數(shù)理方程與特殊函數(shù)5齊次弦振動方程的分離變量法

1、數(shù)學(xué)物理方程第三章1 齊次波動方程分離變量法齊次波動方程分離變量法固有值和固有函數(shù)固有值和固有函數(shù)fourier級數(shù)回顧級數(shù)回顧波動方程的波動方程的fourier解解0,sin0, 0)0,0(,000 tttxxxxttuxuuutxuu 引例引例 有界弦的振動問題有界弦的振動問題u(x, t) = cos t sin x2/16解解 u = f(x + t ) + g(x t )xxgxfsin)()( 0)()( xgxfxxgxfsin)()( cxgxf )()(2f(x) = sin x + c2g(x) = sin x c )sin()sin(21txtxu )(),(0, 0)

2、0,0( ,0002xuxuuutlxuautttlxxxxtt 齊次波動方程分離變量方法齊次波動方程分離變量方法)(),(xx 其中其中是已知函數(shù)是已知函數(shù)設(shè)問題的解設(shè)問題的解 u( x, t )可以按自變量分離可以按自變量分離u( x, t )=t(t)x(x)將將 utt = t”x, uxx = t x” 代入波動方程代入波動方程3/16utt = a2 uxxt”(t) x(x) = a2t(t) x”(x)xxtat 2 xxtat20 xx 02 tat 常微分方程常微分方程邊界條件邊界條件:固有值問題固有值問題: 0)(, 0)0(0, 0lxxlxxx x(0) = 0x(l

3、) = 0t(t)x(0)=0t(t)x(l)=04/160 0 0 分三種情形分三種情形: (1) ; (2) ; (3)解解 的二次方程的二次方程:02 1 2(1)通解通解:xxbeaex 0 lleea a = b = 0時固有值問題只有零解時固有值問題只有零解0 x(0) = 0x(l) = 0邊界條件邊界條件:0 ba0 llbeae 5/16(2) 0)(, 0)0(0, 0lxxlxxx 0 通解通解: x(x) = ax + bx(0) = 0x(l) = 0b = 0a l + b = 0a = b = 00 時特征值問題只有零解時特征值問題只有零解(3)0 02 i 1

4、i 26/16 0)(, 0)0(0, 0lxxlxxx 0 通解通解: :xbxaxx sincos)( x(0) = 0x(l) = 0a = 00sin lb 0sin l nl ( n=1,2, )xlnbxxnn sin)( 222lnn 7/1602 tatn 222lnn 代入方程代入方程latndlatncttnnn sincos)( 通解通解:弦振動方程的基本解弦振動方程的基本解: 1sin)sincos(),(nnnlxnlatndlatnctxu un(x, t) = tn(t) xn(x)lxnlatndlatncnn sin)sincos( 8/16 otherxxx

5、, 07/4 , 7/3,7sin)( 0),(0, 0)0, 10( ,0010tttxxxxttuxuuutxuu 1)sin()0 ,(nnxncxu 1)sin()sin()cos(),(nnnxntndtnctxu 9/16例例1 1)sin()()0 ,(nntxndnxu )()sin(1xxncnn dn = 0 10)sin()(2dxxnxcn 7/47/3)7cos()7cos(dxxnxn fourier級數(shù)級數(shù): 設(shè)設(shè) f(x) 在區(qū)間在區(qū)間 連續(xù)連續(xù), 10sincos2)(nnnnxbnxaaxf dxnxxfbnxdxxfann sin)(1cos)(1設(shè)設(shè) f

6、(x) 在在 上連續(xù)上連續(xù) (奇延拓奇延拓), 0 1sin)(nnnxbxfdxnxxfbn 0sin)(210/16設(shè)設(shè) f(x) 在在 0, l上有定義上有定義(奇延拓奇延拓) 1sin)(nnnzbzf 1sin)(nnxlnbxf 0sin)(2nzdzzfbn lndxlxnxflb0sin)(2 xlz , 0, 0 l)()(zlfzf 11/16 1sin)sincos(),(nnnlxnlatndlatnctxu 波動方程初始條件波動方程初始條件)()0 ,(xxu )()0 ,(xxut 1sin)(nnlxncx 1sin)(nnlxnlandx dlnlclnsin)

7、(20 dlnlanldlnsin)(20 12/16 1sin)sincos(),(nnnlxnlatndlatnctxu 方程的方程的fourier解解 dlnlclnsin)(20 dlnandlnsin)(20 xuxuuutlxuautttlxxxxtt 0002,0, 00,0,結(jié)論結(jié)論:13/16 0,1000)10(0, 00,100,001002tttxxxxttuxxuuutxuau例例3 設(shè)設(shè) a2=10000解解: dlnlclnsin)(20 dn10sin)10(50001100 )1(cos10250001333 nn)cos1(5233 nn 3354 n ( n為奇數(shù)為奇數(shù))14/16 1sin)sincos(),(nnnlxnlatndlatnctxu 1sincosnnlxnlatnc 03310)12(sin)12(10cos)12(54kxktkk 15/16習(xí)題習(xí)題3.1 3.1 （p.56p.56） 2(1), 2(1,3)2(1), 2(1,3) 思考題思考題1. 偏微分方程分離變量法與常微分方程分離變量法偏微分方程分離變量法與常微分方程分離變量法有何不同？有何不同？2. 比較固有值問題