一位光子晶體的計(jì)算

1、一維光子晶體的研究方法-傳輸矩陣法1：緒論11：光子晶體研究的意義 在以前對(duì)半導(dǎo)體材料的研究導(dǎo)致一場轟轟烈烈的電子工業(yè)革命，我們的科技水平有了突飛猛進(jìn)的發(fā)展，并為此進(jìn)入了計(jì)算機(jī)和信息為標(biāo)準(zhǔn)的信息時(shí)代。在過去的幾十年里，半導(dǎo)體技術(shù)正向高速，高集成化方向發(fā)展。但這也引發(fā)了一系列的問題，比如電路中能量損失過大，導(dǎo)致集成體發(fā)熱。此外，由于高速處理對(duì)信號(hào)器件中的延遲提出更高的要求，半導(dǎo)體器件的能力已經(jīng)基本達(dá)到了極限，為此科學(xué)家們把目光從電子轉(zhuǎn)向廣光子。這是因?yàn)楣庾佑兄娮铀痪邆涞膬?yōu)勢：1.極高的信息容量和效率。2.極快的響應(yīng)速度。3.極強(qiáng)的互連能力和并行能力。4.極大地存儲(chǔ)能力。5.光子間的相互作用很

2、弱，可極大地降級(jí)能力損失。但是與集成電路相比，科學(xué)家們?cè)O(shè)想能像集成電路一樣制造出集成光路，在集成光路中，光子在其中起著電子的作用，全光通過。光子計(jì)算機(jī)將成為未來的光子產(chǎn)業(yè)，集成光路類似于電子產(chǎn)業(yè)中半導(dǎo)體的作用，光子產(chǎn)業(yè)中也存在著向集成電路的器件一樣的集成光路光子晶體，光子晶體的研究不僅僅是光通訊領(lǐng)域內(nèi)的問題，同時(shí)也對(duì)其他相關(guān)產(chǎn)業(yè)將產(chǎn)生巨大的影響。1.2：光子晶體的概念及應(yīng)用光子晶體是八十年代未提出的新概念和新材料，迄今取得了較快的發(fā)展，光子晶體不僅具有理論價(jià)值，更具有非常廣闊的應(yīng)用前景，這個(gè)領(lǐng)域已經(jīng)成為國際學(xué)術(shù)界的研究熱點(diǎn)。控制光子是人們長期以來的夢(mèng)想，光子晶體能幫助人們實(shí)現(xiàn)這一夢(mèng)想。1987

3、年Yablonol itch在討論如何控制自發(fā)輻射和 John 在討論光子局域化時(shí)各自獨(dú)立的提出了光子晶體的概念。他們所討論問題的共同實(shí)質(zhì)是周期性電介質(zhì)材料中光傳播的特性，根據(jù)固體電子能帶理論，晶體內(nèi)部原子呈周期性排列，庫侖場的疊加產(chǎn)生周期性勢場，當(dāng)電子在其中運(yùn)動(dòng)時(shí)受到周期性勢場的布格拉散射而形成的能帶結(jié)構(gòu)，帶與帶之間有帶隙，稱為禁帶。能量落在禁帶中的電子波不能傳播。與此相仿，當(dāng)電磁波在周期性電介質(zhì)結(jié)構(gòu)材料中傳播時(shí)由于受到調(diào)制而形成能帶結(jié)構(gòu)光子能帶結(jié)構(gòu)，其帶隙稱為光帶隙（PBG:photonic band gap）。此具有PBG的周期性電介質(zhì)結(jié)構(gòu)就是光子晶體（Photonic crystals

4、）。光子帶隙有完全光子帶隙和不完全光子帶隙。完全光子帶隙具有全方位的PBG，即一定頻率范圍內(nèi)光子無論其偏振方向或傳播方向都禁止傳播，不完全光子帶隙即只有在特定的方向有PBG。由于光子在光子晶體中的傳播特性類似于電子在天然晶體中的傳播特性。固體物理中的很多概念都可用在光子晶體上，如：倒格子、布里淵住、色散關(guān)系、Bloh 函數(shù)、Van Hove 奇點(diǎn)等。由于周期性也可以定義有效質(zhì)量，不過需要指出的是光子晶體與電子晶體有相同的地方也有本質(zhì)的區(qū)別，光子晶體的概念吸引了眾多科學(xué)家的興趣。自從1987年提出光子晶體的概念以來，無論是理論研究、實(shí)驗(yàn)研究和應(yīng)用研究都取得了蓬勃的發(fā)展。光子晶體在幾何結(jié)構(gòu)上具有一

5、維周期性，它就是光子晶體，光子禁帶將出現(xiàn)在此方向上，如果在二維或三維方向上都具有周期性，那么它將形成二維光子晶體或三維光子晶體。光子晶體的最根本特性是具有光子禁帶，光子禁帶的存在可以抑制自發(fā)輻射，選擇沒有吸收的介質(zhì)特殊材料制成的光子晶體可以反射來自任何方向的入射光，反射率幾乎為100%。利用此原理可以制成小型微波無線反射器，同理也可以制成手機(jī)天線微波防護(hù)設(shè)備，從而避免對(duì)對(duì)人體有害的微波輻射直接照射到手機(jī)用戶的頭部。光子晶體的另一種特性是“光子局域“，光子晶體中原有的周期性或?qū)ΨQ性受到破壞時(shí)，其光子禁帶中就有可能出現(xiàn)頻率極窄的缺陷態(tài)。與缺陷態(tài)頻率吻合的光子會(huì)被局域出現(xiàn)在缺陷的位置，一旦偏離缺陷位

6、置，光子就迅速衰變。在光子晶體中加入雜質(zhì)，光子晶體就出現(xiàn)品質(zhì)因子非常高的雜質(zhì)態(tài)，具有很大的態(tài)密度，這樣便可以實(shí)習(xí)自發(fā)輻射的增加，利用光子晶體控制原子的自發(fā)輻射，可以制作高頻帶低消耗的反射鏡、高效率的發(fā)光二極管、光濾波器、光開關(guān)、光混頻器、光陪頻器和光存儲(chǔ)器等。如果在光子晶體中引入點(diǎn)缺陷，則可以制作高品質(zhì)的光子晶體薇腔、高效率的太陽能電池。利用禁帶內(nèi)的光子不能在光子晶體內(nèi)的傳播特性可以制作光子晶體濾波器、高增益光學(xué)參量放大器、光子晶體光纖等。傳統(tǒng)的介質(zhì)波導(dǎo)在拐角處有能量損失，光子晶體波導(dǎo)可以改變這種情況，在拐角處有很高的傳輸頻率。與傳統(tǒng)的光纖完全不同，光子晶體光纖是靠空氣孔而不是氧化硅傳播光，可

7、波導(dǎo)的范圍很大，從而增加了數(shù)據(jù)的帶寬。光子晶體可以制作超棱鏡，常規(guī)的棱鏡幾乎不能分辨相似坡長的波，但用光子晶體做成晶體制成的超棱鏡的分辨能力是常規(guī)棱鏡的1001000倍，而體積只是常規(guī)棱鏡的百分之一，這使光子晶體可以用在光通信中的信息處理。二維光子晶體可用于偏振器，該偏振器具有傳統(tǒng)偏振器沒有的優(yōu)點(diǎn)，可以在很大的頻率范圍內(nèi)工作，而且體積較小，很容易在硅（Si）片上集成，或者直接在硅（Si）基上集成，光子晶體產(chǎn)生了許多新的物理性質(zhì)和現(xiàn)象，如光的超棱鏡效應(yīng)、負(fù)折射效應(yīng)、雙折射效應(yīng)、能量轉(zhuǎn)移、工作壓縮態(tài)及光學(xué)限制等特性。隨著對(duì)這些新現(xiàn)象的深入了解和光子晶體制作技術(shù)的不斷改進(jìn)，光子晶體的應(yīng)用越來越廣泛。

8、一維光子晶體由于結(jié)構(gòu)簡單，制作成本低而賠受關(guān)注，已有大量用于光通訊及其他產(chǎn)業(yè)的產(chǎn)品上，一維光子晶體應(yīng)用在激光器上組成光子晶體激光器。許多學(xué)者將光子晶體激光器分為五類：第一類是利用光子晶體作為F-P反射鏡的光子晶體；第二類是光子晶體環(huán)形激光器；第三類是分布反饋式光子晶體激光器；第四類是基于缺陷模局域態(tài)的光子晶體激光器，稱為光子晶體缺陷模激光器；第五類是光子晶體帶邊激光器，在這種激光器中看不到明顯的諧振腔。1.3：光子晶體的制造對(duì)于光子晶體，迄今為止還沒有較為成熟的制備方法。所以，光子晶體的制備方法也成為當(dāng)今科學(xué)的熱點(diǎn)之一，在自然界中也存在著光子晶體，例如蝴蝶的翅膀和有序排列的蛋白質(zhì)等，但是隨著社

9、會(huì)的需求，大多數(shù)的光子晶體還需人工制備。光子帶隙的出現(xiàn)與光子晶體的結(jié)構(gòu)、介質(zhì)的連通性、介電常數(shù)成負(fù)折射率反差以及填充有關(guān)，因此制備光子晶體的條件比較苛刻。一般來說，介電常數(shù)反差越大，得到光子帶隙的可能性越大，制作具有完全光子帶隙的光子晶體是一項(xiàng)非常艱巨的任務(wù)。目前，大多數(shù)光子晶體的制作材料是用無機(jī)材料，主要是人為的排列成周期性的材料。常用的方法分為物理方法和化學(xué)方法。光子晶體的物理制造方法主要指利用半導(dǎo)體微加工工藝及其相關(guān)技術(shù)對(duì)材料進(jìn)行機(jī)械加工，已獲得光子晶體結(jié)構(gòu)。物理方法是最早應(yīng)用于光子晶體的制造的方法，包括機(jī)械鉆孔法、逐層疊加法、淀積刻蝕法等。用此制備光子晶體在通常情況下，周期性、對(duì)稱性較

10、為而穩(wěn)定，.并且制造周期較短。但是，此類方法一般成本很高，而且在制造短波長的光子晶體時(shí)比較困難。光子晶體的化學(xué)制造方法主要指利用亞微米膠體顆粒的自由組裝制備光子晶體的膠體晶體法以及在此之后發(fā)展出的模板法。相對(duì)于物理方法，化學(xué)方法有無可比擬的優(yōu)勢。化學(xué)方法主要是將表面帶同種電荷的膠體顆粒（如非晶二氧化硅微球、聚苯乙烯微球等）按一定的體積濃度分散于去離子水或溶劑中，利用表面電荷的相互作用，能使得自動(dòng)排列成類似于原子晶體結(jié)構(gòu)排列方式的膠體晶體，稱此方法為膠體晶體法。膠體晶體法中的單分散二氧化硅（SiO2）和聚苯乙烯（PST）顆粒是目前廣泛應(yīng)用的制備光子晶體的材料。目前，科學(xué)家已經(jīng)研究出多種制備高質(zhì)量

11、的膠體晶體的方法。主要有準(zhǔn)平衡蒸發(fā)法、毛細(xì)作用組裝法、電泳淀積法和電流變技術(shù)等方法。而模板法則是利用膠體法生長出的緊密堆積結(jié)構(gòu)中以膠體晶體作為模板，向顆粒小球的間隙內(nèi)填充高介電常數(shù)材料（如硅、二氧化鈦、聚合物等），然后通過高溫煅燒、化學(xué)腐蝕等方法將模板除去，得到具有三維周期性的反蛋白石的結(jié)構(gòu)，其典型結(jié)構(gòu)是空氣小球以面心立方形分布于介電常數(shù)的介質(zhì)中。1.4：國內(nèi)外發(fā)展動(dòng)態(tài)近年來隨著光通訊的迅速發(fā)展，光子晶體的器件對(duì)光子的控制能力良好，在光通訊中應(yīng)用廣泛。2007年鄭州大學(xué)激光與廣電信息技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室尚廷義及其同事研究出了含負(fù)折射率材料的一維光子晶體的全方位帶隙和缺陷模，討論了介質(zhì)厚度和入射角在一

12、定比例的縮放時(shí)對(duì)缺陷模位置的影響；重慶工商大學(xué)劉啟能提出了一種研究一維光子晶體禁帶的新方法，該種方法能夠確定該種禁帶的寬度和位置，結(jié)構(gòu)清晰，計(jì)算簡單，能夠方便的研究允許帶的特征；山西大同大學(xué)董麗娟研究了含単負(fù)材料的一維光子晶體雜質(zhì)模，分析了缺陷模隨晶格標(biāo)度的改變，通過改變雜質(zhì)層的層數(shù)及其厚度，分析了雜質(zhì)模頻率的變化特性。在此之后，深圳大學(xué)的王宏研究了一維光子晶體中模場的空間分布及其閥值的影響；北京理工大學(xué)蔣玉熔研究了一維光子晶體許多缺陷耦合的多通道濾波，分析透射位置和缺陷層之間的距離關(guān)系，這個(gè)研究對(duì)多通道濾波的設(shè)計(jì)具有重要的意義，在一維光子晶體中引入缺陷，光子禁帶中會(huì)出現(xiàn)品質(zhì)因子非常高的雜質(zhì)態(tài)

13、，形成缺陷模。在光子晶體中引入缺陷時(shí)，也會(huì)在禁帶中形成雜質(zhì)帶，利用這一特性可以制造高品質(zhì)極窄帶濾波器和多通道濾波器，當(dāng)多通道薄膜濾波片的通帶數(shù)量為N個(gè)通帶時(shí)，它所攜帶的信息量所需要的濾光數(shù)量是單質(zhì)帶通濾波片的N陪，在整個(gè)系統(tǒng)中承載同樣多的信息量所需要的濾光片數(shù)量是單通道濾光片的1/N，多通道的薄膜濾光片可以簡化空間光學(xué)儀器的光學(xué)系統(tǒng)，減輕載荷。由于空間光學(xué)有效載荷的集成化，輕量化的發(fā)展，促進(jìn)了多通道濾光片的出現(xiàn)和發(fā)展，對(duì)于發(fā)展超高密度撥片用光通信技術(shù)和超高精度光學(xué)信息測量儀器具有更高的利用價(jià)值。在國外，俄國莫斯科大學(xué)S.G.Erokhion等分析了介電常數(shù)是復(fù)數(shù)的一維光子晶體的性質(zhì)；古巴哈瓦那

14、大學(xué)M.de Dios-leyva研究了用左手材料制作的一維光子晶體的帶隙及電場分布。2.：一維光子晶體計(jì)算方法及理論基礎(chǔ)2.1：一維光子晶體的計(jì)算方法光子晶體的晶體結(jié)構(gòu)和能帶結(jié)構(gòu)方面主要有以下幾種計(jì)算方法：平面波展開法、有限時(shí)域差分法、多重散射法、傳輸矩陣法。本文主要以傳輸矩陣法分析一維光子晶體的反射率和透射率。傳輸矩陣法又稱特征矩陣法或轉(zhuǎn)移矩陣法，它將所求磁場在實(shí)空間的位置展開后把麥克斯韋方程組變成傳輸矩陣的形式，之后對(duì)這個(gè)形式求解。此方法計(jì)算一維光子晶體的反射系數(shù)和透射系數(shù)比較方便。2.2：傳輸矩陣?yán)碚摶A(chǔ)在一位光子晶體中，光脈沖的傳播方程滿足波方程 （1）介質(zhì)中的電場強(qiáng)度 （2）電極化

15、強(qiáng)度 （3）將（2）和（3）代入(1)式得 （4） （5）式中：假設(shè)電磁波垂直入射光子晶體，電極化沿x軸?；喌?（6）由上式知第j層電場所滿足的場方程 （7）式中：代表第j層介質(zhì)的折射率。將（7）寫成指數(shù)形式：將上式寫成復(fù)數(shù)形式(8)由可以的得到磁場表示式 (9)磁場的極化方向沿z軸。定義： （10）第j層的磁場強(qiáng)度； （11）乘i是把變成實(shí)數(shù)。則電磁場可由二分量波函數(shù)表示 （12）從方程（8）（9）（10）（11）和（12）可得到同一層內(nèi)和由傳輸矩陣連接起來，即 （13）由得（8）和（9）形式如下 （14） （15）則（10）和（11）寫成如下形式 （16） （17）化簡（16）和（17）

16、式得 （18） （19） 寫成矩陣形式： （20）由（13）知：則 （21）由于邊界連續(xù)條件，在任何位置的和滿足以下矩陣關(guān)系 （22）式中：，由邊界條件決定。假定光是從z < 0的區(qū)域入射，在這一區(qū)域，場是前向前行進(jìn)波和向后行進(jìn)波的疊加。即 （23）在入射端z = 0處 （24）而在出射端在z = 處 （25）式中 為襯底的折射率，假設(shè)連接出射端和入射端的矩陣為則有 （26）式中： （27）根據(jù)（24）（25）和（26）式可得出 （28） （29）式中為反射系數(shù)，為透射系數(shù)，二者的計(jì)算式分別表示為 （30） （31）則， （32）一般的，初始場是已知的，由（22）和（24）式就可以得到任

17、何位置的電場分布。3理論分析3.1一維光子晶體的模型及分析 若光子晶體由兩種材料組成，選取不同介質(zhì)折射率分別為，；厚度分別為, 將它們按一定周期排列成一維光子晶體。電磁波在A介質(zhì)中傳輸矩陣為，在B介質(zhì)中的傳輸矩陣為。由式（21）知電磁波在第j層的傳輸矩 式中為入射波的圓頻率、c為光速、為第j層介質(zhì)的折射率、為介質(zhì)層的厚度。只要分別代入介質(zhì)A和介質(zhì)B的折射率和厚度，就能計(jì)算出介質(zhì)A的傳輸矩陣和介質(zhì)B的傳輸矩陣。整個(gè)光子晶體的傳輸矩陣M為各個(gè)介質(zhì)層的傳輸矩陣安順序的乘積（如ABABABA型的一維光子晶體，M為）。若一維光子晶體由多種材料組成，只要代入各種介質(zhì)的折射率和厚度就可以出此一維光子晶體的傳輸矩陣。3.2 一維光子晶體反射率的計(jì)算光子晶體反射率在光子晶體研究中具有很重要的地位。由式（30）知其反射系數(shù)則其反射率，式中、為整個(gè)光子晶體傳輸矩陣的矩陣元，為電磁波的頻率，可以用波長替換。利用軟件可以計(jì)算出特定波長的電磁波在特定結(jié)構(gòu)的光子晶體中的反射率。利用此原理可以制作光子晶體反射鏡，若反射率幾乎為1時(shí)，則能制作全方位