數(shù)學思想方法(201408012)

1、數(shù)學思想方法數(shù)學思想方法華中師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學學院胡典順E-mail：湘南學院，2014，08，12 思考一個小數(shù)數(shù)學試題中的問題：請用一句話說明“”的含義。 的含義是圓周率。 （） 標準答案是：是一個在數(shù)學及物理學領域普遍存在的數(shù)學常數(shù)。 一項調(diào)查 魔鬼，難打敗的憎恨者； 數(shù)學是殺死腦細胞的工具； 數(shù)學是學不會的科目，很難，很難，難上加難； 腦細胞的滅絕師太； 滿清十大酷刑； 看似簡單，學起來難；聽課容易，做題難；平時測驗有高分，大型考試高分難；抽象難以變詳細； 數(shù)學是一門偉大而神奇的學科，對于一些人而言，它是天堂，對于我而言，它是地獄！ 數(shù)學就像老奶奶的拐杖，沒有它，老奶奶仍然可以行走，

2、但是不安全，不方便，擁有它，則更加便利； “買菜時最廣泛的語言” ； 數(shù)學是150分，沒定義，為了高考，為了父母的期望，為了上個好大學，要不然，打死我，我也不學。 小時候，數(shù)學是生活中的必須品，我離不開它，它也離不開我。后來啊，數(shù)學變成生活中的小包袱，我背著它，它壓制我。現(xiàn)在，數(shù)學成了生活中的繩索，它捆綁我，我一心只想逃離，因為要高考。也許，它還是暴風雨，將我對學習的熱情，扼殺在搖籃里。 數(shù)學，你是個壞蛋，你害我腦細胞不知死了多少。我美好的青春年華就毀在你的手上，你很能耐呀！你總是打破別人的夢，你為什么要做個人見人恨，人做人更恨的家伙呢？如果沒有你，我將笑得多燦爛呀！如果你離開我，我絕不責怪你

3、無情，只要你理解我的心，我就知足了。數(shù)學課應該怎樣上 不照本宣科，不拼命做題，有詩意，有笑聲，不會讓我們常覺得：你必須這樣做，而是明白：為什么要這樣做。 告訴我們?nèi)绾文苡姓_的思路，而不是你要這樣想。 把數(shù)學放在歷史發(fā)展的角度進行發(fā)人深省的啟迪。 互動，有激情，以學生為主體。 將數(shù)學與生活結合起來，講有關數(shù)學的趣事。 從游戲到數(shù)學 游戲1：拿15點游戲 桌子上有9張撲克牌，從1點到9點，甲、乙兩人輪流來取，哪個人先取得3張牌，使3張牌的點數(shù)加起來是15，他便勝了。 游戲2：有69塊糖，甲乙兩人輪流拿，每人每次可取不多于10的任意數(shù)（但不能不拿），誰取完糖使對方無糖可取為勝。如果讓甲先取，問誰能

4、獲勝，怎樣才能獲勝？形形色色的加法 1.在實數(shù)系里，有理數(shù)系里，整數(shù)系里，1+1=2。 2.電燈的拉線開關，拉一下，燈亮了，又拉一下，燈又滅了，拉兩下等于不拉，這叫1+1=0。 3.操場上的口令：立正，向右轉(zhuǎn)，向后轉(zhuǎn)，向左轉(zhuǎn)。向右轉(zhuǎn)+向左轉(zhuǎn)=立正，向左轉(zhuǎn)+向后轉(zhuǎn)=向右轉(zhuǎn)。+012300123112302230133012記立正=0，向右轉(zhuǎn)=1，向后轉(zhuǎn)=2，向左轉(zhuǎn)=3。叫“模4同余類的加法” 把“+”當成乘法來做，所得的積再除以7，余數(shù)就叫做和。+123456112345622461353362514441526355316426654321共同特征 1.每一個系統(tǒng)與一個基本集合有關。(1)實數(shù)

5、集，有理數(shù)集，整數(shù)集；(2)兩個動作“拉”與“不拉”；(3)4個口令；（4）1，2，3，4，5，6。 2.給定集合中的兩個元素，可以唯一地確定集合中的某元素，這叫在集合上規(guī)定了一種運算，用“+”或其他符號表示。 3.結合律(a+b)+c=a+(b+c)，交換律a+b=b+a。 4.零元素“0”，x+0=0+x=x。(1)中0，(2)中不拉動，(3)中立正；（4）1。 5.負元素，x+X=X+x=0。 加以抽象可得到交換群的定義。第一節(jié)第一節(jié) 數(shù)學思想方法的內(nèi)涵數(shù)學思想方法的內(nèi)涵 所謂所謂數(shù)學思想數(shù)學思想是指從具體的數(shù)學內(nèi)容中提是指從具體的數(shù)學內(nèi)容中提煉出來的對數(shù)學知識的本質(zhì)認識，它在數(shù)煉出來的

6、對數(shù)學知識的本質(zhì)認識，它在數(shù)學認識活動中被普遍使用，是建立數(shù)學理學認識活動中被普遍使用，是建立數(shù)學理論和解決數(shù)學問題的指導思想。論和解決數(shù)學問題的指導思想。比如，化歸思想、極限思想、公理化思想等。 所謂所謂數(shù)學方法數(shù)學方法是指研究數(shù)學問題過程中所是指研究數(shù)學問題過程中所采用的手段、途徑、方式等。采用的手段、途徑、方式等。比如變量代換方法、解析法等。 數(shù)學思想和數(shù)學方法是緊密聯(lián)系的，兩者雖層次不同但它們之間并沒有絕對的界限，因此常統(tǒng)稱為數(shù)學思想方法。 一般說來，強調(diào)指導思想指導思想時稱數(shù)學思想，強調(diào)操作過程操作過程時稱數(shù)學方法。 中小學數(shù)學中用到的各種解題方法，都是體現(xiàn)著一定的數(shù)學思想的。同時，

7、有的解題方法和思想可以說是等同的，只是在不同的情況下或側(cè)重于不同的方面，才有“方法”與“思想”提法之別，例如：“公理化方法”與“公理化思想”。當然，中小學數(shù)學中由于解題方法的層次性，有的方法通常不宜簡單直接冠以“思想”的雅號。 例如，“配方法”倘若冠以“配方思想”就與我們所定義的思想不那么相稱。鑒于中小學數(shù)學中的解題方法與數(shù)學思想的這種特殊關系，以及從數(shù)學方法論的角度來考慮既同一又有差異，或沒有明確界限的數(shù)學思想和數(shù)學方法中，我們在中小學數(shù)學教學中一般仍籠統(tǒng)使用“數(shù)學思想方法”一詞。 第二節(jié)第二節(jié) 數(shù)學思想方法的教學途徑數(shù)學思想方法的教學途徑滲透滲透 一般來說，數(shù)學思想方法的教學要采取“滲透”

8、的方式進行。 所謂“滲透”，就是有機地結合數(shù)學內(nèi)容的教學，采用“教者有意、學者無心”的形式，反反復復地向?qū)W生介紹數(shù)學思想方法，日積月累，期待學生的認識飛躍。 第一，從數(shù)學知識內(nèi)容與數(shù)學思想方法的關系來看，思想方法隱含在知識內(nèi)容中，體現(xiàn)在揭示、應用知識的過程中，它不象知識那樣可以具體地編排在某一教材，它幾乎滲透在所有的教學內(nèi)容之中。 第二，從學生的認識規(guī)律來看，學生掌握數(shù)學思想方法要經(jīng)歷較長時間從模糊到清晰的過程，也就是說學生對思想方法的認識不可能一次完成。 第三，從學生的個體差異來看，不同的學生掌握數(shù)學思想方法比理解知識和形成技能更加參差不齊，更加不同步。 數(shù)學思想是數(shù)學內(nèi)容的進一步提煉和概括

9、，是以數(shù)學內(nèi)容為載體的對數(shù)學內(nèi)容的一種本質(zhì)認識，因此是一種隱形的知識內(nèi)容，要通過反復體驗才能領悟和運用。 數(shù)學方法是處理、解決問題的一種方式、途徑、手段，是對變換數(shù)學形式的認識，同樣要通過數(shù)學內(nèi)容才能反映出來，并且要在解決問題的不斷實踐中才能理解和掌握。 因此在數(shù)學課本中即使是直接指出“思想”、“方法”也不一定能起到應有的作用。于是溝通課本與學生的認識，使學生領悟、理解、掌握、運用數(shù)學思想方法就需要通過精心的教學設計和課堂上的教學活動過程，在教師的主導、學生的參與下去完成。 具體地說，設計數(shù)學思想方法的教學過程應包括“多次孕育、初步形成、應用發(fā)展多次孕育、初步形成、應用發(fā)展”三個階段。 滲透思

10、想方法，重在細水長流 。第三節(jié)第三節(jié) 滲透數(shù)學思想方法的教學意義滲透數(shù)學思想方法的教學意義 數(shù)學思想方法作為數(shù)學知識內(nèi)容的精髓，是銘記在人們頭腦中起永恒作用的數(shù)學的精神與態(tài)度、數(shù)學的觀點與文化。 日本數(shù)學教育家米山國藏認為，“學生們在初中或高中所學到的數(shù)學知識，在進入社會之后，幾乎沒有什么機會應用。因而這種作為知識的數(shù)學，通常在出校門不到一兩年就忘掉了。然而不管他們從事什么業(yè)務工作，那種銘刻于頭腦中的數(shù)學精神和數(shù)學思想方法，卻長期地在他們的生活和工作中發(fā)揮著作用” 數(shù)學的精神、思想與方法 數(shù)學思想方法是處理數(shù)學問題的推導思想和基本策略，是數(shù)學的靈魂。因此，引導學生領悟和掌握以數(shù)學知識為載體的數(shù)

11、學思想方法，是使學生提高思維水平，真正懂得數(shù)學的價值，建立科學的數(shù)學觀念，從而發(fā)展數(shù)學，運用數(shù)學的重要保證。 從宏觀意義上來說，數(shù)學思想方法是數(shù)學發(fā)現(xiàn)、發(fā)明的關鍵和動力。 從微觀意義上來說，在我們的數(shù)學教學和數(shù)學學習中，只有從知識和思想方法兩層面上去教和學，使他們從整體上，從內(nèi)部規(guī)律上掌握系統(tǒng)化的知識，以至蘊含于知識中以知識為載體的思想方法，才能形成良好的認知結構，也才能有助于學生的主動建構，最終達到提高學生洞察事物，尋求關系，解決問題的思維品質(zhì)和各種能力，培養(yǎng)現(xiàn)代社會需要的智能型人才。 幾個例子從燒水到三次方程的求解 匈牙利著名數(shù)學家路莎彼得（Rozsa Peter）在她的名著無窮的玩藝一書

12、中曾對“化歸方法”作過生動而有趣的描述： “如上所述的推理過程，對于數(shù)學家的思維過程來說是很典型的，他們往往不對問題進行正面的攻擊，而是不斷地將它變形，直至把它轉(zhuǎn)化為已經(jīng)能夠解決的問題。當然，從陳舊的實用觀點來看，以下的一個比擬也許是十分可笑的，但這一比擬在數(shù)學家中卻是廣為流傳的： 現(xiàn)有煤氣灶、水龍頭、水壺和火柴擺在你面前，當你要燒水時，你應當怎樣去做呢？往水壺里注滿水，點燃煤氣，然后把水壺放在煤氣灶上你對問題的回答是正確的。現(xiàn)把所說的問題稍作修改，即假使水壺里已經(jīng)裝滿了水，而所說問題中的其他情況都不變，試問，此時你應該怎樣去做？此時被問者一定會大聲而頗有把握地說：點燃煤氣，再把水壺放上去。他

13、確信這樣的回答是正確的，但是更完善的回答應該是這樣的：只有物理學家才會按照剛才所說的辦只有物理學家才會按照剛才所說的辦法去做，而數(shù)學家卻會回答：只須把水壺中的水法去做，而數(shù)學家卻會回答：只須把水壺中的水倒掉，問題就化歸為前面所說的問題了。倒掉，問題就化歸為前面所說的問題了。 從這段話可以看出，化歸方法已經(jīng)成為了數(shù)學家們最典型的思維模式了”。 笛卡爾的“萬能方法萬能方法”（一般模式）： 第一，把任何問題化歸為數(shù)學問題；第二，把任何數(shù)學問題化歸為代數(shù)問題；第三，把任何代數(shù)問題化歸為方程式的求解。 由于求解方程問題是已經(jīng)解決或較為容易解決的，因此，在笛卡爾看來，就可利用上述方法解決任何類型的問題，故

14、稱其為“萬能方法”。 不容置疑，他所闡述的上述化歸原則事實上已成為他賴以創(chuàng)立解析幾何的思想方法基礎。 解一元三次方程：x3+px+q=0。33333333332332:,()()0,(3)(3)0,3,:0(1)3(2)1(2).27,10,.27:0 xuvuvuv pquuvp uuvp vvquvpuvuvquvpu vpuvyqypaxbxcxd 解 令則原方程變形為即從而 如果取對這樣選擇的 和 就有由有因此由韋達定理知和 就是一元二次方程的解 從而原問題獲得解決注 由于一般的三次方程總(),.3byxa可以轉(zhuǎn)化成上述特殊類型令即可 從而三次方程的求解問題也就徹底解決了第四節(jié) 數(shù)學思

15、想方法的教學內(nèi)容對應思想方法 對應是人們對兩個集合元素之間的聯(lián)系的一種思想方法，中小學數(shù)學一般是一一對應的直觀圖表，并以此孕伏函數(shù)思想。如直線上的點（數(shù)軸）與表示具體的數(shù)是一一對應。符號化思想方法 用符號化的語言（包括字母、數(shù)字、圖形和各種特定的符號）來描述數(shù)學內(nèi)容，這就是符號思想。如數(shù)學中各種數(shù)量關系，量的變化及量與量之間進行推導和演算，都是用小小的字母表示數(shù)，以符號的濃縮形式表達大量的信息。如定律、公式等。類比思想方法 類比思想是指依據(jù)兩類數(shù)學對象的相似性，有可能將已知的一類數(shù)學對象的性質(zhì)遷移到另一類數(shù)學對象上去的思想。如加法交換律和乘法交換律、長方形的面積公式、平行四邊形面積公式和三角形

16、面積公式。類比思想不僅使數(shù)學知識容易理解，而且使公式的記憶變得順水推舟的自然和簡潔。轉(zhuǎn)化思想方法 轉(zhuǎn)化思想是由一種形式變換成另一種形式的思想方法，而其本身的大小是不變的。如幾何的等積變換、解方程的同解變換、公式的變形等 。分類思想方法 分類思想方法不是數(shù)學獨有的方法，數(shù)學的分類思想方法體現(xiàn)對數(shù)學對象的分類及其分類的標準。 如自然數(shù)的分類，若按能否被2整除分奇數(shù)和偶數(shù)。不同的分類標準就會有不同的分類結果，從而產(chǎn)生新的概念。對數(shù)學對象的正確、合理分類取決于分類標準的正確、合理性，數(shù)學知識的分類有助于學生對知識的梳理和建構。集合思想方法 集合思想就是運用集合的概念、邏輯語言、運算、圖形等來解決數(shù)學問

17、題或非純數(shù)學問題的思想方法。小學采用直觀手段，利用圖形和實物滲透集合思想。在講述公約數(shù)和公倍數(shù)時采用了交集的思想方法。數(shù)形結合思想方法 數(shù)和形是數(shù)學研究的兩個主要對象，數(shù)離不開形，形離不開數(shù)，一方面抽象的數(shù)學概念，復雜的數(shù)量關系，借助圖形使之直觀化、形象化、簡單化。另一方面復雜的形體可以用簡單的數(shù)量關系表示。在解應用題中常常借助線段圖的直觀幫助分析數(shù)量關系?；瘹w思維方法 把有可能解決的或未解決的問題，通過轉(zhuǎn)化過程，歸結為一類以便解決可較易解決的問題，以求得解決，這就是“化歸”。而數(shù)學知識聯(lián)系緊密，新知識往往是舊知識的引申和擴展。讓學生面對新知會用化歸思想方法去思考問題，對獨立獲得新知能力的提高

18、無疑是有很大幫助。數(shù)學模型思想方法 所謂數(shù)學模型思想是指對于現(xiàn)實世界的某一特定對象，從它特定的生活原型出發(fā)，充分運用觀察、實驗、操作、比較、分析綜合概括等所謂過程，得到簡化和假設，它是把生活中實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題模型的一種思想方法。培養(yǎng)學生用數(shù)學的眼光認識和處理周圍事物或數(shù)學問題乃數(shù)學的最高境界，也是學生高數(shù)學素養(yǎng)所追求的目標。整體思想方法 對數(shù)學問題的觀察和分析從宏觀和大處著手，整體把握化零為整，往往不失為一種更便捷更省時的方法。假設思想方法 假設是先對題目中的已知條件或問題作出某種假設，然后按照題中的已知條件進行推算，根據(jù)數(shù)量出現(xiàn)的矛盾，加以適當調(diào)整，最后找到正確答案的一種思想方法。假設

19、思想是一種有意義的想象思維，掌握之后可以使要解決的問題更形象、具體，從而豐富解題思路。第五節(jié) 中學數(shù)學教學中數(shù)學思想方法的滲透符號思想 請你想好一個數(shù)記在心里?，F(xiàn)在將它加5，然后乘以2，再減去4，再除以2，然后減去你記在心里的那個數(shù)。結果得到的數(shù)是什么？請你算出來，但不要告訴我，因為我已經(jīng)知道它是什么了。請你猜我是怎么知道的。（美國問題） 請你進行如下操作： 寫下你出生的月份（比如：如果出生在十月，寫下你出生的月份（比如：如果出生在十月，就寫下一個就寫下一個1010）。將這個數(shù)字翻倍，然后加）。將這個數(shù)字翻倍，然后加上上6 6，用，用5050乘這個新的數(shù)。然后，加上出生乘這個新的數(shù)。然后，加上

20、出生那天的日期數(shù)（比如：如果那天的日期數(shù)（比如：如果1010月月2020號出生，號出生，則加上則加上2020）。最后，減去）。最后，減去365365。 現(xiàn)在，請你告訴我你計算的最后結果，我就可以知道你的生日了。（美國問題） 奧妙在哪里：從特殊到一般用m代表某人的出生月份，用d代表出生的天數(shù)，對于一個生日是10月20日的人，關于那個特殊日期以及一般情況而言，問題的步驟如下： 說明特殊一般寫下月份10m數(shù)字乘以2202m加上6262m+6乘以50130050(2m+6)=100m+300加上生日日期1320100m+300+d減去365955100m-65+d私自加上651020100m+d A、

21、B、C、D四名選手即將進行100米決賽。甲、乙、丙三人猜測比賽結果。甲說“A第1名，B第3名”。乙說“C第1名，D第4名”。丙說“D第2名，A第3名”。比賽結果他們分獲14名。而且甲、乙、丙三人都只猜對了一半。你知道比賽的結果嗎? 我們用字母的下標1，2，3，4來表示該選手的名次，例如用A1表示A第1名，等等。由于已知甲、乙、丙三人所猜都各有一項為真，因此有A1+B3=1，C1+D4=1，D2+A3=1。于是有(A1+B3)( C1+D4)( D2+A3)=1。 則A1C1D2+A1C1A3+A1D4D2+A1D4A3+B3C1D2+B3C1A3+B3D4D2+B3D4A3=1。 顯然，不能有

22、一人同時得兩個名次，也沒有兩人獲同一名次。 因此A1C1=A1A3=D4D2=A3B3=0。代入上式得B3C1D2=1。于是B3=1，C1=1，D2=1。故C第1名，D第2名，B第3名，從而A第4名。數(shù)學直覺 有人說，數(shù)學直覺是指對數(shù)學對象或問題(性質(zhì)、關系或結構)的直接領悟或覺察。 也有人說，數(shù)學直覺是指對數(shù)學對象中隱含的整體性、次序性、和諧性的領悟，能夠越過邏輯推理而做出種種預見的能力。 不論如何界定，數(shù)學直覺大體有如下特征：非邏輯性、直接性、快速性、易逝性、間斷性、模糊性、偶然性、自發(fā)性等。 甲乙兩人進行百米賽跑，當甲跑完100米時，乙離終點還有10米?，F(xiàn)在，讓甲從起跑線后退10米，再來

23、進行一次比賽，問甲乙兩人會同時到達終點嗎？ 若你從甲村步行到乙村，去時每小時走8千米，返回時每小時走12千米，問你往返甲乙兩村的平均速度是多少？ 若你是一個售貨員，半徑是5厘米的實心線球標價10元，而半徑是10厘米的實心線球未標價，恰好有人要賣半徑是10厘米的實心線球，你賣多少元？ 某樓房的每樓層之間的樓梯臺階數(shù)一樣多，若你從1樓到4樓用時30秒，問你從1樓到8樓，需用時多長？89,.910aa bNbb設求滿足的分數(shù) 要求 最小8():89819(1)9910910191091(2)1091(1),(2):8191910817917,.9191019abababaababbbabbbab 師

24、 解由得1917),(109,9819172018109181698:)(分母相加分子相加解生數(shù)學模型 分蛋糕問題：A、B兩人作游戲，擲一硬幣，若正面出現(xiàn)則A得1分，反面出現(xiàn)則B得1分，先得10分者勝，勝利者可得一正方形蛋糕?，F(xiàn)在A已得8分，B已得7分，而游戲因故中斷，問蛋糕應如何合理分配？（美國問題）9:78:8 第一次擲幣后 第二次擲幣后 10:79:89:88:9 第三次擲幣后 10:710:89:910:89:99:98:10第四次擲幣后 10:7 10:8 10:9 9:10 10:8 10:9 9:10 10:9 8:10 9:10 （匈牙利）證明在6個人的集會上，總有3人或者互相

25、認識，或者互不認識。 可用圖論的知識建立模型。將6個人用6個點V1、V2、V3、V4、V5、V6表示，且無三點共線，如果兩人互相認識，就在相應的兩點間用實線連接，否則就連虛線。于是實際問題相當于證明：在6點圖中，必然會有實線三角形或虛線三角形存在。 由V1向V2、V3、V4、V5、V6連5條線，根據(jù)抽屜原則，這5條線中至少有三條同為實線或同為虛線。不妨設V1V2、V1V3、V1V4同為實線(或虛線)。如果V2V3V4的三條邊中，只要有一條為實線，不妨設為V3V4，則V1V3V4為實線三角形；如果V2V3V4的三條邊都不是實線，那么V2V3V4就是三邊同為虛線的三角形。返回到原實際問題，可知其結

26、論：總有3人互相認識或者互不認識是成立的。 整體思想2310,20092 -.xxx x 若求的值轉(zhuǎn)化思想 有張紙片，把它撕成5小片，把5小片再撕成5小片，也可不撕，如此繼續(xù)，問能否撕成2005片?（英國問題）類比思想 這里有一堆桃子，這是5 個猴子的公共財產(chǎn)，它們要平分。 第一個猴子來了，它左等右等，別的猴子都不來，它便動手把桃子均分成5 堆，還剩下一個。它認為自己辛苦了，當之無愧地把這個無法分配的桃子吃掉了，又拿走了5堆中的1堆。 第二個猴子來了，它不知道剛才發(fā)生的情況，又把桃子均分成5堆，還是多了1個，它吃了這1個，又拿1堆走了。 以后，每個猴子來了，都是如此辦理。 請問：原來至少有多少

27、桃子？最后至少剩下多少桃子？幫助分類討論 給出3、6、12、15、21、27、42、51、66、81、99諸數(shù)(數(shù)字可以重復使用)，問能否從其中取出幾個來，使它們的和等于100?為什么?（美國問題） 任給的五個整數(shù)中，必有三個數(shù)之和被3整除。概率統(tǒng)計思想 有三扇外觀完全相同的門，其中一扇門背后有一輛轎車，另兩扇門后面則各有一只山羊若你猜中有轎車的那一扇門，你就獲勝了現(xiàn)在，你猜1號門，然后主持人將2、3號門中無轎車的打開，例如3號門無轎車，現(xiàn)在請問你是否要換選2號門? （美國問題）幫 助 河東獅吼：某公司的辦公大樓在市中心，而公司總裁的家在郊區(qū)一個小鎮(zhèn)的附近。他每次下班以后都是乘同一次市郊火車回

28、那小鎮(zhèn)。小鎮(zhèn)車站離家還有一段距離，他的私人司機總是在同一時刻從家里開出轎車，去小鎮(zhèn)接總裁回家。由于火車與轎車都十分準時，因此火車與轎車每次都是在同一時刻到站。 某一次，司機比以往遲了半個小時出發(fā)?？偛玫秸竞螅也坏剿能囎?，又怕回去晚了遭老婆罵，便急匆匆沿著公路步行往家里走，途中遇到他的轎車正風馳電掣而來，立即招手示意停車，跳上車子后也顧不上罵司機，命其馬上掉頭往回開?；氐郊抑?，果不出所料，他老婆大發(fā)雷霆：“又到哪兒鬼混去啦！你比以往足足晚回了22分鐘” 總裁步行了多長時間？（美國問題）數(shù)學假設 總裁在火車站死等，遲30分鐘； 只晚了22分鐘，他走了轎車4分鐘的路程； 若他等在火車站，則知再過

29、4分鐘，轎車也到了。也就是說，他如果等在火車站，那么他也等了30-4=26分鐘。所以，他走了26分鐘。 提示：從“第一天沒有槍聲”可以推出“病狗”不只一條。 否則，假設病狗只有一條，那么病狗的主人將看到其余的49條狗都不是病狗，而題目中說明“這些狗中有一部分病狗”，所以只可能自己的狗是病狗。題目中又說，“一旦主人發(fā)現(xiàn)自己的狗是一只病狗，就會在當天開槍打死這條狗”，但第一天沒有槍聲，矛盾，因此病狗不止一條。 同理，假設只有2條病狗，不妨設主人為A，B，此時A看到48條好狗，另外B的病狗；在B看來也一樣，即48條好狗，A的病狗。A會想到，為什么B不知道自己的狗是病狗呢？只能說明自己的狗也是病狗。如

30、果假設成立，就會在第二天聽到兩聲槍聲。矛盾，因此不止2條病狗。 如此一直推理下去，有10條病狗。 有一只蝸牛住在一棵梧桐樹下面，一天清晨，太陽剛剛升起，蝸牛便開始從樹根向樹梢上爬。它爬得忽快忽慢，有時還停下來四處望一望，躲避可能發(fā)生的危險。直到太陽落山的時候這只蝸牛終于爬上了樹梢，在樹梢上睡了一覺。第二天清晨，也是太陽剛剛升起的時候，蝸牛開始從樹梢向下爬，它沿著昨天爬行所留下的印跡，忽快忽慢地朝樹根爬去。有時它也停下來望一望，或者吸食一點樹汁，總體來看，朝下爬要比朝上爬輕松多了，所花費的時間也少一些。這樣，當太陽還沒落山的時候，蝸牛就已經(jīng)爬到了梧桐樹的根部，也就是昨天清晨它出發(fā)的地點。 現(xiàn)在請問：在蝸牛上下爬行的途中，會不會存在著這樣一個點：蝸牛第一天上樹時經(jīng)過這一點的時刻（幾時