高數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分精選干貨

1、高數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分2020-12-242.)()(lim)(0000hxfhxfxfh 其它形式：其它形式：.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx 00000()()()limlimxxf xxf xyfxxx 000( ),xxxxxxdydf xydxdx ，或或即即機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 2020-12-243,( ).( ).( )( ),.xif xf xdydf xfxydxdx 對對于于任任一一都都對對應(yīng)應(yīng)著著的的一一個個確確定定的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)值值這這個個函函數(shù)數(shù)叫叫做做原原來來函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù)記記作作或或0()( )( )lim

2、xf xxf xfxx 即即.)()(lim)(0hxfhxfxfh 或或注意注意: :000()( )().xxfxfxf x 2、導(dǎo)函數(shù)、導(dǎo)函數(shù)機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 2020-12-2442）右導(dǎo)數(shù)）右導(dǎo)數(shù):1）左導(dǎo)數(shù)）左導(dǎo)數(shù):0000( )()()lim;xxf xf xfxxx 0000( )()()lim;xxf xf xfxxx 3 3、單側(cè)導(dǎo)數(shù)單側(cè)導(dǎo)數(shù)機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 2020-12-245222011111()(sin)cos(tan)sec(sec)sectan()ln(log)ln(arcsin

3、)(arctan)xxacxxxxxxxaaaxxaxxxx 122211111()(cos )sin(cot )csc(csc )csccot()(ln|)(arccos )(cot )xxxxxxxxxxxeexxxxarcxx 4 4、 基本導(dǎo)數(shù)公式基本導(dǎo)數(shù)公式機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 2020-12-2465 5、按定義求導(dǎo)數(shù)、按定義求導(dǎo)數(shù)步驟步驟:);()()1(xfxxfy 求增量求增量;)()()2(xxfxxfxy 算算比比值值.lim)3(0 xyyx 求求極極限限例例1 1、( )().f xc c 求求函函數(shù)數(shù)為為常常數(shù)數(shù) 的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)解

4、：解：hxfhxfxfh)()(lim)(0 hcch 0lim. 0 . 0)( c即即機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 2020-12-247例例2 2、0( ).f xxx討討論論函函數(shù)數(shù)在在處處的的可可導(dǎo)導(dǎo)性性解：解：xy xyo,)0()0(hhhfhf hhhfhfhh 00lim)0()0(lim, 1 hhhfhfhh 00lim)0()0(lim. 1 000( )( ),( ).fff xxx 所所以以函函數(shù)數(shù)在在點點不不可可導(dǎo)導(dǎo)練習練習1、討論討論000sin ,( ).,xxf xxxx 在在處處的的可可導(dǎo)導(dǎo)性性機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下

5、頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 2020-12-248例例3 3、121000( )()()(),( ).f xx xxxf 設(shè)設(shè)求求解解:0)0()(lim)0(0 xfxffx)100()2)(1(lim0 xxxx!100 練習練習2、設(shè)設(shè)12( )( ).f xxf , ,用用導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的定定義義求求22211222( )( )( )limlimxxf xfxfxx 解解:211211limxx 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 2020-12-2496 6、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的幾何意義oxy)(xfy t0 xm000000()( )(,(),()tan,()

6、( )(,()fxyf xm xf xfxyf xm xf x 表表示示曲曲線線在在點點處處切切線線的的斜斜率率 即即為為傾傾角角，因因此此在在點點處處的的切線方程為切線方程為法線方程為法線方程為000()()().yf xfxxx 0001()().()yf xxxfx 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 2020-12-2410例例4 4、1122(, ).yx 求求在在點點處處的的切切線線方方程程和和法法線線方方程程解：解：由導(dǎo)數(shù)的幾何意義由導(dǎo)數(shù)的幾何意義, 知所求切線斜率為知所求切線斜率為12xy 21)1( xx2121 xx. 4 故所求切線方程為故所求切線

7、方程為法線方程為法線方程為),21(42 xy),21(412 xy. 044 yx即即. 01582 yx即即機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 2020-12-24117 7、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系: : 可導(dǎo)必連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo)可導(dǎo)必連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo). .機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 200,( ),xxf xxx 例例如如0 x 在在處處連連續(xù)續(xù)但但不不可可導(dǎo)導(dǎo)，因因為為20000000000000100lim( )lim;( )lim( )lim;( )( )( )( )lim, limxxxxxxf xxf

8、f xxf xff xfxx 連連續(xù)續(xù)不不可可導(dǎo)導(dǎo)2020-12-2412例例5 5、10000sin,( ),.xxf xxxx 討討論論函函數(shù)數(shù)在在處處的的連連續(xù)續(xù)性性與與可可導(dǎo)導(dǎo)性性解：解：00100lim( )limsin( )xxf xxfx0( ).f xx 在在處處連連續(xù)續(xù)00010001sin( )( )limlimlimsinxxxxf xfxxxx又又因因為為極極限限不不存存在在0( ).f xx 在在處處不不可可導(dǎo)導(dǎo)機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 2020-12-2413機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 201060,

9、( )(),.a xexa bf xbxxxx 確確定定，使使得得在在連連續(xù)續(xù)、且且可可導(dǎo)導(dǎo)例例00200002000111000100110110( )lim( )lim( )( )limlim (),( )( )( ),( )limlim,()( )lim,.xxa xxxa xxxxf xxf xf xfebxxbf xxffeaxfaxxbxxfax 為為使使在在連連續(xù)續(xù)，則則，即即解解得得；為為使使在在可可導(dǎo)導(dǎo)，則則又又所所以以解解：2020-12-241421311,( ),.xxa bf xaxbxx 確確定定，使使得得在在連連續(xù)續(xù)習習 、且且可可導(dǎo)導(dǎo)練練21,.ab 答答案案：

10、機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 2020-12-24150()( )( )lim,xfxxfxfxx 二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù): :記作記作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 0()( )( )( )lim,xfxxfxfxfxx 三階導(dǎo)數(shù)三階導(dǎo)數(shù):1( )( ),( )( ),.nnnnnnnnd yd f xfxydxdx 階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù): :階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù) 記記作作或或(二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù))二、高階導(dǎo)數(shù)二、高階導(dǎo)數(shù)1 1、定義、定義機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 20

11、20-12-2416,uvn設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)和和具具有有階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù) 則則)()()()()1(nnnvuvu )()()()2(nncucu 2 2、 高階導(dǎo)數(shù)的運算法則高階導(dǎo)數(shù)的運算法則: :機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 例例1 1、520sin ,( ).yxxyy設(shè)設(shè)求求和和解解:410cos ,yxx 340sin ,yxx 2120cos ,yxx 01( )y 2020-12-2417(1) 函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則三、求導(dǎo)法則三、求導(dǎo)法則 ( )( )( )( );u xv xu xv x( )( ).( )( )u

12、 xu xv xv x機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 2020-12-2418例例1 1、3( ),( )( ).xf xxefxf設(shè)設(shè)求求和和解：解：111( )()xxxfxex ex e 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 1112( )()xxxfxexexe 33( )fe練習練習1 1、ln( )ln,( )( ).xf xxxfxf ex設(shè)設(shè)求求和和2020-12-2419( ),( ) ( )( )( )( ).yf u uxyfxdydy duy xfuxdxdu dx 設(shè)設(shè)的的復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)，則則或或例如，例如，(2)

13、(2) 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 .sinln的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xy 解：解：ln ,sinyu uxdxdududydxdy xucos1 xxsincos xcot 2020-12-2420例例2 2、練習練習2 2、210( )sin(),( )( ).xf xfxf設(shè)設(shè)求求和和解解:212121 22( )cos() ()cos()lnxxxxfx機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 .)1(102的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù) xy解：解：)1()1(10292 xxdxdyxx2)1(109

14、2 .)1(2092 xx02( )lnf 2020-12-2421(3) (3) 隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則0( , )( ),.f x yyy xxdyyxdx設(shè)設(shè)確確定定了了隱隱函函數(shù)數(shù)則則方方程程兩兩端端同同時時對對求求導(dǎo)導(dǎo)，求求導(dǎo)導(dǎo)時時視視為為的的函函數(shù)數(shù)，即即可可求求出出機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 2020-12-2422例例3 3、00( ).xyxxyeedydyyy xdxdx求求由由方方程程所所確確定定的的隱隱函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)和和解：解：x方方程程兩兩端端同同時時對對求求導(dǎo)導(dǎo)得得0 dxdyeedxdyxyyx解得解得,yxexyedx

15、dy 00,xy又又由由原原方方程程知知時時000 yxyxxexyedxdy. 1 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 2020-12-2423練習練習3 3、11cos()( ).xyyxydydyyy xdxdx求求由由方方程程確確定定的的隱隱函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)和和解：解：x方方程程兩兩端端同同時時對對求求導(dǎo)導(dǎo)得得1sin()dydyxydxdx 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 解得解得1sin(),sin()dyxydxxy111101sin()sin()xxyydyxydxxy2020-12-2424( ),( )xtyxyt 若

16、若參參數(shù)數(shù)方方程程確確定定與與 間間的的函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)系系( );( )dydytdtdxdxtdt 則則(4) (4) 參變量函數(shù)的求導(dǎo)法則參變量函數(shù)的求導(dǎo)法則22()dydd ydxdxdx( )()( )dtdttdxdt機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 2020-12-2425例例4 4、解：解：2222( ).ttxed yyf xdxyte設(shè)設(shè)由由參參數(shù)數(shù)方方程程確確定定，求求dtdxdtdydxdy 2322224 (),ttttet ee22()()dydydddtd ydxdxdxdxdx dt34424310 12 ()ttttet ee機動機動 目

17、錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 2020-12-2426練習練習4 4、解：解：22cos( )sin.xtyf xybtd ydx設(shè)設(shè)由由參參數(shù)數(shù)方方程程確確定定，求求dydy dtdxdx dtcoscot ,sinbtbtt 22()()dydydddtd ydxdxdxdxdx dt23 csccscsinbtbtt機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 2020-12-2427觀察函數(shù)觀察函數(shù)32114sin().()xxxxyyxxe和和求導(dǎo)方法求導(dǎo)方法對數(shù)求導(dǎo)法：對數(shù)求導(dǎo)法：所屬類型所屬類型: :.)()(的的情情形形數(shù)數(shù)多多個個函函數(shù)數(shù)相相乘

18、乘和和冪冪指指函函xvxu先在方程兩邊取對數(shù)先在方程兩邊取對數(shù), 然后利用隱函數(shù)求導(dǎo)法求出導(dǎo)數(shù)然后利用隱函數(shù)求導(dǎo)法求出導(dǎo)數(shù).(5) (5) 對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 2020-12-2428例例5 5、解：解：3211112141314()()()xxxyxexxx等式兩邊同時取對數(shù)得等式兩邊同時取對數(shù)得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(lnx等等式式兩兩邊邊同同時時對對 求求導(dǎo)導(dǎo)得得142)1(3111 xxxyy.,)4(1)1(23yexxxyx 求求設(shè)設(shè)機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 202

19、0-12-2429例例6 6、解：解：.),0(sinyxxyx 求求設(shè)設(shè)等式兩邊同時取對數(shù)得等式兩邊同時取對數(shù)得xxylnsinln x等等式式兩兩邊邊同同時時對對求求導(dǎo)導(dǎo)得得xxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 2020-12-2430練習題：練習題：機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 231213141( )log,( ).ln(ln ),.( )( )( ).xaaaf xaxaxfxyxyyf xxyyxf xfxx、設(shè)設(shè)求求、設(shè)

20、設(shè)求求、設(shè)設(shè)由由方方程程確確定定，求求、設(shè)設(shè)，求求2020-12-24311 1、問題的提出、問題的提出: :正方形金屬薄片受熱后面積的改變量正方形金屬薄片受熱后面積的改變量.20 xa 0 x0 x,00 xxx 變變到到設(shè)設(shè)邊邊長長由由,20 xa 正方形面積正方形面積2020)(xxxa .)(220 xxx )1()2(;,的的主主要要部部分分且且為為的的線線性性函函數(shù)數(shù)ax .,很很小小時時可可忽忽略略當當?shù)牡母吒唠A階無無窮窮小小xx :)1(:)2(x x 2)( x xx 0 xx 0四、微分四、微分機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 2020-12-2432000000000( ),()()()(),( ),( ),(),.x xx xyf xxxxyf xxf xaxoxaxyf xxaxyf xxxdydf xdyax 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在某某區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)有有定定義義及及在在這這區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi) 如如果果成成立立 其其中中 是是與與無無關(guān)關(guān)的的常常數(shù)數(shù) 則則稱稱函函數(shù)數(shù)在在點點可可微微 并并且且稱稱為為函函數(shù)數(shù)在在點點相相應(yīng)應(yīng)于于自自變變量量增增量量的的