《方程的根與函數(shù)的零點》的教學(xué)設(shè)計.doc

1、方程的根與函數(shù)的零點的教學(xué)設(shè)計湖北省黃岡市團風(fēng)中學(xué)胡建平教材分析本節(jié)課選自普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教課書數(shù)學(xué)I 必修本（ A 版）的第三章方程的根與函數(shù)的的零點。函數(shù)與方程是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，既是初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，又是出等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的連接紐帶。 在現(xiàn)實生活實踐中，函數(shù)與方程都有著十分的應(yīng)用，在注重理論與實踐相結(jié)合的今天， 有著無可替代的作用，在加上函數(shù)與方程還是中學(xué)數(shù)學(xué)四大數(shù)學(xué)思想之一。因此函數(shù)與方程在高一乃止整個高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，占有非常重要的地位。本節(jié)要求學(xué)生通過對二次函數(shù)的圖象的研究，去判斷一元二次方程根的存在性以及根的個數(shù)，近而了解函數(shù)的零點與一元二次方程根的聯(lián)系。它既揭示了初中兩大知識

2、方程與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系， 也是對本章函數(shù)知識的加深與總結(jié)。也是對函數(shù)知識的總深拓展，把函數(shù)在解方程中加以應(yīng)用，從而還可以滲透中學(xué)的重要數(shù)學(xué)思想：方程與函數(shù)的思想，數(shù)形結(jié)合的思想。為學(xué)好中學(xué)數(shù)學(xué)打下一個良好基礎(chǔ)。因此教好本節(jié)是至關(guān)重要的。學(xué)生分析程度差異性：中等程度的學(xué)生占大多數(shù)，程度教高的學(xué)生與程度差的學(xué)生占少數(shù)。知識、 心理、能力儲備：學(xué)生在次之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的圖象和性質(zhì)，特別對二次函數(shù)有較深的認識， 基本會畫簡單函數(shù)的圖象，也會通過圖象去研究理解函數(shù)的性質(zhì)，這就為學(xué)生理解函數(shù)的零點提供了幫助，初步的數(shù)形結(jié)合知識也足以讓學(xué)生直觀理解函數(shù)零點的存在性，因此從學(xué)生熟悉的二次函數(shù)的圖象入手介紹函數(shù)

3、的零點，從認知規(guī)律上講，應(yīng)該是容易理解的。 一元二次方程是初中的重要內(nèi)容，學(xué)生應(yīng)該有較好的基礎(chǔ)對于它根的個數(shù)以及存在性學(xué)生比較熟悉， 學(xué)生理解起來沒有多大問題。這也為我們歸納函數(shù)的零點與方程的根聯(lián)系提供了知識基礎(chǔ)。但是學(xué)生對其他函數(shù)的圖象與性質(zhì)認識不深（比如三次函數(shù)），對于高次方程還不熟悉， 我們?nèi)狈Ω囝愋偷睦?，讓學(xué)生從特殊到一般歸納出函數(shù)與方程的內(nèi)在聯(lián)系，因此理解函數(shù)的零點、函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系應(yīng)該是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點。加之函數(shù)零點的存在性的判定方法的表數(shù)抽象難懂。因此在教學(xué)中應(yīng)加強師生互動，盡多的給學(xué)生動手的機會， 讓學(xué)生在實踐中體驗二者的聯(lián)系。并充分提供不同類型的二次函數(shù)和相應(yīng)的一元

4、二次方程讓學(xué)生研討，從而直觀地歸納、 總結(jié)、分析出二者的聯(lián)系。教學(xué)中還應(yīng)創(chuàng)設(shè)問題情景，激發(fā)學(xué)生探究興趣，并引導(dǎo)學(xué)生觀察、計算、思考從而達到教學(xué)目標(biāo)。教學(xué)目標(biāo)知識和技能目標(biāo)：掌握函數(shù)零點的概念；了解函數(shù)零點與方程根的關(guān)系；學(xué)會在某區(qū)間上圖象連續(xù)的函數(shù)存在零點的判定方法。過程與方法：由二次函數(shù)的圖象與x 軸的交點的橫坐標(biāo)和對應(yīng)的一元二次方程為突破口，探究方程的根與函數(shù)的零點的關(guān)系， 以探究的方法發(fā)現(xiàn)在某區(qū)間上圖象連續(xù)的函數(shù)存在零點的判定方法；在課堂探究中體會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，從特殊到一般的歸納思想。情感、 態(tài)度、價值觀： 在函數(shù)與方程的聯(lián)系中體驗數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想的意義和價值在教學(xué)中讓學(xué)生體驗探究

5、的過程、發(fā)現(xiàn)的樂趣， 在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的辨證思維的思想，以及分析問題解決問題的能力。重點難點重點：函數(shù)零點與方程根之間的關(guān)系；連續(xù)函數(shù)在某區(qū)間上存在零點的判定方法。難點：發(fā)現(xiàn)與理解方程的根與函數(shù)零點的關(guān)系；探究發(fā)現(xiàn)函數(shù)存在零點的方法。教學(xué)程序與環(huán)節(jié)設(shè)計：1創(chuàng)設(shè)情境結(jié)合實際問題誘發(fā)興趣，結(jié)合二次函數(shù)引入課組織探究二次函數(shù)的零點及零點存在性的嘗試練習(xí)零點存在性為練習(xí)重點。探索研究進一步探索函數(shù)零點存在性的判定。作業(yè)回饋重點放在零點的存在性判斷及零點的確定上。研究二次函數(shù)在零點、零點之內(nèi)及零點外的函數(shù)值符課外活動號，并嘗試進行系統(tǒng)的總結(jié)。分析教材設(shè)計意圖，探討教學(xué)規(guī)律；教學(xué)建議探索合理教學(xué)思想，

6、提出教學(xué)建議。設(shè)計流程一、創(chuàng)設(shè)情景、引出問題問題 1：我國自行研制的某種彈道導(dǎo)彈以每小時5000 米 /每秒的速度發(fā)射，那么它幾秒后可以擊中地面目標(biāo)。 （不記空氣阻力，重力加速度g=10 m2 ）s讓學(xué)生各自獨立思考， 并請兩名不同解法的同學(xué)陳述自己的解法。不出意外應(yīng)該有兩種思路：思路一先列出方程5000t5 20，由方程的解得到。t思路二寫出函數(shù)式s5000t5t 2 ，再令 s0 得到。 師生互動 師：思路一用一元二次方程的知識得到結(jié)果，而思路二用二次函數(shù)的知識得到了相同的結(jié)果，那么二者有沒有關(guān)系？如果有，那又是什么關(guān)系？生：一元二次方程的根等于對應(yīng)二次函數(shù)圖象與軸的焦點的橫坐標(biāo)。師：再看

7、下面的題目，從圖象的角度直觀的體驗上述結(jié)論。問題 2：先來觀察幾個具體的一元二次方程的根及其相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象：122 x30 與函數(shù) yx22x3 方程 x222x10 與函數(shù) yx22x1 方程 x322 x30 與函數(shù) yx22x1 方程 x2 師生互動 師：引導(dǎo)學(xué)生畫圖、觀察圖象與x 軸交點的個數(shù)與方程的根的個數(shù)的關(guān)系；觀察圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)與方程根的大小關(guān)系。并引出函數(shù)零點概念。生：畫圖、思考、并歸納出結(jié)論：函數(shù)圖象與x 軸交點的個數(shù)等于對應(yīng)方程根的個數(shù)；函數(shù)圖象與軸的焦點的橫坐標(biāo)的大小與對應(yīng)方程的根的大小相等。設(shè)計意圖 -問題 1 以實際應(yīng)用問題引入，以學(xué)生熟悉的感興趣背景入

8、題，不僅能激發(fā)學(xué)生的興趣，又能激活學(xué)生的已學(xué)知識，為下一步的深入研究做好鋪墊。問題 2 是幾種不同的函數(shù)與方程，它既是幾個特殊的函數(shù)與方程又具有很強的概括性，包括方程有兩不相等的根、兩相等的根、無根的情況，研究它們有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的完整性，也為學(xué)生歸納方程與函數(shù)的關(guān)系鋪好了臺階。二、層層推進，組織探究老師給出函數(shù)零點的定義：對于函數(shù)yf (x)( xD ) ，把使 f ( x)0 成立的實數(shù)x 叫做函數(shù) y f (x)( x D ) 的零點問題 3：思考函數(shù)零點的概念，寫出問題2 中三個函數(shù)的零點？并填下表函數(shù)22x 3 y x 22 x 1 y x22x 1y x函數(shù)的零點方程的根設(shè)計意圖

9、 -此問的設(shè)置一方面讓學(xué)生理解函數(shù)零點的含義，另一方面通過對比讓學(xué)生再次加深對二者關(guān)系的認識， 使函數(shù)圖象與x 軸交點的橫坐標(biāo)到函數(shù)零點的概念轉(zhuǎn)變變得更自然、更易懂。 通過對比教學(xué)揭示知識點之間的密切關(guān)系。師生共同觀察、分析得出對函數(shù)零點的幾點認識：（1）函數(shù)的零點并不是“點” ，它不是以坐標(biāo)的形式出現(xiàn)。例如函數(shù)yx2 2x 3 的零點為 x=-1,3（2）函數(shù)零點的意義：函數(shù)yf ( x) 的零點就是方程f (x)0 實數(shù)根，亦即函數(shù)y f ( x) 的圖象與 x 軸交點的橫坐標(biāo)(3) 方程f ( x)0 有實數(shù)根函數(shù) yf (x) 的圖象與x 軸有交點函數(shù) yf (x) 有零點3(4) 函

10、數(shù)零點的求法：可以解方程f ( x)0 而得到（代數(shù)法） ；可以將它與函數(shù)yf (x)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點（幾何法）補充練習(xí)：求函數(shù)yx34 x 的零點（建議學(xué)生用兩種方法做）設(shè)計意圖 -鞏固函數(shù)零點的求法， 滲透二次以外的函數(shù)的零點情況。 總結(jié)討論二次函數(shù)的零點的存在情況問題 4：是不是所有的二次函數(shù)都有零點？ 師生互動 師：僅提出問題，不須做任何提示。生：根據(jù)函數(shù)零點的意義探索研究二次函數(shù)的零點情況，并進行交流，總結(jié)概括形成結(jié)論二次函數(shù)的零點：二次函數(shù)2(0)yaxbxc a）， 方程 ax 2bxc0 有兩不等實根， 二次函數(shù)的圖象與x 軸有兩個交點，二次函數(shù)有兩個零

11、點），方程ax 2bxc0 有兩相等實根（二重根） ，二次函數(shù)的圖象與x 軸有一個交點，二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點），方程ax 2bxc0 無實根，二次函數(shù)的圖象與x軸無交點，二次函數(shù)無零點設(shè)計意圖 -本節(jié)的前半節(jié)一直以二次函數(shù)作為模本研究，此題是從特殊到一般的升華，也全面總結(jié)了二次函數(shù)零點情況，給學(xué)生一個清晰的解題思路。進而培養(yǎng)學(xué)生總結(jié)歸納能力。零點存在性的探索：問題 5：（）觀察二次函數(shù)f (x)x22x3 的圖象： 在區(qū)間2,1上有零點嗎？ _；1f (2)_， f (1)_,f (2)f (1)_0 （或）思考： 若 f ( 2)f (1) <0 ，那么函數(shù) f ( x)x

12、 22x3 在2,1上一定有零點嗎 ? 在區(qū)間2,4 上有零點 _；2f (2)f (4) _0（或）思考：若f ab0 ，那么函數(shù)f (x)x22x3在 a,b 上一定有零點嗎 ?4（）觀察下面函數(shù)yf ( x) 的圖象1在區(qū)間 a,b 上 _(有 / 無)零點； f (a)f (b) _0（或）在區(qū)間 b, c 上_( 有 /無 )零點； f (b)f (c) _0（或）2在區(qū)間 c,d 上 _(有 /無 )零點； f (c)f (d ) _0（或）3faf c _0（或）在區(qū)間 a, c 上 _( 有 /無 )零點？4 faf d0（或）。區(qū)間5思考：若函數(shù)yf ( x) 滿足 f mf

13、 n0 ，在區(qū)間 m, n 上一定有零點嗎？若函數(shù)yf ( x) 滿足 f mf n0 ，在區(qū)間 m, n 上一定有零點嗎？由以上兩步探索，你可以得出什么樣的結(jié)論？< 師生共同總結(jié)>如果yf ( x) 在區(qū)間a, b 上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,并且有f af b0 ,那么函數(shù)yf ( x) 在區(qū)間a, b 內(nèi)有零點 ,即存在 ca, b ,使得f c0,這個 c 也就是方程f ( x)0 的根。理解：1 此性質(zhì)成立的前提是圖象是連續(xù)不斷的一條曲線。2 零點 c 并不一定是唯一的，但一定存在。3f a f b 0 是函數(shù) yf (x) 在區(qū)間a, b 內(nèi)有零點的充分條件。但是若函

14、數(shù)yf (x)是一次、 二次時， 則 f a f b0是函數(shù) yf ( x) 在區(qū)間 a,b 內(nèi)有零點的充要條件。 師生互動 師：怎樣利用函數(shù)零點存在性定理，斷定函數(shù)在某給定區(qū)間上是否存在零點生：分析函數(shù)，按提示探索，完成解答，并認真思考師：引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合函數(shù)圖象， 分析函數(shù)在區(qū)間端點上的函數(shù)值的符號情況，與函數(shù)零點是否存在之間的關(guān)系生：結(jié)合函數(shù)圖象，思考、討論、總結(jié)歸納得出函數(shù)零點存在的條件，并進行交流、評析師：引導(dǎo)學(xué)生理解函數(shù)零點存在定理，分析其中各條件的作用設(shè)計意圖 -如何由函數(shù)零點的概念過度到函數(shù)零點的判定方法是本節(jié)課的難點，用數(shù)形結(jié)合的方法是最5直觀的，學(xué)生也是最易接受的。 問題 5

15、的問題設(shè)計層層遞進、 層層加深。有助于學(xué)生理解概念，自己總結(jié)出函數(shù)零點的判定方法。 這樣設(shè)計不僅符合學(xué)生的認知特點， 也無形中給學(xué)生灌輸概念發(fā)生的從特殊到一般過程。三、例范研究例 1求函數(shù)f ( x)ln x2x6 的零點個數(shù)問題：1）你可以想到什么方法來判斷函數(shù)零點個數(shù)？2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性你能得該函數(shù)的單調(diào)性具有什么特性？例 2求函數(shù)yx3x2x2 ，并畫出它的大致圖象2 師生互動 師：引導(dǎo)學(xué)生探索判斷函數(shù)零點的方法，指出可以借助計算機或計算器來畫函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象對函數(shù)有一個零點形成直觀的認識生：借助計算機或計算器畫出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象確定零點所在的區(qū)間，然后利用函數(shù)單調(diào)性

16、判斷零點的個數(shù)四、練習(xí)嘗試1利用函數(shù)圖象判斷下列方程有沒有根，有幾個根：（ 1） x 2x 20 ；（3） 9x 26 x（ 4） x 33x02利用函數(shù)的圖象，指出下列函數(shù)零點所在的大致區(qū)間：（ 1） f (x)x33x3 ；（ 2） f (x)2x ln( x2) 3；（ 3） f ( x)ex4x ；（ 4） f ( x)3(x2)( x3)( x4)x 師生互動 師：多媒體演示； 結(jié)合圖象考察零點所在的大致區(qū)間與個數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性說明零點的個數(shù)；讓學(xué)生認識到函數(shù)的圖象及基本性質(zhì) （特別是單調(diào)性） 在確定函數(shù)零點中的重要作用生：建議學(xué)生使用計算器求出函數(shù)的大致區(qū)間，培養(yǎng)學(xué)生的估算能力

17、，也為下一節(jié)的用二分法求方程的近似解做準(zhǔn)備。五、探索研究1已知f (x)2x47x 317 x258x24 ，請?zhí)骄糠匠蘤 (x)0 的根如果方程有根，指出每個根所在的區(qū)間（區(qū)間長度不超過1）2設(shè)函數(shù)f ( x)2xax1 6（ 1）利用計算機探求 a2 和 a3 時函數(shù) f ( x) 的零點個數(shù)；（ 2）當(dāng) a R 時，函數(shù)f (x) 的零點是怎樣分布的？3討論：請大家給方程x2 ex3 0 的一個解的大約范圍，看誰找得范圍更?。?師生互動 師：把學(xué)生分成小組共同探究，給學(xué)生足夠的自主學(xué)習(xí)時間，讓學(xué)生充分研究，發(fā)揮其主觀能動性。 也可以讓各組把這幾個題做為小課題來研究，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)潛能和熱情

18、。 老師用多媒體演示，直觀地演示根的存在性及根存在的區(qū)間大小情況。生：分組討論，各抒己見。在探究學(xué)習(xí)中得到數(shù)學(xué)能力的提高，從小科學(xué)研究的素養(yǎng)。現(xiàn)代設(shè)計意圖 -數(shù)學(xué)教學(xué)的新理念， 就是想法設(shè)法在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和探究意識，本組探究題目就是為了培養(yǎng)學(xué)生的探究能力，此組題目具有較強的開放性，探究性， 基本上可以達到上述目的。六、作業(yè)回饋1 教材 P108 習(xí)題 31（ A 組）第 1、 2 題；2 求下列函數(shù)的零點：（ 1） yx 2x30 ；（ 2） f ( x) (x 2 2)( x 2 3x 2) 3求下列函數(shù)的零點，圖象頂點的坐標(biāo)，畫出各自的簡圖，并指出函數(shù)值在哪些區(qū)間上大于零，哪些區(qū)間上小于零：（ 1） y3 x 23x1；4（ 2） y2x24x3 七、課外活動課后討論并總結(jié)函數(shù)零點求法要注意的問題； 思考可以用求函數(shù)零點的方法求方程的近似解嗎？八、教學(xué)建議注意函數(shù)與實際問題的聯(lián)系，體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的思想：我們生