待定系數(shù)法讓一類通項公式的求法不再是技巧

1、待定系數(shù)法讓一類通項公式的求法不再是技巧東至三中 高慶文等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式都有明確的公式，而非等比、等差數(shù)列的通項公式入無章可循了。且它們題型繁雜，方法瑣碎，技巧非常強，很多學生對此叫苦不堪。筆者結(jié)合近幾年的高考情況，由待定系數(shù)法求通項公式的方法給以歸納總結(jié)。一、構(gòu)造等比數(shù)列法原數(shù)列既不等差，也不等比。若把中每一項添上一個數(shù)或一個式子構(gòu)成新數(shù)列，使之等比，從而求出。該法適用于遞推式形如或或其中為不相等的常數(shù)，為一次式。例1、（06福建理22）已知數(shù)列滿足=1，= ()，求數(shù)列的通項公式。解：構(gòu)造技巧：在=兩邊同學加1得即是首項為=2，q=2的等比數(shù)列= 整理得 =一般情況：， （1）

2、構(gòu)造新數(shù)列遞推公式整理得 （2）比較（1）（2）得：構(gòu)造新數(shù)列，其中p為常數(shù)，使之成為公比是的系數(shù)2的等比數(shù)列即 代入整理得：使之滿足= =1。即是首項為=2，q=2的等比數(shù)列= = 例2、（07全國理21）設數(shù)列的首項，=，n=2、3、4（）求的通項公式。解：構(gòu)造新數(shù)列，使之成為的等比數(shù)列即 整理得：滿足=即新數(shù)列首項為，的等比數(shù)列 = 故 =+1例3、（07全國理22）已知數(shù)列中，=2，= （）求的通項公式。解：構(gòu)造新數(shù)列，使之成為的等比數(shù)列= 代入整理得：使之滿足已知條件 =+2是首項為 ， 的等比數(shù)列，由此得= =例4、已知數(shù)列中，=1，=，求數(shù)列的通項公式。分析：該數(shù)列不同于以上幾個

3、數(shù)列，該數(shù)列中含是變量，而不是常量了。故應構(gòu)造新數(shù)列，其中為常數(shù)，使之為公比是的系數(shù)2的等比數(shù)列。解：構(gòu)造數(shù)列，為不為0的常數(shù)，使之成為q=2的等比數(shù)列即= 整理得：=滿足 = 得 新數(shù)列是首項為=，q=2的等比數(shù)列 = =例5、（07天津文20）在數(shù)列中，=2，= ，求數(shù)列的通項。解：構(gòu)造新數(shù)列，使之成為q=4的等比數(shù)列，則=整理得：=滿足=，即得新數(shù)列的首項為，q=4的等比數(shù)列 故。二、構(gòu)造等差數(shù)列法數(shù)列既不等差，也不等比，遞推關系式形如，那么把兩邊同除以后，想法構(gòu)造一個等差數(shù)列，從而間接求出。例5（07石家莊一模）數(shù)列滿足且。求、 是否存在一個實數(shù)，使此數(shù)列為等差數(shù)列？若存在求出的值及；

4、若不存在，說明理由。解：由=81 得=33；又=33得=13；又=13，=5假設存在一個實數(shù)，使此數(shù)列為等差數(shù)列即= = = 該數(shù)為常數(shù)= 即為首項，d=1的等差數(shù)列=2+=n+1 =例6、數(shù)列滿足= ()，首項為，求數(shù)列的通項公式。解：= 兩邊同除以得=+1數(shù)列是首項為=1，d=1的等差數(shù)列=1+ 故=例7數(shù)列中，=5，且 （n=2、3、4），試求數(shù)列的通項公式。解：構(gòu)造一個新數(shù)列，為常數(shù)，使之成為等差數(shù)列，即 整理得+3l，讓該式滿足取，得，d=1 ，即是首項為，公差d=1的等差數(shù)列。 故 =例8、（07天津理21）在數(shù)列中，=2，且 （）其中0，求數(shù)列的通項公式。解：的底數(shù)與的系數(shù)相同，

5、則兩邊除以得 即是首項為，公差d=1的等差數(shù)列。 。三、取倒數(shù)法有些關于通項的遞推關系式變形后含有項，直接求相鄰兩項的關系很困難，但兩邊同除以后，相鄰兩項的倒數(shù)的關系容易求得，從而間接求出。例9、已知數(shù)列，= ， ，求=？解：把原式變形得 兩邊同除以得是首項為，d=的等差數(shù)列故。例10、（06江西理22）已知數(shù)列滿足，且（）求數(shù)列的通項公式。解：把原式變形成 兩邊同除以得即（1）構(gòu)造新數(shù)列，使其成為公比q= 的等比數(shù)列即整理得： 滿足（1）式使 數(shù)列是首項為，q= 的等比數(shù)列 。例11（06江西文22）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足：，且 求數(shù)列的通項公式。解：把原式變形為兩邊同除以得 移項得：所以新數(shù)列是首項為 q=2的等比數(shù)列。故 解關于的方程得。例12（2010年全國高中數(shù)學聯(lián)賽安徽賽區(qū)預賽試卷9）已知數(shù)列滿足：， 求數(shù)列的通項公式。解：構(gòu)造技巧：在兩邊同學加2得兩邊取倒數(shù)：即得到新數(shù)列使之成為的等比數(shù)列，其中，首項為 =整理得待定系數(shù)法求一般情況：， （1）構(gòu)造一般形式遞推公式 （2）比較（1）（2）得：應用上公式：設上題中的將上式系數(shù)代入得方程 解得當時，有兩邊取倒數(shù)：由前面即可再構(gòu)造新數(shù)列使之成為的等比數(shù)列，其中，首項為 =整理得當時，有兩邊取倒數(shù)：由前面即可再構(gòu)造新數(shù)列使之成為的等比數(shù)列，其中，首項為 整理得以上就是常