工程力學(xué)課程第6節(jié)

1、第6章 教學(xué)方案拉伸、壓縮與剪切基本內(nèi)容軸向拉伸、壓縮的概念和內(nèi)力分析 軸向拉伸和壓縮時(shí)橫截面上的應(yīng)力 材料拉伸和壓縮時(shí)的力學(xué)性能失效、安全因數(shù)和強(qiáng)度計(jì)算軸向拉伸和壓縮時(shí)的變形拉伸和壓縮的簡(jiǎn)單靜不定問(wèn)題剪切與擠壓的實(shí)用計(jì)算教學(xué)目的1、 掌握用截面法計(jì)算拉、壓桿的內(nèi)力，畫(huà)內(nèi)力圖。2、掌握拉、壓桿的截面上應(yīng)力分析。3、理解材料在拉壓時(shí)的變形、應(yīng)力、破壞等的特性。4、熟練掌握拉、壓桿的的強(qiáng)度計(jì)算。5、熟練掌握拉、壓桿的的變形計(jì)算及胡克定律。6、了解拉、壓桿的簡(jiǎn)單靜不定問(wèn)題。 7、掌握剪切和擠壓的實(shí)用計(jì)算。重點(diǎn)、難點(diǎn)拉、壓桿的強(qiáng)度計(jì)算；拉、壓桿的的變形計(jì)算。第6章 拉伸、壓縮與剪切6.1軸向拉伸、壓縮

2、的概念和內(nèi)力分析6.1.1軸向拉伸和壓縮的工程實(shí)例（b） 在生產(chǎn)實(shí)踐中經(jīng)常遇到承受拉伸或壓縮的桿件。例如，圖6.1（a）所示的簡(jiǎn)單吊物裝置的兩根桿件，圖6.2（b）所示的螺桿等。圖6.16.1.2 軸向拉伸和壓縮的特點(diǎn)軸向拉伸和壓縮桿件的計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖6.2所示，從圖中可看出當(dāng)一個(gè)桿件發(fā)生軸向拉伸和壓縮變形時(shí)具有如下特點(diǎn)：圖6.2 受力特點(diǎn)：外力作用線(xiàn)沿桿軸線(xiàn)方向且與軸線(xiàn)重合。 變形特點(diǎn)：桿件變形是沿軸線(xiàn)的方向伸長(zhǎng)或縮短，橫向的縮短或伸長(zhǎng)。圖6.36.1.3軸向拉伸和壓縮時(shí)橫截面上的內(nèi)力截面法求內(nèi)力：圖6.3（a）所示為一受軸向拉伸的直桿，在橫截面處將桿截為兩段，取左段為研究對(duì)象，如圖6.3（b

3、）所示。由左段的平衡條件可知，該截面上分布內(nèi)力的合力必為一個(gè)與桿件軸線(xiàn)重合的軸向力,且有，稱(chēng)為軸力。若取右段部分研究，如圖6.3（c），則由作用力與反作用力原理知，右段截面的軸力與左段的軸力大小相等，方向相反。符號(hào)規(guī)定：為了使取左段和右段所得同一截面上的軸力不但數(shù)值相等，而且具有相同的正、負(fù)號(hào)，對(duì)軸力正負(fù)號(hào)做如下規(guī)定：當(dāng)軸力沿橫截面外法線(xiàn)方向時(shí)，桿件的變形為軸向伸長(zhǎng)，軸力為正，稱(chēng)為拉力；當(dāng)軸力沿橫截面內(nèi)法線(xiàn)方向時(shí)，桿件的變形為軸向壓縮，軸力為負(fù)，稱(chēng)為壓力。軸力圖：當(dāng)桿件受到多個(gè)軸向外力作用時(shí)，在不同的橫截面上，軸力將不相同。為了較直觀(guān)地表示各橫截面上的軸力，常用軸力圖來(lái)表示。即用平行于桿件軸線(xiàn)

4、的坐標(biāo)表示橫截面的位置，用垂直于桿軸線(xiàn)的坐標(biāo)表示橫截面上軸力的數(shù)值，從而繪出表示軸力與截面位置關(guān)系的圖線(xiàn)，稱(chēng)為軸力圖。畫(huà)軸力圖時(shí)，有時(shí)不需要畫(huà)出坐標(biāo)軸，只需標(biāo)明正、負(fù)號(hào)即可?！纠?-1】試畫(huà)出圖6.4（a）所示桿的軸力圖。已知。圖6.4解：（1）先求約束反力。以整個(gè)桿研究，受力如圖6.4（a），列平靜方程得 （2）以力作用點(diǎn)作為分界點(diǎn)，將桿分為、和三段，逐段計(jì)算軸力。先將桿沿橫截面1-1截開(kāi)，取左段（圖6.4（b）列平衡方程得 結(jié)果為正，軸力均為拉力。顯然，在ab段各橫截面上的軸力都相同，均為60kn的拉力。再將桿沿橫截面2-2截開(kāi)，取其左段（圖6.4（c）列平衡方程 得 結(jié)果為負(fù)，說(shuō)明實(shí)際指

5、向與假設(shè)的指向相反，指向橫截面，故軸力為壓力。最后將桿再沿橫截面3-3截開(kāi)，仍取左段（圖6.4（d）列平衡方程得 為正是拉力。（3）繪軸力圖如圖6.4（e）所示。本題可以不必先求出約束反力，而直接由右向左逐段求軸力，較上述求解過(guò)程簡(jiǎn)便。由此題可看出，在畫(huà)一個(gè)桿件某橫截面的軸力時(shí)，在不知道軸力為拉力還是壓力的情況下，首先假定軸力為拉力，即為正的。這樣計(jì)算出的結(jié)果的正負(fù)號(hào)就是所規(guī)定的符號(hào)?！纠?-2】圖6.5（a）所示為一廠(chǎng)房的柱子，由兩段等直桿組成。柱受屋架的載荷和兩邊吊車(chē)的載荷的作用。求柱在橫截面1-1和2-2上的軸力，并作軸力圖。圖6.5解：（1）求柱子所受的約束反力，見(jiàn)圖6.5（b）所示，

6、 由 得 ；（2）求軸力 求橫截面1-1處的軸力時(shí)，沿1-1處截開(kāi)，取上段研究，如圖6.5（c），列平衡方程 得 圖中軸力假設(shè)為壓力，所求結(jié)果雖然是正值，但應(yīng)是負(fù)值；求橫截面2-2處的軸力時(shí)，沿2-2處截開(kāi)，取上段研究，如圖6.5（d），列平衡方程 得 同前面一樣，是壓力，取負(fù)值。當(dāng)然也可取其下段研究，如圖6.25（e），列平衡方程 得 。（3）畫(huà)柱子軸力圖。如圖6.5（f）。6.2軸向拉伸和壓縮時(shí)橫截面上的應(yīng)力 根據(jù)截面法求解各個(gè)截面上的軸力后，討論拉壓桿橫截面上的應(yīng)力。6.2.1變形現(xiàn)象和平面假設(shè) 為了研究軸向拉伸和壓縮時(shí)桿件橫截面上的應(yīng)力現(xiàn)做如下實(shí)驗(yàn)。取一等直桿，實(shí)驗(yàn)前在其表面上畫(huà)出許多

7、縱向線(xiàn)和橫向線(xiàn)，如圖6.6（a）所示。然后在桿的兩端加一對(duì)軸向拉力，使桿發(fā)生軸向拉伸變形。觀(guān)察變形現(xiàn)象可以發(fā)現(xiàn)，變形后所有的縱向線(xiàn)仍為平行于軸線(xiàn)的直線(xiàn)，且相鄰橫向線(xiàn)間的縱向線(xiàn)伸長(zhǎng)都相等；所有的橫向線(xiàn)仍為垂直于軸線(xiàn)的直線(xiàn)，如圖6.6（b）所示。由表及里，可以想象內(nèi)部變形也是這樣。于是，我們可做如下平面假設(shè)：變形前的橫截面，在變形后仍保持為平面，且仍垂直于軸線(xiàn)。平面假設(shè)是材料力學(xué)的一個(gè)重要假設(shè)。圖6.6 6.2.2應(yīng)力分布規(guī)律相鄰兩橫截面間的各縱向線(xiàn)伸長(zhǎng)變形相同。根據(jù)連續(xù)均勻性假設(shè)，同一種性質(zhì)的材料，產(chǎn)生相同變形的受力必相等，即應(yīng)力是均勻分布的，且垂直于橫截面，如圖6.6（c）所示。所以，在軸向拉

8、伸和壓縮桿件的橫截面上只存在正應(yīng)力，且正應(yīng)力是均勻分布的。6.2.3 應(yīng)力計(jì)算公式 根據(jù)內(nèi)力和應(yīng)力的關(guān)系，橫截面上軸力等于橫截面上均勻分布的應(yīng)力的合力，于是可得 （6-1）式中，為橫截面上的正應(yīng)力，為橫截面上的軸力，為橫截面面積。根據(jù)軸力的正負(fù)號(hào)，當(dāng)軸力為拉力時(shí)，正應(yīng)力為拉應(yīng)力，也是正的；當(dāng)軸力為壓力時(shí)，正應(yīng)力為壓應(yīng)力，也是負(fù)的?！纠?-3】 起吊三角架如圖6.7（a）所示，已知桿由2根截面面積為10.86的角鋼制成，。求桿橫截面上的應(yīng)力。(a) (b)圖6.7解：（1）計(jì)算桿內(nèi)力。取支點(diǎn)為研究對(duì)象如圖6.7（b），由平衡條件，得 （拉力）（2）計(jì)算。 6.3材料拉伸和壓縮時(shí)的力學(xué)性能材料的力

9、學(xué)性能是指材料在外力作用下所呈現(xiàn)的有關(guān)強(qiáng)度和變形方面的特性。研究材料的力學(xué)性能的目的是確定材料在變形和破壞情況下的一些力學(xué)性能指標(biāo)，作為選用材料，計(jì)算材料強(qiáng)度、剛度的依據(jù)。材料的力學(xué)性能通過(guò)實(shí)驗(yàn)方法確定。6.3.1材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能.拉伸試驗(yàn) 常溫靜載下的拉伸試驗(yàn)是研究材料力學(xué)性能的常用基本試驗(yàn)。國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的金屬材料標(biāo)準(zhǔn)圓試件如圖6.8（a）所示。在試件中間等直部分取一段長(zhǎng)度為的測(cè)量長(zhǎng)度，稱(chēng)為標(biāo)距。標(biāo)距和直徑有兩種比例或，而對(duì)矩形截面，標(biāo)距與橫截面面積的比例為或，如圖6.8（b）所示。圖6.8將拉伸試樣裝夾在試驗(yàn)機(jī)上，開(kāi)動(dòng)機(jī)器，使試件受到從零開(kāi)始緩慢漸增的拉力，于是在試件標(biāo)距內(nèi)產(chǎn)生相應(yīng)的變

10、形，把試驗(yàn)過(guò)程中的拉力與對(duì)應(yīng)的變形繪制成曲線(xiàn)，稱(chēng)為拉伸圖。拉伸圖與試樣的尺寸有關(guān)，為了消除試樣尺寸的影響，把拉力除以試樣的橫截面的原面積，得出正應(yīng)力，同時(shí)，把伸長(zhǎng)量除以標(biāo)距的原始長(zhǎng)度，得到應(yīng)變。以為縱坐標(biāo)，為橫坐標(biāo)，作出表示與的關(guān)系圖，稱(chēng)為應(yīng)力應(yīng)變圖或圖。低碳鋼在拉伸時(shí)的力學(xué)性能圖6.9低碳鋼是工程上廣泛使用的材料，其力學(xué)性質(zhì)具有典型性。圖6.9所示為低碳鋼拉伸時(shí)的曲線(xiàn)。低碳鋼的曲線(xiàn)可分為下列幾個(gè)階段。（1）彈性階段（段）在開(kāi)始拉伸直至a點(diǎn)階段，應(yīng)力與應(yīng)變是成正比的。其極限位置a點(diǎn)對(duì)應(yīng)的應(yīng)力值稱(chēng)為比例極限，記為。它是應(yīng)力與應(yīng)變成正比的最大值。在這一階段，應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系可寫(xiě)成等式： （6-2）

11、該式稱(chēng)為拉壓胡克定律。式中，為與材料有關(guān)的比例常數(shù)，稱(chēng)為彈性模量。 在應(yīng)力應(yīng)變曲線(xiàn)上，當(dāng)應(yīng)力繼續(xù)增加到b點(diǎn)時(shí)，曲線(xiàn)不再是直線(xiàn)，而呈微彎。在應(yīng)力小于b點(diǎn)的應(yīng)力值時(shí)，其變形是可以恢復(fù)的，即應(yīng)力解除之后應(yīng)變隨之消失，這種變形稱(chēng)為彈性變形。b點(diǎn)對(duì)應(yīng)的應(yīng)力是發(fā)生彈性變形的極限值，稱(chēng)為彈性極限，它是材料只產(chǎn)生彈性變形的最大應(yīng)力。由于一般材料的a、b兩點(diǎn)相當(dāng)接近，工程中對(duì)比例極限和彈性極限并不嚴(yán)格區(qū)分。（2） 屈服階段（段）當(dāng)應(yīng)力超過(guò)彈性極限后，曲線(xiàn)上出現(xiàn)一段接近水平線(xiàn)的微小波動(dòng)線(xiàn)段，變形顯著增長(zhǎng)而應(yīng)力幾乎不變，材料暫時(shí)失去抵抗變形的能力，這種現(xiàn)象稱(chēng)為屈服（或流動(dòng)）。在曲線(xiàn)上c點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力值是屈服階段的最

12、小值稱(chēng)為屈服極限，記為。是衡量材料強(qiáng)度的重要指標(biāo)。在這一階段，材料主要產(chǎn)生塑性變形，所謂塑性變形是指載荷（應(yīng)力）卸去后不能消失的變形，又稱(chēng)殘余變形。對(duì)于表面光滑的試件，在屈服時(shí)會(huì)由于金屬材料內(nèi)部晶格之間產(chǎn)生相對(duì)滑動(dòng)而在其表面上出現(xiàn)許多與軸線(xiàn)大致成的條紋，這些條紋稱(chēng)為滑移線(xiàn)。如圖6.10所示。圖6.10 圖6.11 （3） 強(qiáng)化階段（段） 過(guò)了屈服階段后，材料又恢復(fù)了抵抗變形的能力，要使它繼續(xù)變形必須增加拉力。這種現(xiàn)象稱(chēng)為材料的強(qiáng)化。強(qiáng)化階段的最高點(diǎn)d所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力值是材料所能承受的最大應(yīng)力，稱(chēng)為強(qiáng)度極限。記為。表示材料所能承受的最大應(yīng)力，也是衡量材料強(qiáng)度的重要指標(biāo)。強(qiáng)化階段的變形大部分也是塑性變

13、形，同時(shí)試件的橫向尺寸明顯縮小。（4） 局部變形階段（ 段） 應(yīng)力達(dá)到強(qiáng)度極限后，在試件某一局部區(qū)域內(nèi)，截面橫向尺寸急劇縮小，形成頸縮現(xiàn)象（圖6.11）。由于頸縮部分的橫截面面積迅速減少，使試件繼續(xù)伸長(zhǎng)所需要的拉力也相應(yīng)減少。最后試件在頸縮處被拉斷。試件被拉斷后，彈性變形消失，塑性變形被保留了下來(lái)。常用下述兩個(gè)指標(biāo)來(lái)度量材料的塑性性能。設(shè)試樣拉斷后的標(biāo)距長(zhǎng)度為，原始長(zhǎng)度為，則定義 100 （6-3）為材料的延伸率或伸長(zhǎng)率。設(shè)試樣的原始橫截面面積為，拉斷后頸縮處的最小截面面積為1，則定義 100 （6-4）為材料的斷面收縮率。材料的延伸率和斷面收縮率越大，說(shuō)明材料塑性越好。工程上通常按延伸率的大

14、小把材料分為兩類(lèi)：5為塑性材料；5為脆性材料。對(duì)于低碳鋼，其塑性指標(biāo)約為：2030，60。（5） 卸載定律與冷作硬化如在強(qiáng)化階段的某點(diǎn)處給試樣緩慢卸載，則應(yīng)力與應(yīng)變沿直線(xiàn)變化，且斜直線(xiàn)大致與平行（圖6-8）。上述規(guī)律稱(chēng)為卸載定律。拉力完全卸除后，代表消失了的彈性應(yīng)變，而表示不能消失的塑性應(yīng)變。若卸載后在短期內(nèi)再次加載，則與大致沿卸載時(shí)的斜直線(xiàn)變化，到點(diǎn)后又按變化?？梢?jiàn)在再次加載時(shí)，與第一次加載的曲線(xiàn)相比，彈性極限提高了，但塑性變形降低了，過(guò)點(diǎn)后才開(kāi)始出現(xiàn)塑性變形。這種現(xiàn)象稱(chēng)為冷作硬化。工程中常用冷作硬化來(lái)提高某些構(gòu)件或零件的彈性承載能力。如起重鋼索、鋼筋等。其它塑性材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能圖6.1

15、2所示為16mn鋼與黃銅等金屬材料的應(yīng)力-應(yīng)變圖?？梢钥闯?，有些材料如16mn鋼與低碳鋼類(lèi)似，有明顯的4個(gè)階段。有些材料，如黃銅，沒(méi)有明顯的屈服階段。但它們斷裂時(shí)均產(chǎn)生較大的殘余變形，均屬于塑性材料。對(duì)于不存在明顯屈服階段的塑性材料，通常以產(chǎn)生0.2的殘余應(yīng)變時(shí)所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力值作為屈服極限，以表示，稱(chēng)為條件屈服極限，如圖6.13所示。圖6.12 圖6.13 圖6.14鑄鐵拉伸時(shí)的力學(xué)性能鑄鐵也是工程中廣泛應(yīng)用的一種材料。鑄鐵拉伸時(shí)的曲線(xiàn)如圖6.14所示。從圖中可以看出，鑄鐵拉伸的曲線(xiàn)呈微彎狀，不再服從胡克定律。而且在沒(méi)有明顯的變形情況下就被拉斷，是典型的脆性材料。由于鑄鐵拉伸時(shí)不服從胡克定律，工

16、程上常用曲線(xiàn)的割線(xiàn)來(lái)代替圖中曲線(xiàn)的開(kāi)始部分，并以割線(xiàn)的斜率作為鑄鐵的彈性模量，稱(chēng)為割線(xiàn)彈性模量。鑄鐵拉斷時(shí)的最大應(yīng)力即為強(qiáng)度極限。因?yàn)闆](méi)有屈服現(xiàn)象，強(qiáng)度極限是衡量強(qiáng)度的唯一指標(biāo)。鑄鐵等脆性材料的抗拉強(qiáng)度很低，所以不宜作為抗拉構(gòu)件的材料。 6.3.2材料在壓縮時(shí)的力學(xué)性能金屬的壓縮試樣一般制成很短的圓柱，以免被壓彎。圓柱高度與直徑的關(guān)系為?；炷?、石料等則制成立方體形的試塊。低碳鋼壓縮時(shí)的力學(xué)性能圖6.15取低碳鋼制成的試樣放于試驗(yàn)機(jī)上，在緩慢加壓的情況下可得低碳鋼壓縮時(shí)的曲線(xiàn)，如圖6.15（a）實(shí)線(xiàn)所示，虛線(xiàn)表示拉伸時(shí)的曲線(xiàn)。在屈服階段以前兩曲線(xiàn)重合，即低碳鋼壓縮時(shí)的彈性模量與屈服極限都與拉伸

17、時(shí)相同。由于低碳鋼的塑性好，在屈服階段后，試件愈壓愈扁，不會(huì)出現(xiàn)斷裂，如圖6.15（b）所示，因此不存在抗壓強(qiáng)度極限。鑄鐵壓縮時(shí)的力學(xué)性能 取鑄鐵試樣做試驗(yàn)得到如圖6.16（a）所示的曲線(xiàn)。鑄鐵壓縮時(shí)，沒(méi)有明顯的直線(xiàn)部分，也不存在屈服極限。隨著壓力增加，試件略成鼓形，最后在很小的變形下突然斷裂，破壞斷面與橫截面大致成傾角，如圖6.16（b）所示。這說(shuō)明破壞主要與切應(yīng)力有關(guān)。鑄鐵的抗壓強(qiáng)度極限與其抗拉強(qiáng)度的關(guān)系為。其它脆性材料，抗壓強(qiáng)度也遠(yuǎn)高于抗拉強(qiáng)度?？梢?jiàn)，脆性材料抗壓不抗拉。脆性材料的壓縮試驗(yàn)比拉伸試驗(yàn)更為重要。圖6.166.4失效、安全因數(shù)和強(qiáng)度計(jì)算6.4.1 強(qiáng)度失效的概念由于各種原因使

18、結(jié)構(gòu)喪失其正常工作能力的現(xiàn)象，稱(chēng)為失效。對(duì)于脆性材料制成的構(gòu)件，當(dāng)應(yīng)力達(dá)到強(qiáng)度極限（或）時(shí)，就會(huì)發(fā)生脆性斷裂。而對(duì)于塑性材料制成的構(gòu)件，當(dāng)應(yīng)力達(dá)到屈服極限時(shí)，桿件會(huì)出現(xiàn)顯著的塑性變形而影響正常工作。所以，斷裂和屈服都是構(gòu)件強(qiáng)度失效的形式。6.4.2 安全因數(shù)和許用應(yīng)力材料失效時(shí)的應(yīng)力稱(chēng)為材料的極限應(yīng)力，用表示。對(duì)于塑性材料，以屈服極限作為極限應(yīng)力；對(duì)于脆性材料，以強(qiáng)度極限作為極限應(yīng)力。對(duì)構(gòu)件進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算時(shí)，必須有適當(dāng)?shù)膹?qiáng)度安全儲(chǔ)備，將材料的極限應(yīng)力除以大于1的因數(shù)，于是得到許用應(yīng)力，即 （6-5）稱(chēng)為安全因數(shù)。許用應(yīng)力是一定材料制成的構(gòu)件可以達(dá)到的最大容許工作應(yīng)力。安全因數(shù)的選定關(guān)系到構(gòu)件的安

19、全性與經(jīng)濟(jì)性。確定安全因數(shù)時(shí)，一般應(yīng)考慮：載荷估計(jì)的準(zhǔn)確性；簡(jiǎn)化過(guò)程和計(jì)算方法的精確性；材料的均勻性；構(gòu)件的重要性；構(gòu)件的工作條件及使用壽命等幾方面的因素。一般情況下，塑性材料取1.252.5；脆性材料取2.55.0，甚至更大。6.4.3 強(qiáng)度條件、三類(lèi)強(qiáng)度計(jì)算問(wèn)題為了保證拉（壓）桿在工作時(shí)不發(fā)生強(qiáng)度失效，需使最大工作應(yīng)力小于等于許用應(yīng)力，以此可建立強(qiáng)度條件為： （6-6）式中，為構(gòu)件內(nèi)的最大工作應(yīng)力。對(duì)于等截面拉（壓）桿，強(qiáng)度條件可轉(zhuǎn)化為 （6-7）根據(jù)上述的強(qiáng)度條件，可以解決以下三種類(lèi)型的強(qiáng)度計(jì)算問(wèn)題：強(qiáng)度校核 已知外力大?。ㄓ纱丝芍S力）、橫截面面積和拉（壓）桿材料的許用應(yīng)力，可求出桿上

20、最大應(yīng)力，用強(qiáng)度條件（6-7）式校核構(gòu)件是否滿(mǎn)足強(qiáng)度要求。設(shè)計(jì)截面 已知構(gòu)件所受的外力和所用材料的許用應(yīng)力，按強(qiáng)度條件設(shè)計(jì)構(gòu)件所需的橫截面面積。此時(shí)，可將（6-7）式改寫(xiě)為 由此可算出構(gòu)件所需的橫截面面積。確定許用載荷 已知構(gòu)件的橫截面面積和材料的許用應(yīng)力，可按強(qiáng)度條件（6-7）式確定構(gòu)件所能承受的最大軸力。此時(shí)，可將式（6-7）改寫(xiě)為根據(jù)構(gòu)件所受的最大軸力，確定該構(gòu)件或結(jié)構(gòu)所能承受的最大載荷?！纠?-4】 圖6.17（a）為一承受載荷的吊環(huán)，兩邊的斜桿均由兩個(gè)橫截面為矩形的鋼桿構(gòu)成。桿的厚度和寬度分別為和，斜桿軸線(xiàn)與吊環(huán)對(duì)稱(chēng)，軸線(xiàn)間的夾角為。若材料的許用應(yīng)力，試校核斜桿的強(qiáng)度。圖6.17解：

21、（1）求斜桿的內(nèi)力研究節(jié)點(diǎn)的平衡，根據(jù)平衡條件，得 于是 （2）校核斜桿強(qiáng)度計(jì)算斜桿橫截面的工作應(yīng)力。斜桿內(nèi)的工作應(yīng)力為 斜桿有足夠的強(qiáng)度?！纠?-5】 氣動(dòng)夾具如圖6.18（a）所示。已知?dú)飧變?nèi)徑，缸內(nèi)氣壓?；钊麠U為20號(hào)鋼，。試設(shè)計(jì)活塞桿的直徑。圖6.18解：（1）計(jì)算軸力 活塞桿左端承受活塞上的氣體壓力，右端承受工件的反作用力，故為軸向拉伸，如圖6.18（b）。拉力可由氣體壓強(qiáng)乘活塞的受壓面積求得。在尚未確定活塞桿的橫截面面積之前，計(jì)算活塞的受壓面積時(shí)，可暫將活塞桿橫截面面積略去不計(jì)，這樣是偏于安全的。故有活塞桿的軸力為 （2）確定直徑 根據(jù)強(qiáng)度條件（6-7），活塞桿橫截面面積應(yīng)滿(mǎn)足以下

22、要求 由此求出 最后將活塞桿的直徑取為【例6-6】 圖6.19（a）所示結(jié)構(gòu)，為剛性桿，1、2兩桿為鋼桿，橫截面面積分別為，材料的許用應(yīng)力。試求結(jié)構(gòu)許可載荷。圖6.19解：（1）計(jì)算軸力 取剛性桿進(jìn)行受力分析，如圖6.18（b）所示。由平衡條件可求得兩桿軸力與載荷間的關(guān)系為 （2）確定許可載荷 1桿滿(mǎn)足強(qiáng)度條件時(shí)，其軸力 滿(mǎn)足此條件的載荷2桿滿(mǎn)足強(qiáng)度條件時(shí)，其軸力滿(mǎn)足此條件的載荷要保證結(jié)構(gòu)的安全，需要同時(shí)滿(mǎn)足1、2兩桿的強(qiáng)度，則應(yīng)選取上列兩個(gè)值中的較小值，所以許可載荷。6.5 軸向拉伸和壓縮時(shí)的變形6.5.1縱向變形、胡克定律 圖6.20所示等直桿受軸向拉力作用，設(shè)桿的原長(zhǎng)為，橫截面面積為。變

23、形后桿長(zhǎng)變?yōu)?，桿的軸向伸長(zhǎng)為 由于軸向拉（壓）桿沿軸向的變形均勻，因此任一點(diǎn)的縱向線(xiàn)應(yīng)變相等，且為桿的變形量除以原長(zhǎng)，即 當(dāng)桿橫截面上的應(yīng)力不超過(guò)比例極限時(shí)，由前述的胡克定律，得 （6-8）式（6-8）的關(guān)系也稱(chēng)為胡克定律。此式表明，當(dāng)應(yīng)力不超過(guò)比例極限時(shí)，桿件的伸長(zhǎng)與軸力和桿長(zhǎng)成正比，與橫截面積及彈性模量成反比。稱(chēng)為抗拉（壓）剛度。 圖6.206.5.2橫向變形、泊松比若桿件變形前的橫向尺寸為，受軸向拉伸后變?yōu)椋▓D6-20），桿件橫向縮短為，于是橫向線(xiàn)應(yīng)變 試驗(yàn)結(jié)果表明，當(dāng)拉（壓）桿件橫截面上的應(yīng)力不超過(guò)材料的比例極限時(shí)，橫向應(yīng)變與縱向應(yīng)變比值的絕對(duì)值為一常數(shù)。這一比值稱(chēng)為橫向變形系數(shù)或泊松

24、比，通常用表示，即 （6-9a）由于橫向應(yīng)變與縱向應(yīng)變的變形方向始終相反，式（6-9a）又可寫(xiě)成 （6-9b） 泊松比也與彈性模量一樣，是一個(gè)反映材料的力學(xué)性質(zhì)的量?！纠?-7】 圖6.21所示變截面桿，已知段橫截面面積，段橫截面面積。材料的彈性模量，受載荷和作用。試計(jì)算桿的伸長(zhǎng)量。圖6.21解：（1）內(nèi)力計(jì)算 用截面法分別求得三段軸力為，（2）變形計(jì)算 根據(jù)式（6-8）計(jì)算各段的變形 （3）計(jì)算桿的變形 的負(fù)號(hào)說(shuō)明此桿縮短?！纠?-8】 圖6.22（a）所示支架，和兩桿均為鋼桿，彈性模量，兩桿的橫截面面積分別為，桿長(zhǎng)，載荷。試求節(jié)點(diǎn)的位移。 圖6.22解：在載荷作用下，桿和桿發(fā)生變形，從而引

25、起節(jié)點(diǎn)的位移。所以應(yīng)先求出兩桿的內(nèi)力，并計(jì)算其變形，再由兩桿變形求節(jié)點(diǎn)的位移。（1）內(nèi)力計(jì)算 以節(jié)點(diǎn)為研究對(duì)象，設(shè)、桿的軸力分別為，均為拉力，如圖6.22（b）所示。列出平衡方程 解得兩桿的軸力分別為： 計(jì)算結(jié)果表明桿受拉，桿受壓。（2）變形計(jì)算 桿的軸向伸長(zhǎng)量 桿長(zhǎng)，軸向縮短量由計(jì)算結(jié)果可以看出兩桿的變形量和桿的原長(zhǎng)度相比甚小，是小變形。（3）節(jié)點(diǎn)的位移 設(shè)想在點(diǎn)將支架拆開(kāi)，桿伸長(zhǎng)后為，桿縮短后為，如圖6.22（c）所示。點(diǎn)位移后的新位置是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓弧和以點(diǎn)圓心，為半徑的圓弧的交點(diǎn)。因?yàn)樽冃魏苄?，上述兩個(gè)圓弧可近似用其切線(xiàn)（分別垂直于直線(xiàn)和）代替，兩條切線(xiàn)的交點(diǎn)即為節(jié)點(diǎn)的新位置，

26、為節(jié)點(diǎn)的位移。節(jié)點(diǎn)的水平位移節(jié)點(diǎn)的垂直位移所以，節(jié)點(diǎn)位移6.6拉伸和壓縮的簡(jiǎn)單靜不定問(wèn)題6.6.1拉壓靜不定的概念結(jié)構(gòu)的約束反力或構(gòu)件的內(nèi)力等未知力用平衡方程就能確定的問(wèn)題稱(chēng)為靜定問(wèn)題。例如圖6.23（a）所示由兩根桿構(gòu)成的桁架為一靜定問(wèn)題。單憑平衡方程不能解出全部未知力的問(wèn)題稱(chēng)為靜不定問(wèn)題，也稱(chēng)為超靜定問(wèn)題。如圖6.23（b）所示由三根桿構(gòu)成的桁架，未知軸力為3個(gè)，平面匯交力系獨(dú)立平衡方程只有2個(gè)。這種由拉壓桿構(gòu)成的靜不定問(wèn)題，稱(chēng)為拉壓靜不定。圖6.23未知力的數(shù)目多于能建立的獨(dú)立平衡方程的數(shù)目。兩者的差稱(chēng)為靜不定次數(shù)或超靜定次數(shù)。圖6.23（b）所示桁架為一次靜不定。6.6.2 拉壓靜不定

27、問(wèn)題的解法以圖6.23（b）所示結(jié)構(gòu)為例，說(shuō)明靜不定問(wèn)題的求解方法。設(shè)1、2兩桿的抗拉剛度為，桿3的抗拉剛度為3，、均為已知。求三桿的軸力。取節(jié)點(diǎn)a研究，受力如圖6.23(b)所示，列平衡方程 除了以上平衡方程外，還必須建立一個(gè)補(bǔ)充方程。各桿受力變形后仍保持整體結(jié)構(gòu)。因此，這些變形之間必存在相互制約的條件，稱(chēng)為變形協(xié)調(diào)條件。再考慮到變形與力之間的物理關(guān)系，就可根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件建立起反映有關(guān)各力之間關(guān)系的補(bǔ)充方程。由于1、2兩桿的抗拉剛度相同，結(jié)構(gòu)對(duì)稱(chēng)，節(jié)點(diǎn)垂直地移動(dòng)到（圖6.24（c），位移也就是桿3的伸長(zhǎng)（圖6.24（d）。由于三桿在受力變形后，下端仍應(yīng)鉸接在點(diǎn)，所以1、2兩桿的伸長(zhǎng)量、與桿

28、3的伸長(zhǎng)量之間有關(guān)系這就是變形幾何方程。圖6.24再由拉壓胡克定律，可知桿1、3的軸力與變形之間的關(guān)系為將其代入變形幾何關(guān)系方程后，得到補(bǔ)充方程為結(jié)合靜力平衡方程可解得由這些結(jié)果可以看出，在靜不定結(jié)構(gòu)中，各桿的軸力與該桿剛度和其他桿的剛度比有關(guān)。剛度越大的桿，其軸力也越大。一般靜不定問(wèn)題的解法為：（1） 進(jìn)行受力分析，建立平衡方程。（2） 根據(jù)變形滿(mǎn)足的條件，建立變形幾何方程。（3） 根據(jù)胡克定律建立物理方程。（4） 聯(lián)立求解平衡方程以及（2）和（3）所建立的補(bǔ)充方程，求出未知力?！纠?-9】圖6.25（a）所示剛性結(jié)構(gòu)，用兩根等截面等長(zhǎng)度同材料的拉桿和鉸鏈安裝于支座上，載荷。若許用應(yīng)力，試求

29、拉桿所需截面的面積。圖6.25解：（1）靜力平衡關(guān)系 取剛性結(jié)構(gòu)研究，受力如圖6.25（b）所示，為平面任意力系，應(yīng)有3個(gè)獨(dú)立的平衡方程，除兩桿內(nèi)力外，支座處有2個(gè)反力和，所以是一次靜不定問(wèn)題。列平衡方程，得（2）變形幾何關(guān)系 剛性結(jié)構(gòu)受力后，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，整個(gè)結(jié)構(gòu)變形如圖6.25（c）所示。由圖可知 即 （3）物理關(guān)系 兩桿變形均為伸長(zhǎng)，軸力為拉力，于是 根據(jù)變形幾何關(guān)系和物理關(guān)系可得補(bǔ)充方程2由題意知。上式成為 代入平衡方程，得 （4）確定各桿截面面積 由式（6-7）可得 按題意兩桿面積應(yīng)為：6.7剪切與擠壓的實(shí)用計(jì)算6.7.1 剪切與擠壓的概念工程中經(jīng)常要用到聯(lián)接件，例如圖6.26（a）所

30、示聯(lián)接鋼板的鉚釘、圖6.26（b）所示齒輪和軸之間的鍵聯(lián)接、圖6.26（c）所示木結(jié)構(gòu)中的隼聯(lián)接等。 聯(lián)接件受外力作用時(shí)將產(chǎn)生變形。以圖6.26（a）所示的板與板通過(guò)鉚釘聯(lián)接的方式為例，鉚釘?shù)氖芰θ鐖D6.27（a）所示。在鉚釘?shù)膬蓚?cè)面上受到大小相等、方向相反，作用線(xiàn)相距很近的兩組分布外力系的作用。鉚釘在這樣的外力作用下，將沿外力分界面發(fā)生相對(duì)錯(cuò)動(dòng)。這種變形形式稱(chēng)為剪切。發(fā)生剪切變形的截面，稱(chēng)為剪切面。聯(lián)接件除了發(fā)生剪切破壞之外，在傳遞壓力的接觸表面上還發(fā)生局部的承壓現(xiàn)象，稱(chēng)為擠壓。聯(lián)接件與被聯(lián)接件相互擠壓的接觸面稱(chēng)為擠壓面。圖6.266.7.2剪切的實(shí)用計(jì)算圖6.26（a）所示的聯(lián)接鉚釘，當(dāng)作

31、用的外力過(guò)大時(shí)，將沿剪切面被剪斷。為保證其正常工作，應(yīng)進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算。聯(lián)接件一般都不是細(xì)長(zhǎng)桿件，加之受力和變形都比較復(fù)雜，要從理論上計(jì)算往往非常困難。在工程實(shí)際中，常常根據(jù)聯(lián)接件的實(shí)際使用和破壞情況，進(jìn)行簡(jiǎn)化計(jì)算，這種簡(jiǎn)化計(jì)算方法稱(chēng)為實(shí)用計(jì)算。為了分析鉚釘?shù)募羟袕?qiáng)度，先利用截面法求出剪切面上的內(nèi)力，如圖6.27（b）所示。在剪切面上，分布內(nèi)力的合力稱(chēng)為剪力，用表示。在剪切面上，切應(yīng)力的分布情況比較復(fù)雜。在實(shí)用計(jì)算中，假設(shè)切應(yīng)力在剪切面上均勻分布，則剪切面上的切應(yīng)力為 （6-10）圖6.27式中為剪切面面積。由平衡條件可知，于是，剪切強(qiáng)度條件為 （6-11）式中，為許用切應(yīng)力，其值由實(shí)驗(yàn)測(cè)得。6.

32、7.3擠壓的實(shí)用計(jì)算仍以圖6.26（a）所示聯(lián)接為例，結(jié)合圖6.28（a)可見(jiàn)，當(dāng)壓力過(guò)大時(shí)，在鉚釘和鋼板接觸處的局部區(qū)域?qū)a(chǎn)生塑性變形或壓潰，發(fā)生擠壓破壞，從而使聯(lián)接件失效。圖6.28我們把擠壓面上的壓力稱(chēng)為擠壓力，用表示，擠壓力引起的應(yīng)力稱(chēng)為擠壓應(yīng)力，用表示。擠壓應(yīng)力在擠壓面上的分布很復(fù)雜，鋼板與鉚釘之間的擠壓應(yīng)力在擠壓面上的分布大致如圖6.28（b）所示。從圖中可見(jiàn)，擠壓應(yīng)力的分布是不均勻的。工程實(shí)際常采用實(shí)用計(jì)算的方法求得名義擠壓應(yīng)力，公式為 （6-12）圖6.29式中，稱(chēng)為擠壓面計(jì)算面積。若接觸面為平面，則即為接觸面面積；若接觸面為圓柱表面，則為圓柱的直徑平面面積。如鉚釘聯(lián)接，其擠壓

33、計(jì)算面積應(yīng)為（如圖6.29）。為了防止擠壓破壞，保證聯(lián)接件能安全可靠地工作，聯(lián)接件還應(yīng)滿(mǎn)足擠壓強(qiáng)度條件 （6-13） 式中為許用擠壓應(yīng)力，通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)定。【例6-10】圖6.30（a）所示為一銷(xiāo)軸聯(lián)接。已知外力，銷(xiāo)軸材料的許用剪切應(yīng)力，許用擠壓應(yīng)力。試設(shè)計(jì)銷(xiāo)軸的直徑。圖6.30解：先確定作用在銷(xiāo)軸上的外力。易知銷(xiāo)軸中部承受的力為，兩端承受的力各為。銷(xiāo)軸的受力如圖6.30（b）所示。（1）按剪切強(qiáng)度設(shè)計(jì) 銷(xiāo)軸具有兩個(gè)剪切面（圖6.30（c），一般稱(chēng)為雙剪面。由截面法可求得這兩個(gè)面上的剪力均為 按剪切強(qiáng)度設(shè)計(jì) 而，于是 （2）按擠壓強(qiáng)度校核 銷(xiāo)軸的擠壓面面積，擠壓應(yīng)力為可見(jiàn)當(dāng)時(shí)，也滿(mǎn)足擠壓強(qiáng)度條件。

34、查機(jī)械設(shè)計(jì)手冊(cè)，最后采用的標(biāo)準(zhǔn)圓柱銷(xiāo)。【例6-11】 用四個(gè)鉚釘來(lái)聯(lián)接兩塊鋼板，如圖6.31（a）所示。鋼板與鉚釘?shù)牟牧舷嗤T釘直徑，鋼板的尺寸為，鉚釘?shù)脑S用應(yīng)力，鋼板的許用應(yīng)力。試校核鉚釘接頭的強(qiáng)度。圖6.31解：本題需校核接頭的三種破壞強(qiáng)度（1）鉚釘?shù)募羟袕?qiáng)度 因?yàn)殂T釘是對(duì)稱(chēng)布置，故可假設(shè)每一鉚釘承受力，即鉚釘受剪面上的剪力切應(yīng)力（2）鉚釘?shù)臄D壓強(qiáng)度 因?yàn)殂T釘與鋼板的材料相同，故只需校核鉚釘或鋼板的擠壓強(qiáng)度 （3）鋼板的拉伸強(qiáng)度 鋼板的受力及其軸力圖如圖6.31（c）、(d)所示。顯然對(duì)1-1截面應(yīng)進(jìn)行強(qiáng)度校核。截面2-2的軸力雖比截面1-1小，但2-2截面被兩個(gè)釘孔所削弱，所以對(duì)2-2截面也應(yīng)作強(qiáng)度校核。 可見(jiàn)整個(gè)接頭強(qiáng)度是安全的。通過(guò)上面的兩個(gè)例題，可以看到應(yīng)用強(qiáng)度條件（6-11）和（6-13）式，可以解決聯(lián)接件的強(qiáng)度校核、截面設(shè)計(jì)和確定許可載荷等三類(lèi)強(qiáng)度計(jì)算問(wèn)題。6.8結(jié)論與討論6.8.1圣維南原理在6.2節(jié)中我們得到的計(jì)算橫截