復(fù)合函數(shù)微分不定積分定積分復(fù)合積分精選干貨

1、復(fù)合函數(shù)微分不定積分定積分復(fù)合積分2020-12-242推廣推廣),(),(),(xvvuufy 設(shè)設(shè).)(dxdvdvdududydxdyxfy 的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù) 2020-12-243例例4 4.)1(102的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù) xy解解)1()1(10292 xxdxdyxx2)1(1092 .)1(2092 xx2020-12-2442020-12-245例例 xxcossin xsin是是xcos的的原原函函數(shù)數(shù). )0(1ln xxxxln是是x1在在區(qū)區(qū)間間), 0(內(nèi)內(nèi)的的原原函函數(shù)數(shù).一、原函數(shù)與不定積分的概念例例微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是微分運(yùn)算與

2、求不定積分的運(yùn)算是的的.2020-12-246任意常數(shù)任意常數(shù)積分號積分號被積函數(shù)被積函數(shù)不定積分的定義：不定積分的定義：在區(qū)間在區(qū)間i內(nèi)，內(nèi)，cxfdxxf )()(被積表達(dá)式被積表達(dá)式積分變量積分變量函函數(shù)數(shù))(xf的的帶帶有有任任意意常常數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)的的原原函函數(shù)數(shù)稱為稱為)(xf在區(qū)間在區(qū)間i內(nèi)的內(nèi)的不不定定積積分分，記記為為 dxxf)(. .2020-12-247例例1 1 求求.5dxx 解解,656xx .665cxdxx 解解例例2 2 求求.112 dxx ,11arctan2xx .arctan112 cxdxx2020-12-248實(shí)例實(shí)例 xx 11.11cxdxx 啟示

3、啟示能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式？能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式？結(jié)論結(jié)論既然積分運(yùn)算和微分運(yùn)算是互逆的，因既然積分運(yùn)算和微分運(yùn)算是互逆的，因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式.)1( 二、 基本積分表2020-12-249基基本本積積分分表表 kckxkdx()1(是常數(shù)是常數(shù)););1(1)2(1 cxdxx;ln)3( cxxdx0 x2020-12-2410 dxx211)4(;arctancx dxx211)5(;arcsincx xdxcos)6(;sincx xdxsin)7(;coscx xdx2cos)8( xdx2sec;tancx xdx2sin)

4、9( xdx2csc;cotcx 2020-12-2411 xdxxtansec)10(;seccx xdxxcotcsc)11(;csccx dxex)12(;cex dxax)13(;lncaax xdxsinh)14(;coshcx xdxcosh)15(;sinhcx 2020-12-2412例例4 4 求積分求積分.2dxxx 解解dxxx 2dxx 25cx 125125.7227cx 根據(jù)積分公式（根據(jù)積分公式（2）cxdxx 11 2020-12-2413 dxxgxf)()()1(;)()( dxxgdxxf三、 不定積分的性質(zhì) dxxkf)()2(.)( dxxfk（k是是

5、常常數(shù)數(shù)，)0 k2020-12-24142020-12-2415問題問題 xdx2cos,2sincx 解決方法解決方法利用復(fù)合函數(shù)，設(shè)置中間變量利用復(fù)合函數(shù)，設(shè)置中間變量.過程過程令令xt2 ,21dtdx xdx2cosdtt cos21ct sin21.2sin21cx 一、第一類換元法2020-12-2416例例1 1 求求.2sin xdx解（一）解（一） xdx2sin )2(2sin21xxd;2cos21cx 解（二）解（二） xdx2sin xdxxcossin2 )(sinsin2xxd ;sin2cx 解（三）解（三） xdx2sin xdxxcossin2 )(cos

6、cos2xxd .cos2cx 2020-12-2417例例2 2 求求.231dxx 解解,)23(23121231 xxxdxx 231dxxx)23(23121 duu 121cu ln21.)23ln(21cx 2020-12-2418例例1616 求求解解).0(122 adxax令令taxtan tdtadx2sec dxax221tdtata2secsec1 tdtsecctt )tanln(sectax22ax .ln22caaxax 2,2t2020-12-2419例例1717 求求解解.12dxx令令txsintdtdxcos 2,2tdxx21tdtt cossin12t

7、dt2cos2/)2cos1 (dtt4/2sin2/ttt1x21x2020-12-2420基基本本積積分分表表;coslntan)16( cxxdx;sinlncot)17( cxxdx;)tanln(secsec)18( cxxxdx;)cotln(csccsc)19( cxxxdx;arctan11)20(22caxadxxa 2020-12-2421;ln211)22(22cxaxaadxxa ;arcsin1)23(22caxdxxa .)ln(1)24(2222caxxdxax ;ln211)21(22caxaxadxax 2020-12-2422定積分定積分2020-12-2423abxyo? a曲邊梯形由連續(xù)曲線曲邊梯形由連續(xù)曲線實(shí)例實(shí)例1 1 （求曲邊梯形的面積）（求曲邊梯形的面積）)(xfy )0)( xf、x軸軸與與兩兩條條直直線線ax 、bx 所所圍圍成成.一、問題的提出)(xfy 2020-12-2424abxyoabxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積曲邊梯形面積（四個(gè)小矩形）（四個(gè)小矩形）（九個(gè)小矩形）（九個(gè)小矩