第二章衍射和傅里葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ)

1、第二章第二章 衍射和傅里葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ)衍射和傅里葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ) 第一節(jié)第一節(jié) 常用非初等函數(shù)常用非初等函數(shù) 第二節(jié)第二節(jié) 光學(xué)中常用的特殊函數(shù)光學(xué)中常用的特殊函數(shù) 第三節(jié)第三節(jié) 傅立葉變換的基本概念及運(yùn)算傅立葉變換的基本概念及運(yùn)算 第五節(jié)第五節(jié) 光波的傅立葉分析光波的傅立葉分析 第 二 章 衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ) 傅里葉光學(xué)，就是采用傅里葉分析（頻譜傅里葉光學(xué)，就是采用傅里葉分析（頻譜分析）的方法來分析光學(xué)問題。分析）的方法來分析光學(xué)問題。 所討論的問題仍然是有關(guān)光波的傳播、分所討論的問題仍然是有關(guān)光波的傳播、分解與疊加（干涉、衍射）、光學(xué)系統(tǒng)的成解與疊加（干涉、衍射）、光學(xué)系統(tǒng)的成像

2、規(guī)律。像規(guī)律。 傅里葉分析方法的引入，使人們對(duì)各種光傅里葉分析方法的引入，使人們對(duì)各種光學(xué)現(xiàn)象的本質(zhì)和內(nèi)在規(guī)律有了更深入地了學(xué)現(xiàn)象的本質(zhì)和內(nèi)在規(guī)律有了更深入地了解和認(rèn)識(shí)。解和認(rèn)識(shí)。 傅里葉光學(xué)已成為光學(xué)中的一個(gè)分支。傅里葉光學(xué)已成為光學(xué)中的一個(gè)分支。 第 二 章 衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ) 時(shí)間分解時(shí)間分解 原子發(fā)光是斷續(xù)，它總是發(fā)出具有一定持續(xù)時(shí)間原子發(fā)光是斷續(xù)，它總是發(fā)出具有一定持續(xù)時(shí)間的波列，這樣的光波不是單色光波，波動(dòng)方程會(huì)的波列，這樣的光波不是單色光波，波動(dòng)方程會(huì)變的很復(fù)雜，它的特性也不能很容易得到。變的很復(fù)雜，它的特性也不能很容易得到。 用這樣的光波疊加、分解時(shí)，幾乎無法對(duì)它進(jìn)行用

3、這樣的光波疊加、分解時(shí)，幾乎無法對(duì)它進(jìn)行計(jì)算。計(jì)算。 用傅里葉數(shù)學(xué)方法就可以把這樣一個(gè)在時(shí)間上有用傅里葉數(shù)學(xué)方法就可以把這樣一個(gè)在時(shí)間上有限的波列，即一個(gè)限的波列，即一個(gè)“多時(shí)間頻率多時(shí)間頻率”成分的成分的“多色多色”光波，分解成許多無限長波列的簡諧波，即許多光波，分解成許多無限長波列的簡諧波，即許多單頻率成分的單色光波的疊加。這是傅里葉方法單頻率成分的單色光波的疊加。這是傅里葉方法用于光學(xué)中的用于光學(xué)中的“時(shí)間分解時(shí)間分解”。 第 二 章 衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ) 空間頻譜分解空間頻譜分解 在傳播中或與物質(zhì)相互作用中，在空間上受到種在傳播中或與物質(zhì)相互作用中，在空間上受到種種限制的單色光波

4、，其簡諧波在空間范圍內(nèi)的延種限制的單色光波，其簡諧波在空間范圍內(nèi)的延續(xù)性受到了破壞，也同樣使得光波成為了非單色續(xù)性受到了破壞，也同樣使得光波成為了非單色光。光。 采用傅里葉方法把這些空間受限或空間調(diào)制的波采用傅里葉方法把這些空間受限或空間調(diào)制的波面進(jìn)行分解，可以得到許多不同方向或不同空間面進(jìn)行分解，可以得到許多不同方向或不同空間頻率的平面波成分，這個(gè)分解稱為空間頻譜分解。頻率的平面波成分，這個(gè)分解稱為空間頻譜分解。 第 二 章 衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ) 對(duì)于諸如光的傳播、疊加對(duì)于諸如光的傳播、疊加(干涉干涉)、衍射及成像等、衍射及成像等光學(xué)現(xiàn)象，傳統(tǒng)的方法是在空間城中直接討論。光學(xué)現(xiàn)象，傳統(tǒng)

5、的方法是在空間城中直接討論。 利用傅里葉方法就可以把對(duì)這些現(xiàn)象的分析轉(zhuǎn)化利用傅里葉方法就可以把對(duì)這些現(xiàn)象的分析轉(zhuǎn)化到頻率城中，用頻譜分析方法進(jìn)行討論，因?yàn)橛械筋l率城中，用頻譜分析方法進(jìn)行討論，因?yàn)橛袝r(shí)候，在空間分析這些問題是很困難的。時(shí)候，在空間分析這些問題是很困難的。 可以說，傅里葉分析方法促進(jìn)了現(xiàn)代光學(xué)的發(fā)展?？梢哉f，傅里葉分析方法促進(jìn)了現(xiàn)代光學(xué)的發(fā)展。 第 二 章 衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ) 第一節(jié)第一節(jié) 常用非初等函數(shù)常用非初等函數(shù) 所謂初等函數(shù)，是指在自變量的定義域內(nèi)，能用所謂初等函數(shù)，是指在自變量的定義域內(nèi)，能用單一解析式對(duì)五種基本初等函數(shù)進(jìn)行有限次數(shù)的單一解析式對(duì)五種基本初等函數(shù)

6、進(jìn)行有限次數(shù)的四則運(yùn)算和復(fù)合所構(gòu)成的函數(shù)。四則運(yùn)算和復(fù)合所構(gòu)成的函數(shù)。 在函數(shù)論中，有五種函數(shù)被稱為基本初等函數(shù)：在函數(shù)論中，有五種函數(shù)被稱為基本初等函數(shù)：冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)。角函數(shù)。 非初等函數(shù)是我們光學(xué)中常用的數(shù)學(xué)工具。非初等函數(shù)是我們光學(xué)中常用的數(shù)學(xué)工具。 非初等函數(shù)是指在自變量的定義域中，不能用單非初等函數(shù)是指在自變量的定義域中，不能用單一解析式表示的函數(shù)。一解析式表示的函數(shù)。第 二 章 衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ) 一、標(biāo)準(zhǔn)形式的一維非初等函數(shù)一、標(biāo)準(zhǔn)形式的一維非初等函數(shù) sinc函數(shù)嚴(yán)格來說并不是非初等函數(shù)，但是

7、。我函數(shù)嚴(yán)格來說并不是非初等函數(shù)，但是。我們?cè)谟懻撗苌鋯栴}是會(huì)用到。們?cè)谟懻撗苌鋯栴}是會(huì)用到。 第 二 章 衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ) 1.矩形函數(shù)矩形函數(shù)矩形函數(shù)又稱為門函數(shù)，記為矩形函數(shù)又稱為門函數(shù)，記為 ( )rect x1,( )1/20rect x1/21/21/2xxx 矩形函數(shù)曲線下面積為矩形函數(shù)曲線下面積為1，即該函數(shù)滿足：，即該函數(shù)滿足： 在光學(xué)上，常用矩形函數(shù)表示狹縫衍射孔徑和矩在光學(xué)上，常用矩形函數(shù)表示狹縫衍射孔徑和矩形光源等。形光源等。 第 二 章 衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ) ( )1rect x dx2.sinc函數(shù)函數(shù) sinc函數(shù)定義為：函數(shù)定義為： sin()s

8、in ( )xc xx 它的中央極大被稱為中央主極大，其寬度為它的中央極大被稱為中央主極大，其寬度為2。 其余稱為次極大，寬度為其余稱為次極大，寬度為1。 在光學(xué)中，單縫的夫瑯和費(fèi)衍射后得到的復(fù)振幅在光學(xué)中，單縫的夫瑯和費(fèi)衍射后得到的復(fù)振幅就是一個(gè)就是一個(gè)sinc函數(shù)。函數(shù)。 曲線下面積為曲線下面積為1：第 二 章 衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ) sin ( )1c x dxsinc函數(shù)的另一個(gè)定義：函數(shù)的另一個(gè)定義： Sinc函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) sin( )sin ( )xc xx此時(shí)自變量是一個(gè)角度此時(shí)自變量是一個(gè)角度 。將將sinc函數(shù)平方，就得到：函數(shù)平方，就得到： 第 二 章 衍射和傅

9、立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ) 2sin( )cx3.函數(shù)函數(shù) 222sin ()sin( )()xcxx振幅的平方是光振幅的平方是光的強(qiáng)度，所以，的強(qiáng)度，所以， 函數(shù)表示的是單縫衍函數(shù)表示的是單縫衍射得到的光強(qiáng)。射得到的光強(qiáng)。 2sin( )cx二、一維非初等函數(shù)的一般形式二、一維非初等函數(shù)的一般形式 在實(shí)際使用中，當(dāng)然不可能總是只用到標(biāo)準(zhǔn)的在實(shí)際使用中，當(dāng)然不可能總是只用到標(biāo)準(zhǔn)的函數(shù)，更經(jīng)常用的應(yīng)該是它們的一般形式。函數(shù)，更經(jīng)常用的應(yīng)該是它們的一般形式。 1.比例縮放、平移和反射比例縮放、平移和反射 一個(gè)一維矩形函數(shù)經(jīng)過比例縮放、平移和反射一個(gè)一維矩形函數(shù)經(jīng)過比例縮放、平移和反射后，得到一個(gè)一般形式的

10、矩形函數(shù)：后，得到一個(gè)一般形式的矩形函數(shù)： 第 二 章 衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ) 0( )2abxxaf xarectbbLb000121212xxLxxLxxL各參數(shù)的意義各參數(shù)的意義 第 二 章 衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ) ( )f xba縱向縮放因子?？v向縮放因子。它確定了函數(shù)的縱向縮它確定了函數(shù)的縱向縮放比例及反射（以放比例及反射（以為軸反射）為軸反射）。b縱向平移因子?？v向平移因子。0 x橫向平移因子。橫向平移因子。 L橫向縮放因子。它橫向縮放因子。它確定了函數(shù)的橫向縮放比確定了函數(shù)的橫向縮放比例及反射（以例及反射（以x=x0為軸反為軸反射）射） 2.非初等函數(shù)的四則運(yùn)算和復(fù)合非初

11、等函數(shù)的四則運(yùn)算和復(fù)合 將非初等函數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算和復(fù)合后就可以將非初等函數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算和復(fù)合后就可以表示較為復(fù)雜的物理過程。矩形調(diào)制波。表示較為復(fù)雜的物理過程。矩形調(diào)制波。 第 二 章 衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ) 該矩形調(diào)制波可表示為：該矩形調(diào)制波可表示為： 20( )sinnxnxxf xrectclL三、常用二維非初等函數(shù)三、常用二維非初等函數(shù) 二維非初等函數(shù)的形式和描述它時(shí)選用的坐標(biāo)系二維非初等函數(shù)的形式和描述它時(shí)選用的坐標(biāo)系有關(guān)。坐標(biāo)系的選取原則是有利于函數(shù)的簡化運(yùn)有關(guān)。坐標(biāo)系的選取原則是有利于函數(shù)的簡化運(yùn)算。算。 所以，非對(duì)稱物理量通常選擇在直角坐標(biāo)系中來所以，非對(duì)稱物理量通常選擇在

12、直角坐標(biāo)系中來描述，而具有圓對(duì)稱分布的物理量就選擇在極坐描述，而具有圓對(duì)稱分布的物理量就選擇在極坐標(biāo)中描述。標(biāo)中描述。 如果一個(gè)二維函數(shù)可以表示為：如果一個(gè)二維函數(shù)可以表示為： 第 二 章 衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ) 12( , )( )( )f x yf x fy則稱這個(gè)二維函數(shù)為可分離變量函數(shù)。則稱這個(gè)二維函數(shù)為可分離變量函數(shù)?？煞蛛x變量函數(shù)可分離變量函數(shù) 我們可以將它當(dāng)作兩個(gè)一維函數(shù)的乘積，即可以我們可以將它當(dāng)作兩個(gè)一維函數(shù)的乘積，即可以分別對(duì)一維函數(shù)進(jìn)行處理，再把它們乘起來即可。分別對(duì)一維函數(shù)進(jìn)行處理，再把它們乘起來即可。 二維函數(shù)的可分離性與描述它時(shí)選取的坐標(biāo)系有二維函數(shù)的可分離性與

13、描述它時(shí)選取的坐標(biāo)系有關(guān)。關(guān)。 1.直角坐標(biāo)系中的二維非初等函數(shù)直角坐標(biāo)系中的二維非初等函數(shù) 第 二 章 衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ) 二維矩形函數(shù)二維矩形函數(shù)二維矩形函數(shù)二維矩形函數(shù) 二維矩形函數(shù)在直角坐標(biāo)系中是可分離變量函二維矩形函數(shù)在直角坐標(biāo)系中是可分離變量函數(shù)，它的定義為：數(shù)，它的定義為： 第 二 章 衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ) 1( , )( )( )1/20rect x yrect x recy y1/2,1/21/2xyxy其他在光學(xué)中，這樣的一個(gè)二維矩形函數(shù)常在光學(xué)中，這樣的一個(gè)二維矩形函數(shù)常用來描述一個(gè)均勻照明方形小孔的振幅用來描述一個(gè)均勻照明方形小孔的振幅透射系數(shù)。透射系數(shù)。

14、二維矩形函數(shù)的一般形式可表示為：二維矩形函數(shù)的一般形式可表示為： 第 二 章 衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ) 0000,xxyyxxyyrectrectrectabab它表示的是中心位于它表示的是中心位于 00,xy邊長為邊長為a b的均勻照明矩形孔徑的均勻照明矩形孔徑的振幅透射系數(shù)。的振幅透射系數(shù)。 2.極坐標(biāo)系中的二維非初等函數(shù)極坐標(biāo)系中的二維非初等函數(shù) 圓域函數(shù)又稱為圓柱函數(shù)圓域函數(shù)又稱為圓柱函數(shù) ，記為：，記為：第 二 章 衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ) ( )circ r( )cycl r或 它在極坐標(biāo)系中定義為：它在極坐標(biāo)系中定義為： 1( )1/20circ r111rrr 它在直角坐標(biāo)

15、系中的定義為：它在直角坐標(biāo)系中的定義為： 1( )1/20circ r222222111xyxyxy 在光學(xué)中，在光學(xué)中，圓域函數(shù)常圓域函數(shù)常用來描述均用來描述均勻照明圓形勻照明圓形孔徑的透射孔徑的透射系數(shù)。系數(shù)。 第 二 章 衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ) 第二節(jié)第二節(jié) 光學(xué)中常用的特殊函數(shù)光學(xué)中常用的特殊函數(shù) 一、一、函數(shù)和梳狀函數(shù)函數(shù)和梳狀函數(shù) 狄拉克函數(shù)，也稱為脈沖函數(shù)。狄拉克函數(shù)，也稱為脈沖函數(shù)。 第 二 章 衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ) x 我們用我們用函數(shù)來表示任何在某種坐標(biāo)系下高度集函數(shù)來表示任何在某種坐標(biāo)系下高度集中的量，如點(diǎn)電荷、點(diǎn)光源、質(zhì)點(diǎn)以及又窄又強(qiáng)的中的量，如點(diǎn)電荷、點(diǎn)光源

16、、質(zhì)點(diǎn)以及又窄又強(qiáng)的電脈沖等。電脈沖等。 對(duì)一個(gè)線性系統(tǒng)的復(fù)雜的輸入，只需把復(fù)雜的輸對(duì)一個(gè)線性系統(tǒng)的復(fù)雜的輸入，只需把復(fù)雜的輸入分解成大量的入分解成大量的函數(shù)的疊加，并對(duì)每個(gè)函數(shù)的疊加，并對(duì)每個(gè)函數(shù)適當(dāng)函數(shù)適當(dāng)加權(quán)定位。我們只要知道系統(tǒng)對(duì)單個(gè)脈沖輸入（即加權(quán)定位。我們只要知道系統(tǒng)對(duì)單個(gè)脈沖輸入（即函數(shù)）的響應(yīng)，則輸出就可由系統(tǒng)對(duì)所有函數(shù)）的響應(yīng)，則輸出就可由系統(tǒng)對(duì)所有函數(shù)的響函數(shù)的響應(yīng)的疊加來獲得，簡化計(jì)算。應(yīng)的疊加來獲得，簡化計(jì)算。 正因?yàn)槿绱?，在現(xiàn)代光學(xué)中正因?yàn)槿绱?，在現(xiàn)代光學(xué)中函數(shù)的應(yīng)用很廣泛。函數(shù)的應(yīng)用很廣泛。 函數(shù)又稱為函數(shù)又稱為“奇異函數(shù)奇異函數(shù)”或或“廣義函廣義函數(shù)數(shù)”，有兩個(gè)原

17、因：，有兩個(gè)原因： 一是一是函數(shù)沒有確定的函數(shù)值，它只是一種函數(shù)沒有確定的函數(shù)值，它只是一種極限狀態(tài)，并且它的極限狀態(tài)與其余函數(shù)也極限狀態(tài)，并且它的極限狀態(tài)與其余函數(shù)也不同，它不收斂到一個(gè)定值，而是收斂到無不同，它不收斂到一個(gè)定值，而是收斂到無窮大。窮大。 二是二是函數(shù)不能像普通函數(shù)那樣進(jìn)行四則運(yùn)函數(shù)不能像普通函數(shù)那樣進(jìn)行四則運(yùn)算和乘冪運(yùn)算，它對(duì)別的函數(shù)的作用只能通算和乘冪運(yùn)算，它對(duì)別的函數(shù)的作用只能通過積分來確定。過積分來確定。 第 二 章 衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ) 1.一維一維函數(shù)的定義函數(shù)的定義 函數(shù)可以有兩種不同的定義函數(shù)可以有兩種不同的定義（1）分段函數(shù)形式的定義：）分段函數(shù)形式的

18、定義： 第 二 章 衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ) 01xx dx00 xx 在光學(xué)中，在光學(xué)中， 常用來表示位常用來表示位于坐標(biāo)原點(diǎn)的具有單位光功于坐標(biāo)原點(diǎn)的具有單位光功率的點(diǎn)光源，這樣的一個(gè)點(diǎn)率的點(diǎn)光源，這樣的一個(gè)點(diǎn)光源，由于它所占的面積趨光源，由于它所占的面積趨于零，所以在點(diǎn)光功率密度于零，所以在點(diǎn)光功率密度趨于無窮大。趨于無窮大。 第 二 章 衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ) 0()xx即為即為 ( ) x 也可以被形象地比喻成如右圖也可以被形象地比喻成如右圖所示的正在不斷向上拉伸的面團(tuán)，這所示的正在不斷向上拉伸的面團(tuán)，這時(shí)無論將面團(tuán)拉得多高，面團(tuán)的體積、時(shí)無論將面團(tuán)拉得多高，面團(tuán)的體積、(這時(shí)

19、不是面積而是體積這時(shí)不是面積而是體積)總是一定的，總是一定的，而且，隨著高度的增高，寬度愈來愈而且，隨著高度的增高，寬度愈來愈窄。窄。 ( )x0 xx中心在中心在 （2）普通函數(shù)序列極限形式的定義）普通函數(shù)序列極限形式的定義 第 二 章 衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ) ( )ngx( )ngxn 設(shè)設(shè)是一個(gè)普通函數(shù)序列，是一個(gè)普通函數(shù)序列， 在在nk( )kgx時(shí)具有無窮大極值，且對(duì)于任意時(shí)具有無窮大極值，且對(duì)于任意，均有均有曲線下面積等于曲線下面積等于1。于是。于是函數(shù)可定義為：函數(shù)可定義為： ( )lim( )lim( )0( )1nnnnkxgxgxgx dx(0nxkn為正整數(shù)） 只要滿

20、足條件，所有的序列函數(shù)都可以用來定只要滿足條件，所有的序列函數(shù)都可以用來定義義函數(shù)。我們用矩形函數(shù)序列來說明函數(shù)。我們用矩形函數(shù)序列來說明函數(shù)的定函數(shù)的定義。義。 第 二 章 衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ) 設(shè)矩形函數(shù)寬度設(shè)矩形函數(shù)寬度a ，高，高度為度為1/a，其總面積為，其總面積為1，隨著寬度的減小，高度逐隨著寬度的減小，高度逐漸增大，當(dāng)漸增大，當(dāng)a0時(shí)，高度時(shí)，高度1/a，此時(shí)，矩形函數(shù)此時(shí)，矩形函數(shù)就演變成只在就演變成只在x=0點(diǎn)有值點(diǎn)有值的脈沖函數(shù)。的脈沖函數(shù)。 -2 -1 -1/2 0 1/2 1 22(2 )( )11()22rectxrect xrectx01( )lim( )ax

21、xrectaa 從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來看，我們并不關(guān)心從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來看，我們并不關(guān)心函數(shù)函數(shù)本身的嚴(yán)格形式，而只關(guān)心它在積分號(hào)下的性本身的嚴(yán)格形式，而只關(guān)心它在積分號(hào)下的性態(tài)；從物理的角度來看，我們只須把它看作足態(tài)；從物理的角度來看，我們只須把它看作足夠窄，以至當(dāng)使它進(jìn)一步變窄時(shí)不再影響我們夠窄，以至當(dāng)使它進(jìn)一步變窄時(shí)不再影響我們所關(guān)心的結(jié)果所關(guān)心的結(jié)果。 第 二 章 衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ) 2.一維一維函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) （1）積分性質(zhì)）積分性質(zhì) ：函數(shù)的積分可以直接從定義推導(dǎo)函數(shù)的積分可以直接從定義推導(dǎo)出來出來： ( )1x dx這一積分有時(shí)又稱為這一積分有時(shí)又稱為函數(shù)的強(qiáng)度。函數(shù)的強(qiáng)度。根

22、據(jù)根據(jù)函數(shù)的定義，還可以得到：函數(shù)的定義，還可以得到： 函數(shù)的篩選性：函數(shù)的篩選性：第 二 章 衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ) 0()1xx dx如果一個(gè)函數(shù)如果一個(gè)函數(shù)( )f x與與函數(shù)相乘并積分函數(shù)相乘并積分，則這一積分有明確值則這一積分有明確值： ( ) ( )(0)x f x dxf 函數(shù)的這一個(gè)性質(zhì)的作用，是通過與連續(xù)函函數(shù)的這一個(gè)性質(zhì)的作用，是通過與連續(xù)函數(shù)相乘的積分，篩選出連續(xù)函數(shù)在脈沖所在位置數(shù)相乘的積分，篩選出連續(xù)函數(shù)在脈沖所在位置的一個(gè)函數(shù)值。的一個(gè)函數(shù)值。 推論推論1: 推論推論2：第 二 章 衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ) 00() ( )()xxf x dxfx( )f x

23、( , )a b若定義在區(qū)間，則有： 00()() ( )0f xxxf x dx0axb其他 （2）函數(shù)的乘積性質(zhì)函數(shù)的乘積性質(zhì) 設(shè) ( )f x在在x=x0點(diǎn)連續(xù)，則有：點(diǎn)連續(xù)，則有： 000() ( )() ()xxf xxxf x 函數(shù)的乘積性質(zhì)又稱抽樣性質(zhì)。它表示任一函數(shù)的乘積性質(zhì)又稱抽樣性質(zhì)。它表示任一連續(xù)函數(shù)與連續(xù)函數(shù)與函數(shù)相乘，其結(jié)果只能抽取該函數(shù)函數(shù)相乘，其結(jié)果只能抽取該函數(shù)在在函數(shù)所在點(diǎn)處的函數(shù)值，這個(gè)離散點(diǎn)為函數(shù)所在點(diǎn)處的函數(shù)值，這個(gè)離散點(diǎn)為 第 二 章 衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ) 00() ()xxf x由這一性質(zhì)，我們還可以得到這樣的一個(gè)推論：由這一性質(zhì)，我們還可以得

24、到這樣的一個(gè)推論： 00( ) ()xxx無定義0000 xx （3）坐標(biāo)縮放性質(zhì)）坐標(biāo)縮放性質(zhì) 設(shè)設(shè)a為實(shí)常數(shù)，則有：為實(shí)常數(shù)，則有： 第 二 章 衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ) 1()( )axxa推論推論1： ( )xaxa( )axa推論推論2： ()( )xx這就是這就是函數(shù)縮放性的含意。函數(shù)縮放性的含意。函數(shù)的面積現(xiàn)在是函數(shù)的面積現(xiàn)在是a而不是而不是1。3.一維梳狀函數(shù)一維梳狀函數(shù)comb(x) （1）梳狀函數(shù)的定義：）梳狀函數(shù)的定義： 呈周期排列的呈周期排列的函數(shù)所組成的函數(shù)稱為梳狀函函數(shù)所組成的函數(shù)稱為梳狀函數(shù)，如圖所示，數(shù)，如圖所示，記為記為comb(x)，數(shù)學(xué)表達(dá)式為：，數(shù)學(xué)表

25、達(dá)式為： 第 二 章 衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ) ( )()mcomb xxm（2）梳狀函數(shù)的性質(zhì)）梳狀函數(shù)的性質(zhì) 這其實(shí)就是間隔為這其實(shí)就是間隔為1，強(qiáng)度為，強(qiáng)度為1的的函數(shù)無窮函數(shù)無窮序列，所以又稱為單位脈沖序列或單位脈沖梳。序列，所以又稱為單位脈沖序列或單位脈沖梳。在光學(xué)上，常用它來表示光柵常數(shù)為在光學(xué)上，常用它來表示光柵常數(shù)為1的一維的一維細(xì)縫光柵的振幅透射系數(shù)。細(xì)縫光柵的振幅透射系數(shù)。 第 二 章 衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ) 梳狀函數(shù)的性質(zhì)可由梳狀函數(shù)的性質(zhì)可由函數(shù)的定義和性質(zhì)直接求出。函數(shù)的定義和性質(zhì)直接求出。 梳狀函數(shù)的篩選性梳狀函數(shù)的篩選性 ( ) ( )( )mcomb x

26、f x dxf m( )f x設(shè)設(shè)是定義在是定義在區(qū)間的連續(xù)函數(shù)，則有區(qū)間的連續(xù)函數(shù)，則有： (,) 縮放性質(zhì)：縮放性質(zhì)： 平移性質(zhì)：設(shè)平移性質(zhì)：設(shè)a和和x0皆為實(shí)常數(shù)，則有：皆為實(shí)常數(shù)，則有： 第 二 章 衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ) 設(shè)設(shè)a為實(shí)常數(shù)，則有：為實(shí)常數(shù)，則有： 1()mmcomb axxaa1a 1a 1a1a這是強(qiáng)度為這是強(qiáng)度為，脈沖間隔為脈沖間隔為的函數(shù)無窮序列。其中，當(dāng)?shù)暮瘮?shù)無窮序列。其中，當(dāng)時(shí)，脈沖間隔壓縮，當(dāng)時(shí)，脈沖間隔壓縮，當(dāng)時(shí)，脈沖間隔放大。時(shí)，脈沖間隔放大。 001()mxmcomb axxxaaa乘法性質(zhì)：乘法性質(zhì)： 除了常數(shù)除了常數(shù)a的縮放作用外，系統(tǒng)的坐標(biāo)原

27、點(diǎn)的縮放作用外，系統(tǒng)的坐標(biāo)原點(diǎn)同時(shí)向右平移了同時(shí)向右平移了x0/a 。 第 二 章 衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ) ( )( )( ) ()( )smf x comb xf mxmf m這一性質(zhì)又稱為這一性質(zhì)又稱為( )comb x函數(shù)的抽樣性質(zhì)。函數(shù)的抽樣性質(zhì)。 4.二維二維函數(shù)和梳狀函數(shù)函數(shù)和梳狀函數(shù) 二維二維函數(shù)是可分離變量函數(shù)，即有函數(shù)是可分離變量函數(shù)，即有： 第 二 章 衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ) ( , )x yxy二維二維函數(shù)表示為函數(shù)表示為，它是位于坐標(biāo)平面它是位于坐標(biāo)平面上坐標(biāo)原點(diǎn)處的一個(gè)單位脈沖，當(dāng)然，它的原點(diǎn)也上坐標(biāo)原點(diǎn)處的一個(gè)單位脈沖，當(dāng)然，它的原點(diǎn)也可以在任意一點(diǎn)?？梢栽?/p>

28、任意一點(diǎn)。 ( , )( ) ( )x yxy二維梳狀函數(shù)是可分離變量函數(shù)，即有：二維梳狀函數(shù)是可分離變量函數(shù)，即有： 第 二 章 衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ) ,xycombxy( , )x y(,)xy二維梳狀函數(shù)表示為二維梳狀函數(shù)表示為它是分布在平面它是分布在平面上的矩形網(wǎng)格上，間隔為上的矩形網(wǎng)格上，間隔為的二維單位脈沖序列，的二維單位脈沖序列， ,xyxycombcombcombxyxy二、貝塞爾函數(shù)二、貝塞爾函數(shù)1.n階第一類貝塞爾函數(shù)的定義階第一類貝塞爾函數(shù)的定義 第一類貝塞爾函數(shù)的定義為：第一類貝塞爾函數(shù)的定義為： 第 二 章 衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ) 20( 1)2( )(1)

29、 (1)nkknkxJxknk其中其中 函數(shù)具有以下性質(zhì)函數(shù)具有以下性質(zhì)： 10( )exp()ppx xdx(1)1( )(1)!pppp(pp當(dāng) 為有限實(shí)數(shù)時(shí)）（當(dāng) 為正整數(shù)時(shí)） 所以，當(dāng)所以，當(dāng)p為正整數(shù)時(shí)，為正整數(shù)時(shí)，( )p又稱為階乘函數(shù)又稱為階乘函數(shù)。 當(dāng)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，有為偶數(shù)時(shí)，有 第 二 章 衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ) ()( )nnJxJx( )nJx 為偶函數(shù)；當(dāng)為為偶函數(shù)；當(dāng)為n奇數(shù)時(shí)，有奇數(shù)時(shí)，有 ()( )nnJxJx ( )nJx 為奇函數(shù)為奇函數(shù) 。2.貝塞爾函數(shù)的性質(zhì)貝塞爾函數(shù)的性質(zhì) 第 二 章 衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ) 010()( )JdJ 2001exp

30、(cos )( )2jJ10( )( )dJJdexp(cos )( )exp()mmmjJjjm第三節(jié)第三節(jié) 傅立葉變換的基本概念及運(yùn)算傅立葉變換的基本概念及運(yùn)算 一、傅立葉級(jí)數(shù)及頻譜的概念一、傅立葉級(jí)數(shù)及頻譜的概念 1.傅立葉級(jí)數(shù)的定義傅立葉級(jí)數(shù)的定義 第 二 章 衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ) 設(shè)周期為設(shè)周期為0T( )f x的函數(shù)的函數(shù)滿足狄里赫利條件：滿足狄里赫利條件： 00/2/2( )TTf x dx （2）只存在有限個(gè)極值點(diǎn)；）只存在有限個(gè)極值點(diǎn)；（3）只存在有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)；）只存在有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)；（4）絕對(duì)可積，即）絕對(duì)可積，即 00,22TT（1）在）在區(qū)間分段連續(xù)；區(qū)

31、間分段連續(xù)；則此函數(shù)可以被展開成傅立葉級(jí)數(shù)的形式：則此函數(shù)可以被展開成傅立葉級(jí)數(shù)的形式： 其中其中: 第 二 章 衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ) 010022( )cossin2nnnanxnxf xabTT00/20/201( )TTaf x dxT00/2/20012( )cosTnTnxaf xdxTT00/2/20012( )sinTnTnxbf xdxTT以復(fù)指數(shù)函數(shù)表示的博里葉級(jí)數(shù)以復(fù)指數(shù)函數(shù)表示的博里葉級(jí)數(shù) 0( )exp2nnnf xcjxT00/2/2001( )exp2TnTncf xjx dxTT由此可見：由此可見：第 二 章 衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ) 001fT( )f

32、x的基頻的基頻 稱為 00nnfnfT稱為( )f x的諧頻，或簡稱為頻率。的諧頻，或簡稱為頻率。 ( )f xnfnc周期函數(shù)周期函數(shù)可以被分解為一系列頻率為可以被分解為一系列頻率為，復(fù)振幅為復(fù)振幅為的諧波。的諧波。 2.頻譜的概念頻譜的概念 第 二 章 衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ) ncnf( )f xncnf( )f xncnf( )f x按頻率按頻率的分布圖形稱為的分布圖形稱為的頻譜。而的頻譜。而通常是復(fù)數(shù)，所以又將它的模的值隨通常是復(fù)數(shù)，所以又將它的模的值隨的分布圖稱為的分布圖稱為的振幅頻譜，而的振幅頻譜，而的幅角隨的幅角隨的變化圖就叫做的變化圖就叫做的位相頻譜。的位相頻譜。 將一個(gè)給

33、定的周期函數(shù)展開成傅里葉級(jí)將一個(gè)給定的周期函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)，然后對(duì)它的各次諧波的頻率和振幅進(jìn)數(shù)，然后對(duì)它的各次諧波的頻率和振幅進(jìn)行分析，這就是頻譜分析。行分析，這就是頻譜分析。 二、一維傅里葉變換的定義二、一維傅里葉變換的定義 第 二 章 衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ) 傅里葉變換可以表示為：傅里葉變換可以表示為： ( )( )exp(2)Ff xjx dx傅里葉逆變換表示為：傅里葉逆變換表示為： ( )( )exp( 2)f xFjx dexp(2)jx復(fù)指數(shù)函數(shù)復(fù)指數(shù)函數(shù)稱為傅里葉稱為傅里葉“核核”，它表示一個(gè)頻率為，它表示一個(gè)頻率為的諧波成分。的諧波成分。 用運(yùn)算符號(hào)表示：用運(yùn)算符號(hào)表示

34、： 第 二 章 衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ) 傅里葉變換可以表示為：傅里葉變換可以表示為： 傅里葉逆變換表示為：傅里葉逆變換表示為： ( ) ( )Ff x F1( ) ( )f xF F三、廣義傅里葉變換三、廣義傅里葉變換 1.廣義傅里葉變換的定義廣義傅里葉變換的定義 第 二 章 衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ) ( )Ngx是一個(gè)存在狹義傅里葉變換的是一個(gè)存在狹義傅里葉變換的普通序列函數(shù)，即有：普通序列函數(shù)，即有： ( )( )NNgxGF（N為整數(shù)）為整數(shù)） ( )f x( )Ngx如果如果可以表示為可以表示為的極限，即：的極限，即： ( )lim( )NNf xgx2.幾種特殊函數(shù)的一維傅里葉

35、變換幾種特殊函數(shù)的一維傅里葉變換 第 二 章 衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ) N ( )NG( )f x并且，當(dāng)并且，當(dāng)時(shí)，時(shí)，的極限存在，于是可將的極限存在，于是可將的廣義傅里葉變換定義為：的廣義傅里葉變換定義為： ( ) ( )lim( )NNFf xGF1( )sinFcaa（1）矩形函數(shù)的傅里葉變換）矩形函數(shù)的傅里葉變換，則它的傅里葉變換為：則它的傅里葉變換為： ( )()f xrect ax設(shè)設(shè)（2）函數(shù)的傅里葉變換函數(shù)的傅里葉變換則它的傅里葉變換為則它的傅里葉變換為1。第 二 章 衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ) ( )0 x0 x 其它設(shè)有一個(gè)設(shè)有一個(gè)函數(shù)，其定義為：函數(shù)，其定義為：根據(jù)梳

36、狀函數(shù)的定義和根據(jù)梳狀函數(shù)的定義和函數(shù)的性質(zhì)，可以得到：函數(shù)的性質(zhì)，可以得到： （3）梳狀函數(shù)的傅里葉變換梳狀函數(shù)的傅里葉變換( )( )()exp(2)exp(2)( )nnFcomb xxnjx dxjxcomb F四、二維傅里葉變換四、二維傅里葉變換1.直角坐標(biāo)系中的二維傅里葉變換直角坐標(biāo)系中的二維傅里葉變換 （1）二維傅里葉變換的定義：）二維傅里葉變換的定義：第 二 章 衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ) ( , )( , )exp 2 ()f x yFvjxvy d dv 則它的傅里葉變換可表示為：則它的傅里葉變換可表示為： ( , )f x y( , )x y是定義在是定義在設(shè)設(shè)平面上的空

37、間函數(shù)，平面上的空間函數(shù)，( , )( , )exp2 ()Fvf x yjxvy dxdy ( , )Fv( , )f x y即為即為的空間頻譜。的空間頻譜。 （2）可分離變量函數(shù)的傅立葉變換）可分離變量函數(shù)的傅立葉變換 一個(gè)二維函數(shù)在某種坐標(biāo)系中若能寫成兩個(gè)一一個(gè)二維函數(shù)在某種坐標(biāo)系中若能寫成兩個(gè)一維函數(shù)的乘積，則稱該函數(shù)在這種坐標(biāo)系中是可維函數(shù)的乘積，則稱該函數(shù)在這種坐標(biāo)系中是可分離變量函數(shù)。分離變量函數(shù)。 第 二 章 衍射和傅立葉光學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ) 12( , )( )( )f x yf x fy它的傅立葉變換為：它的傅立葉變換為： 121212( , )( , )exp2 ()( )( )exp2 ()( )exp2( )exp2( )( )F u vf x yjuxvy dxdyf x fyjuxvy dxdyf xjux dxfyjvy dyF u F v 二維可分離變量函數(shù)的傅里葉變換可由兩個(gè)一二維可分離變量函數(shù)的傅里葉變換可由兩個(gè)一維傅里葉變換式的乘積來獲得。維傅里葉變換式的乘積來獲