2014屆江蘇省南通市高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題及答案

1、2014屆南通市高三數(shù)學(xué)期末考試一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分6785 5 63 40 11.  復(fù)數(shù)（其中i是虛數(shù)單位）的虛部為 2.  某同學(xué)在7天內(nèi)每天參加體育鍛煉的時(shí)間（單位：分鐘）用莖葉圖表示如圖，圖中左列表示時(shí)間的十位數(shù)，右列表示時(shí)間的個(gè)位數(shù).則這7天該同學(xué)每天參加體育鍛煉時(shí)間（單位：分鐘）的平均數(shù)為 .開始結(jié)束輸出synn < a3.  函數(shù)的值域?yàn)?4.   分別在集合1，2，3，4和集合5，6，7，8中各取一個(gè)數(shù)相乘，則積為偶數(shù)的概率為 5.  在平面直角坐標(biāo)系xoy中，雙曲線c的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y

2、軸上，一條漸近線方程為，則雙曲線c的離心率為 . 6 如圖是計(jì)算的值的一個(gè)流程圖，則常數(shù)a的取值范圍是 7.  函數(shù)y =的圖象可由函數(shù)y = sin x的圖象作兩次變換得到，第一次變換是針對函數(shù)y = sin x的圖象而言的，第二次變換是針對第一次變換所得圖象而言的現(xiàn)給出下列四個(gè)變換：a. 圖象上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位；b. 圖象上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位；c. 圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變）；d. 圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變）.請按順序?qū)懗鰞纱巫儞Q的代表字母： .（只要填寫一組）8.  記maxa，b為a和b兩數(shù)中的較大

3、數(shù)設(shè)函數(shù)和的定義域都是r，則“和都是偶函數(shù)”是“函數(shù)為偶函數(shù)”的 條件（在“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”和“既不充分也不必要”中選填一個(gè)）9.   在平面直角坐標(biāo)系xoy中，圓c1：關(guān)于直線l：對稱的圓c2的方程為 10. 給出以下三個(gè)關(guān)于x的不等式：，若的解集非空，且滿足的x至少滿足和中的一個(gè)，則m的取值范圍是 11.  設(shè)，且，則的值為 12.  設(shè)平面向量a，b滿足，則a·b的最小值為 13.  在平面直角坐標(biāo)系xoy中，曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)o的最短距離為 14.  設(shè)函數(shù)是定義域?yàn)閞，周期為2的周期函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，；已知函

4、數(shù) 則函數(shù)和的圖象在區(qū)間內(nèi)公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 二、解答題：本大題共6小題，共90分15設(shè)向量a，b，其中（1）若，求的值；（2）設(shè)向量c，且a + b = c，求的值16eadbcfp如圖，在三棱錐pabc中，平面pac平面abc，e，f分別是ap，ac的中點(diǎn)，點(diǎn)d在棱ab上，且求證：（1）平面pbc；（2）平面def平面pac 17如圖，港口a在港口o的正東120海里處，小島b在港口o的北偏東的方向，且在港口a北偏西的方向上一艘科學(xué)考察船從港口o出發(fā)，沿北偏東的od方向以20海里/小時(shí)的速度駛離港口o一艘給養(yǎng)快艇從港口a以60海里/小時(shí)的速度駛向小島b，在b島轉(zhuǎn)運(yùn)補(bǔ)oab東北cd給物資后以相同的

5、航速送往科考船已知兩船同時(shí)出發(fā)，補(bǔ)給裝船時(shí)間為1小時(shí)（1）求給養(yǎng)快艇從港口a到小島b的航行時(shí)間；（2）給養(yǎng)快艇駛離港口a后，最少經(jīng)過多少時(shí)間能和科考船相遇？18設(shè)公差不為零的等差數(shù)列的各項(xiàng)均為整數(shù)，sn為其前n項(xiàng)和，且滿足（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）試求所有的正整數(shù)m，使得為數(shù)列中的項(xiàng) 19.  在平面直角坐標(biāo)系xoy中，設(shè)橢圓c的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，短半軸長為2，橢圓c上 的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離的最小值為oxyabl（1）求橢圓c的方程；（2）設(shè)直線l與橢圓c相交于a，b兩點(diǎn)，且求證：原點(diǎn)o到直線ab的距離為定值；求ab的最小值20設(shè)函數(shù)，其圖象在點(diǎn)處切線的

6、斜率為（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（用只含有的式子表示）；（2）當(dāng)時(shí)，令，設(shè)，是函數(shù)的兩個(gè)根，是，的等差中項(xiàng)，求證：（為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)） 【填空題答案】1. 2. 72 3. 4. 5. 2 6. 7. bd（da） 8. 充分不必要 9. 10. 11. 12. 513. 14. 1515.【解】（1）因?yàn)閍，b，所以 2分因?yàn)?，所以a·b = 04分于是，故 6分（2）因?yàn)閍 + b ，所以8分 由此得，由，得，又，故 10分代入，得12分而，所以14分16. 【證】（1）在pac中，因?yàn)閑，f分別是ap，ac的中點(diǎn)，所以ef / pc2分又因?yàn)槠矫鎝bc，平面pbc，所以平面pbc5分

7、（2）連結(jié)cd因?yàn)椋詀cd為正三角形因?yàn)閒是ac的中點(diǎn)，所以7分因?yàn)槠矫鎝ac 平面abc，平面abc，平面pac 平面abc，所以平面pac 11分因?yàn)槠矫鎑ef，所以平面def平面pac14分17.【解】（1）由題意知，在oab中， oa=120，于是，而快艇的速度為60海里/小時(shí)，所以快艇從港口a到小島b的航行時(shí)間為1小時(shí) 5分（2）由（1）知，給養(yǎng)快艇從港口a駛離2小時(shí)后，從小島b出發(fā)與科考船匯合 為使航行的時(shí)間最少，快艇從小島b駛離后必須按直線方向航行，設(shè)t小時(shí)后恰與科考船在c處相遇7分在oab中，可計(jì)算得，而在ocb中，9分由余弦定理，得，即，亦即

8、，解得或（舍去）12分故即給養(yǎng)快艇駛離港口a后，最少經(jīng)過3小時(shí)能和科考船相遇？14分18.【解】（1）因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，且，而，于是2分 設(shè)的公差為d，則由得， 化簡得，即，解得或， 但若，由知不滿足“數(shù)列的各項(xiàng)均為整數(shù)”，故5分 于是7分（2）因?yàn)椋?10分所以要使為數(shù)列中的項(xiàng)，必須是3的倍數(shù)，于是在中取值，但由于是3的倍數(shù)，所以或由得；由得 13分當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以所求m的值為3和416分另解：因?yàn)?，所以要使為數(shù)列中的項(xiàng)，必須是3的倍數(shù)，于是只能取1或（后略）19.【解】（1）由題意，可設(shè)橢圓c的方程為，焦距為2c，離心率為e于是設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為f，橢圓上點(diǎn)p到右準(zhǔn)線距離為，則，于是當(dāng)d最

9、小即p為右頂點(diǎn)時(shí)，pf取得最小值，所以3分因?yàn)樗詸E圓方程為5分（2）設(shè)原點(diǎn)到直線的距離為h，則由題設(shè)及面積公式知當(dāng)直線的斜率不存在或斜率為時(shí)，或于是7分當(dāng)直線的斜率存在且不為時(shí)，則，解得 同理9分在rtoab中，則 ，所以綜上，原點(diǎn)到直線的距離為定值11分另解：，所以因?yàn)閔為定值，于是求的最小值即求的最小值 ， 令，則，于是， 14分 因?yàn)?，所以?當(dāng)且僅當(dāng)，即，取得最小值，因而 所以的最小值為16分 20. 【解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t，即于是2分當(dāng)時(shí)，在上是單調(diào)減函數(shù)； 當(dāng)時(shí)，令，得（負(fù)舍）， 所以在上是單調(diào)減函數(shù)，在上是單調(diào)增函數(shù)； 當(dāng)時(shí)，若，則恒成立，在上單調(diào)減函數(shù)； 若

10、，令，得（負(fù)舍）， 所以在上單調(diào)增函數(shù)，在上單調(diào)減函數(shù)； 綜上，若，的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為； 若，的單調(diào)減區(qū)間為；若，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為8分（2）因?yàn)?，所以，即因?yàn)榈膬闪泓c(diǎn)為，則相減得：， 因?yàn)?，所以， 于是 14分 令， 則，則在上單調(diào)遞減， 則，又，則命題得證16分附加題：adcbo·21a. 如圖，ab是圓o的直徑，d為圓o上一點(diǎn)，過d作圓o的切線交ab的延長線于點(diǎn)c若da = dc，求證：ab = 2 bc【證】連結(jié)od，bd，因?yàn)閍b是圓o的直徑，所以因?yàn)閐c是圓o的切線，所以因?yàn)閍d = dc，所以于是adbcdo，從而ab = co，即2ob = ob

11、 + bc，得ob = bc故ab = 2 bc10分21b. 已知矩陣a的逆矩陣a，求矩陣a的特征值【解】因?yàn)閍a=e，所以a =(a)因?yàn)閍，所以a =(a) 5分于是矩陣a的特征多項(xiàng)式為f ()= 234， 8分令f () = 0，解得a的特征值1 = 1，2 =4 10分21c. 在平面直角坐標(biāo)系xoy中，求過橢圓（為參數(shù)）的左焦點(diǎn)，且與直線（t為參數(shù)）平行的直線的普通方程【解】橢圓的普通方程：，左焦點(diǎn)3分 直線的普通方程：. 6分 設(shè)過焦點(diǎn)且與直線平行的直線為 將代入， 所求直線的普通方程為10分21d. 已知實(shí)數(shù)x，y滿足：| x + y |，求證：| y |【證】5分

12、由題設(shè)知| x + y |， 從而故| y |10分22從棱長為1的正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任取不同2點(diǎn)，設(shè)隨機(jī)變量是這兩點(diǎn)間的距離 （1）求概率； （2）求的分布列，并求其數(shù)學(xué)期望e( )【解】（1）從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任取不同2點(diǎn)，共有種因?yàn)檎襟w的棱長為1，所以其面對角線長為，正方體每個(gè)面上均有兩條對角線，所以共有條因此 3分（2）隨機(jī)變量的取值共有1，三種情況正方體的棱長為1，而正方體共有12條棱，于是5分從而 7分所以隨機(jī)變量的分布列是1p()8分因此 10分23在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知拋物線c：，f為其焦點(diǎn)，點(diǎn)e的坐標(biāo)為(2，0)，設(shè)m為拋物線c上異于頂點(diǎn)的動點(diǎn)，直線mf交拋物線c于另一點(diǎn)n，鏈接me，ne并延長分別交拋物線c與點(diǎn)p，q（1）當(dāng)mn ox時(shí)，求直線pq與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）當(dāng)直線mn，pq的斜率存在且分別記為k1，