傳熱學課件第四章

1、第四章導熱問題的數值解法第四章導熱問題的數值解法4-14-1導熱問題數值求解基本思想導熱問題數值求解基本思想4-24-2內節(jié)點離散方程的建立內節(jié)點離散方程的建立 4-3 4-3 邊界節(jié)點離散方程的建立及代數邊界節(jié)點離散方程的建立及代數 方程的求解方程的求解1 1 、重點內容：、重點內容： 掌握導熱問題數值解法的基本思路；掌握導熱問題數值解法的基本思路； 利用熱平衡法和泰勒級數展開法建立利用熱平衡法和泰勒級數展開法建立節(jié)點的離散方程。節(jié)點的離散方程。2 2 、掌握內容：、掌握內容：數值解法的實質。數值解法的實質。 求解導熱問題的三種基本方法求解導熱問題的三種基本方法：(1)(1)實驗法實驗法;

2、(2); (2)理論分析法；理論分析法；(3)(3)數值計算法數值計算法三種方法的特點三種方法的特點實驗法實驗法: : 是傳熱學的基本研究方法。是傳熱學的基本研究方法。 a a 適應性不好；適應性不好； b b 費用昂貴費用昂貴分析法分析法: : a a 能獲得所研究問題的精確解，可以為實驗和數能獲得所研究問題的精確解，可以為實驗和數值計算提供比較依據；值計算提供比較依據；b b 局限性很大，對復雜的局限性很大，對復雜的問題無法求解；問題無法求解；c c 分析解具有普遍性，各種情況分析解具有普遍性，各種情況的影響清晰可見的影響清晰可見 數值計算法數值計算法 有效解決復雜問題的方法；是具有一定精

3、度的近有效解決復雜問題的方法；是具有一定精度的近似方法。在很大程度上彌補了分析法的缺點，適似方法。在很大程度上彌補了分析法的缺點，適應性強，特別對于復雜問題更顯其優(yōu)越性；與實應性強，特別對于復雜問題更顯其優(yōu)越性；與實驗法相比成本低。驗法相比成本低。數值解法：數值解法： 有限差分法（有限差分法（finite-differencefinite-difference） 有限元法（有限元法（finite-lementfinite-lement） 邊界元法（邊界元法（boundary-elementboundary-element） 分子動力學模擬（分子動力學模擬（MDMD） 分析解法與數值解法的異同點

4、：分析解法與數值解法的異同點： 相同點：相同點：根本目的是相同的，即確定：根本目的是相同的，即確定： t=f(x,y,z) t=f(x,y,z) ； 熱流量。熱流量。 不同點：不同點：數值解法求解的是區(qū)域或時間空間坐標數值解法求解的是區(qū)域或時間空間坐標系中離散點的溫度分布代替連續(xù)的溫度場；分析解系中離散點的溫度分布代替連續(xù)的溫度場；分析解法求解的是連續(xù)的溫度場的分布特征，而不是分散法求解的是連續(xù)的溫度場的分布特征，而不是分散點的數值。點的數值。 對物理問題進行數值解法的基本思路可以概對物理問題進行數值解法的基本思路可以概括為：把原來在時間、空間坐標系中連續(xù)的物理量括為：把原來在時間、空間坐標系

5、中連續(xù)的物理量的場，如導熱物體的溫度場等，用有限個離散點上的場，如導熱物體的溫度場等，用有限個離散點上的值的集合來代替，通過求解按一定方法建立起來的值的集合來代替，通過求解按一定方法建立起來的關于這些值的代數方程，來獲得離散點上被求物的關于這些值的代數方程，來獲得離散點上被求物理量的值，該方法稱為理量的值，該方法稱為數值解法數值解法。 這些離散點上被求物理量值的集合稱為該物理量這些離散點上被求物理量值的集合稱為該物理量的的數值解數值解。 4-1 4-1 導熱問題數值求解的基本思想導熱問題數值求解的基本思想4.1.1 4.1.1 基本思想基本思想建立控制方程及定解條件建立控制方程及定解條件確定節(jié)

6、點（區(qū)域離散化）確定節(jié)點（區(qū)域離散化）建立節(jié)點物理量的代數方程建立節(jié)點物理量的代數方程設立溫度場的迭代初值設立溫度場的迭代初值求解代數方程求解代數方程是否收斂是否收斂解的分析解的分析改進初場改進初場是是否否4.1.2 4.1.2 物理問題的數值求解過程物理問題的數值求解過程0tyf3thf2thf1thx二維矩形域內穩(wěn)態(tài)無內熱二維矩形域內穩(wěn)態(tài)無內熱源，常物性的導熱問題源，常物性的導熱問題2 2 例題條件例題條件（a）（1 1）建立控制方程及定解條件）建立控制方程及定解條件 控制方程（即控制方程（即導熱微分方程導熱微分方程） 22220ttxy0tyf3thf2thf1thx二維矩形域內無內熱源

7、、穩(wěn)態(tài)、常物性的導熱問二維矩形域內無內熱源、穩(wěn)態(tài)、常物性的導熱問題采用數值解法的步驟：題采用數值解法的步驟：（2 2）區(qū)域離散化（確立節(jié)點）區(qū)域離散化（確立節(jié)點） 用一系列與坐標軸平行的網格線把求解區(qū)域用一系列與坐標軸平行的網格線把求解區(qū)域劃分成若干個子區(qū)域，用網格線的交點作為劃分成若干個子區(qū)域，用網格線的交點作為需要確定溫度值的空間位置，稱為需要確定溫度值的空間位置，稱為節(jié)點節(jié)點 ( ( 結結點點 ) ) ，節(jié)點的位置用該節(jié)點在兩個方向上的，節(jié)點的位置用該節(jié)點在兩個方向上的標號標號 m m ， n n 表示。表示。 相鄰兩節(jié)點間的距離相鄰兩節(jié)點間的距離稱稱步長步長。xyxynm(m,n)MN

8、（b）xyxynm(m,n)MN基本概念：網格線、節(jié)點、界面線、步長、基本概念：網格線、節(jié)點、界面線、步長、控制容積控制容積二維矩形二維矩形域內穩(wěn)態(tài)域內穩(wěn)態(tài)無內熱源，無內熱源，常物性的常物性的導熱問題導熱問題 （3 3）建立節(jié)點物理量的代數方程（離散方程）建立節(jié)點物理量的代數方程（離散方程） 節(jié)點上物理量的代數方程稱離散方程。節(jié)點上物理量的代數方程稱離散方程。 首先劃分各節(jié)點的類型；首先劃分各節(jié)點的類型； 其次，建立節(jié)點離散方程；其次，建立節(jié)點離散方程； 最后，代數方程組的形成。最后，代數方程組的形成。 對節(jié)點對節(jié)點 (m,n) (m,n) 的代數方程，當的代數方程，當 x=x=y y 時，時

9、，有：有： ,1,1,1,11()4m nmnmnm nm nttttt（4 4） 設立迭代初場設立迭代初場 代數方程組的求解方法有直接解法與迭代數方程組的求解方法有直接解法與迭代解法，傳熱問題的有限差分法中主要采用代解法，傳熱問題的有限差分法中主要采用迭代法。采用迭代法求解時，需對被求的溫迭代法。采用迭代法求解時，需對被求的溫度場預先設定一個解，這個解稱為度場預先設定一個解，這個解稱為初場初場，并，并在求解過程中不斷改進。在求解過程中不斷改進。 （5 5）求解代數方程組）求解代數方程組 本例中除本例中除 m=1 m=1 的左邊界上的左邊界上各節(jié)點的溫度已知外，其余各節(jié)點的溫度已知外，其余 (

10、M-1)N (M-1)N 個節(jié)點均需建立離散個節(jié)點均需建立離散方程，共有方程，共有 (M-1)N (M-1)N 個方程，個方程，則構成一個封閉的代數方程則構成一個封閉的代數方程組。組。xyxynm(m,n)MN求解時遇到的問題：求解時遇到的問題： 線性；線性； 非線性；非線性； 收斂性等。收斂性等。 2 2 ）非線性代數方程組：）非線性代數方程組：代數方程一經建立，其中代數方程一經建立，其中各項系數在整個求解過程中不斷更新。各項系數在整個求解過程中不斷更新。 3 3 ）是否收斂判斷：）是否收斂判斷：是指用迭代法求解代數方程是是指用迭代法求解代數方程是否收斂，即本次迭代計算所得之解與上一次迭代計

11、否收斂，即本次迭代計算所得之解與上一次迭代計算所得之解的偏差是否小于允許值。算所得之解的偏差是否小于允許值。 1 1 ）線性代數方程組：）線性代數方程組：代數方程一經建立，其中代數方程一經建立，其中各項系數在整個求解過程中不再變化；各項系數在整個求解過程中不再變化；（6 6） 解的分析解的分析 通過求解代數方程，獲得物體中的溫度分布，通過求解代數方程，獲得物體中的溫度分布，根據溫度場應進一步計算通過的熱流量，熱根據溫度場應進一步計算通過的熱流量，熱應力及熱變形等。應力及熱變形等。因此，對于數值分析計算所得的溫度場及其因此，對于數值分析計算所得的溫度場及其它物理量應作詳細分析，以獲得定性或定量它

12、物理量應作詳細分析，以獲得定性或定量上的結論。上的結論。 4.2 4.2 內節(jié)點離散方程的建立方法內節(jié)點離散方程的建立方法(1) Taylor(1) Taylor（泰勒）級數展開法；（泰勒）級數展開法；(2) (2) 控制容積平衡法控制容積平衡法( (熱平衡法熱平衡法) )4.2.1 4.2.1 泰勒級數展開法泰勒級數展開法( )2( )( )( )()( )1!2!nnfxfxfxf xxf xxxxn 2233441,234,2624mnmnmnmnmntxtxtxtttxxxxx用節(jié)點用節(jié)點(m,n)(m,n)的溫度的溫度t tm,nm,n來表示節(jié)點來表示節(jié)點(m-1,n)(m-1,n)

13、的的溫度溫度t tm-1,nm-1,n根據泰勒級數展開式，用節(jié)點根據泰勒級數展開式，用節(jié)點( (m,nm,n) )的溫度的溫度t tm,nm,n來表示節(jié)點來表示節(jié)點( (m+1,nm+1,n) )的溫度的溫度t tm+1,nm+1,n2233441,234,2624mnmnmnmnmntxtxtxtttxxxxx將上兩式相加可得將上兩式相加可得24421,1,24,212mnmnm nm ntxttttxxx22,mntx將上式改寫成將上式改寫成 的表達式，有的表達式，有)(222, 1, 1,22xoxtttxtnmnmnmnm)(2221,1,22yoytttytnmnmnmnm同樣可得：

14、同樣可得：表示未明確寫出的表示未明確寫出的級數余項中的級數余項中的XX的最低階數為的最低階數為2 2 根據導熱問題的控制方程根據導熱問題的控制方程 ( ( 導熱微分方程導熱微分方程 ) )1,1,1,122220mnmnmnmnmnmnttttttxy若若 x=x=y y 則有則有 ,1,1,1,11()4m nmnmnm nm nttttt22220ttxy得得一階一階基本思想：基本思想：對每個有限大小的控制容積應用能量守對每個有限大小的控制容積應用能量守恒，從而獲得溫度場的代數方程組，它從基本物理恒，從而獲得溫度場的代數方程組，它從基本物理現(xiàn)象和基本定律出發(fā)，不必事先建立控制方程，依現(xiàn)象和

15、基本定律出發(fā)，不必事先建立控制方程，依據能量守恒和據能量守恒和FourierFourier導熱定律即可。導熱定律即可。能量守恒：能量守恒：流入控制體的總熱流量控制體內熱源生成熱流入控制體的總熱流量控制體內熱源生成熱 流出控制體的總熱流量控制體內能的增量流出控制體的總熱流量控制體內能的增量ovi4.2.2 4.2.2 控制容積平衡法控制容積平衡法( (熱平衡法熱平衡法) )voi)(ovi 從所有方向流入控制體的凈熱流量從所有方向流入控制體的凈熱流量 控制體內熱源生成熱控制體內能的增量控制體內熱源生成熱控制體內能的增量注意：上面的公式對內部節(jié)點和邊界節(jié)點均適用注意：上面的公式對內部節(jié)點和邊界節(jié)點

16、均適用穩(wěn)態(tài)、無內熱源時：穩(wěn)態(tài)、無內熱源時：從所有方向流入控制體的總熱流量從所有方向流入控制體的總熱流量0 01,mnm nettyx ,1,m nm nnttxy ,1,m nm nsttxy 從節(jié)點通過界面?zhèn)鲗У焦?jié)點從節(jié)點通過界面?zhèn)鲗У焦?jié)點 (m,n) (m,n) 的熱流量：的熱流量：1,mnm nwttyx 對元體對元體 (m,n). (m,n). 根據能量守恒定律可知：根據能量守恒定律可知： 0ewns 1,m nmnwttyx 1,m nmnettyx , 1,mnmnnttxy , 1,mnmnsttxy +=0穩(wěn)態(tài)、無內熱源時：穩(wěn)態(tài)、無內熱源時：從所有方向流入控制體的總熱流量從所有

17、方向流入控制體的總熱流量0 01,1,1,12222 0mnm nmnm nm nm nttttttxy化簡得說明：說明： 上述分析與推導在笛卡兒坐標系中進行的；上述分析與推導在笛卡兒坐標系中進行的； 熱平衡法概念清晰，過程簡捷；熱平衡法概念清晰，過程簡捷； 熱平衡法與建立微分方程的思路與過程一致，熱平衡法與建立微分方程的思路與過程一致，但不同的是前者是有限大小的元體，后者是微但不同的是前者是有限大小的元體，后者是微元體。元體。 4.3 4.3 邊界節(jié)點離散方程的建立邊界節(jié)點離散方程的建立及代數方程的求解及代數方程的求解 對于對于第一類邊界條件第一類邊界條件的熱傳導問題，處理比較簡單，因的熱傳

18、導問題，處理比較簡單，因為已知邊界的溫度，可將其以數值的形式加入到內節(jié)點的離為已知邊界的溫度，可將其以數值的形式加入到內節(jié)點的離散方程中，組成封閉的代數方程組，直接求解。散方程中，組成封閉的代數方程組，直接求解。 對于對于第二類或第三類邊界條件第二類或第三類邊界條件的導熱問題，所有內節(jié)點的的導熱問題，所有內節(jié)點的離散方程組成的代數方程組是不封閉的，因未知邊界溫度，離散方程組成的代數方程組是不封閉的，因未知邊界溫度，因此應對邊界上的節(jié)點補充相應的代數方程，才能使方程組因此應對邊界上的節(jié)點補充相應的代數方程，才能使方程組封閉，以便求解。封閉，以便求解。 為了求解方便，將第二類邊界條件及第三類邊界條

19、件合并為了求解方便，將第二類邊界條件及第三類邊界條件合并起來考慮，用起來考慮，用q qww表示邊界上的熱流密度或熱流密度表達式。表示邊界上的熱流密度或熱流密度表達式。為使結果更具一般性，假設物體具有內熱源為使結果更具一般性，假設物體具有內熱源( ( 不必均勻分不必均勻分布布 ) ) 。xyqw邊界節(jié)點邊界節(jié)點 (m,n) (m,n) 只代表半個元體，若邊界上有向該元只代表半個元體，若邊界上有向該元體傳遞的熱流密度為體傳遞的熱流密度為q qww ，據能量守恒定律：，據能量守恒定律： 4.3.1 4.3.1 邊界節(jié)點離散方程的建立邊界節(jié)點離散方程的建立( (1) 1) 平直邊界上的節(jié)點平直邊界上的

20、節(jié)點1,1,1,2022mnmnmnmnmnmnmnwttttxyxyttxxyyqy yx2,1,1,12124m nwm nmnm nm nx xqtttt(2) (2) 外部角點外部角點2,1,12122m nwm nmnm nx xqttt1,1,22042mnm nm nm nm nwttttyxxyx yxyq yx如圖所示，二維墻角計算區(qū)域中，該節(jié)點外角點僅如圖所示，二維墻角計算區(qū)域中，該節(jié)點外角點僅代表代表 1/4 1/4 個以個以 為邊長的元體。假設邊界上有為邊長的元體。假設邊界上有向該元體傳遞的熱流密度為向該元體傳遞的熱流密度為 ，則據能量守恒定律，則據能量守恒定律得其熱平

21、衡式為：得其熱平衡式為： x、 ywq(3) (3) 內部角點內部角點22,1,1,11,213(22)62wm nmnm nm nmnx qxttttt1,1,1,1,230242mnm nm nm nm nm nmnm nm nwttttttxyxxyyttyx yxyqx yx內部角點代表了內部角點代表了 3/4 3/4 個元體，在同樣的假設條件下個元體，在同樣的假設條件下xyqw討論關于邊界熱流密度的三種情況：討論關于邊界熱流密度的三種情況： （1 1）絕熱邊界）絕熱邊界即令上式即令上式 即可。即可。 0wq （2 2） 值不為零值不為零wq（3 3）對流邊界）對流邊界此時此時 ，將此

22、表達式代入上述方程，并，將此表達式代入上述方程，并將此項中的將此項中的 與等號前的與等號前的 合并。合并。對于對于 的情形有：的情形有：)(,nmfwtthq,m nt,m ntxy wq流入元體，流入元體， 取正，流出元體，取正，流出元體， 取負取負wq（a a）平直邊界）平直邊界（b b）外部角點）外部角點（c c）內部角點）內部角點2,1,1,12222m nm nmnm nm nfh xxh xttttt2,1,12212m nm nmnm nfh xxh xtttt2,1,11,1322322m nm nmnm nmnm nfh xxh xtttttt4.3.2 4.3.2 處理不規(guī)

23、則區(qū)域的階梯型逼進法處理不規(guī)則區(qū)域的階梯型逼進法當計算區(qū)域出現(xiàn)曲線邊界或傾斜邊界時，常常采當計算區(qū)域出現(xiàn)曲線邊界或傾斜邊界時，常常采用用階梯形的折線階梯形的折線來模擬真實邊界，然后用上述方來模擬真實邊界，然后用上述方法建立邊界節(jié)點的離散方程。法建立邊界節(jié)點的離散方程。4.3.3 4.3.3 代數方程的求解方法代數方程的求解方法 2 2）迭代法：）迭代法：先對要計算的場作出假設（設先對要計算的場作出假設（設定初場），在迭代計算中不斷予以改進，直定初場），在迭代計算中不斷予以改進，直到計算前的假定值與計算結果相差小于允許到計算前的假定值與計算結果相差小于允許值為止的方法，稱迭代計算收斂。值為止的方

24、法，稱迭代計算收斂。1 1）直接解法：）直接解法：通過有限次運算獲得精確解通過有限次運算獲得精確解的方法，如：矩陣求解，高斯消元法。的方法，如：矩陣求解，高斯消元法。 2 2 迭代法目前應用較多的是：迭代法目前應用較多的是： 1 1 ）雅可比迭代法（簡單迭代）：）雅可比迭代法（簡單迭代）：每次迭代每次迭代計算，均用上一次迭代計算出的值。計算，均用上一次迭代計算出的值。 2 2 ）高斯）高斯賽德爾迭代法：賽德爾迭代法：每次迭代計算，每次迭代計算，均是使用節(jié)點溫度的最新值。均是使用節(jié)點溫度的最新值。 在計算后面的節(jié)點溫度時應按下式（采用最新值）在計算后面的節(jié)點溫度時應按下式（采用最新值）例如：根據

25、第例如：根據第 k k 次迭代的數值次迭代的數值(k)n(k)2(k)1.ttt、可以求得節(jié)點溫度：可以求得節(jié)點溫度：)(1)(1)(212)(111) 1(1.kknnkkkbtatatat)()() 1(11) 1(22) 1(11) 1()(3)(3) 1(232) 1(131) 1(3)(2)(2)(222) 1(121) 1(2.knknnnknnnknknknkknnkkkkknnkkkbtatatatatbtatatatbtatatat設有一三元方程組設有一三元方程組： 11112 213 3121122 223 3231132 233 33a ta ta tba ta ta tba ta ta tb其中其中 （ i=1,2,3 i=1,2,3 ； j=1,2,3 j=1,2,3 ）及）及 是已是已知的系數（均不為零）及常數。知的系數（均不為零）及常數。, i jaib采用高斯采用高斯賽德爾迭代法的步驟：賽德爾迭代法的步驟： （1）將三元方程變形為迭式方程：）將三元方程變形為迭式方程： 1112 213 3112221 123 3223331 132 2331()1()1()tba ta tatb