廣東省海珠區(qū)2020高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題含解析通用

1、廣東省海珠區(qū)2020學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題（含解析）一:選擇題，給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是正確的1.下列兩個(gè)變量之間的關(guān)系不是函數(shù)關(guān)系的是（ ）a. 出租車車費(fèi)與出租車行駛的里程b. 商品房銷售總價(jià)與商品房建筑面積c. 鐵塊的體積與鐵塊的質(zhì)量d. 人的身高與體重【答案】d【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的概念來進(jìn)行判斷?！驹斀狻繉τ赼選項(xiàng)，出租車車費(fèi)實(shí)行分段收費(fèi)，與出租車行駛里程成分段函數(shù)關(guān)系；對于b選項(xiàng)，商品房的銷售總價(jià)等于商品房單位面積售價(jià)乘以商品房建筑面積，商品房銷售總價(jià)與商品房建筑面積之間是一次函數(shù)關(guān)系；對于c選項(xiàng)，鐵塊的質(zhì)量等于鐵塊的密度乘以鐵塊的體積，鐵塊的體積與鐵塊的質(zhì)量是一次函

2、數(shù)關(guān)系；對于d選項(xiàng)，有些人又高又瘦，有些人又矮又胖，人的身高與體重之間沒有必然聯(lián)系，因人而異，d選項(xiàng)中兩個(gè)變量之間的關(guān)系不是函數(shù)關(guān)系。故選：d?！军c(diǎn)睛】本題考查函數(shù)概念的理解，充分理解兩個(gè)變量之間是“一對一”或“多對一”的形式，考查學(xué)生對這些概念的理解，屬于基礎(chǔ)題。2.在某次測量中得到樣本數(shù)據(jù)如下：，若樣本數(shù)據(jù)恰好是樣本每個(gè)數(shù)都增加得到，則、兩樣本的下列數(shù)字特征對應(yīng)相同的是（ ）a. 眾數(shù)b. 中位數(shù)c. 方差d. 平均數(shù)【答案】c【解析】【分析】分別計(jì)算出、兩個(gè)樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、方差和平均數(shù)，再進(jìn)行判斷?！驹斀狻繕颖镜臄?shù)據(jù)為：、，沒有眾數(shù)，中位數(shù)為，平均數(shù)為，方差為，樣本的數(shù)據(jù)為：、，

3、沒有眾數(shù)，中位數(shù)為，平均數(shù)為，方差為，因此，兩個(gè)樣本數(shù)據(jù)的方差沒變，故選：d。【點(diǎn)睛】本題考查樣本的數(shù)據(jù)特征，考查對樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)以及方差概念的理解，熟練利用相關(guān)公式計(jì)算這些數(shù)據(jù)，是解本題的關(guān)鍵，屬于中等題。3.以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各名學(xué)生在一次英語聽力測試中的成績（單位：分）.已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則、的值分別為（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】將甲組和乙組數(shù)據(jù)從小到大列出來，然后利用位數(shù)的定義和平均數(shù)的公式列方程組，解出和的值?！驹斀狻考捉M的個(gè)數(shù)分別為、或、，由于甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，則有，得，組的個(gè)數(shù)據(jù)分別為、，由于乙組的平

4、均數(shù)為，則有，解得，故選：d【點(diǎn)睛】本題考查莖葉圖以及樣本的數(shù)據(jù)特征，解決莖葉圖中的數(shù)據(jù)問題，弄清楚主干中的數(shù)據(jù)作高位，葉子中的數(shù)據(jù)代表低位的數(shù)據(jù)，另外就是在列數(shù)據(jù)時(shí)，一般是按照由小到大或由大到小進(jìn)行排列，考查計(jì)算能力，屬于中等題。4. 某校從高一年級學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生，將他們的模塊測試成績分成6組：40,50), 50,60), 60,70), 70,80), 80,90), 90,100加以統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖。已知高一年級共有學(xué)生600名，據(jù)此估計(jì)，該模塊測試成績不少于60分的學(xué)生人數(shù)為（ ）a. 588b. 480c. 450d. 120【答案】b【解析】試題分析：根

5、據(jù)頻率分布直方圖，得；該模塊測試成績不少于60分的頻率是1-（0.005+0.015）×10=0.8，對應(yīng)的學(xué)生人數(shù)是600×0.8=480考點(diǎn)：頻率分布直方圖5.設(shè)，是兩個(gè)不同的平面，是兩條不同的直線，且，（ ）a. 若，則b. 若，則c. 若，則d. 若，則【答案】a【解析】試題分析：由面面垂直的判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過另一平面的一條垂線，則兩面垂直，可得，可得考點(diǎn)：空間線面平行垂直的判定與性質(zhì)6.設(shè)的內(nèi)角所對邊的長分別為，若,則角=（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】試題分析：，由正弦定理可得即； 因?yàn)?，所以，所以，而，所以，故選b.考點(diǎn)：1.正弦定理；

6、2.余弦定理.7.若直線與圓有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】由題意得圓心為，半徑為。圓心到直線的距離為，由直線與圓有公共點(diǎn)可得，即，解得。實(shí)數(shù)a取值范圍是。選c。8.已知直線是圓的對稱軸.過點(diǎn)作圓的一條切線，切點(diǎn)為，則（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】將圓的方程配成標(biāo)準(zhǔn)形式，確定圓心的坐標(biāo)與圓的半徑長，將圓心坐標(biāo)代入直線的方程，得出的值，并計(jì)算出，最后利用勾股定理計(jì)算?！驹斀狻繄A的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑長為，易知，圓心在直線，則，得，因此，。故選：d?！军c(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查切線長的計(jì)算，在求解與圓有關(guān)的問題中

7、，應(yīng)將圓的方程表示成標(biāo)準(zhǔn)形式，確定圓心坐標(biāo)和半徑長，在計(jì)算切線長時(shí)，一般利用幾何法，即勾股定理來進(jìn)行計(jì)算，以點(diǎn)到圓心的距離為斜邊、半徑長和切線長為兩直角邊來計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題。9.在三棱錐中，已知所有棱長均為，是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】取的中點(diǎn)，連接、，于是得到異面直線與所成的角為，然后計(jì)算出的三條邊長，并利用余弦定理計(jì)算出，即可得出答案?！驹斀狻咳缦聢D所示，取的中點(diǎn)，連接、，由于、分別為、的中點(diǎn)，則，且，所以，異面直線與所成的角為或其補(bǔ)角，三棱錐是邊長為的正四面體，則、均是邊長為的等邊三角形，為的中點(diǎn)，則，且，同

8、理可得，中，由余弦定理得，因此，異面直線與所成角的余弦值為，故選：a?！军c(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角計(jì)算，利用平移法求異面直線所成角的基本步驟如下：（1）一作：平移直線，找出異面直線所成的角；（2）二證：對異面直線所成的角進(jìn)行說明；（3）三計(jì)算：選擇合適的三角形，并計(jì)算出三角形的邊長，利用余弦定理計(jì)算所求的角。10.已知圓和兩點(diǎn)，若圓上存在點(diǎn)，使得，則的最大值為 （ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】圓的圓心，半徑為，圓心到的距離為，故圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最大值為，再由可得，以為直徑的圓和圓有交點(diǎn)，可得，所以，故的最大值為故選點(diǎn)睛：這個(gè)題目考查的是直線和圓的位置關(guān)系，一般直線和圓的題

9、很多情況下是利用數(shù)形結(jié)合來解決的，聯(lián)立的時(shí)候較少；還有就是在求圓上的點(diǎn)到直線或者定點(diǎn)的距離時(shí)，一般是轉(zhuǎn)化為圓心到直線或者圓心到定點(diǎn)的距離，再加減半徑，分別得到最大值和最小值。11.正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為，底面邊長為，則該球的表面積等于（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】試題分析：不妨設(shè)球的半徑為，由題意得球心必在正四棱錐的高上，設(shè)為點(diǎn)，如圖所示，棱錐的側(cè)棱，過點(diǎn)作垂直于，則為的中點(diǎn)，所以，由，為正四棱錐的中心，因此，即，解得，所以所求球的表面積為.故正確答案為d.考點(diǎn)：1.簡單組合體；2.球的表面積.12.已知點(diǎn),在圓上運(yùn)動(dòng)，且，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最大值為 （

10、 ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】根據(jù)已知條件得知點(diǎn)、關(guān)于原點(diǎn)對稱，利用對稱性得出，并設(shè)點(diǎn)，計(jì)算出向量，利用向量模的坐標(biāo)公式，將問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的距離的最大值（即 加上半徑）求出即可?！驹斀狻繛榈男边?，則為圓的一條直徑，故必經(jīng)過原點(diǎn)，則，即，設(shè)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)所以，所以，其幾何意義為點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的距離，所以，故選：c?！军c(diǎn)睛】本題考查向量模的最值問題，在解決這類問題時(shí)，可設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，借助向量的坐標(biāo)運(yùn)算，將所求模轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)的距離，然后利用數(shù)形結(jié)合思想求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于難題。二、填空題：把答案填在答題卡上.13.以邊長為的正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形

11、成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積是_【答案】【解析】【分析】先確定旋轉(zhuǎn)體為圓柱，根據(jù)條件得出圓柱的底面半徑和母線長，然后利用圓柱側(cè)面積公式計(jì)算可得出答案。【詳解】由題意可知，旋轉(zhuǎn)體為圓柱，且底面半徑為，母線長為，因此，旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積為，故答案為：。【點(diǎn)睛】本題考查圓柱側(cè)面積的計(jì)算，計(jì)算出圓柱的底面半徑和母線長是解本題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生對這些公式的理解與運(yùn)用能力，屬于基礎(chǔ)題。14.若直線過點(diǎn)，且平行于過點(diǎn)和的直線，則直線的方程為_【答案】【解析】【分析】先利用斜率公式求出直線的斜率，由直線與直線平行，得出直線的斜率，再利用點(diǎn)斜式可得出直線的方程?！驹斀狻坑捎谥本€，則直線的斜率等于直線的斜率，又由于

12、直線過點(diǎn)，所以直線的方程為，即。故答案為：?！军c(diǎn)睛】本題考查斜率公式、兩直線的位置關(guān)系以及直線方程，關(guān)鍵在于將兩直線平行轉(zhuǎn)化為斜率相等，并利用斜率公式求出直線的斜率，考查推理分析能力與計(jì)算能力，屬于中等題。15.如圖，o的半徑為，六邊形是o的內(nèi)接正六邊形，從六點(diǎn)中任意取兩點(diǎn)，并連接成線段，則線段的長為的概率是_【答案】【解析】【分析】先計(jì)算出所有線段條數(shù)的總數(shù)，并從中找出長度為的線段條數(shù)，利用古典概型概率公式計(jì)算所求事件的概率。【詳解】在、中任取兩點(diǎn)的所有線段有：、，共條，其中長度為的線段有：、，共條，由古典概型的概率公式可知，線段的長為的概率是，故答案為：?！军c(diǎn)睛】本題考查古典概型概率的計(jì)算

13、，考查概率公式的應(yīng)用，其中列舉基本事件時(shí)，可以利用枚舉法與樹狀圖法來列舉，在列舉應(yīng)遵循不重不漏的原則進(jìn)行，考查計(jì)算能力，屬于中等題。16.如圖，一熱氣球在海拔60m的高度飛行，在空中a處測得前下方河流兩側(cè)河岸，的俯角分別為75°，30°，則河流的寬度等于_m【答案】【解析】【分析】先計(jì)算出的長度，然后在中求出和，利用正弦定理求出的長度。【詳解】在abc中，由得又，由正弦定理得故答案為：?！军c(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理解三角形的實(shí)際應(yīng)用，一般而言，正弦定理解三角形適用于已知兩角與一邊類型的三角形，同時(shí)要分清楚正弦、余弦定理所適用的基本類型，在解三角形時(shí)根據(jù)已知元素類型合理選擇這

14、兩個(gè)公式來求解。三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟17.某制造商月生產(chǎn)了一批乒乓球，隨機(jī)抽樣個(gè)進(jìn)行檢查，測得每個(gè)球的直徑(單位：mm)，將數(shù)據(jù)分組如下表分組頻數(shù)頻率 10205020合計(jì)100(1)請?jiān)谏媳碇醒a(bǔ)充完成頻率分布表(結(jié)果保留兩位小數(shù))，并在上圖中畫出頻率分布直方圖；(2)統(tǒng)計(jì)方法中，同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點(diǎn)值(例如區(qū)間的中點(diǎn)值是)作為代表.據(jù)此估計(jì)這批乒乓球直徑的平均值(結(jié)果保留兩位小數(shù)).【答案】(1)見解析；(2) 40.00(mm)【解析】解：(1)頻率分布表如下：分組頻數(shù)頻率39.95,39.97)100.10539.97,39.99)200.20103

15、9.99,40.01)500.502540.01,40.03200.2010合計(jì)1001注：頻率分布表可不要最后一列，這里列出，只是為畫頻率分布直方圖方便頻率分布直方圖如下：(2)整體數(shù)據(jù)的平均值約為39.96×0.1039.98×0.2040.00×0.5040.02×0.2040.00(mm)18. 某地區(qū)有小學(xué)21所，中學(xué)14所，大學(xué)7所，現(xiàn)采取分層抽樣的方法從這些學(xué)校中抽取6所學(xué)校對學(xué)生進(jìn)行視力調(diào)查。（i）求應(yīng)從小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)中分別抽取的學(xué)校數(shù)目。（ii）若從抽取的6所學(xué)校中隨機(jī)抽取2所學(xué)校做進(jìn)一步數(shù)據(jù)分析，（1）列出所有可能的抽取結(jié)果；（2）

16、求抽取的2所學(xué)校均為小學(xué)的概率?！敬鸢浮?1)3,2,1 (2)【解析】(1)從小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)中分別抽取的學(xué)校數(shù)目為3、2、1(2)在抽取到的6所學(xué)校中，3所小學(xué)分別記為a1，a2，a3,2所中學(xué)分別記為a4，a5，大學(xué)記為a6，則抽取2所學(xué)校的所有可能結(jié)果為a1，a2，a1，a3，a1，a4，a1，a5，a1，a6，a2，a3，a2，a4，a2，a5，a2，a6，a3，a4，a3，a5，a3，a6，a4，a5，a4，a6，a5，a6，共15種從6所學(xué)校中抽取的2所學(xué)校均為小學(xué)(記為事件b)的所有可能結(jié)果為a1，a2，a1，a3，a2，a3，共3種所以p(b)19.已知圓經(jīng)過，三點(diǎn)(1)求圓

17、的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過點(diǎn)n 的直線被圓截得的弦ab的長為，求直線的傾斜角【答案】(1) (2) 30°或90°【解析】【分析】（1）解法一：將圓的方程設(shè)為一般式，將題干三個(gè)點(diǎn)代入圓的方程，解出相應(yīng)的參數(shù)值，即可得出圓的一般方程，再化為標(biāo)準(zhǔn)方程；解法二：求出線段和的中垂線方程，將兩中垂線方程聯(lián)立求出交點(diǎn)坐標(biāo)，即為圓心坐標(biāo)，然后計(jì)算為圓的半徑，即可寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）先利用勾股定理計(jì)算出圓心到直線的距離為，并對直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論：一是直線的斜率不存在，得出直線的方程為，驗(yàn)算圓心到該直線的距離為；二是當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，并表示為一般式，利用圓心到直

18、線的距離為得出關(guān)于的方程，求出的值。結(jié)合前面兩種情況求出直線的傾斜角?！驹斀狻浚?）解法一：設(shè)圓的方程為， 則 即圓為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為； 解法二：則中垂線為,中垂線為， 圓心滿足， 半徑， 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）當(dāng)斜率不存在時(shí)，即直線到圓心的距離為1，也滿足題意，此時(shí)直線的傾斜角為90°，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為， 由弦長為4，可得圓心 到直線的距離為， ， ，此時(shí)直線的傾斜角為30°， 綜上所述，直線的傾斜角為30°或90°【點(diǎn)睛】本題考查圓的方程以及直線截圓所得弦長的計(jì)算，在求直線與圓所得弦長的計(jì)算中，問題的核心要轉(zhuǎn)化為弦心距的計(jì)算，弦心距的計(jì)算主

19、要有以下兩種方式：一是利用勾股定理計(jì)算，二是利用點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算圓心到直線的距離。20.在中，內(nèi)角對邊分別為，,已知.(1)求的值；(2)若，求的面積【答案】(1)2 (2) 【解析】【分析】（1）在題干等式中利用邊化角思想，結(jié)合兩角和的正弦公式、內(nèi)角和定理以及誘導(dǎo)公式計(jì)算出，再利用角化邊的思想可得出的比值；（2）由（1）中的結(jié)果，結(jié)合余弦定理求出和的值，再利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系求出，最后利用三角形的面積公式求出的面積。【詳解】（1）由正弦定理得 ， 則 ， 所以 ， 即，化簡可得又，所以 所以，即. （2）由（1）知由余弦定理及， 得，解得，因此 因?yàn)?，且所以因此【點(diǎn)睛】在解三角形

20、的問題時(shí)，要根據(jù)已知元素的類型合理選擇正弦定理與余弦定理解三角形，除此之外，在有邊和角的等式中，優(yōu)先邊化角，利用三角恒等變換思想化簡求解，能起到簡化計(jì)算的作用。21.如圖，三棱柱中，側(cè)面為菱形，的中點(diǎn)為，且平面(1)證明：；(2)若，試畫出二面角的平面角，并求它的余弦值【答案】(1)見證明；(2)二面角圖見解析； 【解析】【分析】（1）由菱形的性質(zhì)得出，由平面，得出，再利用直線與平面垂直的判定定理證明平面，于是得出；（2）過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，連接，可證出平面，于是找出二面角的平面角為，并計(jì)算出的三邊邊長，利用銳角三角函數(shù)計(jì)算出，即為所求答案?！驹斀狻浚?）連接， 因?yàn)閭?cè)面為菱形， 所以，且與相交于點(diǎn) 因?yàn)槠矫?，平面，所?又，所以平面 因?yàn)槠矫?，所?（2）作，垂足為，連結(jié)， 因?yàn)椋?所以平面， 又平面，所以. 所以是二面