抗扭—材料力學(xué)第3章

1、1231 扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例 32 外力偶矩的計算外力偶矩的計算 扭矩和扭矩圖扭矩和扭矩圖33 純剪切純剪切34 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力35 圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形37 非圓截面桿扭轉(zhuǎn)的概念非圓截面桿扭轉(zhuǎn)的概念第三章第三章 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 3工工 程程 實(shí)實(shí) 例例31 扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例 4變形特點(diǎn)：變形特點(diǎn)：桿件桿件各截面各截面繞軸線發(fā)生相對轉(zhuǎn)動。繞軸線發(fā)生相對轉(zhuǎn)動。mm軸：軸：工程中以扭轉(zhuǎn)為主要變形的構(gòu)件稱為軸。工程中以扭轉(zhuǎn)為主要變形的構(gòu)件稱為軸。 如：機(jī)器中的傳動軸、石油鉆機(jī)中的鉆桿等。如：機(jī)器中的傳動軸、石油鉆機(jī)中的鉆桿等。受力特點(diǎn)：受力特點(diǎn)

2、：在在垂直于桿件軸線的平面內(nèi)垂直于桿件軸線的平面內(nèi)作用有力偶。作用有力偶。 532 外力偶矩的計算外力偶矩的計算 扭矩和扭矩圖扭矩和扭矩圖mm已知：軸的傳遞功率P（kW）、轉(zhuǎn)速n（rpm），求：外力偶矩m（Nm）一、傳動軸的外力偶矩一、傳動軸的外力偶矩6m)(N 9549nPm其中：P 功率，千瓦（kW） n 轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)/分（rpm）7二、扭轉(zhuǎn)時的內(nèi)力二、扭轉(zhuǎn)時的內(nèi)力扭矩扭矩mmTmxmT構(gòu)件受扭時，橫截面上的內(nèi)力為力偶構(gòu)件受扭時，橫截面上的內(nèi)力為力偶，稱為扭矩，記作稱為扭矩，記作“T”。8扭矩的正負(fù)規(guī)定：扭矩的正負(fù)規(guī)定： 以右手螺旋法則，沿截面外法線方向?yàn)檎?，反之為?fù)。以右手螺旋法則，沿截面外

3、法線方向?yàn)檎?，反之為?fù)。, 0 xmTmx取左段：取右段：0 TmmTx0 mT, 0 xmmT mT 9三、扭矩圖三、扭矩圖10已知：一傳動軸， n =300r/min，主動輪C輸入P1=500kW，從動輪A、B、D輸出 P2=P3=150kW，P4=200kW，試作扭矩圖。解解:(1)計算外力偶矩計算外力偶矩nPm119549m)(kN 78. 432 mmm)(kN 37. 64mnA B C Dm2 m3 m1 m4例例3m)15.9(kN 3005009549m)(N1015.9 311112233(2)求扭矩求扭矩0 , 021mTmxA m2 T11-1截面：mkN78. 4 2

4、1 mT（扭矩按正方向假設(shè)）（扭矩按正方向假設(shè)）nA B C Dm2 m3 m1 m412 , 0 322mmT2-2截面：322 mmT)78. 478. 4(A B m2 m3 T2112233mkN56. 9 , 0 xmnA B C Dm2 m3 m1 m413 , 034Tm3-3截面：mkN37. 6 43mTDm4T3 , 0 xm112233nA B C Dm2 m3 m1 m414(3)繪制扭矩圖繪制扭矩圖mkN 569max .TBC段為危險截面：段為危險截面：xT4.789.566.37（kNm）112233nA B C Dm2 m3 m1 m415薄壁圓筒：薄壁圓筒：壁

5、厚0101rt （r0：為平均半徑）觀察變形：觀察變形：1.加載前：加載前：縱向線為直線，周向線為圓；縱向線為直線，周向線為圓；33 純剪切純剪切2.加載后：加載后： 縱向線傾斜了一微小角度，縱向線傾斜了一微小角度， 變成斜直線；變成斜直線；一、薄壁圓管扭轉(zhuǎn)應(yīng)力分析一、薄壁圓管扭轉(zhuǎn)應(yīng)力分析m m 周向線仍是圓，圓周線的形狀、大小和間距周向線仍是圓，圓周線的形狀、大小和間距均未改均未改 變，只是繞軸線作了相對轉(zhuǎn)動。變，只是繞軸線作了相對轉(zhuǎn)動。16m m 應(yīng)力分布規(guī)律：應(yīng)力分布規(guī)律：橫截面上無正應(yīng)力，只存在剪應(yīng)力橫截面上無正應(yīng)力，只存在剪應(yīng)力 ；剪應(yīng)力的方向與圓周相切，與內(nèi)力剪應(yīng)力的方向與圓周相切

6、，與內(nèi)力T一致；一致；剪應(yīng)力沿壁厚方向的數(shù)值不變；剪應(yīng)力沿壁厚方向的數(shù)值不變；沿圓周剪應(yīng)力的大小也不變。沿圓周剪應(yīng)力的大小也不變。T17T0d rATAAAr Td 0trT 2 20trr00 2tAT 20 式中A0為中線所圍面積 dAdA計算剪應(yīng)力的大?。?8二、剪應(yīng)力互等定理二、剪應(yīng)力互等定理 m m dxdx dx dytzxy 19上式稱為剪應(yīng)力互等定理為剪應(yīng)力互等定理。, 0zm 0 dxtdydytdx, 0X0 dxtdxt dx dytzxy 該定理表明：在兩個相互垂直的面上，剪應(yīng)力必然成對出在兩個相互垂直的面上，剪應(yīng)力必然成對出現(xiàn)，且數(shù)值相等，兩者都垂直于兩平面的交線，其

7、方向?yàn)楝F(xiàn)，且數(shù)值相等，兩者都垂直于兩平面的交線，其方向?yàn)楣餐赶蚧蚬餐畴x該交線。共同指向或共同背離該交線。20三、剪切胡克定律：三、剪切胡克定律： 剪應(yīng)變(無量綱量) m m 21 剪切胡克定律：剪切胡克定律：當(dāng)剪應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限當(dāng)剪應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限時（時（ )，剪應(yīng)力與剪應(yīng)變成正比關(guān)系。，剪應(yīng)力與剪應(yīng)變成正比關(guān)系。 p當(dāng)當(dāng) 時時pG 剪切胡克定律剪切胡克定律 22 剪切彈性模量G、彈性模量E和泊松比是表明材料彈性性質(zhì)的三個常數(shù)。對各向同性材料，這三個彈性常數(shù)之間存在下列關(guān)系（推導(dǎo)詳見后面章節(jié)）： 可見，在三個彈性常數(shù)中，只要知道任意兩個，第三個量就可以推算出來。)1

8、 (2EGG是材料的一個彈性常數(shù)，稱為剪切彈性模量，因 無量綱，故G的量綱與 相同，不同材料的G值可通過實(shí)驗(yàn)確定，鋼材的G值約為80GPa。23一、橫截面上的應(yīng)力一、橫截面上的應(yīng)力34 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力觀察變形：觀察變形：Rldxm m 縱向線傾斜了一微小角度，縱向線傾斜了一微小角度， 變成斜直線；變成斜直線；周向線仍是圓，圓周線的形狀、大小和間距均未改周向線仍是圓，圓周線的形狀、大小和間距均未改 變，只是繞軸線作了相對轉(zhuǎn)動。變，只是繞軸線作了相對轉(zhuǎn)動。24平面假設(shè)平面假設(shè)：橫截面：橫截面 變形后仍為平面；變形后仍為平面；1. 變形幾何關(guān)系：變形幾何關(guān)系：ldxm m ACBD

9、dxBADCOdR25ABCCDREFGHdxOODGHddxBADCOd26tgxddACCCxRddxdd 扭轉(zhuǎn)角 沿長度方向變化率。ABCCDREFGHdxOODGHdtgEGGGxdd27DCCDREF G2. 物理關(guān)系：物理關(guān)系：虎克定律：GxGdd28xGdd 剪應(yīng)力在橫截面上的分布293. 靜力學(xué)關(guān)系：靜力學(xué)關(guān)系：)d(ATAAIApd2記xGI Tpdd pGITx dd 即：代入物理關(guān)系式 xGdd OTAxGAddd 2AxGAddd 2pIT得：Ip橫截面的極慣性矩xGdd 代入Ad304、 應(yīng)力分布應(yīng)力分布（實(shí)心截面）（空心截面）pIT31最大剪應(yīng)力：最大剪應(yīng)力： ,

10、2 時當(dāng)dRpIdT2 maxtWTmaxWt 稱為抗扭截面系數(shù)，幾何量，單位：mm3 或 m3。2 dIWpt記：2maxdITp或：max32AIApd2（1）實(shí)心圓截面：CdxyddAAddIp220203ddd2032dd324dIpdddA二、極慣性矩和抗扭截面系數(shù)的計算：二、極慣性矩和抗扭截面系數(shù)的計算：02442d33(2)空心圓截面：)(DdDxyCd20223ddDd2232Ddd323244dD)1(3244DIpAIApd222442dD)1(32444DdD3416 3dWt)1 (1643DWt實(shí)心圓截面：空心圓截面：2 dIWpt2324ddWt2)1(3244DD

11、Wt抗扭截面系數(shù)抗扭截面系數(shù)Wt35三、扭轉(zhuǎn)破壞試驗(yàn)三、扭轉(zhuǎn)破壞試驗(yàn)36低碳鋼試件：沿橫截面斷開。鑄鐵試件：沿與軸線約成45的螺旋線斷開。3738強(qiáng)度條件：強(qiáng)度條件：maxmaxmaxtWT( 稱為許用剪應(yīng)力。)四、圓軸扭轉(zhuǎn)時的強(qiáng)度計算四、圓軸扭轉(zhuǎn)時的強(qiáng)度計算nbns塑性材料脆性材料39d1=120mm，d2=100mm， mA=22kNm，mB=36kNm，mC=14kNm， 許用剪應(yīng)力 =80M Pa, 試校核強(qiáng)度。解:(1)畫扭矩圖此軸滿足強(qiáng)度要求。111maxtWT 例例33T22x14(kNm)+mAmBmCd1d2ABCMPa65（2）AB段的強(qiáng)度16120102236（3）BC段

12、的強(qiáng)度222maxtWTMPa711610010143640有一根軸，T=1.5kNm，=50M Pa, 按兩種方案確定軸截面尺寸，并比較重量：（1）實(shí)心軸；（2）=0.9的空心軸。解：（1 1）實(shí)心軸）實(shí)心軸tWTmax例例163dT316 Td)mm(5 .53（2 2）空心軸）空心軸tWTmax)1 (16431DT41341)(116 TD)mm(76119 . 0 Dd （3 3）比較重量）比較重量實(shí)空AA4422121ddD）（22121ddD 385. 0實(shí)實(shí)心軸的心軸的重量是重量是空空心軸的心軸的3 3倍。倍。)mm(7 .6842實(shí)心截面實(shí)心截面空心截面空心截面53.568.

13、776.343一、扭轉(zhuǎn)時的變形一、扭轉(zhuǎn)時的變形pGITx dd d35 圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形m m dxlGIp反映了截面抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力，稱為截面的截面的抗扭剛度抗扭剛度。xGIT pd d lpxGIT0d pIGlT即：（rad）lpxGIT0d pGIlT 44 piiiIGlT即：當(dāng)軸上作用有多個力偶時，進(jìn)行分段計算，代數(shù)相加：45m2m1m3lABlACABC 已知：m1=1592N m，m2=995N m，m3=637N m，lAB=300mm，lAC=500mm，d=70mm，G=80GPa。試求截面C對B的扭轉(zhuǎn)角。解：12mN995 21m TmN637 32

14、m T32 421dI IPP3270 446mm1035. 2 piiiCBIGlT 222111ppIGlTIGlT例例346 CB 222111ppIGlTIGlT 10.352 100830010995633 10.352 100850010637633 10)69. 152. 1 (3 (rad) 1017. 03 (rad)m3m2m1lABlACABC47二、剛度條件二、剛度條件 /m)( 180 maxpGIT(rad/m) pGITl /m)( 180 pGIT 或：剛度條件：剛度條件：單位長度扭轉(zhuǎn)角單位長度扭轉(zhuǎn)角 ： 稱為許可單位長度扭轉(zhuǎn)角，取0.150.30/m。 48

15、某傳動軸設(shè)計要求轉(zhuǎn)速n = 500 r / min，輸入功率P1 = 368 kW， 輸出功率分別 P2 = 147 kW及 P3 = 221 kW ，已知：G=80GPa ， =70M Pa， =1()/m ，試確定： 500400m1m3m2ACB 例例33 （1）AB 段直徑 d1和 BC 段直徑 d2 ；（2）若全軸選同一直徑，應(yīng)為多少？（3）主動輪與從動輪如何安排合理？ 49解：由功率和轉(zhuǎn)速計算外力偶矩 500400m1m3m2ACB(kNm) Tx7.024 4.21扭矩圖如圖所示， m)7024(N954911nPmm)(N2814954922nPmm)(N4210954933n

16、Pm5016 31111maxdTWTtmm80由剛度條件得：由強(qiáng)度條件得：31116Td (1) AB段：段： 18011pGIT 18032411dGT4211 180 32GTd即：mm84所以所以AB 段直徑段直徑 d184mm Tx7.0244.21(kNm)43326101108014. 318010024. 7325116 32222maxdTWTtmm4 .67由剛度條件得：由強(qiáng)度條件得：32216Td (1)BC段：段： 18022pGIT 18032422dGT4222 180 32GTd即：mm4 .74所以所以AB 段直徑段直徑 d275mm Tx7.0244.21(k

17、Nm)43326101108014. 31801021. 43252(2)全軸選同一直徑時全軸選同一直徑時mm84 d (3)(3)軸上的扭矩軸上的扭矩絕對值越小越絕對值越小越合理，所以，合理，所以，1輪和輪和2輪應(yīng)該換位。輪應(yīng)該換位。換位后換位后, ,軸的扭矩如圖所示軸的扭矩如圖所示, ,此時此時, ,軸的最大直徑為軸的最大直徑為 75 75mm。500400m1m3m2ACB500400m1m3m2ACB Tx7.024 4.21(kNm)Tx4.21(kNm)2.814+53非圓截面桿：非圓截面桿：平面假設(shè)不成立。平面假設(shè)不成立。即各截面發(fā)生翹曲不保持平面。因此，由等直圓桿扭轉(zhuǎn)時推出的應(yīng)力、變形公式不適用，須由由等直圓桿扭轉(zhuǎn)時推出的應(yīng)力、變形公式不適用，須由彈性力學(xué)方法求解。彈性力學(xué)方法求解。37 非圓截面