二重積分習(xí)題練習(xí)及解析

1、1補充補充輪換輪換對稱性結(jié)論對稱性結(jié)論: :若若d關(guān)于關(guān)于x,y滿足輪換對稱性滿足輪換對稱性(將將d的邊界的邊界曲線方程中的曲線方程中的x與與y交換位置交換位置,方程不變方程不變),則則( , )d d( , )d d .ddf x yx yf y xx y 211證證yxyxybxaiddd)()()()( 設(shè)設(shè)的的對對稱稱性性得得由由區(qū)區(qū)域域關(guān)關(guān)于于直直線線xy yxxyxbyaiddd)()()()( 所以所以, dyxbaidd)(2)(21bai ,1 , 0)(上上的的正正值值連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)為為設(shè)設(shè)x )(21dd)()()()(bayxyxybxad 證明：證明：為為常常數(shù)數(shù)，

2、其其中中ba,xy ba xyo 1,0),( yxyxd例例習(xí)習(xí) 題題 課課二二 重重 積積 分分知識要點知識要點 解題技巧解題技巧典型例題典型例題4其中其中 iiniidfyxfi ),(limd),(10一、二重積分的概念與性質(zhì)一、二重積分的概念與性質(zhì) 是各小閉區(qū)域的直徑中的最大值是各小閉區(qū)域的直徑中的最大值.幾何意義幾何意義二重積分二重積分i表示以表示以d為底為底,柱體的體積柱體的體積.z =f (x, y)為曲頂為曲頂, 側(cè)面是側(cè)面是（一）二重積分的定義（一）二重積分的定義,幾何意義與物理意義幾何意義與物理意義定義定義1.平面上有界閉區(qū)域平面上有界閉區(qū)域d上二元有界函數(shù)上二元有界函數(shù)

3、z = f (x, y)的二重積分的二重積分2.當(dāng)連續(xù)函數(shù)當(dāng)連續(xù)函數(shù),0),(時時 yxfz以以d的邊界為準(zhǔn)線的邊界為準(zhǔn)線,母線平行于母線平行于z軸的柱面的軸的柱面的曲頂曲頂一般情形一般情形,知識要點知識要點 5 dyxf d),(物理意義物理意義3.xoy平面上方的曲頂柱體體積平面上方的曲頂柱體體積減減xoy平面下方的曲頂柱體體積平面下方的曲頂柱體體積.若平面薄片占有平面內(nèi)有界閉區(qū)域若平面薄片占有平面內(nèi)有界閉區(qū)域d,),(yx 則它的質(zhì)量則它的質(zhì)量m為為:它的面它的面密度為連續(xù)函數(shù)密度為連續(xù)函數(shù).d),( dyxm 6性質(zhì)性質(zhì)1(線性運算性質(zhì)線性運算性質(zhì))為常數(shù)為常數(shù), 則則(重積分與定積分

4、有類似的性質(zhì)重積分與定積分有類似的性質(zhì)) dyxgyxf d),(),( 、設(shè)設(shè) ddyxgyxf d),(d),(性質(zhì)性質(zhì)2 將區(qū)域?qū)^(qū)域d分為兩個子域分為兩個子域 dyxf d),()(21ddd 對積分區(qū)域的可加性質(zhì)對積分區(qū)域的可加性質(zhì). 1d),(dyxf 2d),(dyxf ,21dd（二）二重積分的性質(zhì)（二）二重積分的性質(zhì)7以以1為高的為高的 性質(zhì)性質(zhì)3(幾何應(yīng)用幾何應(yīng)用) 若若 為為d的面積的面積 注注 d d既可看成是以既可看成是以d為底為底,柱體體積柱體體積. d d1 d d又可看成是又可看成是d的面積的面積. dyxf d),(特殊地特殊地性質(zhì)性質(zhì)4(4(比較性質(zhì)比較性質(zhì)

5、) ),(),(yxgyxf 設(shè)設(shè),),(dyx 則則 dyxg d),( dyxf d),( dyxf d),( ( (保序性保序性) )8 dmyxfm d),(幾何意義幾何意義以以m為高和以為高和以m為高的為高的性質(zhì)性質(zhì)5(5(估值性質(zhì)估值性質(zhì)) ),),(myxfm 設(shè)設(shè)為為d的面積的面積, 則則,),( , 0),(dyxyxf 設(shè)設(shè)則曲頂則曲頂柱體的體積介于以柱體的體積介于以d為底為底,兩個平頂柱體體積之間兩個平頂柱體體積之間.9性質(zhì)性質(zhì)6(6(二重積分中值定理二重積分中值定理) ),( dyxf d),(體體積等于以體體積等于以d為底為底),( f以以幾何意義幾何意義域域d上連續(xù)

6、上連續(xù),為為d的面積的面積, 則在則在d上至少存在一點上至少存在一點使得使得 ),(f,),( , 0),(dyxyxf 設(shè)設(shè)則曲頂柱則曲頂柱 為高的平頂柱體體積為高的平頂柱體體積.設(shè)設(shè)f (x, y)在閉區(qū)在閉區(qū)10(1)設(shè)設(shè)f (x, y)在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域d上連續(xù)上連續(xù). dyxyxfdd),(若若d關(guān)于關(guān)于,dd),(21yxyxfd 則則x軸對稱軸對稱, f (x, y)對對y為奇函數(shù)為奇函數(shù), 即即, 0,),(),(),(dyxyxfyxf f (x, y)對對y為偶函數(shù)為偶函數(shù), 即即,),(),(),(dyxyxfyxf 則則 dyxyxfdd),(其中其中;01 yd

7、d（三）對稱區(qū)域上奇偶函數(shù)的積分性質(zhì)（三）對稱區(qū)域上奇偶函數(shù)的積分性質(zhì)11(2)設(shè)設(shè)f (x, y)在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域d上連續(xù)上連續(xù). dyxyxfdd),(若若d關(guān)于關(guān)于,dd),(21yxyxfd 則則 y軸對稱軸對稱, f (x, y)對對x為奇函數(shù)為奇函數(shù), 即即, 0,),(),(),(dyxyxfyxf f (x, y)對對x為偶函數(shù)為偶函數(shù), 即即,),(),(),(dyxyxfyxf 則則 dyxyxfdd),(其中其中;01 xddd12(3)設(shè)設(shè)f (x, y)在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域d上連續(xù)上連續(xù).則則對稱對稱關(guān)于直線關(guān)于直線若閉區(qū)域若閉區(qū)域,xyd ddyxxyf

8、yxyxf;dd),(dd),(13),()(,),( 21xyxbxayxd 其中函數(shù)其中函數(shù) 、)(1x )(2x b)(2xy )(1xy ad在區(qū)間在區(qū)間a, b上連續(xù)上連續(xù).二、在直角坐標(biāo)系中化二重積分為二、在直角坐標(biāo)系中化二重積分為xoy累次積分累次積分(1) 設(shè)設(shè)f (x, y)在平面有界閉區(qū)域在平面有界閉區(qū)域d上連續(xù)上連續(xù). dyxf d),( baxxyyxfx)()(21d),(d 先對先對y 后對后對x的二次積分的二次積分14),()(,),( 21yxydycyxd 其中函數(shù)其中函數(shù) 、)(1y )(2y 在區(qū)間在區(qū)間c, d上連續(xù)上連續(xù).(2) 設(shè)設(shè)f (x, y)在

9、平面有界閉區(qū)域在平面有界閉區(qū)域d上連續(xù)上連續(xù). dyxf d),( dcyyxyxfy)()(21d),(d 先對先對x 后對后對y的二次積分的二次積分.xoyd)(2yx cd)(1yx 15 dyxf d),( ddrr極坐標(biāo)系中的面積元素極坐標(biāo)系中的面積元素 drrrrf dd)sin,cos(三、在極坐標(biāo)系中化二重積分為三、在極坐標(biāo)系中化二重積分為累次積分累次積分 )(1 r)(2 road(1)設(shè)設(shè)f (x, y)在平面有界平面閉區(qū)域在平面有界平面閉區(qū)域d上連續(xù)上連續(xù).)()(,),( 21 ryxd其中函數(shù)其中函數(shù).,)()(21上連續(xù)上連續(xù)在區(qū)間在區(qū)間、 d )(2)(1;d)s

10、in,cos( rrrrf16d;d)sin,cos(d)(0 rrrrf dyxf d),(ao )( r(2)設(shè)設(shè)f (x, y)在平面有界平面閉區(qū)域在平面有界平面閉區(qū)域d上連續(xù)上連續(xù).)(0 ,),( ryxd其中函數(shù)其中函數(shù).,)(上連續(xù)上連續(xù)在區(qū)間在區(qū)間 17 )(020d)sin,cos(d rrrrf極坐標(biāo)系極坐標(biāo)系下區(qū)域的下區(qū)域的面積面積.dd drr doa)( r(3)設(shè)設(shè)f (x, y)在平面有界平面閉區(qū)域在平面有界平面閉區(qū)域d上連續(xù)上連續(xù).)(0 ,20),( ryxd dyxf d),(其中函數(shù)其中函數(shù).,)(上連續(xù)上連續(xù)在區(qū)間在區(qū)間 18再確定再確定交換積分次交換積

11、分次1. 交換積分次序交換積分次序:先依給定的積分次序?qū)懗龇e分域先依給定的積分次序?qū)懗龇e分域d的的不等式不等式, 并畫并畫d的草圖的草圖;序后的積分限序后的積分限;2. 如被積函數(shù)為如被積函數(shù)為圓環(huán)域時圓環(huán)域時,或積分域為或積分域為),(22yxf ),(22yxf ),(xyf)(arctanxyf圓域、扇形域、圓域、扇形域、則用極坐標(biāo)計算則用極坐標(biāo)計算; 解題技巧解題技巧19 3. 注意利用對稱性質(zhì)注意利用對稱性質(zhì),數(shù)中的絕對值符號數(shù)中的絕對值符號.以便簡化計算以便簡化計算;4. 被積函數(shù)中含有絕對值符號時被積函數(shù)中含有絕對值符號時, 應(yīng)應(yīng)將積分域分割成幾個子域?qū)⒎e分域分割成幾個子域, 使

12、被積函數(shù)在使被積函數(shù)在每個子域中保持同一符號每個子域中保持同一符號, 以消除被積函以消除被積函20.d1d13102yyxyxx 解解例例 計算積分計算積分xoy2xy 11交換積分次序交換積分次序. . 原式原式 = xxyyydd13 00y1 1032d121yyy 10331)d(161yy).12(31 典型例題典型例題1.1.交換積分次序交換積分次序21計算計算 222.d)232(2ayxyxx 解解 積分域是圓積分域是圓,222ayx 故關(guān)于故關(guān)于x、y軸、軸、故將被積函數(shù)分項積分故將被積函數(shù)分項積分: 222d)32(ayxyx 0 而而 222d2ayxx 222d2ayx

13、y 222)d(2122ayxyx 極坐標(biāo)極坐標(biāo) arr0320dd21 .44a 又又 222d2ayx ,22a所以所以原式原式 =.2424aa 對稱對稱,xy 例例直線直線2.2.利用對稱性利用對稱性22222cyx 0,)()()()(222 zcyxyxybxaz 曲面曲面. 0, 0, 0 cba且且證證yxyxybxavddd)()()()( yxxyxbyayxybxadddd)()()()()()()()(21 dyxbadd)(21xy xyo所圍立體的體積等于所圍立體的體積等于),(212bac )(u 其中其中是連續(xù)是連續(xù)的正值函數(shù)的正值函數(shù),所求立體在所求立體在xo

14、y面上的投影區(qū)域為面上的投影區(qū)域為.:222cyxd 有有:).(212bac 例例 證明證明: :23 cos2 .2:,dd)(22xyxdyxyxd 其中其中計算二重積分計算二重積分解解 原式原式 = rrrdcosd2cos020 .用極坐標(biāo)用極坐標(biāo). .xoyrr ddcos22cos2020 20cos203d)(cos32 r 203dcoscos316 204dcos316 22143316對稱性對稱性積分區(qū)域關(guān)于積分區(qū)域關(guān)于x軸對稱軸對稱2例例 3.3.坐標(biāo)系的選擇坐標(biāo)系的選擇24若函數(shù)若函數(shù) f (x, y)在矩形區(qū)域在矩形區(qū)域d:解解, 1),(d)d,(2 yxfyxy

15、xfxyd10 , 10 yx上連續(xù)上連續(xù), 且且求求 f (x, y) .設(shè)設(shè) dyxyxfid)d,(i1),(2 yxfxyi兩邊積分兩邊積分, 得得 ddyxyxyxfdddd),( 11i1 i1dd10102 iyyxxi dyxxyidd21412 ii2 i.41),(xyyxf xoy11id例例 2511計算二重積分計算二重積分d2 d)1(221yxd d)1(222 yxd極坐標(biāo)極坐標(biāo),d|1|22 dyx例例將將d分成分成d1與與d2兩部分兩部分.d1其中其中解解yox122 yx d|1|22 dyx由于由于 d)1(221yxd 10220d)1(drrr 8 d

16、)1(222 yxd直角坐標(biāo)直角坐標(biāo) 1122102d)1(dxyyxx3.3.被積函數(shù)帶絕對值、最大被積函數(shù)帶絕對值、最大( (小小) )值符號的積分值符號的積分.10 , 10),( yxyxd26 d)1(222 yxd 1122102d)1(dxyyxx 101132d32xyyyxx 102322d)1(3232xxx 102d)32(xx 10232d)1(32xxi3231 其中其中 10232d)1(xxitxsin 204dcostt.16322143 .318 因此因此 d|1|22dyx.3143188 8d)1(221 yxd2711,dd,max|2 dyxyxxy其

17、中其中 .10 , 10),( yxyxd選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)計算選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)計算: xyo2xy xy 解解原式原式 = 1d3d2d 1dd,max|2dyxyxxy 2dd,max|2dyxyxxy 3dd,max|2dyxyxxy例例2811,dd,max|2 dyxyxxy其中其中 .10 , 10),( yxyxd選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)計算選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)計算: xyo解解原式原式 = 1d3d2d 1210d)(dxyyxyx xxyxxyx2d)(d210 20210d)(dxyxyxx.4011 2xy xy 例例29 計算計算,dd|)|(| dyxyx0, 1|:| xyxd解解 積分

18、區(qū)域積分區(qū)域d關(guān)于關(guān)于x軸對稱軸對稱,被積函數(shù)關(guān)于被積函數(shù)關(guān)于y為偶函數(shù)為偶函數(shù).原式原式=記記d1為為d的的y0的部分的部分. yxyxdd|)|(| 1dd)(2dyxxy xyxyx1001d)(d2則則21d32 xyod111 1 yx1 1 yx30,)( 為連續(xù)函數(shù)為連續(xù)函數(shù)設(shè)設(shè)tf證明證明 daattatfyxyxfd|)|)(dd)().0(2| ,2| aayaxd常數(shù)常數(shù)為矩形域：為矩形域：其中其中xoy證證2ax 2a2a2a dyxyxfdd)( 2222d)(daaaayyxfxtyx 22daaxtydd 2ax 2a ttfd)(交換積分次序交換積分次序xot2a 2a2a2a xttfdd)( xttfdd)(0a 2a 2at 2at 0a2a累次積分累次積分d法一法一31 xttfdd)