第二講函數(shù)的極限典型例題

1、第二講 函數(shù)的極限一 內(nèi)容提要1.函數(shù)在一點處的定義使得，有.右極限使得，有.左極限使得，有.注1 同數(shù)列極限一樣，函數(shù)極限中的同樣具有雙重性注2的存在性（以為例）：在數(shù)列的“”定義中，我們曾經(jīng)提到過，的存在性重在“存在”，而對于如何去找以及是否能找到最小的無關(guān)緊要；對也是如此，只要對給定的，能找到某一個，能使時，有即可 注3討論函數(shù)在某點的極限，重在局部，即在此點的某個空心鄰域內(nèi)研究是否無限趨近于注4注，有，稱為歸結(jié)原則海涅（heine）定理它是溝通數(shù)列極限與函數(shù)極限之間的橋梁說明在一定條件下函數(shù)極限與數(shù)列極限可以相互轉(zhuǎn)化因此，利用定理必要性的逆否命題，可以方便地驗證某些函數(shù)極限不存在；而利

2、用定理的充分性，又可以借用數(shù)列極限的現(xiàn)成結(jié)果來論證函數(shù)極限問題（會敘述，證明，特別充分性的證明）注6，有2函數(shù)在無窮處的極限設(shè)在上有定義，則使得，有使得，有使得，有注注，有函數(shù)的有界設(shè)在上有定義，若存在一常數(shù)，使得，有，則稱在上有界無窮大量使得，有使得，有類似地，可定義，等注若，且和，使得，有，則特別的，若，則無窮小量若，則稱當(dāng)時為無窮量注1 可將改為其它逼近過程注2 ，其中由于有這種可以互逆的表達關(guān)系，所以極限方法與無窮小分析方法在許多場合中可以相互取代注3 ，在的某空心鄰域內(nèi)有界，則注4 ，且當(dāng)足夠大時，有界，則注5 在某一極限過程中，無窮大量的倒數(shù)是無窮小量，非零的無窮小量的倒數(shù)是無窮大

3、量6 函數(shù)極限的性質(zhì)以下以為例，其他極限過程類似（1），則極限唯一（2），則，使得，有（3），且，則，使得，有 注 這條性質(zhì)稱為函數(shù)的“局部保號性”在理論分析論證及判定函數(shù)的性態(tài)中應(yīng)用極普遍（4），且當(dāng)時，則（5），則 （）要求：進行運算的項數(shù)為有限項；極限為有限數(shù)7 夾逼定理若使得，有，且，則8 cauchy收斂準(zhǔn)則函數(shù)在的空心鄰域內(nèi)極限存在使得，當(dāng)，時，有9 無窮小量的比較設(shè)，且，則（1）當(dāng)時，稱為的高階無窮小量，記作；（2）當(dāng)時，稱為的低階無窮小量；（3）當(dāng)且時，稱為的同階無窮小量特別的，當(dāng)時，稱和為等價的無窮小量，記作 注1 上述定義中，自變量的變化過程也可用，之一代替注2 當(dāng)時，常見

4、的等價無窮小有：，注3 在用等價無窮小替換計算極限時，一般都要強調(diào)限定對“乘積因式”的等價替換因為：若（），則或 （為某逼近過程）而對于非乘積因式，這樣的替換可能會導(dǎo)致錯誤的結(jié)果注4 在某一極限過程中，若為無窮小量，則在此極限過程，有 10 兩個重要極限（1）； （2）二、典型例題例 用定義證明下列極限：（1）；（2）例，證明：（1）若，則有；（2）例設(shè)是上的嚴(yán)格嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，又若對（），有，試證明：例函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，且對（），且（），有，證明：例 設(shè)函數(shù)，滿足（），且 （）則 （）問：在題設(shè)條件下，是否有？答：否如例 設(shè)函數(shù)在上滿足議程，且，則 （）例 求下列函數(shù)極限（1）（）； （2）（）；（3）例 求下列極限（1）；（2）；（3）例 求下列極限：（1