二重積分習題練習及解析

1、1補充補充輪換輪換對稱性結(jié)論對稱性結(jié)論: :若若d關(guān)于關(guān)于x,y滿足輪換對稱性滿足輪換對稱性(將將d的邊界的邊界曲線方程中的曲線方程中的x與與y交換位置交換位置,方程不變方程不變),則則( , )d d( , )d d .ddf x yx yf y xx y 211證證yxyxybxaiddd)()()()( 設(shè)設(shè)的的對對稱稱性性得得由由區(qū)區(qū)域域關(guān)關(guān)于于直直線線xy yxxyxbyaiddd)()()()( 所以所以, dyxbaidd)(2)(21bai ,1 , 0)(上上的的正正值值連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)為為設(shè)設(shè)x )(21dd)()()()(bayxyxybxad 證明：證明：為為常常數(shù)數(shù)，

2、其其中中ba,xy ba xyo 1,0),( yxyxd例例習習 題題 課課二二 重重 積積 分分知識要點知識要點 解題技巧解題技巧典型例題典型例題4其中其中 iiniidfyxfi ),(limd),(10一、二重積分的概念與性質(zhì)一、二重積分的概念與性質(zhì) 是各小閉區(qū)域的直徑中的最大值是各小閉區(qū)域的直徑中的最大值.幾何意義幾何意義二重積分二重積分i表示以表示以d為底為底,柱體的體積柱體的體積.z =f (x, y)為曲頂為曲頂, 側(cè)面是側(cè)面是（一）二重積分的定義（一）二重積分的定義,幾何意義與物理意義幾何意義與物理意義定義定義1.平面上有界閉區(qū)域平面上有界閉區(qū)域d上二元有界函數(shù)上二元有界函數(shù)

3、z = f (x, y)的二重積分的二重積分2.當連續(xù)函數(shù)當連續(xù)函數(shù),0),(時時 yxfz以以d的邊界為準線的邊界為準線,母線平行于母線平行于z軸的柱面的軸的柱面的曲頂曲頂一般情形一般情形,知識要點知識要點 5 dyxf d),(物理意義物理意義3.xoy平面上方的曲頂柱體體積平面上方的曲頂柱體體積減減xoy平面下方的曲頂柱體體積平面下方的曲頂柱體體積.若平面薄片占有平面內(nèi)有界閉區(qū)域若平面薄片占有平面內(nèi)有界閉區(qū)域d,),(yx 則它的質(zhì)量則它的質(zhì)量m為為:它的面它的面密度為連續(xù)函數(shù)密度為連續(xù)函數(shù).d),( dyxm 6性質(zhì)性質(zhì)1(線性運算性質(zhì)線性運算性質(zhì))為常數(shù)為常數(shù), 則則(重積分與定積分

4、有類似的性質(zhì)重積分與定積分有類似的性質(zhì)) dyxgyxf d),(),( 、設(shè)設(shè) ddyxgyxf d),(d),(性質(zhì)性質(zhì)2 將區(qū)域?qū)^(qū)域d分為兩個子域分為兩個子域 dyxf d),()(21ddd 對積分區(qū)域的可加性質(zhì)對積分區(qū)域的可加性質(zhì). 1d),(dyxf 2d),(dyxf ,21dd（二）二重積分的性質(zhì)（二）二重積分的性質(zhì)7以以1為高的為高的 性質(zhì)性質(zhì)3(幾何應用幾何應用) 若若 為為d的面積的面積 注注 d d既可看成是以既可看成是以d為底為底,柱體體積柱體體積. d d1 d d又可看成是又可看成是d的面積的面積. dyxf d),(特殊地特殊地性質(zhì)性質(zhì)4(4(比較性質(zhì)比較性質(zhì)

5、) ),(),(yxgyxf 設(shè)設(shè),),(dyx 則則 dyxg d),( dyxf d),( dyxf d),( ( (保序性保序性) )8 dmyxfm d),(幾何意義幾何意義以以m為高和以為高和以m為高的為高的性質(zhì)性質(zhì)5(5(估值性質(zhì)估值性質(zhì)) ),),(myxfm 設(shè)設(shè)為為d的面積的面積, 則則,),( , 0),(dyxyxf 設(shè)設(shè)則曲頂則曲頂柱體的體積介于以柱體的體積介于以d為底為底,兩個平頂柱體體積之間兩個平頂柱體體積之間.9性質(zhì)性質(zhì)6(6(二重積分中值定理二重積分中值定理) ),( dyxf d),(體體積等于以體體積等于以d為底為底),( f以以幾何意義幾何意義域域d上連續(xù)

6、上連續(xù),為為d的面積的面積, 則在則在d上至少存在一點上至少存在一點使得使得 ),(f,),( , 0),(dyxyxf 設(shè)設(shè)則曲頂柱則曲頂柱 為高的平頂柱體體積為高的平頂柱體體積.設(shè)設(shè)f (x, y)在閉區(qū)在閉區(qū)10(1)設(shè)設(shè)f (x, y)在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域d上連續(xù)上連續(xù). dyxyxfdd),(若若d關(guān)于關(guān)于,dd),(21yxyxfd 則則x軸對稱軸對稱, f (x, y)對對y為奇函數(shù)為奇函數(shù), 即即, 0,),(),(),(dyxyxfyxf f (x, y)對對y為偶函數(shù)為偶函數(shù), 即即,),(),(),(dyxyxfyxf 則則 dyxyxfdd),(其中其中;01 yd

7、d（三）對稱區(qū)域上奇偶函數(shù)的積分性質(zhì)（三）對稱區(qū)域上奇偶函數(shù)的積分性質(zhì)11(2)設(shè)設(shè)f (x, y)在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域d上連續(xù)上連續(xù). dyxyxfdd),(若若d關(guān)于關(guān)于,dd),(21yxyxfd 則則 y軸對稱軸對稱, f (x, y)對對x為奇函數(shù)為奇函數(shù), 即即, 0,),(),(),(dyxyxfyxf f (x, y)對對x為偶函數(shù)為偶函數(shù), 即即,),(),(),(dyxyxfyxf 則則 dyxyxfdd),(其中其中;01 xddd12(3)設(shè)設(shè)f (x, y)在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域d上連續(xù)上連續(xù).則則對稱對稱關(guān)于直線關(guān)于直線若閉區(qū)域若閉區(qū)域,xyd ddyxxyf

8、yxyxf;dd),(dd),(13),()(,),( 21xyxbxayxd 其中函數(shù)其中函數(shù) 、)(1x )(2x b)(2xy )(1xy ad在區(qū)間在區(qū)間a, b上連續(xù)上連續(xù).二、在直角坐標系中化二重積分為二、在直角坐標系中化二重積分為xoy累次積分累次積分(1) 設(shè)設(shè)f (x, y)在平面有界閉區(qū)域在平面有界閉區(qū)域d上連續(xù)上連續(xù). dyxf d),( baxxyyxfx)()(21d),(d 先對先對y 后對后對x的二次積分的二次積分14),()(,),( 21yxydycyxd 其中函數(shù)其中函數(shù) 、)(1y )(2y 在區(qū)間在區(qū)間c, d上連續(xù)上連續(xù).(2) 設(shè)設(shè)f (x, y)在

9、平面有界閉區(qū)域在平面有界閉區(qū)域d上連續(xù)上連續(xù). dyxf d),( dcyyxyxfy)()(21d),(d 先對先對x 后對后對y的二次積分的二次積分.xoyd)(2yx cd)(1yx 15 dyxf d),( ddrr極坐標系中的面積元素極坐標系中的面積元素 drrrrf dd)sin,cos(三、在極坐標系中化二重積分為三、在極坐標系中化二重積分為累次積分累次積分 )(1 r)(2 road(1)設(shè)設(shè)f (x, y)在平面有界平面閉區(qū)域在平面有界平面閉區(qū)域d上連續(xù)上連續(xù).)()(,),( 21 ryxd其中函數(shù)其中函數(shù).,)()(21上連續(xù)上連續(xù)在區(qū)間在區(qū)間、 d )(2)(1;d)s

10、in,cos( rrrrf16d;d)sin,cos(d)(0 rrrrf dyxf d),(ao )( r(2)設(shè)設(shè)f (x, y)在平面有界平面閉區(qū)域在平面有界平面閉區(qū)域d上連續(xù)上連續(xù).)(0 ,),( ryxd其中函數(shù)其中函數(shù).,)(上連續(xù)上連續(xù)在區(qū)間在區(qū)間 17 )(020d)sin,cos(d rrrrf極坐標系極坐標系下區(qū)域的下區(qū)域的面積面積.dd drr doa)( r(3)設(shè)設(shè)f (x, y)在平面有界平面閉區(qū)域在平面有界平面閉區(qū)域d上連續(xù)上連續(xù).)(0 ,20),( ryxd dyxf d),(其中函數(shù)其中函數(shù).,)(上連續(xù)上連續(xù)在區(qū)間在區(qū)間 18再確定再確定交換積分次交換積

11、分次1. 交換積分次序交換積分次序:先依給定的積分次序?qū)懗龇e分域先依給定的積分次序?qū)懗龇e分域d的的不等式不等式, 并畫并畫d的草圖的草圖;序后的積分限序后的積分限;2. 如被積函數(shù)為如被積函數(shù)為圓環(huán)域時圓環(huán)域時,或積分域為或積分域為),(22yxf ),(22yxf ),(xyf)(arctanxyf圓域、扇形域、圓域、扇形域、則用極坐標計算則用極坐標計算; 解題技巧解題技巧19 3. 注意利用對稱性質(zhì)注意利用對稱性質(zhì),數(shù)中的絕對值符號數(shù)中的絕對值符號.以便簡化計算以便簡化計算;4. 被積函數(shù)中含有絕對值符號時被積函數(shù)中含有絕對值符號時, 應應將積分域分割成幾個子域?qū)⒎e分域分割成幾個子域, 使

12、被積函數(shù)在使被積函數(shù)在每個子域中保持同一符號每個子域中保持同一符號, 以消除被積函以消除被積函20.d1d13102yyxyxx 解解例例 計算積分計算積分xoy2xy 11交換積分次序交換積分次序. . 原式原式 = xxyyydd13 00y1 1032d121yyy 10331)d(161yy).12(31 典型例題典型例題1.1.交換積分次序交換積分次序21計算計算 222.d)232(2ayxyxx 解解 積分域是圓積分域是圓,222ayx 故關(guān)于故關(guān)于x、y軸、軸、故將被積函數(shù)分項積分故將被積函數(shù)分項積分: 222d)32(ayxyx 0 而而 222d2ayxx 222d2ayx

13、y 222)d(2122ayxyx 極坐標極坐標 arr0320dd21 .44a 又又 222d2ayx ,22a所以所以原式原式 =.2424aa 對稱對稱,xy 例例直線直線2.2.利用對稱性利用對稱性22222cyx 0,)()()()(222 zcyxyxybxaz 曲面曲面. 0, 0, 0 cba且且證證yxyxybxavddd)()()()( yxxyxbyayxybxadddd)()()()()()()()(21 dyxbadd)(21xy xyo所圍立體的體積等于所圍立體的體積等于),(212bac )(u 其中其中是連續(xù)是連續(xù)的正值函數(shù)的正值函數(shù),所求立體在所求立體在xo

14、y面上的投影區(qū)域為面上的投影區(qū)域為.:222cyxd 有有:).(212bac 例例 證明證明: :23 cos2 .2:,dd)(22xyxdyxyxd 其中其中計算二重積分計算二重積分解解 原式原式 = rrrdcosd2cos020 .用極坐標用極坐標. .xoyrr ddcos22cos2020 20cos203d)(cos32 r 203dcoscos316 204dcos316 22143316對稱性對稱性積分區(qū)域關(guān)于積分區(qū)域關(guān)于x軸對稱軸對稱2例例 3.3.坐標系的選擇坐標系的選擇24若函數(shù)若函數(shù) f (x, y)在矩形區(qū)域在矩形區(qū)域d:解解, 1),(d)d,(2 yxfyxy

15、xfxyd10 , 10 yx上連續(xù)上連續(xù), 且且求求 f (x, y) .設(shè)設(shè) dyxyxfid)d,(i1),(2 yxfxyi兩邊積分兩邊積分, 得得 ddyxyxyxfdddd),( 11i1 i1dd10102 iyyxxi dyxxyidd21412 ii2 i.41),(xyyxf xoy11id例例 2511計算二重積分計算二重積分d2 d)1(221yxd d)1(222 yxd極坐標極坐標,d|1|22 dyx例例將將d分成分成d1與與d2兩部分兩部分.d1其中其中解解yox122 yx d|1|22 dyx由于由于 d)1(221yxd 10220d)1(drrr 8 d

16、)1(222 yxd直角坐標直角坐標 1122102d)1(dxyyxx3.3.被積函數(shù)帶絕對值、最大被積函數(shù)帶絕對值、最大( (小小) )值符號的積分值符號的積分.10 , 10),( yxyxd26 d)1(222 yxd 1122102d)1(dxyyxx 101132d32xyyyxx 102322d)1(3232xxx 102d)32(xx 10232d)1(32xxi3231 其中其中 10232d)1(xxitxsin 204dcostt.16322143 .318 因此因此 d|1|22dyx.3143188 8d)1(221 yxd2711,dd,max|2 dyxyxxy其

17、中其中 .10 , 10),( yxyxd選擇適當?shù)淖鴺擞嬎氵x擇適當?shù)淖鴺擞嬎? xyo2xy xy 解解原式原式 = 1d3d2d 1dd,max|2dyxyxxy 2dd,max|2dyxyxxy 3dd,max|2dyxyxxy例例2811,dd,max|2 dyxyxxy其中其中 .10 , 10),( yxyxd選擇適當?shù)淖鴺擞嬎氵x擇適當?shù)淖鴺擞嬎? xyo解解原式原式 = 1d3d2d 1210d)(dxyyxyx xxyxxyx2d)(d210 20210d)(dxyxyxx.4011 2xy xy 例例29 計算計算,dd|)|(| dyxyx0, 1|:| xyxd解解 積分

18、區(qū)域積分區(qū)域d關(guān)于關(guān)于x軸對稱軸對稱,被積函數(shù)關(guān)于被積函數(shù)關(guān)于y為偶函數(shù)為偶函數(shù).原式原式=記記d1為為d的的y0的部分的部分. yxyxdd|)|(| 1dd)(2dyxxy xyxyx1001d)(d2則則21d32 xyod111 1 yx1 1 yx30,)( 為連續(xù)函數(shù)為連續(xù)函數(shù)設(shè)設(shè)tf證明證明 daattatfyxyxfd|)|)(dd)().0(2| ,2| aayaxd常數(shù)常數(shù)為矩形域：為矩形域：其中其中xoy證證2ax 2a2a2a dyxyxfdd)( 2222d)(daaaayyxfxtyx 22daaxtydd 2ax 2a ttfd)(交換積分次序交換積分次序xot2a 2a2a2a xttfdd)( xttfdd)(0a 2a 2at 2at 0a2a累次積分累次積分d法一法一31 xttfdd)