2021-2021學年高中數(shù)學第一章坐標系第1節(jié)平面直角坐標系教學案新人教A版選修4-4

1、預習導引區(qū)第1節(jié)平面直角坐標系i複心轄知自嘍教材找關餐I問思考辨桁間聽岸樂惑fl I I白土學習 MJ? i 干核心必知1 平面直角坐標系(1) 平面直角坐標系的作用通過直角坐標系，平面上的點與坐標(有序實數(shù)對)、曲線與方程建立了聯(lián)系,從而實現(xiàn) 了數(shù)與形的結合.(2) 坐標法解決幾何問題的“三部曲第一步：建立適當坐標系，用坐標和方程表示問題中涉及的幾何元素，將幾何問題轉化為代數(shù)問題；第二步：通過代數(shù)運算解決代數(shù)問題；第三步：把代數(shù)運算結果翻譯成幾何結論.2 平面直角坐標系中的伸縮變換設點Rx, y)是平面直角坐標系中的任意一點,x'=入 x,入 >0,在變換0 :,y = 口 y

2、, 口 > 0的作用下，點P(x, y)對應到點P' (x' , y')，稱 止為平面直角坐標系中的坐標伸縮變換， 簡稱伸縮變換.問題思考1 用坐標法解決幾何問題時，坐標系的建立是否是唯一的？提示：對于同一個問題， 可建立不同的坐標系解決， 但應使圖形上的特殊點盡可能多地 落在坐標軸，以便使計算更簡單、方便.2 伸縮變換中的系數(shù) 入，口有什么特點？在伸縮變換下，平面直角坐標系是否發(fā)生變 化?是對點的坐標進行伸縮變換.課堂互動區(qū)突碓考點：I訴爭為標考點1求軌跡方程Rt ABC |AB = 2a(a>0)，求直角頂點 C的軌跡方程.精講詳析解答此題需要結合幾何圖

3、形的結構特點，建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担?然 后設出所求動點的坐標，尋找滿足幾何關系的等式，化簡后即可得到所求的軌跡方程.CJ (A OBx以AB所在直線為x軸，AB的中點為坐標原點，建立如下圖的直角坐標系，那么有A a, 0), B(a, 0)，設頂點 C(x, y).法一：由厶 ABC是 直角三角形可知 |AB2=|AC2+ |BC2,即(2a)2= (x+ a)2 + y2+ (x a)2 + y2,化簡得x2+ y2= a2.依題意可知，x± a.故所求直角頂點 C的軌跡方程為x2+ y2= a2(x工土 a).法二：由厶ABC是直角三角形可知 ACLBC所以kAc- kB=

4、 1,那么土 =x 十 a x a1( x± a)，化簡得直角頂點 C的軌跡方程為x2十y2= a2( x± a).法三：由厶ABC是直角三角形可知|0C = |0B，且點C與點B不重合，所以'x2+ y2 = a(x工± a)，化簡得直角頂點 C的軌跡方程為x2+ y2= a2(x工± a).古*扯神求軌跡方程，其實質就是根據題設條件，把幾何關系通過“坐標轉化成代數(shù)關系，得 到對應的方程.(1) 求軌跡方程的一般步驟是：建系t設點t列式t化簡t檢驗.(2) 求軌跡方程時注意不要把范圍擴大或縮小，也就是要檢驗軌跡的純粹性和完備性.(3) 由于觀察

5、的角度不同，因此探求關系的方法也不同，解題時要善于從多角度思考問題.1 線段AB與CD互相垂直平分于點 ABC中, AB= AC, BD CE分別為兩腰上的高求證:BD= CEO I AB = 8, I CD = 4,動點 M滿足 | MA 丨 MB=| MC 丨MD，求動點 M的軌跡方程.解：以0為原點，分別以直線 AB CD為x軸、y軸建立直角坐標系，那么A 4, 0),04 , 0) , qo , 2) , Q0 , 2).設Mx, y)為軌跡上任一點，那么| MA = : (x + 4) 2+ y2, I MB = : (x 4) 2+ y2,|MC = ；x2+( y 2) 2, |

6、MD = ,'x2+( y+ 2) 2,由 I MA MB = I MC MD，可得：(x + 4) 2+ y2 (x 4) 2+ y2=;'x2+( y 2) 2 x2+( y+ 2) 2. 化簡，得 y2 x2 + 6= 0.點M的軌跡方程為x2 y2= 6.用坐標法解決幾何問題精講詳析 此題考查坐標法在幾何中的應用解答此題可通過建立平面直角坐標系, 將幾何證明問題轉化為代數(shù)運算問題.如圖，以BC所在直線為x軸，BC的垂直平分線為 y軸建立平面直角坐標系.設氏a, 0) , C(a, 0) , A(0 , h).h那么直線AC的方程為y= ax + h,即：hx+ ay a

7、h = 0.h直線AB的方程為y = -x+ h,a即：hx ay+ ah= 0.由點到直線的距離公式：|2 ah|2 ah|BD ：a2+ h2, |CE - ;a2+ h2,-1 BD = | C耳,即 BD= CE(1)建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，將平面幾何問題轉化為解析幾何問題，即“形轉化為“數(shù)，再回到“形中，此為坐標法的根本思想，務必熟練掌握.建立坐標系時，要充分利用圖形的幾何特征例如，中心對稱圖形，可利用它的對 稱中心為坐標原點； 軸對稱圖形，可利用它的對稱軸為坐標軸；題設中有直角，可考慮以兩 直角邊所在的直線為坐標軸等.II理式訓赫I2. ABC中, BD= CD 求證：AB + AC

8、= 2(AD+ bD).證明:以A為坐標原點OxOy,那么 A(0 , 0)，設 B(a,0), Qb, c),小 a+ b c那么D(,刁，.aD+ bD=3)2+孕+宀)2441 2 .2 2 =2(a +b +c),AB+ AC = a2 + b2 + c2. AB+ AC= 2( aD + BD).直角坐標系中的伸縮變換在平面直角坐標系中，求以下方程所對應的圖形經過伸縮變換X'= 3x，后的圖形是什么形狀?2 2 2 y = 2x； 2 x + y = 1.精講詳析此題考查伸縮變換的應用，解答此題需要先根據伸縮變換求出變換后的方程，然后再判斷圖形的形狀.X由伸縮變換y1=3X，

9、3x= 3x',可知,1y=2y'.=2y.x = 3x '1將o ,y=2y'代入 y2 = 2x，可得 4y ' 2= 6x ',2 3即 y' 2= 2X，.即伸縮變換之后的圖形還是拋物線.X= 3X2222將， 代入 X + y = 1,得3x' + 2y' = 1,y = 2y2-=19即伸縮變換之后的圖形為焦點在 y軸上的橢圓.古燭粗神利用坐標伸縮變換x，入>°，求變換后的曲線方程，其實質是從中 y,口 >01 ,x=x ,求出然后將其代入的曲線方程求得關于x' , y '

10、的曲線方程.1 ,y= y ,aIII鯉疋iO廠3x = x,223將圓錐曲線C按伸縮變換公式2y'= y變換后得到雙曲線x，y- 1求曲線C的方程.解：設曲線C上任意一點Px, y，通過伸縮變換后的對應點為P'x', y',1由暑y，X' = 3x，,1y = 2y.2 2x .y .x y代入 x ' y '= 1 得32= 1,即=1 為所求.329 4本節(jié)熱點命題關注本課時考點常以解答題多出現(xiàn)在第1小問的形式考查軌跡方程的求法，湖北高考將圓錐曲線的類型討論同軌跡方程的求法相結合，以解答題的形式考查，是高考命題的一個新 執(zhí)占八、八、

11、考題印證湖北高考改編設A是單位圓x2 + y2= 1上的任意一點，I是過點A與x軸垂直的直線，D是直線I與x軸的交點，點 M在直線I上，且滿足|DM = mjDA mi>0,且1.當點 A 在圓上運動時，記點 M的軌跡為曲線 C.求曲線C的方程，判斷曲線 C為何種圓錐曲線，并求其焦點坐標.命題立意此題考查圓錐曲線的相關知識以及軌跡方程的求法.解如圖，設 Mx, y, Axo, yo，那么由 | DM = m| DA n>0，且1，可得 x = xo, | y| =n|iyo|，所以 xo = x,11 ym = myL因為A點在單位圓上運動，所以xo + yo= 1.2將式代入式即

12、得所求曲線C的方程為X2+ m= 1m>0，且1 因為 m 0 , 1 U 1 ,+s，所以當0 V RK 1時，曲線C是焦點在X軸上的橢圓，兩焦點坐標分別為-寸1 -m, o,屮-m, o；當m> 1時，曲線C是焦點在y軸上的橢圓，兩焦點坐標分別為0, pm_ 1, 0, pm 1欄目功能IIt速提SL讓學生赴卻打鐵請出所學 眈録嚏理工揀沖足.專":為莒擊去竝fniL/hm、uMum 護拉址打 同帝戰(zhàn)£：、選擇題1 y = cos x經過伸縮變換x '= 2x,后，曲線方程變?yōu)閒xb. y '=3cos 2 x 'A. y' =

13、 3cos"2-， 1x 'D1 y1c，C. y = - cos32=-cos 2 x31x '=2x,x = ?X '解析：選A I由，得y '=3y1 ,y=3yy'= 3y又T y= cos x,=cos2，即 y'x=3cos 2.直線2x + 3y= 0經伸縮變換后變?yōu)?x'+ y'= 0,那么該伸縮變換為B.y'= 3yy' = 3yx '= 2x,C.1D.y 3y1x，= 2X，,1y = 3y解析：選B設變換為X,八'X，(入>0) y，= y，(口 >o)

14、將其代入方程X，+ y，= 0，得,入 x+ (iy = 0.又T2X+ 3y= 0,. = 2, (1 = 3.即3.A.C.x， = 2x,y，= 3y.將一個圓作伸縮變換后所得到的圖形不可能是()橢圓B比原來大的圓比原來小的圓D 雙曲線解析：選D由伸縮變換的意義可得.4. 兩定點 A 2, 0) , B(1 , 0)，如果動點P滿足|PA = 2|PE|，那么點圍成的圖形的面積等于()A.n B . 4 nC. 8 n D . 9 n解析：選B設P點的坐標為(x, y),|PA = 2| PB ,- (x + 2)2+ y2 = 4( x 1)2 + y2.即(x 2)2+ y2 = 4

15、.故P點的軌跡是以(2 , 0)為圓心，以2為半徑的圓，它的面積為4n .二、填空題5. 將點F(2 , 3)變換為點P' (1 , 1)的一個伸縮變換公式為 .P的軌跡所x'= hx ( h>0)解析：設伸縮變換為丫' = kx( k>0)1 = 2h1 h= ,xx' = 2由，解得1 = 3k1 ., yk = 3y = 3.xx=2答案：'yy=36將對數(shù)曲線y = log 3X的橫坐標伸長到原來的2倍得到的曲線方程為 變換后的對應點為 P'(xy'),解析：設P(x, y)為對數(shù)曲線y = log 3X上任意一點,由

16、題意知伸縮變換為x' = 2x，y = y1x = qx', 1 ,代入 y = log 3X 得 y '= log ',y=y'. 即 y = log 3x.答案：y = logx327.把圓x2+ y2= 16沿x軸方向均勻壓縮為橢圓22+葺6 = 1,那么坐標變換公式是x' = X解析：設0：,y = 口-x入0,-y口0,/x x= 那么fy .y=.口216 入=1 ,'2 ' 2代入 /+/ =16 得 16T2 + 計=1.16匯=16.入=4,fx答案：Iyx' 故Iyx=4,=y.&A2 ,1),

17、 B( 1,1) , O為坐標原點，動點M滿足，其x = 2m- n, 解析：設 M(x, y),那么(x, y) = m2 , 1) + n( 1, 1) = (2 m- n, n-m，二y = n m222X 2又 2m n=2,消去 m n得-y = 1.2 答案：扌y2= 1三、解答題9. 在同一平面直角坐標系中，將曲線x2 36y2 8x + 12= 0變成曲線x' 2 y' 2 4x' + 3 =0，求滿足條件的伸縮變換.2 2解：x 36y 8x+ 12= 0 可化為x 4 2 ()9y = 1.x' 2 y' 2 4x'+ 3=

18、0 可化為(x' 2)2 y' 2 = 1.,x 4x 2 =,比擬，可得2y' = 3y,x x = 了，即2y' = 3y.1 所以將曲線x2 36y2 8x + 12= 0上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?q，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，就可得到曲線 x ' 2 y ' 2 4x ' + 3= 0的圖象.10. 在正三角形 ABC內有一動點P,P到三頂點的距離分別為|PA , |PB , |PC,且滿足|PA2=|PB2+ i pc2,求點p的軌跡方程.解：以BC的中點為原點，BC所在的直線為x軸，BC的垂直平分線為y軸，建立如下圖的直角坐標系，設點F(x,y),B( a, 0) ,C(a,0),A(0 ,叮3a),(y>