第十講_幾何光學(xué)

1、高中物理競賽電學(xué)光學(xué)教程 第一講 幾 何 光 學(xué)§1.1幾何光學(xué)基礎(chǔ)1、光的直線傳播：光在同一均勻介質(zhì)中沿直線傳播。2、光的獨(dú)立傳播：幾束光在交錯時互不妨礙，仍按原來各自的方向傳播。3、光的反射定律：反射光線在入射光線和法線所決定平面內(nèi)；反射光線和入射光線分居法線兩側(cè)；反射角等于入射角。4、光的折射定律：折射光線在入射光線和法線所決定平面內(nèi)；折射光線和入射光線分居法線兩側(cè)；入射角與折射角滿足；當(dāng)光由光密介質(zhì)向光疏介質(zhì)中傳播，且入射角大于臨界角C時，將發(fā)生全面反射現(xiàn)象（折射率為 的光密介質(zhì)對折射率為的光疏介質(zhì)的臨界角ABSS1S2S3O圖1-2-1）。§1.2 光的反射1.2

2、.1、組合平面鏡成像：SS1S2S3S4S5O圖1-2-21.組合平面鏡 由兩個以上的平面鏡組成的光學(xué)系統(tǒng)叫做組合平面鏡，射向組合平面鏡的光線往往要在平面鏡之間發(fā)生多次反射，因而會出現(xiàn)生成復(fù)像的現(xiàn)象。先看一種較簡單的現(xiàn)象，兩面互相垂直的平面鏡（交于O點(diǎn)）鏡間放一點(diǎn)光源S（圖1-2-1），S發(fā)出的光線經(jīng)過兩個平面鏡反射后形成了、三個虛像。用幾何的方法不難證明：這三個虛像都位于以O(shè)為圓心、OS為半徑的圓上，而且S和、S和、和、和之間都以平面鏡（或它們的延長線）保持著對稱關(guān)系。用這個方法我們可以容易地確定較復(fù)雜的情況中復(fù)像的個數(shù)和位置29高中物理競賽電學(xué)光學(xué)教程第一講幾何光學(xué) 兩面平面鏡AO和BO成

3、60º角放置（圖1-2-2），用上述規(guī)律，很容易確定像的位置：以O(shè)為圓心、OS為半徑作圓；過S做AO和BO的垂線與圓交于和；過和作BO和AO的垂線與圓交于和；過和作AO和BO的垂線與圓交于，便是S在兩平面鏡中的5個像。雙鏡面反射。如圖1-2-3，兩鏡面間夾角=15º,OA=10cm，A點(diǎn)發(fā)出的垂直于的光線射向后在兩鏡間反復(fù)反射，直到光線平行于某一鏡面射出，則從A點(diǎn)開始到最后一次反射點(diǎn)，光線所走的路程是多少？圖1-2-3 L1L2AO2、全反射全反射光從密度媒質(zhì)1射向光疏媒質(zhì)2，當(dāng)入射角大于臨界角時，光線發(fā)生全反射。全反射現(xiàn)象有重要的實(shí)用意義，如現(xiàn)代通訊的重要組成部分光導(dǎo)纖維

4、，就是利用光的全反射現(xiàn)象。圖1-2-5是光導(dǎo)纖維的示意圖。AB為其端面，纖維內(nèi)芯材料的折射率，外層材料的折射率，試問入射角在什么范圍內(nèi)才能確保光在光導(dǎo)纖維內(nèi)傳 iABn1n2圖1-2-5播？例1、如圖1-2-6所示，AB表示一平直的平面鏡，是水平放置的米尺（有刻度的一面朝著平面鏡），MN是屏，三者相互平行，屏MN上的ab表示一條豎直的縫（即ab之間是透光的）。某人眼睛緊貼米尺上的小孔S（其位置如圖所示），可通過平面鏡看到米尺的一部分刻度。試在本題圖上用三角板作圖求出可看到的部位，并在上把這部分涂以標(biāo)志。P1P2MNabABS圖1-2-6 例2、兩個平面鏡之間的夾角為45º、60

5、86;、120º。而物體總是放在平面鏡的角等分線上。試分別求出像的個數(shù)。例3、五角樓是光學(xué)儀器中常用的一種元件，如圖1-2-14所示。棱鏡用玻璃制成，BC、CD兩平面高度拋光， CAEBD112.5º112.5º112.5º90º圖1-2-14 AB、DE兩平面高度拋光后鍍銀。試證明：經(jīng)BC面入射的光線，不管其方向如何，只要它能經(jīng)歷兩次反射（在AB與DE面上），與之相應(yīng)的由CD面出射的光線，必與入射光線垂直。例4、橫截面為矩形的玻璃棒被彎成如圖1-2-16所示的形狀，一束平行光垂直地射入平表面A上。試確定通過表面A進(jìn)入的光全部從表面B射出的R/

6、d的最小值。已知玻璃的折射圖1-2-16為1.5。圖1-2-19例7 普通光纖是一種可傳輸光的圓柱形細(xì)絲，由具有圓形截面的纖芯A和包層B組成，B的折射率小于A的折射率，光纖的端面與圓柱體的軸垂直，由一端面射入的光在很長的光纖中傳播時，在纖芯A和包層B的分界面上發(fā)生多次全反射?，F(xiàn)在利用普通光纖測量流體F的折射率。實(shí)驗(yàn)方法如下：讓光纖的一端（出射端）浸在流體F中。令與光纖軸平行的單色平行光束經(jīng)凸透鏡折射后會聚在光纖入射端面的中心O。經(jīng)端面折射進(jìn)入光纖，在光纖中傳播。由于O點(diǎn)出發(fā)的光束為圓錐形，已知其邊緣光線和軸的夾角為，如圖1-2-18所示。最后光從另一端面出射進(jìn)入流體F。在距出射端面處放置一垂直

7、于光纖軸的毛玻璃屏D，在D上出現(xiàn)一圓形光斑，測出其直徑為，然后移動光屏D至距光纖出射端面 處，再測出圓形光斑的直徑，如圖1-2-19所示。（1）若已知A和B的折射率分別為與。求被測流體F的折射率的表達(dá)式。（2）若、和均為未知量，如何通過進(jìn)一步的實(shí)驗(yàn)以測出的值？§1.3 光的折射圖1-3-11.3.1、多層介質(zhì)折射如圖：多層介質(zhì)折射率分別為則由折射定律得： 1.3.2、平面折射的視深在水中深度為h處有一發(fā)光點(diǎn)Q，作OQ垂直于水面，求射出水面折射線的延長線與OQ交點(diǎn)的深度與入射角i的關(guān)系。 ddQQOxMi圖1-3-2設(shè)水相對于空氣的折射率為，由折射定律得 令OM=x，則于是 上式表明，

8、由Q發(fā)出的不同光線，折射后的延長線不再交于同一點(diǎn)，但對于那些接近法線方向的光線，則，于是 ABCEFi1i2 i2 i1 D G 折射率圖1-3-4這時與入射角i無關(guān)，即折射線的延長線近似地交于同一點(diǎn)，其深度是原光點(diǎn)深度的。1.3.3、棱鏡的折射與色散入射光線經(jīng)棱鏡折射后改變了方向，出射光線與入射光線之間的夾角稱為偏向角，由圖1-3-4的幾何關(guān)系知其中 當(dāng)，很小時，即 =（n-1）厚度不計頂角很小的三棱鏡稱之為光楔，對近軸光線而言，與入射角大小無關(guān)，各成像光線經(jīng)光楔后都偏hLSS圖1-3-5折同樣的角度，所以作光楔折射成像光路圖時可畫成一使光線產(chǎn)生偏折角的薄平板，圖1-3-5。設(shè)物點(diǎn)S離光楔L

9、則像點(diǎn)在S的正上方。h=l=（n-1）l。 棱鏡中折射光線相對于頂角對稱成等腰三角形時，。陽光紅紫圖1-3-6 這為棱鏡的最小偏向角，此式可用來測棱鏡的折射率。圖1-3-7紫紅陽光由于同一種介質(zhì)對不同色光有不同的折射率，各種色光的偏折角不同，所以白光經(jīng)過棱鏡折射后產(chǎn)生色散現(xiàn)象。虹和霓是太陽被大氣中的小水滴折射和反射形成的色散現(xiàn)象。陽光在水滴上經(jīng)兩次折射和一次反射如圖1-3-6。形成內(nèi)紫外紅的虹；陽光經(jīng)小滴兩次折射和兩次反射如圖1-3-7，形成內(nèi)紅外紫的霓。由于霓經(jīng)過一次反射，因此光線較弱，不容易看到。1.3.4、費(fèi)馬原理費(fèi)馬原理指出，光在指定的兩點(diǎn)之間傳播，實(shí)際的光程總是為最大或保持恒定，這里

10、的光程是指光在某種均勻介質(zhì)中通過的路程和該種媒質(zhì)的折射率的乘積。費(fèi)馬原理是幾何光學(xué)中的一個十分重要的基本原理，從費(fèi)馬原理可以推導(dǎo)出幾何光學(xué)中的很多重要規(guī)律。例如光的直線傳播、反射定律，折射定律，都可以從光程極小推出。如果反射面是一個旋轉(zhuǎn)橢球面，而點(diǎn)光源置于其一個焦點(diǎn)上，所有反射光線都經(jīng)過另一個焦點(diǎn)，所有反射光線都經(jīng)過另一個焦點(diǎn)，便是光程恒定的一個例子。此外，透鏡對光線的折射作用，也是很典型的。一平凸透鏡的折射率為n，放置在空氣中，透鏡面孔的半徑為R。在透鏡外主光軸上取一點(diǎn)，（圖1-3-8）。當(dāng)平行光沿主光軸入射時，為使所有光線均會聚于點(diǎn)。試問：（1）透鏡凸面應(yīng)取什么形狀？（2）透鏡頂點(diǎn)A與點(diǎn)O

11、相距多少？（3）對透鏡的孔徑R有何限制？解: 根據(jù)費(fèi)馬原理，以平行光入射并會聚于的所有光線應(yīng)有相等的光程，即最邊緣的光線與任一條光線的光程應(yīng)相等。由此可以確定凸面的方xyBAM（x，y）nRfF圖1-3-8程。其余問題亦可迎刃而解。（1）取坐標(biāo)系如圖，由光線和的等光程性，得整理后，得到任一點(diǎn)M（x，y）的坐標(biāo)x，y應(yīng)滿足的方程為令，則上式成為 這是雙曲線的方程，由旋轉(zhuǎn)對稱性，透鏡的凸面應(yīng)是旋轉(zhuǎn)雙曲面。（2）透鏡頂點(diǎn)A的位置 應(yīng)滿足或者 可見，對于一定的n和，由R決定。（3）因點(diǎn)在透鏡外，即，這是對R的限制條件，有xyRfAMNntF圖1-3-9即要求 討論 在極限情形，即 時，有如下結(jié)果：即點(diǎn)

12、A與點(diǎn)重合。又因 a=0故透鏡凸面的雙曲線方程變?yōu)榧?雙曲線退化成過點(diǎn)的兩條直線，即這時透鏡的凸面變成以為頂點(diǎn)的圓錐面，如圖1-3-9所示?？紤]任意一條入射光線MN，由折射定律有，由幾何關(guān)系故 ， 即所有入射的平行光線折射后均沿圓錐面到達(dá)點(diǎn)，此時的角就是全反射的臨界角。例1、半徑為R的半圓柱形玻璃磚，橫截面如圖1-3-10所示。O為圓心。已知玻璃的折射率為。當(dāng)光由玻璃射向空氣時，發(fā)生全反射的臨界角為45°，一束與MN平面成450的平行光束射到玻璃磚的半圓柱面上，經(jīng)玻璃折射后，有部分光能從MN平面上射出。求能從MN平面射出的光束的寬度為多少？圖1-3-10例2、給定一厚度為d的平行平板

13、，其折射率按下式變化 一束光在O點(diǎn)由空氣垂直入射平板，并在A點(diǎn)以角出射（圖1-3-14）。求A點(diǎn)的折射率nA，并確定A點(diǎn)的位置及平板厚度。（設(shè)）。d圖1-3-14例3、圖1-3-17表示一個盛有折射率為n的液體的槽，槽的中部扣著一個對稱屋脊形的薄壁透明罩A，D，B，頂角為2，罩內(nèi)為空氣，整個罩子浸沒在液體中，槽底AB的中點(diǎn)處有一個亮點(diǎn)C。請求出：位于液面上方圖標(biāo)平面內(nèi)的眼睛從側(cè)面觀察可看到亮點(diǎn)的條件。圖1-3-17例4、如圖1-3-19所示，兩個頂角分別為和的棱鏡膠合在一起（）。折射率由下式給出： ；其中 1、確定使得從任何方向入射的光線在經(jīng)過AC面時不發(fā)生折射的波長。確定此情形的折射率和。2

14、、畫出入射角相同的、波長為、和的三種不同光線的路徑。3、確定組合棱鏡的最小偏向角。4、計算平行于DC入射且在離開組合棱鏡時仍平行于DC的光線的波長。 圖1-3-19例5、有一放在空氣中的玻璃棒，折射率n=1.5，中心軸線長L=45cm，一端是半徑為=10cm的凸球面。（1）要使玻璃棒的作用相當(dāng)于一架理想的天文望遠(yuǎn)鏡（使主光軸上無限遠(yuǎn)處物成像于主光軸上無限遠(yuǎn)處的望遠(yuǎn)系統(tǒng)），取中心軸為主光軸，玻璃棒另一端應(yīng)磨成什么樣的球面？（2）對于這個玻璃棒，由無限遠(yuǎn)物點(diǎn)射來的平行入射光束與玻璃棒的主光軸成小角度時，從棒射出的平行光束與主光軸成小角度，求（此比值等于此玻璃棒的望遠(yuǎn)系統(tǒng)(1)F1的視角放大率）。(

15、2)F1M§1.4、光在球面上的反射與折射1.4.1、球面鏡成像圖1-4-1圖1-4-2（1）球面鏡的反射仍遵從反射定律，法線是球面的半徑。一束近主軸的平行光線，經(jīng)凹鏡反射后將會聚于主軸上一點(diǎn)F（圖1-4-1），這F點(diǎn)稱為凹鏡的焦點(diǎn)。一束近主軸的平行光線經(jīng)凸面鏡反射后將發(fā)散，反向延長可會聚于主軸上一點(diǎn)F（圖1-4-2），這F點(diǎn)稱為凸鏡的虛焦點(diǎn)。焦點(diǎn)F到鏡面頂點(diǎn)O之間的距離叫做球面鏡的焦距f。可以證明，球面鏡焦距f等于球面半徑R的一半，即（2）球面鏡成像公式 根據(jù)反射定律可以推導(dǎo)出球面鏡的成像公式。下面以凹鏡為例來推導(dǎo)：（如圖1-4-3所示）設(shè)在凹鏡的主軸上有一個物體S，由S發(fā)出的射向

16、凹鏡的光線鏡面A點(diǎn)反射后與主軸交于點(diǎn)，半徑CA為反射的法線，即S的像。根據(jù)反射定律，則CA為角A的平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)有 圖1-4-3A 由為SA為近軸光線，所以，式可改寫為 式中OS叫物距u，叫像距v，設(shè)凹鏡焦距為f，則代入式 化簡 這個公式同樣適用于凸鏡。使用球面鏡的成像公式時要注意：凹鏡焦距f取正，凸鏡焦距f取負(fù)；實(shí)物u取正，虛物u取負(fù)；實(shí)像v為正，虛像v為負(fù)。上式是球面鏡成像公式。它適用于凹面鏡成像和凸面鏡成像，各量符號遵循“實(shí)取正，虛取負(fù)”的原則。凸面鏡的焦點(diǎn)是虛的，因此焦距為負(fù)值。在成像中，像長 和物長h之比為成像放大率，用m表示，由成像公式和放大率關(guān)系式可以討論球面鏡成像情

17、況，對于凹鏡，如表所列；對于凸鏡，如表所列。表 凹鏡成像情況物的性質(zhì)物的位置像的位置像的大小像的正倒像的虛實(shí)  實(shí)物同側(cè)f縮小倒實(shí)2f同側(cè)f2f縮小倒實(shí)2f同側(cè)2f等大倒實(shí)2ff同側(cè)f2f放大倒實(shí)f放大  f0異側(cè)0放大正虛虛物異側(cè)0f縮小正實(shí)表 凸鏡成像情況物的性質(zhì)物的位置像的位置像的大小像的正倒像的性質(zhì)實(shí)物f同側(cè)0f縮小正虛 虛物2f同側(cè)f2f縮小倒虛2f同側(cè)2f等大倒虛f2f同側(cè)2f放大倒虛f   f0異側(cè)0放大正實(shí)（3）球面鏡多次成像 球面鏡多次成像原則：只要多次運(yùn)用球面鏡成像公式即可，但有時前一個球面鏡反

18、射的光線尚未成像便又遇上了后一個球面鏡，此時就要引進(jìn)虛像的概念。圖1-4-4如圖1-4-4所示，半徑為R的凸鏡和凹鏡主軸相互重合放置，兩鏡頂點(diǎn)O1 、 O2 相距2.6R，現(xiàn)于主軸上距凹鏡頂點(diǎn)O1為0.6R處放一點(diǎn)光源S。設(shè)點(diǎn)光源的像只能直接射到凹鏡上，問S經(jīng)凹鏡和凸鏡各反射一次后所成的像在何處？S在凹鏡中成像， 可解得 ,根據(jù)題意：所以凹鏡反射的光線尚未成像便已又被凸鏡反射，此時可將凹鏡原來要成像作為凸鏡的虛物來處理， , ,可解得 說明凸鏡所成的像和S在同一位置上。1.4.2、球面折射成像（1）球面折射成像公式 （a）單介質(zhì)球面折射成像如圖1-4-5所示，如果球面左、右方的折射率分別為1和

19、n，為S的像。因?yàn)閕、r均很小，則 圖1-4-5因?yàn)?，代入式可有 對近軸光線來說，、同樣很小，所以有 ，代入式可得 當(dāng)時的v是焦距f，所以 （b）雙介質(zhì)球面折射成像如圖1-4-6所示，球形折射面兩側(cè)的介質(zhì)折射率分別n1和n2，C是球心，O是頂點(diǎn)，球面曲率半徑為R，S是物點(diǎn)，是像點(diǎn)，對于近軸光線 ,， ，圖1-4-6聯(lián)立上式解得 這是球面折射的成像公式，式中u、的符號同樣遵循“實(shí)正虛負(fù)”的法則，對于R；則當(dāng)球心C在出射光的一個側(cè)，（凸面朝向入射光）時為正，當(dāng)球心C在入射光的一側(cè)（凹面朝向入射光）時為負(fù)。若引入焦點(diǎn)和焦距概念，則當(dāng)入射光為平行于主軸的平行光（u=）時，出射光（或其反向延長線）的交

20、點(diǎn)即為第二焦點(diǎn)，（也稱像方焦點(diǎn)），此時像距即是第二焦距，有。當(dāng)出射光為平行光時，入射光（或其延長線）的交點(diǎn)即第一焦點(diǎn)（即物方焦點(diǎn)），這時物距即為第一焦距，有，將、代入成像公式改寫成 反射定律可以看成折射定律在時的物倒，因此，球面鏡的反射成像公式可以從球面鏡折射成像公式中得到，由于反射光的行進(jìn)方向逆轉(zhuǎn)，像距和球面半徑R的正負(fù)規(guī)定應(yīng)與折射時相反，在上述公式中令，即可得到球面鏡反射成像公式，對于凹面鏡，對于凸面鏡，厚透鏡成像。（C）厚透鏡折射成像圖1-4-7t設(shè)構(gòu)成厚透鏡材料的折射率為n，物方介質(zhì)的折射率為，像方介質(zhì)的折射率為，前后兩邊球面的曲率半徑依次為和，透鏡的厚度為，當(dāng)物點(diǎn)在主軸上的P點(diǎn)時，物

21、距，現(xiàn)在來計算像點(diǎn)的像距。，首先考慮第一個球面AOB對入射光的折射，這時假定第二個球面AOB不存在，并認(rèn)為球AOB右邊，都為折射率等于n的介質(zhì)充滿，在這種情況下，P點(diǎn)的像將成在處，其像距，然后再考慮光線在第二個球面的折射，對于這個球面來說，便是虛物。因此對于球面AOB，物像公式為 對于球面AOB，物像公式為這樣就可以用二個球面的成像法來求得透鏡成像的像距u。（2）光焦度 折射成像右端僅與介質(zhì)的折射率及球面的曲率半徑有關(guān)，因而對于一定的介質(zhì)及一定形狀的表面來說是一個不變量，我們定義此量為光焦度，用表示：它表征單折射球面對入射平行光束的屈折本領(lǐng)。的數(shù)值越大，平行光束折得越厲害；0時，屈折是會聚性的

22、；0時，屈折是發(fā)散性的。=0時，對應(yīng)于，即為平面折射。這時，沿軸平行光束經(jīng)折射后仍是沿軸平行光束，不出現(xiàn)屈折現(xiàn)象。60cm30cm圖1-4-8光焦度的單位是米-1，或稱屈光度，將其數(shù)值乘以100，就是通常所說的眼鏡片的“度數(shù)”。（3）鍍銀透鏡與面鏡的等效 有一薄平凸透鏡，凸面曲率半徑R=30cm，已知在近軸光線時：若將此透鏡的平面鍍銀，其作用等于一個焦距是30cm的凹面鏡；若將此透鏡的凸面鍍銀，其作用也等同于一個凹面鏡，其其等效焦距。圖1-4-9當(dāng)透鏡的平面鍍銀時，其作用等同于焦距是30cm的凹面鏡，即這時透鏡等效面曲率半徑為60cm的球面反射鏡。由凹面鏡的成像性質(zhì)，當(dāng)物點(diǎn)置于等效曲率中心 時

23、任一近軸光線經(jīng)凸面折射，再經(jīng)平面反射后將沿原路返回，再經(jīng)凸面折射后，光線過 點(diǎn)，物像重合。如圖1-4-8所示。，。依題意，故。凸面鍍銀，光路如圖1-4-9所示。關(guān)鍵尋找等效曲率中心，通過凸面上任一點(diǎn)A作一垂直于球面指向曲率中心C的光線。此光線經(jīng)平面折射后交至光軸于，令則，得。由光的可逆性原理知，是等效凹面鏡的曲率中心，f=10cm。例1、如圖1-4-10所示，一個雙凸薄透鏡的兩個球面的曲率半徑均為r，透鏡的折射率為n，考察由透鏡后表面反射所形成的實(shí)像。試問物放于何處， 圖1-4-10可使反射像與物位于同一豎直平面內(nèi)（不考慮多重反射）。例2、顯微鏡物鏡組中常配有如圖1-4-12所示的透鏡，它的表

24、面是球面，左表面的球心為，半徑為，右表面的球心為，半徑為，透鏡玻璃對于空氣的折射率為n，兩球心間的距離為。在使用時，被觀察的物位于處，試證明1、從物射向此透鏡的光線，經(jīng)透鏡折射后，所有出射光線均相交于一點(diǎn)Q。圖1-4-122.。例3、有一薄透鏡如圖1-4-14，面是旋轉(zhuǎn)橢球面（橢圓繞長軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面），其焦點(diǎn)為和；面是球面，其球心C與 重合。已知此透鏡放在空氣中時能使從無窮遠(yuǎn)處于橢球長軸的物點(diǎn)射來的全部入射光線（不限于傍軸光線）會聚于一個像點(diǎn)上，橢圓的偏心率為e。(1)求此透鏡材料的折射率n（要論證）；圖1-4-14(2)如果將此透鏡置于折射率為的介質(zhì)中，并能達(dá)到上述的同樣的要求，橢圓應(yīng)滿足

25、什么條件？例4、（1）圖1-4-16所示為一凹球面鏡，球心為C，內(nèi)盛透明液體。已知C至液面高度CE為40.0cm，主軸CO上有一物A，物離液面高度AE恰好為30.0cm時，物A的實(shí)像和物處于同一高度。實(shí)驗(yàn)時光圈直徑很小，可以保證近軸光線成像。試求該透明液體的折射率n。（2）體溫計橫截面如圖1-4-17所示，已知細(xì)水銀柱A離圓柱面頂點(diǎn)O的距離為2R，R為該圓柱面半徑，C為圓柱面中心軸位置。玻璃的折射率n=3/2，E代表人眼，求圖示橫截面上人眼所見水銀柱像的位置、虛像、正倒和放大倍數(shù)。圖1-4-16 圖1-4-17例5、有一半徑為R=0.128m的玻璃半球，過球心O并與其平面部分相垂直的直線為其主

26、軸，在主軸上沿軸放置一細(xì)條形發(fā)光體（離球心較近），其長度為L=0.020m。若人眼在主軸附近對著平面部分向半球望去（如圖1-4-20），可以看到條形發(fā)光體的兩個不很亮的像（此處可能還有亮度更弱的像，不必考慮），當(dāng)條形發(fā)光體在主軸上前后移動時，這兩個像也在主軸上隨之移動?，F(xiàn)在調(diào)整條形發(fā)光體的位置，使得它的兩個像恰好頭尾相接，連在一起，此時條形發(fā)光體的近端距球心O的距離為。試?yán)靡陨蠑?shù)據(jù)求出構(gòu)成此半球的玻璃折射率n（計算時只考慮近軸光線）。圖1-4-20§1.5、透鏡成像1.5.1、透鏡成像作圖圖1-5-1（1）三條特殊光線通過光心的光線方向不變；平行主軸的光線，折射后過焦點(diǎn)；通過焦點(diǎn)的

27、光線，折射后平行主軸。（2）一般光線作圖：對于任一光線SA，過光心O作軸OO平行于SA，與焦平面 交于P點(diǎn)，連接AP或AP的反向延長線即為SA的折射光線*像與物的概念：發(fā)光物體上的每個發(fā)光點(diǎn)可視為一個“物點(diǎn)”即“物”。一個物點(diǎn)上發(fā)出的光束，經(jīng)一系列光學(xué)系統(tǒng)作用后，若成為會聚光束，則會聚點(diǎn)為物的實(shí)像點(diǎn)；若成為發(fā)散光束，則其反向延長線交點(diǎn)為物的虛像點(diǎn)；若為平行光束則不成像。1.5.2、薄透鏡成像公式薄透鏡成像公式是： 式中f、u、v的正負(fù)仍遵循“實(shí)正、虛負(fù)”的法則。若令，則有 該式稱為“牛頓公式”。式中x是物到“物方焦點(diǎn)”的距離，是像到“像方焦點(diǎn)”的距離。從物點(diǎn)到焦點(diǎn)，若順著光路則x取正，反之取負(fù)

28、值；從像點(diǎn)到焦點(diǎn)，若逆著光路則取正值，反之取負(fù)值，該式可直接運(yùn)用成像作圖來推導(dǎo)，請讀者自行推導(dǎo)，從而弄清的意義。下面用牛頓公式討論一個問題。圖1-5-2一個光源以v=0.2m/s的速度沿著焦距f=20cm的凸透鏡向光心運(yùn)動，當(dāng)它經(jīng)過距光心和的兩點(diǎn)時，求像所在的位置及速度。，代入牛頓公式得 ，上述、意義如圖1-5-2所示。設(shè)在t時間內(nèi)，點(diǎn)光源的位移為x，像點(diǎn)的位移為 ，有圖1-5-3 當(dāng)t0時x0，略去x的二階小量，有 將、的值代入，求得，。像移動方向與移動方向相同。*“實(shí)正、虛負(fù)”法則：凸透鏡焦距取正值，凹透鏡焦距取負(fù)值；實(shí)像像距取正值，虛像像距取負(fù)值。實(shí)物物距取正值，虛物物距取負(fù)值。*實(shí)物與

29、虛物：發(fā)散的入射光束的頂點(diǎn)（不問是否有實(shí)際光束通過此頂點(diǎn)）是實(shí)物；會聚的入射光束的頂點(diǎn)（永遠(yuǎn)沒有實(shí)際光束通過該頂點(diǎn)）是虛物。假定，P為實(shí)物，為uv圖1-5-4虛像使所有光線都循原路沿相反方向進(jìn)行，如將（a）反向?yàn)椋╞）圖所示，則表示光線在未遇凸面鏡之前是會聚的，為虛物均為實(shí)物。1.5.3、組合透鏡成像如果由焦距分別為和的A、B兩片薄透鏡構(gòu)成一個透鏡組（共主軸）將一個點(diǎn)光源S放在主軸上距透鏡u處，在透鏡另一側(cè)距透鏡v處成一像（圖1-5-4）所示。對這一成像結(jié)果，可以從以下兩個不同的角度來考慮。因?yàn)锳、B都是薄透鏡，所以互相靠攏地放在一起仍可看成一個薄透鏡。設(shè)這個組合透鏡的焦距是f，則應(yīng)有 另一個

30、考慮角度可認(rèn)為是S經(jīng)A、B兩個透鏡依次成像的結(jié)果。如S經(jīng)A后成像，設(shè)位于A右側(cè)距A為處，應(yīng)有 因?yàn)槲挥谕哥RB右側(cè)處，對B為一虛物，物距為，再經(jīng)B成像 ，所以 由、可解得 比較、兩式可知 如果A、B中有凹透鏡，只要取負(fù)的或代入即可。1.5.4、光學(xué)儀器的放大率實(shí)像光學(xué)儀器的放大率 幻燈下、照相機(jī)都是常見的實(shí)像光學(xué)儀器。由于此類儀器獲得的是物體的實(shí)像，因而放大率m一般是指所有成實(shí)像的長度放大率，即v=mu。如果有一幻燈機(jī)，當(dāng)幻燈片與銀幕相距2.5m時，可在銀幕上得到放大率為24的像；若想得到放大率為40的像，那么，假設(shè)幻燈片不動，鏡頭和銀幕應(yīng)分別移動多少？根據(jù)第一次放映可知 可解得 ， 第二次放映

31、 可解得 ，比較和，可知鏡頭縮回1.6mm；比較和，可知銀幕應(yīng)移遠(yuǎn)1.54m。虛像光學(xué)儀器的放大率 望遠(yuǎn)鏡和顯微鏡是常見的虛像光學(xué)儀器。由于此類儀器得到的是物體的虛像，目的是擴(kuò)大觀察的視角，因此放大率m一般是指視角放大率。如果直接觀察物體的視角為，用儀器觀察物體的視角為，那么m=/先看顯微鏡的放大率。如果有一臺顯微鏡，物鏡焦距為，目鏡焦距為，鏡筒長L，若最后的像成在離目鏡d處，試證明顯微鏡的放大率。dL圖1-5-5顯微鏡的光路如圖1-5-5所示，AB經(jīng)物鏡成一放大實(shí)像，物鏡的長度放大率 因、相對L都較小，而且B很靠近，所以，即 位于目鏡的焦點(diǎn)內(nèi)，經(jīng)目鏡成一放大的虛像（通常讓成在觀察者的明視距離

32、d上）。因?yàn)槎际墙S光線，所以此時觀察者從目鏡中看到的視角為 sf1f2圖1-5-6若觀察者不用顯微鏡，直接觀看AB的視角為 則顯微鏡的放大率m 不難看出目鏡的長度放大率為 所以有 下面再看天文望遠(yuǎn)鏡的放大率，如果天文望遠(yuǎn)鏡的物鏡焦距為，目鏡焦距為，試證明天文望遠(yuǎn)鏡的放大率。望遠(yuǎn)鏡成像光路如圖1-5-6所示，遠(yuǎn)處物體AB由物鏡成像，然后再由目鏡在遠(yuǎn)處成一虛像（圖中未畫出），觀察者觀察的視角即為圖中的，。若不用望遠(yuǎn)鏡，觀察者直接觀察距望遠(yuǎn)鏡S遠(yuǎn)處的物體AB的視角，近似為圖中的 因此望遠(yuǎn)鏡的放大率m為 1.5.5、常見的光學(xué)儀器投影儀器 電影機(jī)、幻燈機(jī)、印相放大機(jī)以及繪圖用的投影儀等，都屬于投影儀

33、器，它的ufv圖1-5-7圖1-5-8圖1-5-9主要部分是一個會聚的投影鏡頭，將畫片成放大的實(shí)像于屏幕上，如圖1-5-7。由于物距u略大于焦距f，畫片總在物方焦平面附近，像距»f，放大率，它與像距v成正比。一光學(xué)系統(tǒng)如圖1-5-8所示，A為物平面，垂直于光軸，L為會聚透鏡，M與光軸成45°角的平面鏡。P為像面，垂直于經(jīng)平面鏡反射后的光軸。設(shè)物為A面上的一個“上”字，試在圖1-5-9中實(shí)像面P上畫出像的形狀。 眼睛 眼睛是一個相當(dāng)復(fù)雜的天然光學(xué)儀器。從結(jié)構(gòu)上看，類似于照像機(jī)，圖1-5-10為眼球在水平方向的剖面圖。其中布滿視覺神經(jīng)的網(wǎng)膜，相當(dāng)于照像機(jī)中的感光底片，虹膜相當(dāng)于

34、照像機(jī)中的可變光闌，它中間的圓孔稱為瞳孔。眼球中的晶狀體是一個折射率不均勻的透鏡，包在眼球外面的堅(jiān)韌的膜，最前面的透明部分稱為角膜，其余部分為鞏膜。角膜與晶狀體之間的部分稱為前房，其中充滿水狀液。晶狀體與網(wǎng)膜之間眼球的內(nèi)腔，稱為后房，其中充滿玻璃狀液。所以，眼睛是一個物、像方介質(zhì)折射率不等的例子。聚焦光無窮遠(yuǎn)時，物焦距f=17.1mm，像方焦距f=22.8。眼睛是通過改變晶狀體的曲率（焦距）來調(diào)節(jié)聚焦的距離。 HH圖1-5-10眼睛肌肉完全松弛和最緊張時所能清楚看到的點(diǎn)，分別稱為它調(diào)節(jié)范圍的遠(yuǎn)點(diǎn)和近點(diǎn)。正常眼睛的遠(yuǎn)點(diǎn)在無窮遠(yuǎn)。近視眼的眼球過長，無窮遠(yuǎn)的物體成像在網(wǎng)膜之前，它的遠(yuǎn)點(diǎn)在有限遠(yuǎn)的位置

35、。遠(yuǎn)視眼的眼球過短，無窮遠(yuǎn)的物體成像在網(wǎng)膜之后（虛物點(diǎn)）。矯正近視眼和遠(yuǎn)視的眼鏡應(yīng)分別是凹透鏡和凸透鏡。所謂散光，是由于眼球在不同方向的平面內(nèi)曲率不同引起的，它需要非球面透鏡來矯正。視角、視角放大 物體的兩端對人眼光心所張的角度叫做 圖1-5-11視角，視角的大小跟物體的尺寸及物體到人眼的距離有關(guān)。當(dāng)兩物點(diǎn)（或同一物體上的兩點(diǎn)）對人眼視角大?。s）時，才能被人眼區(qū)分。在看小物體時，為了增大視角就要縮短物眼間距離，但當(dāng)其小于人眼近點(diǎn)距離時，視網(wǎng)膜上所成的像反而模糊不清。為此，必須使用光學(xué)儀器來增大視角。圖1-5-11是人眼（E）通過放大鏡觀察物體AB的像，當(dāng)人眼靠近光心時視角。若物體很靠近焦點(diǎn)，

36、且成像于明視距離，則： ，圖1-5-12 若不用放大鏡將物體置于明視距離，如圖1-5-12，BE=25cm，則視角：圖1-5-13把用光學(xué)儀器觀察虛像所得視角與將物體放在虛像位置上直接觀察的視角的比值叫做光學(xué)儀器的視角放大率。用表示視角放大率，即有對于放大鏡，有 。顯微鏡 圖1-5-13是顯微鏡成像原理圖。被觀察物體AB置于物鏡焦點(diǎn)外很靠近焦點(diǎn)處，（），成放大實(shí)像于目鏡焦點(diǎn)內(nèi)靠近焦點(diǎn)處（），眼睛靠近目鏡的光心可觀察到位于明視距離的虛像顯微鏡的物鏡視角放大率 未在圖中畫出。目鏡放大率： 未在圖中畫出。顯微鏡的視角放大率： 式中L是鏡筒長度。由于«L，因此在計算放大率時用L代表物鏡像距。

37、通常顯微鏡焦距很小，多為mm數(shù)量級，明鏡焦距稍長，但一般也在2cm以內(nèi)。望遠(yuǎn)鏡 望遠(yuǎn)鏡用于觀察大而遠(yuǎn)的物體，如圖1-5-14，圖1-5-15分別表示開普勒望遠(yuǎn)鏡和伽利略望遠(yuǎn)鏡的光路圖。兩種望遠(yuǎn)鏡都是用焦距較長的凸透鏡做物鏡。遠(yuǎn)處物體從同點(diǎn)發(fā)出的光線可近似為平行光，因此將在物鏡的焦平面上成一實(shí)像。開普勒望遠(yuǎn)鏡的目鏡也是凸透鏡，其焦距較短，物方焦平面和物鏡的像方焦平面幾乎重合。結(jié)果，以為物，在無窮遠(yuǎn)處得到虛像。而伽利略望遠(yuǎn)鏡的目鏡則是凹透鏡，當(dāng)它的物方焦平面（在右側(cè)）與物鏡的像方焦平面重合時，實(shí)像卻成了虛物，經(jīng)凹透鏡折射成像于無窮遠(yuǎn)處。圖1-5-14圖1-5-15由圖中看出伽利略望遠(yuǎn)鏡觀察到的像是正立的，可用于觀察地面物體，而開普勒望遠(yuǎn)鏡觀察到的像是倒立的，只適合作為天文望遠(yuǎn)鏡。從圖中的幾何關(guān)系還可看出兩種望遠(yuǎn)鏡的視角放大率均為： 還有一類望遠(yuǎn)鏡的物鏡是凹面鏡，稱為反射式望遠(yuǎn)鏡。大型的天文望遠(yuǎn)鏡都是反射式望遠(yuǎn)鏡。例題例1、焦距均為f的二凸透鏡、與兩個圓形平面反射鏡、放置如圖1-5-22。二透鏡共軸，透鏡的主軸與二平面鏡垂直，并通過二平面鏡的中心，四鏡的直徑相同，在主軸上有一點(diǎn)光源O。1、畫出由光源向右的一條光線OA（如圖1-5-22所示）在此光學(xué)系統(tǒng)中的光路。2、分別說出由光源向右發(fā)出的光線和向左發(fā)出的光線各在哪些位置（O點(diǎn)除外）形成光源O的能看到的像，哪些是實(shí)像？哪些是虛