江蘇專轉(zhuǎn)本高等數(shù)學(xué)級(jí)數(shù)練習(xí)加例題

1、第六章 級(jí) 數(shù) 第六章 級(jí) 數(shù)本章主要知識(shí)點(diǎn)l 級(jí)數(shù)收斂定義及性質(zhì)l 正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散判別方法l 一般項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散判別方法l 冪級(jí)數(shù) 一、級(jí)數(shù)收斂的定義及性質(zhì) 定義：收斂（有限）(+) 性質(zhì)： 必要條件 與收斂，則收斂 收斂，發(fā)散，必發(fā)散 發(fā)散，發(fā)散，不能確定 收斂，當(dāng)例6.1計(jì)算 解：例6.2計(jì)算（）解：所以 二、正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別法1. 比值判別法如果例6.3解： 所以由比值判別法知原級(jí)數(shù)收斂。例6.4 解： 收斂例6.5判別級(jí)數(shù)的斂散性解：，收斂2. 比較判別法比較判別法有三種形式：一種稱為囿級(jí)數(shù)法；一種為極限式；一種為等價(jià)無(wú)窮小式。 囿級(jí)數(shù)法：如果0（對(duì)充分大）成立且收斂，則收斂；如果，發(fā)散

2、，則發(fā)散。極限式：如果（有限數(shù)），同斂散；特別地，若且收斂，則收斂； 若且發(fā)散， 則發(fā)散。 等價(jià)無(wú)窮小式：，p>1，收斂，發(fā)散。例6.6解：，而收斂，由比較判別法知收斂。例6.7解：，而收斂，由比較判別法知原級(jí)數(shù)收斂。例6.8已知收斂（），證明也收斂。證明：因?yàn)槭諗浚?，所以?duì)充分大的n成立： ，因此， 收斂，由比較判別法知收斂。例6.9正項(xiàng)級(jí)數(shù)，收斂，證明：收斂。證明：， 由上題的結(jié)論可知，,收斂，收斂， 由比較判別法知：收斂。 例6.10解：因?yàn)?，而發(fā)散，由比較判別法知發(fā)散。例6.11解：因?yàn)椋?，所以原級(jí)數(shù)發(fā)散。例6.12解：，考慮極限，收斂，所以由比較判別法知原級(jí)數(shù)收斂例6.13

3、解：收斂，故由比較判別法知，原級(jí)數(shù)收斂。例6.14sin解：因?yàn)閟in收斂，由比較判別法知收斂。三、一般項(xiàng)級(jí)數(shù)一般項(xiàng)級(jí)數(shù)有絕對(duì)收斂和條件收斂?jī)蓚€(gè)概念。定義1： 絕對(duì)收斂收斂。原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂必收斂。定義2：條件收斂發(fā)散，而收斂研究一般項(xiàng)級(jí)數(shù)的流程應(yīng)是先判別絕對(duì)收斂，若絕對(duì)發(fā)散則研究級(jí)數(shù)的條件收斂性。一般項(xiàng)級(jí)數(shù)中最重要的一類級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)（）。交錯(cuò)級(jí)數(shù)萊伯尼茲判別法：對(duì)于級(jí)數(shù)若 （1），即級(jí)數(shù)是交錯(cuò)的， （2）單調(diào)下降， （3）則收斂。例6.15 解：先考慮級(jí)數(shù) 因?yàn)?而收斂，所以收斂即原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。例6.16解：對(duì)于，因?yàn)?，所以發(fā)散，原級(jí)數(shù)絕對(duì)發(fā)散。而是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，單調(diào)下降，且由萊伯尼判別法知，

4、原級(jí)數(shù)是條件收斂。例6.17研究級(jí)數(shù)斂散性解：（）=1，與同斂散，故當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)絕對(duì)發(fā)散；當(dāng)時(shí)，不存在，所以原級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí)， 為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，且單調(diào)下降，且， 故由萊伯尼茲判別法知，原級(jí)數(shù)條件收斂。四、冪級(jí)數(shù)1收斂半徑和收斂區(qū)間稱為冪級(jí)數(shù)，對(duì)于冪級(jí)數(shù)首先是收斂半徑和收斂區(qū)間的計(jì)算。收斂半徑r：r=收斂區(qū)間:；對(duì)于和端點(diǎn)處特別考慮。例6.18求的收斂半徑和收斂區(qū)間解：，當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)=收斂；當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)=收斂；所以，收斂區(qū)間為。例6.19求的收斂半徑和收斂區(qū)間。解：令，原級(jí)數(shù)， ， 。 對(duì)于，原級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散，故收斂區(qū)間為。2函數(shù)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù) 幾個(gè)常用的冪級(jí)數(shù)形式（

5、1） （2） （3） （4）例6.201) 展開(kāi)為的冪級(jí)數(shù)。2）展開(kāi)為的冪級(jí)數(shù)。解：1）2） 例6.21展開(kāi)為的冪級(jí)數(shù)。解： 。例6.22展開(kāi)為x的冪級(jí)數(shù)解：例6.23已知求的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式解：在區(qū)間上，兩邊積分，利用冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)可積性得，。例6.24求和函數(shù)。解：設(shè)，利用冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)可積性得，求導(dǎo)得：。例6.25求的和函數(shù)。解：令 ， ， 所以。單元練習(xí)題61是級(jí)數(shù)收斂 （ ）a必要條件 b充分條件 c充要條件 d無(wú)關(guān)條件2正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的( )是前n項(xiàng)部分和數(shù)列有界a必要條件 b充分條件c充要條件 d無(wú)關(guān)條件3下列級(jí)數(shù)中收斂的是( )a bc d4下列級(jí)數(shù)中條件收斂的是( )a bc d5下列級(jí)數(shù)

6、中絕對(duì)收斂的是( )a bc d6下列級(jí)數(shù)發(fā)散的是( )a bc d7冪級(jí)數(shù)的收斂域是（ ）a bc d8已知級(jí)數(shù)，當(dāng) 時(shí)，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng) 時(shí)，級(jí)數(shù)條件收斂；當(dāng) 時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。9冪級(jí)數(shù)的和函數(shù) ，= ， 。10判別下列級(jí)數(shù)的收斂性（1） （2），（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9） （10）11求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域：（1） （2）（3） （4）12將展開(kāi)為的冪級(jí)數(shù)。13將展開(kāi)為的冪級(jí)數(shù)。14將函數(shù)（1）展開(kāi)為的冪級(jí)數(shù)，（2）展開(kāi)為的冪級(jí)數(shù)。15求的和函數(shù)。歷年真考題1（2003）下列正確的是（ ）a. 收斂 b. 收斂c. 絕對(duì)收斂 d. 收斂2（2003）將函數(shù)展開(kāi)成

7、的冪級(jí)數(shù)，并指出收斂區(qū)間（不考慮區(qū)間端點(diǎn)）。3（2004）冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為_(kāi)。4（2004）把函數(shù)展開(kāi)為的冪級(jí)數(shù)，并寫(xiě)出它的收斂區(qū)間。5（2005）設(shè)有正項(xiàng)級(jí)數(shù)（1）與（2），則下列說(shuō)法中正確的是（）a若（1）發(fā)散則（2）必發(fā)散。 b.若（2）收斂，則（1）必收斂。c.若（1）發(fā)散，則（2）可能發(fā)散也可能收斂。d.（1），（2）斂散性一致。6（2005）冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)開(kāi).7（2005）將函數(shù)展開(kāi)為x的冪級(jí)數(shù)，并指出收斂區(qū)間。.章節(jié)測(cè)試題1級(jí)數(shù)的斂散性：當(dāng) 時(shí)，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng) 時(shí)，級(jí)數(shù)條件收斂；當(dāng) 時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。2，展開(kāi)為的冪級(jí)數(shù)為 。3下列級(jí)數(shù)條件收斂的是（ ） a b c d 4下列級(jí)

8、數(shù)發(fā)散的是（ ）a bc d5.()展開(kāi)為 的冪函數(shù)是（ ）a b c d6的收斂半徑（ ）a. 1 b 3 c d7在的和函數(shù)=（ ）a b c d8. 冪函數(shù) 的收斂半徑是（ ）a 2 b c d 39下列級(jí)數(shù)中條件收斂的是（ ）a bc d10判斷的斂散性。11求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂區(qū)間。12設(shè)，討論為何值時(shí)，級(jí)數(shù)收斂。13展開(kāi)為的冪級(jí)數(shù)，并求出收斂范圍。14討論在,和三種條件下的斂散性。單元練習(xí)題6答案12345678910（）絕對(duì)收斂。因?yàn)椋諗?。（）?dāng)時(shí)，發(fā)散；當(dāng)時(shí)，收斂。（），而收斂，故原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。（）發(fā)散。因?yàn)槭諗?，發(fā)散。（）收斂。，所以，而收斂，所以原級(jí)數(shù)收斂。（），所以原級(jí)數(shù)收斂。（），所以原級(jí)數(shù)收斂。（），而收斂，所以原級(jí)數(shù)收斂（）發(fā)散，而為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，且單調(diào)下降趨于零，故條件收斂。（10）而，故絕對(duì)發(fā)散。而為交錯(cuò)級(jí)數(shù)。且單調(diào)下降趨于0。故條件收斂。11（1）解：，當(dāng)時(shí)，收斂；當(dāng)時(shí)，收斂，收斂區(qū)間為（2）令收斂區(qū)間為（3）令，原級(jí)數(shù)當(dāng)，原級(jí)數(shù)=，條件收斂收斂區(qū)間為（）令，原級(jí)數(shù)，。當(dāng)發(fā)散；當(dāng)，收斂，故的收斂區(qū)間為，相應(yīng)的的收斂區(qū)間為。12解：令，積分得，13解：，。14（1）解：，。(2)解：，。15。本章測(cè)試答案1.；2. 34.5.6.7. 8. 9. b10解：，由于，故發(fā)散，即不