式表示）第7題. 已知甲多邊形的內(nèi)角和是乙多邊形內(nèi)角和的2倍，而從甲多邊形一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)所引對(duì)角線(xiàn)的條數(shù)與從乙多邊形一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)所引對(duì)角線(xiàn)的條數(shù)的比是，那么甲是邊形，乙是邊形第8題. 已知如圖，四邊形中，和的平分線(xiàn)交于點(diǎn)求證：第9題. 多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都是150°，則此多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)引出的對(duì)角線(xiàn)

30、的條數(shù)是（）第10題. 如果五邊形的五個(gè)外角的比是，則五邊形中最大的內(nèi)角與最小的內(nèi)角的比是第11題. 如圖，一個(gè)頂角為的等腰三角形紙片，剪去頂角后，得到12一個(gè)四邊形，則度第12題. 邊形的內(nèi)角和比邊形的內(nèi)角和大第13題. 正六邊形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是參考答案1答案：2答案：73答案：104答案：95答案： 6答案：，7答案：十，六8答案：提示：由，是和的平分線(xiàn)，得再由四邊形內(nèi)角和等于，得代入上式9答案：910答案：11答案：220；12答案：13答案：120；25三角形1三角形(1)定義：由不在同一條直線(xiàn)上的三條線(xiàn)段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形(2)構(gòu)成：如圖所示，三角形ABC有三條邊，

31、三個(gè)內(nèi)角，三個(gè)頂點(diǎn)邊：組成三角形的線(xiàn)段叫做三角形的邊角：相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡(jiǎn)稱(chēng)三角形的角頂點(diǎn)：相鄰兩邊的公共端點(diǎn)是三角形的頂點(diǎn)(3)表示：三角形用符號(hào)“”表示，三角形ABC用符號(hào)表示為ABC.注：頂點(diǎn)A所對(duì)的邊BC用a表示，頂點(diǎn)B所對(duì)的邊AC用b表示，頂點(diǎn)C所對(duì)的邊AB用c表示(4)分類(lèi)：三角形按角分類(lèi)如下：三角形三角形按邊的相等關(guān)系分類(lèi)如下：破疑點(diǎn) 等邊三角形和等腰三角形的關(guān)系等邊三角形是特殊的等腰三角形，即等邊三角形是底邊和腰相等的等腰三角形【例1】 如圖所示，圖中有幾個(gè)三角形，分別表示出來(lái)，并寫(xiě)出它們的邊和角分析：根據(jù)三角形的定義及構(gòu)成得出結(jié)論解：圖中有三個(gè)三角形，分別

32、是：ABC，ABD，ADC.ABC的三邊是：AB，BC，AC，三個(gè)內(nèi)角分別是：BAC，B，C；ABD的三邊是：AB，BD，AD，三個(gè)內(nèi)角分別是：BAD，B，ADB；ADC的三邊是：AD，DC，AC，三個(gè)內(nèi)角分別是：ADC，DAC，C.2三角形的三邊關(guān)系(1)三邊關(guān)系：三角形兩邊的和大于第三邊，用字母表示：abc，cba，acb.三角形兩邊的差小于第三邊，用字母表示為：cb<a，ba<c，ca<b.(2)作用：利用三角形的三邊關(guān)系，在已知兩邊的三角形中可以確定第三邊的取值范圍；根據(jù)所給三條線(xiàn)段長(zhǎng)度判斷這三條線(xiàn)段能否構(gòu)成三角形“兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短”是三邊關(guān)系得出的理論依據(jù).破疑點(diǎn)

33、三角形三邊關(guān)系的理解三角形兩邊之和大于第三邊指的是三角形中任意兩邊之和都大于第三邊，即abc，cba，acb三個(gè)不等式同時(shí)成立【例2】 下列長(zhǎng)度的三條線(xiàn)段(單位：厘米)能組成三角形的是()A1,2,3.5 B4,5,9C5,8,15 D6,8,9解析：選擇最短的兩條線(xiàn)段，計(jì)算它們的和是否大于最長(zhǎng)的線(xiàn)段，若大于，則能構(gòu)成三角形，否則構(gòu)不成三角形，只有68149，所以D能構(gòu)成三角形答案：D3三角形的高(1)定義：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在的直線(xiàn)作垂線(xiàn)，頂點(diǎn)和垂足之間的線(xiàn)段叫做三角形的高(2)描述方法：高的描述方法有三種，這三種方法都能得出AD是BC邊上的高如圖所示AD是ABC的高；ADBC，

34、垂足為D；D在BC上，且ADBADC90°.(3)性質(zhì)特點(diǎn)：因?yàn)楦呤峭ㄟ^(guò)作垂線(xiàn)得出的，因而有高一定有垂直和直角常用關(guān)系式為：因?yàn)锳D是BC邊上的高，所以ADBADC90°.“三角形的三條高(所在直線(xiàn))交于一點(diǎn)”，當(dāng)是銳角三角形時(shí)，這點(diǎn)在三角形內(nèi)部；當(dāng)是直角三角形時(shí)，這點(diǎn)在三角形直角頂點(diǎn)上；當(dāng)是鈍角三角形時(shí)，這點(diǎn)在三角形外部如圖所示破疑點(diǎn) 三角形的高線(xiàn)的理解三角形的高是線(xiàn)段，不是直線(xiàn)，它的一個(gè)端點(diǎn)是三角形的頂點(diǎn)，另一個(gè)端點(diǎn)在這個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)邊或?qū)吽诘闹本€(xiàn)上【例3】 三角形的三條高在()A三角形的內(nèi)部B三角形的外部C三角形的邊上D三角形的內(nèi)部、外部或邊上解析：三角形的三條高交于

35、一點(diǎn)，但有三種情況：當(dāng)是銳角三角形時(shí)，這點(diǎn)在三角形內(nèi)部；當(dāng)是直角三角形時(shí)，這點(diǎn)在三角形直角頂點(diǎn)上；當(dāng)是鈍角三角形時(shí)，這點(diǎn)在三角形外部，所以只有D正確答案：D4三角形的中線(xiàn)(1)定義：三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊中點(diǎn)的線(xiàn)段叫做三角形的中線(xiàn)(2)描述方法：三角形中線(xiàn)的描述方法有兩種方式，如圖直接描述：AD是BC邊上的中線(xiàn)；間接描述：D是BC邊上的中點(diǎn)(3)性質(zhì)特點(diǎn)：由三角形中線(xiàn)定義可知，有中線(xiàn)就有相等的線(xiàn)段，如上圖中，因?yàn)锳D是BC邊上的中線(xiàn)，所以BDCD(或BDBC，DCBC)如下圖所示，一個(gè)三角形有三條中線(xiàn)，每條邊上各有一條，三角形的三條中線(xiàn)交于一點(diǎn)不論是銳角三角形、直角三角形，還是鈍角三角

36、形，三角形的三條中線(xiàn)都交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)三角形三條中線(xiàn)的交點(diǎn)叫做三角形的重心破疑點(diǎn) 三角形的中線(xiàn)的理解三角形的中線(xiàn)也是線(xiàn)段，它是一個(gè)頂點(diǎn)和對(duì)邊中點(diǎn)的連線(xiàn)，它的一個(gè)端點(diǎn)是三角形的頂點(diǎn)，另一個(gè)端點(diǎn)是這個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)邊中點(diǎn)【例4】 如圖，AE是ABC的中線(xiàn)，EC6，DE2，則BD的長(zhǎng)為()A2 B3 C4 D6解析：因?yàn)锳E是ABC的中線(xiàn)，所以BEEC6.又因?yàn)镈E2，所以BDBEDE624.答案：C5三角形的角平分線(xiàn)(1)定義：三角形中，一個(gè)內(nèi)角的平分線(xiàn)與它的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線(xiàn)段叫做三角形的角平分線(xiàn)(2)描述方法：角平分線(xiàn)的描述有三種，如圖直接描述：AD是ABC的角平分線(xiàn)；在ABC中

37、，1=2，且D在BC上；AD平分BAC，交BC于點(diǎn)D.(3)性質(zhì)特點(diǎn)：由三角形角平分線(xiàn)的定義可知，有角平分線(xiàn)就有相等的角，如上圖中，因?yàn)锳D是ABC的角平分線(xiàn)，所以1=2(或1=2=BAC，或BAC=21=22)一個(gè)三角形有三條角平分線(xiàn)，三角形的三條角平分線(xiàn)交于一點(diǎn)，不論是銳角三角形、直角三角形，還是鈍角三角形，這個(gè)交點(diǎn)都在三角形內(nèi)部解技巧 三角形的角平分線(xiàn)的理解三角形的角平分線(xiàn)也是一條線(xiàn)段，角的頂點(diǎn)是一個(gè)端點(diǎn)，另一個(gè)端點(diǎn)在對(duì)邊上【例5】 下列說(shuō)法正確的是()平分三角形內(nèi)角的射線(xiàn)叫做三角形的角平分線(xiàn)；三角形的中線(xiàn)、角平分線(xiàn)都是線(xiàn)段，而高是直線(xiàn)；每個(gè)三角形都有三條中線(xiàn)、高和角平分線(xiàn)；三角形的中線(xiàn)

38、是經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)和對(duì)邊中點(diǎn)的直線(xiàn)A B C D解析：任何一個(gè)三角形都有三條高、中線(xiàn)和角平分線(xiàn)，并且它們都是線(xiàn)段，不是射線(xiàn)或直線(xiàn)，因此只有正確，故選B.答案：B6三角形的穩(wěn)定性(1)定義：三角形的三邊確定后，這個(gè)三角形的大小、形狀就確定不變了，三角形的這個(gè)性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性(2)理解：三角形的穩(wěn)定性指的是三角形的大小和形狀不變，這說(shuō)明一個(gè)三角形確定后它的附屬性質(zhì)也不變，這不同于四邊形，因而在實(shí)際生活中，都是用三角形做支架的【例6】 在建筑工地我們?？煽匆?jiàn)如圖所示，用木條EF固定矩形門(mén)框ABCD的情形這種做法根據(jù)()A兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短B兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)C三角形的穩(wěn)定性D矩形的四個(gè)角都是直角解析：這是

39、三角形穩(wěn)定性在日常生活中的應(yīng)用，C正確答案：C解技巧 三角形的穩(wěn)定性的理解三角形穩(wěn)定性的問(wèn)題都是以實(shí)際生活為原型，說(shuō)明這樣做的道理，一般較為簡(jiǎn)單7三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用三角形中“兩邊之和大于第三邊(兩邊之差小于第三邊)”，這是三角形中最基本的三邊關(guān)系這里的“兩邊之和”指的是“任意兩邊的和”，滿(mǎn)足這一關(guān)系是三條線(xiàn)段能否構(gòu)成三角形的前提三角形三邊關(guān)系的運(yùn)用主要有兩方面，一是在已知兩邊的情況下確定第三邊的取值范圍；二是根據(jù)所給三條線(xiàn)段的長(zhǎng)度判斷這三條線(xiàn)段能否構(gòu)成三角形解技巧 三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用當(dāng)線(xiàn)段a，b，c滿(mǎn)足最短的兩條線(xiàn)段之和大于最長(zhǎng)的線(xiàn)段時(shí)就可構(gòu)成三角形；已知兩條線(xiàn)段，可根據(jù)第三條線(xiàn)段大于這兩

40、邊之差，小于這兩邊之和，來(lái)確定第三條線(xiàn)段的取值范圍【例71】 以下列長(zhǎng)度的三條線(xiàn)段為邊，能組成三角形嗎？(1)6 cm,8 cm,10 cm；(2)三條線(xiàn)段長(zhǎng)之比為456；(3)a1，a2，a3(a0)分析：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系來(lái)判斷已知的三條線(xiàn)段能否組成三角形，選擇較短的兩條線(xiàn)段，看它們的和是否大于第三條線(xiàn)段，即可判斷能否組成三角形解：(1)因?yàn)?810，所以長(zhǎng)為6 cm,8 cm,10 cm的三條線(xiàn)段能組成三角形；(2)設(shè)這三條線(xiàn)段長(zhǎng)分別為4x,5x,6x(x0)，因?yàn)?x5x大于6x，所以三條線(xiàn)段長(zhǎng)之比為456時(shí)，能組成三角形；(3)因?yàn)閍1a22a3，當(dāng)a0時(shí)，2a3a3，所以a1，a

41、2，a3(a0)長(zhǎng)的線(xiàn)段能組成三角形【例72】 已知三角形的兩邊長(zhǎng)分別為5 cm和8 cm，則此三角形的第三邊的長(zhǎng)x的取值范圍是_解析：根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知，第三條邊的長(zhǎng)x應(yīng)大于已知兩邊之差且小于已知兩邊之和，所以3 cm<x<13 cm.答案：3 cm<x<13 cm8.三角形的高、中線(xiàn)、角平分線(xiàn)的畫(huà)法三角形是最基本的圖形，也是應(yīng)用最多的圖形，因此畫(huà)出它們高、中線(xiàn)、角平分線(xiàn)經(jīng)常用到，是必須掌握的基本技能(1)高的畫(huà)法：類(lèi)似于垂線(xiàn)的畫(huà)法，用三角板過(guò)某一頂點(diǎn)向?qū)吇驅(qū)呇娱L(zhǎng)線(xiàn)畫(huà)垂線(xiàn)，交對(duì)邊于一點(diǎn)，所得到的垂線(xiàn)段就是這條邊上的高(2)中線(xiàn)的畫(huà)法：取一邊中點(diǎn)，連接這點(diǎn)和這邊

42、相對(duì)的頂點(diǎn)的線(xiàn)段，就是所求中線(xiàn)(3)角平分線(xiàn)的畫(huà)法：類(lèi)似于畫(huà)角平分線(xiàn)，作三角形一個(gè)角的平分線(xiàn)，交對(duì)邊于一點(diǎn)，這點(diǎn)和角的頂點(diǎn)之間的線(xiàn)段就是所求的角平分線(xiàn)9三角形高的應(yīng)用從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在的直線(xiàn)作垂線(xiàn)，頂點(diǎn)和垂足之間的線(xiàn)段叫做三角形的高因?yàn)槿切蔚母呤峭ㄟ^(guò)作垂線(xiàn)得到的，既有直角，又有垂線(xiàn)段，因此它的應(yīng)用方向主要有兩方面：一是求面積問(wèn)題，高是垂線(xiàn)段，也是點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，是求三角形的面積所必須知道的長(zhǎng)度；二是直角，高是垂線(xiàn)段，因而一定有直角，根據(jù)所有直角都相等或互余關(guān)系進(jìn)行解題是三角形的高應(yīng)用的另一方向解技巧 巧證直角背景下兩銳角相等圖形中含有高時(shí)，經(jīng)常用“同角(或等角)的余角相等”來(lái)證

43、明角相等，這既是一種方法，也是一個(gè)規(guī)律【例8】 如圖(1)，已知ABC，畫(huà)出ABC中，BC邊上的高、中線(xiàn)和BAC的平分線(xiàn)圖(1) 圖(2)分析：因?yàn)槿切蔚母?、中線(xiàn)、角平分線(xiàn)都是描述性定義，它們的定義就蘊(yùn)含了它們的畫(huà)法，根據(jù)總結(jié)的畫(huà)法畫(huà)出圖形即可，如圖(2)解：畫(huà)法如下：(1)過(guò)A作BC的垂線(xiàn)，垂足為D，AD即為BC邊上的高；(2)取BC的中點(diǎn)E，連接AE，AE即為BC邊上的中線(xiàn)；(3)作BAC的平分線(xiàn)，交BC于點(diǎn)F，連接AF，AF即為ABC中BAC的平分線(xiàn)【例9】 如圖，在ABC中，AD，BE分別是邊BC，AC上的高，試說(shuō)明DAC與EBC的關(guān)系分析：因?yàn)橛腥切沃械母呔陀写怪?、直角，所以AD

44、C，BEC都是直角根據(jù)小學(xué)所學(xué)三角形的內(nèi)角和為180°，所以DACC90°，EBCC90°，根據(jù)同角的余角相等，即可得出DACEBC.解：DACEBC.因?yàn)锳D，BE分別是邊BC，AC上的高，所以ADC90°，BEC90°.所以DACC90°，EBCC90°.所以DACEBC.10三角形中線(xiàn)應(yīng)用拓展三角形的中線(xiàn)是三角形中的一條重要線(xiàn)段，它最大的特點(diǎn)是已知三角形的中線(xiàn)，圖中一定含有相等線(xiàn)段，由此延伸出中線(xiàn)的應(yīng)用：(1)面積問(wèn)題：三角形的中線(xiàn)將三角形分成面積相等的兩個(gè)三角形，如圖，在ABC中，AD是BC邊上的中線(xiàn)，則SABDSA

45、CDSABC.因?yàn)锽DCD，ABD和ADC等底同高，所以面積相等，因此通過(guò)作三角形的中線(xiàn)可將三角形分成面積相等的兩部分(2)周長(zhǎng)問(wèn)題：如圖所示，AD是BC邊上的中線(xiàn)，ABD和ACD的周長(zhǎng)之差實(shí)質(zhì)上就是AB與AC的差，這也是三角形中線(xiàn)中常出現(xiàn)的問(wèn)題【例10】 有一塊三角形優(yōu)良品種試驗(yàn)基地，如圖所示，由于引進(jìn)四個(gè)優(yōu)良品種進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)，需將這塊土地分成面積相等的四塊，請(qǐng)你制定出兩種以上的劃分方案供選擇(畫(huà)圖說(shuō)明)分析：根據(jù)三角形中線(xiàn)將三角形分為面積相等的兩部分的特征，先把原三角形分為兩個(gè)面積相等的三角形，然后再依次等分解：答案不唯一，如方案1：如圖(1)，在BC上取點(diǎn)D，E，F(xiàn)，使BDDEEFFC，

46、連接AD，AE，AF.方案2：如圖(2)，分別取AB，BC，CA的中點(diǎn)D，E，F(xiàn)，連接DE，EF，DF.方案3：如圖(3)，分別取BC的中點(diǎn)D、CD的中點(diǎn)E、AB的中點(diǎn)F，連接AD，AE，DF.方案4：如圖(4)，分別取BC的中點(diǎn)D、AB的中點(diǎn)E、AC的中點(diǎn)F，連接AD，DE，DF.11.等腰三角形中的三邊關(guān)系等腰三角形是特殊的三角形，它最大的特點(diǎn)是兩條邊相等，所以反映在三邊關(guān)系中，就是底與腰的關(guān)系：只要兩腰之和大于底就一定能構(gòu)成三角形；在等腰三角形中，底的取值范圍是大于0且小于兩腰之和因?yàn)榈妊切蔚奶厥庑?，所以在涉及等腰三角形?wèn)題時(shí)，只要不明確哪是底，哪是腰，就必須分情況討論，并且要驗(yàn)證是

47、否能構(gòu)成三角形如一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)是2 cm和5 cm，它的周長(zhǎng)是多少？情況一：當(dāng)腰是2 cm底是5 cm時(shí)，因?yàn)?2<5，兩邊之和小于第三邊，所以此等腰三角形不存在；情況二：當(dāng)腰是5 cm底是2 cm時(shí)，525，所以此等腰三角形存在，此時(shí)周長(zhǎng)為12 cm.解技巧 利用三邊關(guān)系求等腰三角形的邊長(zhǎng)根據(jù)兩邊之和大于第三邊，結(jié)合底和腰的關(guān)系先判斷等腰三角形是否存在是求解的前提【例111】 等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為6 cm和9 cm，則腰長(zhǎng)為_(kāi)解析：兩種情況，一是腰長(zhǎng)為6 cm時(shí)，底邊就是9 cm，此時(shí)669，此三角形存在，所以腰長(zhǎng)可以是6 cm；二是腰長(zhǎng)為9 cm，此時(shí)969，此三角形也存

48、在，所以腰長(zhǎng)也可以是9 cm，故腰長(zhǎng)為6 cm或9 cm.答案：9 cm或6 cm【例112】 已知等腰三角形的周長(zhǎng)是24 cm，(1)腰長(zhǎng)是底邊長(zhǎng)的2倍，求腰長(zhǎng)；(2)若其中一邊長(zhǎng)為6 cm，求其他兩邊長(zhǎng)分析：(1)可以通過(guò)設(shè)未知數(shù)，利用周長(zhǎng)作為相等關(guān)系，列出方程，通過(guò)求方程的解從而求出答案；(2)因?yàn)轭}目中沒(méi)有說(shuō)明這條邊究竟是腰還是底邊，要分兩種情況考慮，并且計(jì)算結(jié)果還要注意檢查是否符合兩邊之和都大于第三邊解：(1)設(shè)底邊長(zhǎng)為x cm，則腰長(zhǎng)為2x cm，根據(jù)題意，得x2x2x24，解得x4.8，所以腰長(zhǎng)為2x2×4.89.6(cm)(2)當(dāng)長(zhǎng)為6 cm的邊為腰時(shí)，則底邊為246

49、×212(cm)因?yàn)?612，兩邊之和等于第三邊，所以6 cm長(zhǎng)為腰不能組成三角形，故腰長(zhǎng)不能為6 cm.當(dāng)長(zhǎng)為6 cm的邊為底邊時(shí)，則腰長(zhǎng)為(246)÷29(cm)，因?yàn)? cm,9 cm,9 cm可以組成三角形，所以等腰三角形其他兩邊長(zhǎng)均為9 cm.12.與三角形有關(guān)的線(xiàn)段易錯(cuò)點(diǎn)分析在本節(jié)內(nèi)容中，易錯(cuò)點(diǎn)主要表現(xiàn)在以下三個(gè)方面：(1)三角形的高、中線(xiàn)、角平分線(xiàn)都是線(xiàn)段，它們都有長(zhǎng)度，這與前面所學(xué)的垂線(xiàn)是直線(xiàn)、角平分線(xiàn)是射線(xiàn)容易混淆(2)畫(huà)鈍角三角形的高時(shí)易出錯(cuò)，如下圖三種畫(huà)法都是錯(cuò)誤的三種情況錯(cuò)誤的原因都是對(duì)三角形的高的定義理解不透徹圖1中BE不垂直于邊AC，錯(cuò)因是受銳角

50、三角形的影響，誤認(rèn)為高的垂足必落在對(duì)邊上；圖2錯(cuò)在沒(méi)有過(guò)點(diǎn)B畫(huà)AC的垂線(xiàn)段；圖3錯(cuò)在把三角形的高與AC邊上的垂線(xiàn)混淆，把線(xiàn)段畫(huà)成了射線(xiàn)正確的作法是過(guò)點(diǎn)B向?qū)匒C所在的直線(xiàn)畫(huà)垂線(xiàn)，垂足為E.因?yàn)槿切问氢g角三角形，所以垂足落在CA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，如下圖所示：(3)運(yùn)用三角形三邊關(guān)系時(shí)出錯(cuò)，只有兩邊之和大于第三邊，才能構(gòu)成三角形，才能進(jìn)行其他運(yùn)算，這是前提特別是等腰三角形在沒(méi)指明哪是底哪是腰時(shí)更易出錯(cuò)，一定要分類(lèi)討論，且必須考慮“不同情況下是否能構(gòu)成三角形”【例121】 下列說(shuō)法正確的是()A三角形的角平分線(xiàn)是射線(xiàn)B三角形的高是一條垂線(xiàn)C三角形的三條中線(xiàn)相交于一點(diǎn)D三角形的中線(xiàn)、角平分線(xiàn)和高都在三角

51、形內(nèi)部解析：A，B，D都是錯(cuò)誤的，A選項(xiàng)一個(gè)角的平分線(xiàn)與三角形的角平分線(xiàn)有本質(zhì)區(qū)別：角的平分線(xiàn)是射線(xiàn)，三角形的角平分線(xiàn)是線(xiàn)段；三角形的高也是線(xiàn)段，是從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在的直線(xiàn)畫(huà)垂線(xiàn)，頂點(diǎn)和垂足之間的線(xiàn)段；三角形的中線(xiàn)、角平分線(xiàn)以及銳角三角形的三條高都在三角形內(nèi)部，但鈍角三角形有兩條高在三角形的外部，所以D也是錯(cuò)誤的只有C正確答案：C【例122】 等腰三角形一腰上的中線(xiàn)把這個(gè)三角形的周長(zhǎng)分成為12 cm和15 cm兩部分，求三角形的底邊長(zhǎng)分析：有兩種可能，一種是銳角三角形，如圖(1)所示，這時(shí)ABAD15 cm，BCCD12 cm；另一種是鈍角三角形，如圖(2)，這時(shí)ABAD12 c

52、m，BCCD15 cm.圖(1)圖(2)解：(1)當(dāng)三角形是銳角三角形時(shí)，因?yàn)镈是AC的中點(diǎn)，所以ADACAB，所以ABADABAB15，解得AB10(cm)所以AC10 cm，所以底邊BC151210×27(cm)，此時(shí)能構(gòu)成三角形，且底邊長(zhǎng)為7 cm.(2)當(dāng)三角形是鈍角三角形時(shí)，ABADABAB12，解得AB8(cm)，所以AC8 cm，所以BC15128×211(cm)因?yàn)?811，所以能構(gòu)成三角形，此時(shí)底邊為11 cm.答：底邊的長(zhǎng)為7 cm或11 cm.與三角形有關(guān)的角1三角形內(nèi)角和定理(1)定理：三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°.(2)證明方法：證法多

53、樣，主要是運(yùn)用平行線(xiàn)知識(shí)把三個(gè)角轉(zhuǎn)移成一個(gè)平角，從而得到內(nèi)角和是180°.如圖所示，過(guò)C作CMAB，將求ABACB轉(zhuǎn)化為求12ACB，或過(guò)A點(diǎn)作DEBC，把求BACBC轉(zhuǎn)化為求BACDABEAC.(3)理解與延伸：因?yàn)槿切蝺?nèi)角和為180°，所以延伸出三角形中很多的角的特定關(guān)系如：一個(gè)三角形中最多只有一個(gè)鈍角或直角；一個(gè)三角形中最少有一個(gè)角不小于60°；直角三角形兩銳角互余；等邊三角形每個(gè)角都是60°等(4)作用：已知兩角求第三角或已知三角關(guān)系求角的度數(shù)談重點(diǎn) 三角形內(nèi)角和定理的理解三角形內(nèi)角和定理是最重要的定理之一，是求角的度數(shù)問(wèn)題中最基礎(chǔ)的定理，應(yīng)用

54、非常廣泛【例1】 填空：(1)在ABC中，若A80°，C20°，則B_°；(2)若A80°，BC，則C_°；(3)已知ABC的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比ABC235，則B_°，C_°.解析：(1)三角形內(nèi)角和為180°，已知兩角求第三角；(2)可設(shè)Cx°，那么xx80180，求出x50.所以C50°；(3)設(shè)每一份為x，得2x3x5x180，求得x18，所以B54°，C90°.答案：(1)80(2)50(3)54902.三角形外角性質(zhì)(1)性質(zhì)：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的

55、和如圖所示：1BC(或B1C，C1B)注意：三角形的外角和不是所有外角的和，是每個(gè)頂點(diǎn)處取一個(gè)外角，是一半數(shù)目外角的和.(2)作用：求角的度數(shù)，在外角、不相鄰的兩內(nèi)角中知道兩角能求第三角，也能求出相鄰內(nèi)角的度數(shù)；證明角相等，一般是把外角作為中間關(guān)系式證明角相等析規(guī)律 三角形外角的性質(zhì)的理解三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩內(nèi)角和，是由三角形內(nèi)角和是180°和鄰補(bǔ)角關(guān)系推導(dǎo)出來(lái)的，是它們應(yīng)用的延伸，所以用這個(gè)性質(zhì)能得出的結(jié)論，用三角形內(nèi)角和也能推出，但走了彎路因?yàn)槿切瓮饨鞘峭ㄟ^(guò)圖表現(xiàn)出來(lái)的，具有隱蔽性，所以應(yīng)用時(shí)要注意觀察圖形【例4】 如圖，一個(gè)直角三角形紙片，剪去直角后，得到一個(gè)四邊形，則12_.解析：由三角形外角性質(zhì)定理可知，190°AED，290°ADE，所以1290°AED90°ADE.因?yàn)?0°AEDADE180°，所以12180°90°270°.答案：270°3三角形外角和(1)定義(規(guī)定)：如圖所示，在每一個(gè)頂點(diǎn)上取一個(gè)外角，如1，2，3，它們的和叫做三角形的外角和(2)三角形外角和定理：三角形的外角和等于360°.注意：三角形的外角和不是所有外角的和，是每個(gè)頂點(diǎn)處取一個(gè)外角，是一半數(shù)目外角的和【例5】