最新高中數(shù)學(xué)知識(shí)梳理正弦余弦定理及解三角形基礎(chǔ)

1、正弦、余弦定理及解三角形編稿：李霞 審稿：孫永釗【考綱要求】1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題.2、能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題.【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】應(yīng)用解三角形正弦定理余弦定理【考點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、三角形中的邊與角之間的關(guān)系約定：的三個(gè)內(nèi)角、所對(duì)應(yīng)的三邊分別為、.1邊的關(guān)系：(1) 兩邊之和大于第三邊：，；兩邊之差小于第三邊：，；(2) 勾股定理：中，.2角的關(guān)系：中，,=（1）互補(bǔ)關(guān)系：（2）互余關(guān)系：3直角三角形中的邊與角之間的關(guān)系中，（如圖），有：，.要點(diǎn)二、正弦定理、余弦定理1.正弦定理：在個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正

2、弦的比相等即：（為的外接圓半徑）2. 余弦定理：三角形任意一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。即： 要點(diǎn)詮釋：（1）正弦定理適合于任何三角形；每個(gè)等式可視為一個(gè)方程：知三求一.（2）利用正弦定理可以解決下列兩類三角形的問(wèn)題： 已知兩個(gè)角及任意邊，求其他兩邊和另一角； 已知兩邊和其中邊的對(duì)角，求其他兩個(gè)角及另一邊.（3）利用余弦定理可以解決下列兩類三角形的問(wèn)題：已知三角形的兩條邊及夾角，求第三條邊及其他兩個(gè)角；已知三角形的三條邊，求其三個(gè)角.(4) 利用余弦定理判斷三角形形狀：勾股定理是余弦定理的特殊情況，.在中，所以為銳角；若，同理可得角、為銳角.當(dāng)，都成立時(shí)，

3、為銳角三角形在中，若，所以為鈍角，則是鈍角三角形同理：若，則是鈍角三角形且為鈍角； 若，則是鈍角三角形且為鈍角要點(diǎn)三、解斜三角形的類型1.已知兩角一邊，用正弦定理，有解時(shí)，只有一解.2.已知兩邊及其一邊的對(duì)角，用正弦定理，有解的情況可分為以下情況，在中，已知和角時(shí)，解的情況如下： (1)若a為銳角時(shí)：如圖：(2)若a為直角或鈍角時(shí)：3.已知三邊，用余弦定理有解時(shí)，只有一解.4.已知兩邊及夾角，用余弦定理，必有一解.要點(diǎn)詮釋：1在利用正弦定理理解已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角，進(jìn)而求出其他的邊和角時(shí)，有時(shí)可能出現(xiàn)一解、兩解或無(wú)解情況，應(yīng)結(jié)合圖形并根據(jù)“三角形中大邊對(duì)大角”來(lái)判斷

4、解的情況，作出正確取舍.2在判斷三角形的形狀時(shí)，一般將已知條件中的邊角關(guān)系利用正弦定理或余弦定理轉(zhuǎn)化為角角關(guān)系或邊邊關(guān)系，再用三角變換或代數(shù)式的恒等變換（如因式分解、配方等）求解，注意等式兩邊的公因式不要約掉，要移項(xiàng)提取公因式，否則會(huì)漏掉一種形狀的可能要點(diǎn)四、三角形面積公式 1（表示邊上的高）；2；3；4；5. 要點(diǎn)五、實(shí)際問(wèn)題中的常用角1. 仰角和俯角與目標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方時(shí)叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方時(shí)叫俯角，如圖所示：2.方位角：一般指正北方向線順時(shí)針到目標(biāo)方向線的水平角. 方位角的取值范圍為0°360°.如圖，

5、點(diǎn)的方位角是。3. 坡角和坡度坡面與地平面所成的角度，叫做坡角；坡面的鉛直高度和水平寬度的比叫做坡度或者坡比，常用字母i表示。坡比是坡角的正切值?！镜湫屠}】類型一、利用正弦、余弦定理解三角形例1. 在中，已知下列條件，解三角形.（1）, , ； （2），.【思路點(diǎn)撥】畫(huà)出示意圖（1）正弦定理的運(yùn)用；（2）余弦定理的運(yùn)用.【解析】（1）， 法一：， 或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，（舍去）.法二：，即， ，.（2）法一：，法二：又，即，有，.【總結(jié)升華】解三角形時(shí)，可以依據(jù)題意畫(huà)出恰當(dāng)?shù)氖疽鈭D，然后正確選擇正、余弦定理解答；解三角形時(shí)，要留意三角形內(nèi)角和為180°，同一個(gè)三角形中大邊對(duì)大角等性質(zhì)的

6、應(yīng)用.舉一反三：【變式1】在abc中，a，b，b45°.求角a，c和邊c.【解析】由正弦定理得，sin a.ab，a60°或a120°.當(dāng)a60°時(shí)，c180°45°60°75°，c；當(dāng)a120°時(shí)，c180°45°120°15°，c.【變式2】在abc中，a60°，b75°，a10，則c等于( )a b c. d【答案】c【解析】由abc180°，知c45°，由正弦定理得：，即c.【高清課堂：正、余弦定理及解三角形40122

7、3 例1】【變式3】 在abc中，ab2，ac3，則bc()a. b. c d. 【答案】a【解析】， ,，由余弦定理有，從而bc.例2. 在abc中，已知，試判斷abc的形狀【思路點(diǎn)撥】將等式左邊正切化為正弦、余弦形式，右邊運(yùn)用正弦定理將邊化為角的形式，化簡(jiǎn)再判斷.也可以直接將等式左邊化為邊的形式判斷.【解析】方法一：化邊為角由題意得 ，化簡(jiǎn)整理得sinacosa=sinbcosb即sin2a=sin2b2a=2b或2a+2b= a=b或，三角形的形狀為等腰三角形或直角三角形方法二：化角為邊由已知得結(jié)合正、余弦定理得，整理得 即三角形為等腰三角形或直角三角形【總結(jié)升華】依據(jù)正、余弦定理定理的

8、結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，若在式子中出現(xiàn)的為與邊相關(guān)的一次式，則一般多用正弦定理，；若在式子中出現(xiàn)的為與邊相關(guān)的二次式，則一般多用余弦定理.舉一反三：【變式1】在abc中，若2cosbsina=sinc，則abc的形狀一定是（ ）a等腰直角三角形 b等腰三角形 c直角三角形 d等邊三角形【答案】b【解析】解法一：由已知結(jié)合正、余弦定理得，整理得a2=b2，a=b，abc一定是等腰三角形.解法二：，由已知得sinacosbcosasinb=0，即sin（ab）=0。又ab（，），ab=0，即a=b，abc為等腰三角形.【變式2】在中，若b=asinc,c=acosb，試判斷的形狀【答案】為等腰直角三角形【解析】

9、由b=asinc可知 ，由c=acosb可知整理得，即三角形一定是直角三角形，a=，sinc=sinbb=c，abc為等腰直角三角形類型二、解三角形及其綜合應(yīng)用例3.（2015 山東高考） abc中，角a，b，c所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知cosb=，sin（a+b）=，ac=2，求sina和c的值【思路點(diǎn)撥】根據(jù)兩角和的正弦公式展開(kāi)，再根據(jù)同角關(guān)系式求出sina. 根據(jù)正弦定理就可以出c的值.【解析】因?yàn)閍bc中，角a，b，c所對(duì)的邊分別為a，b，c已知cosb=，sin（a+b）=，ac=2，所以sinb=，sinacosb+cosasinb=，所以sina+cosa=，結(jié)合平方關(guān)系si

10、n2a+cos2a=1，得27sin2a6sina16=0，解得sina=或者sina=（舍去）；由正弦定理，由可知sin（a+b）=sinc=，sina=，所以a=2c，又ac=2，所以c=1【總結(jié)升華】有關(guān)三角形中的三角函數(shù)問(wèn)題，靈活運(yùn)用正弦、余弦定理把邊、角之間的關(guān)系相互轉(zhuǎn)化，然后應(yīng)用三角函數(shù)的有關(guān)概念及公式進(jìn)行恒等變換，從而達(dá)到解題的目的.舉一反三：【變式1】（2015 湖南高考）設(shè)abc的內(nèi)角a，b，c的對(duì)邊分別為a，b，c，a=btana（）證明：sinb=cosa；（）若sincsinacosb=，且b為鈍角，求a，b，c【解析】（）證明：a=btana=tana，由正弦定理：，

11、又tana=，=，sina0，sinb=cosa得證（）sinc=sin-(a+b)=sin(a+b)=sinacosb+cosasinb，sinc-sinacosb=cosasinb=，由（1）sinb=cosa，sin2b=，0b，sinb=，b為鈍角，b=，又cosa=sinb=，a=，c=ab=，綜上，a=c=，b=【高清課堂：正、余弦定理及解三角形401223 例4】【變式2】在abc中,角a、b、c所對(duì)的邊分別為a,b,c，已知 (i)求sinc的值；()當(dāng)a=2， 2sina=sinc時(shí)，求b及c的長(zhǎng)【答案】(i) () 例4. 如圖，a，b是海面上位于東西方向相距海里的兩個(gè)觀測(cè)

12、點(diǎn). 現(xiàn)位于a點(diǎn)北偏東45°，b點(diǎn)北偏西60°的d點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號(hào)，位于b點(diǎn)南偏西60°且與b點(diǎn)相距海里的c點(diǎn)的救援船立即前往營(yíng)救，其航行速度為30海里小時(shí)，該救援船到達(dá)d點(diǎn)需要多少時(shí)間？【思路點(diǎn)撥】在dab中，由正弦定理得，由此可求得；然后在dab中，由余弦定理可求得cd；最后根據(jù)時(shí)間=路程速度，即可求得該救援船到達(dá)d點(diǎn)需要的時(shí)間. 準(zhǔn)確找出題目中的方向角是解題的關(guān)鍵之處.【解析】由題意知（海里），dba=90°60°=30°，dab=90°45°=45°，adb=180°(45

13、76;+30°)=105°，在dab中，由正弦定理得，（海里）.又dbc=dba+abc=30°+(90°60°)=60°，海里，在dbc中，由余弦定理得，cd=30（海里），則需要的時(shí)間（小時(shí)）.【總結(jié)升華】對(duì)圖形進(jìn)行有效的分析，便于使用正弦、余弦定理.舉一反三：【變式1】如圖,甲船以每小時(shí)海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向勻速直線航行,當(dāng)甲船位于處時(shí),乙船位于甲船的北偏西的方向處,此時(shí)兩船相距20海里.當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)處時(shí),乙船航行到甲船的北偏西方向的處,此時(shí)兩船相距海里,問(wèn)乙船每小時(shí)航行多少海里?【解析】如圖，連結(jié)，是等邊三角形，在中，由余弦定理得