人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)第十六章二次根式講義

1、優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載第十六章二次根式16.1 二次根式16.2 二次根式的乘除16.3 二次根式的加減【知識(shí)精要】二次根式及其性質(zhì)一、一周知識(shí)概述1、二次根式一般地，我們把形如 ( 0) 的式子叫做二次根式， 其中 為整式或分式，叫做被開方式2、二次根式有意義的條件二次根式有意義的條件是 0，即被開方式是非負(fù)數(shù)3、二次根式的性質(zhì)(3)4、積的算術(shù)平方根的性質(zhì)(a 0，b0)優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載即兩個(gè)非負(fù)數(shù)的積的算術(shù)平方根，等于積中各因式的算術(shù)平方根的積5、商的算術(shù)平方根的性質(zhì)(a 0， b 0)商的算術(shù)平方根，等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根6、最簡二次根式如果二次根式的被開方式中都

2、不含分母，并且被開方式中不含有能開得盡方的因式，這樣的二次根式稱為最簡二次根式二、重難點(diǎn)知識(shí)歸納1、從二次根式的定義看出， 二次根式的被開方數(shù)可以是一個(gè)數(shù)， 也可以是一個(gè)式子，且被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)2、二次根式的性質(zhì)具有雙重非負(fù)性，即二次根式中被開方數(shù)非負(fù)（ a 0）, 算術(shù)平方根非負(fù) (0).3、利用得到成立，可以把任意一個(gè)非負(fù)數(shù)或式寫成一個(gè)數(shù)或式的平方的形式如4、注意逆用二次根式的性質(zhì)，即，利用這兩個(gè)性質(zhì)可以對(duì)二次根式進(jìn)行化簡5、運(yùn)用二次根式的性質(zhì)化簡時(shí)，最后結(jié)果中的二次根式要化為最簡二次根式或整式最簡二次根式必須滿足兩個(gè)條件： (1) 被開方式中不含分母； (2) 被開方式中不含能開得盡

3、方的因數(shù)或因式三、典型例題講解例 1、已知實(shí)數(shù) a、b 在數(shù)軸上的位置如圖優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載化簡：分析：待求式中的五個(gè)二次根式的被開方數(shù)都是完全平方式，且結(jié)構(gòu)特征符合性質(zhì)3的，但由題設(shè)中的a、b 在數(shù)軸上的位置可知a、 b 有正有負(fù)，因此本題的關(guān)鍵是確定各個(gè)數(shù)的正負(fù)性解：由數(shù)軸上點(diǎn)的位置可知a>b，0<a<1， b< 1， a>0， b<0， a b>0， b1<0， a 1<0總結(jié)：（ 1）由數(shù)軸上點(diǎn)的位置應(yīng)確定兩個(gè)要素：一是各數(shù)的正負(fù)性，二是比較各數(shù)的大?。唬?2）在運(yùn)用性質(zhì)計(jì)算時(shí)一定要明確底數(shù)的正負(fù)性例 2、化簡下列二次根式：優(yōu)秀學(xué)

4、習(xí)資料歡迎下載分析：（ 1）（ 4）題均不含分母，因此要將其化為最簡二次根式，即是將被開方數(shù)中能開得盡方的因數(shù)或因式運(yùn)用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，將其移至根號(hào)外，（ 5）（ 8）題都含有分母，應(yīng)首先根據(jù)分式的基本性質(zhì)，將分母化為能開得盡方的，然后再運(yùn)用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)將其化簡，但不要忽視分子中含有能開得盡方的因式或因數(shù)也要化簡總結(jié)：（ 1）當(dāng)被開方數(shù)中不含有分母，則用積的算術(shù)平方根性質(zhì)進(jìn)行化簡；（ 2）當(dāng)被開方數(shù)中含有分母，化簡時(shí)既要用到商的算術(shù)平方根，也要用到積的算術(shù)平方根例 3、若 x 為實(shí)數(shù)，化簡下列各式（ 1）（ 2）優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載分析：由于 x 為實(shí)數(shù)，要確定中的 x1 和中的

5、 x2 的正負(fù)號(hào)，必須將實(shí)數(shù)劃分為幾個(gè)區(qū)域來討論解：（1）=|x 1|當(dāng) x 1 0，即 x 1 時(shí)， |x 1|=x 1當(dāng) x 1<0，即 x< 1 時(shí)， |x 1|= (x 1)= x1（2）=2=|x 2| 2|1 x|令 x 2=0，則 x=2，令 x 1=0，則 x= 1， x=2,x= 1 稱為零點(diǎn)值把 x=2， x=1 這兩點(diǎn)標(biāo)在數(shù)軸上 ( 如上圖 )這時(shí)數(shù)軸被分成三段： x2， 1 x<2， x<1, 就按這三種情況去討論脫絕對(duì)值符號(hào)1）當(dāng) x 2 時(shí)|x 2| 2|1 x|=(x 2) 2(1 x)=3x ；2）當(dāng) 1x<2 時(shí)，|x 2| 2|

6、1 x|= (x 2) 2(1 x)=x 4；3）當(dāng) x<1 時(shí)|x 2| 2|1 x|= (x 2) 2(1 x)= 3x優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載說明：解這類題的大致步驟：找出零點(diǎn)值 ( 使絕對(duì)值等于零的 x 的值 ) ；在數(shù)軸上標(biāo)出這些點(diǎn)， 將整個(gè)數(shù)軸分成若干區(qū)間； 按區(qū)間范圍逐個(gè)討論如何脫絕對(duì)值符號(hào)；從而達(dá)到化簡目的例 4、已知 x、y 為實(shí)數(shù)，且實(shí)數(shù)m適合關(guān)系式，試確定 m的值分析： x199y 與 199x y 互為相反數(shù)，且 x 199 y 0，199 xy0 同時(shí)成立， x199y=0，即 x y=199，又由算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)，可得到關(guān)于x、y、m的方程組，從而求出m的值解：

7、由二次根式有意義的條件知， x y=199將其代入已知等式得又根據(jù)算術(shù)平方根為非負(fù)實(shí)數(shù)有× 2得 xym 2=0，結(jié)合得m=xy2=199 2=201優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載總結(jié)：當(dāng)兩個(gè)二次根式的被開方數(shù)互為相反數(shù)時(shí)，可用“夾逼”的方法推出，兩個(gè)被開方數(shù)同時(shí)為零中考解析例 1、（河南）實(shí)數(shù)a、 b 在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡：解析：由數(shù)軸上實(shí)數(shù)a、 b 的位置可知，a b<0，例 2、（綿陽市）已知是正整數(shù)，則實(shí)數(shù)n 的最大值為（）A12B11C8D3解析：是正整數(shù)， 12n 是一個(gè)整數(shù)的平方數(shù)，當(dāng)n 增大時(shí)， 12n 減小，所以當(dāng) n=11 時(shí)， 12n=1，所以 n 的最大值

8、為 11答案： B例 3、（荊門市）若，則 x y 的值為（）優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載A 1B 1C2D3解析：本題考查二次根式的意義，由題意可知 x 1 0 且 1x0,， xy=2，故選 C答案： C一、選擇題 ( 共 20 分) ：1、下列各式中，不是二次根式的是（）A、 45B、 3C、 a22D、122、下列根式中 , 最簡二次根式是 ( )A.XB. 8XC.6X 3D.X2+133、計(jì)算： 3÷6的結(jié)果是 ( )1B6C3D、 2A、2224、如果a2 a，那么 a 一定是 （）A、負(fù)數(shù)B、正數(shù)C、正數(shù)或零D、負(fù)數(shù)或零5、下列說法正確的是()A、若a2則 a 0B、若a2

9、= a則 a 0,=- a,C、 a4b8=a2b45D、 5 的平方根是6、若 2m-4 與 3m-1 是同一個(gè)數(shù)的平方根, 則 m為()A、-3 B、 1C、-3 或1D 、-1xx7、能使等式x-2 =x-2成立的 x 值的取值范圍是（）優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載A、 x 2B、 x 0C、 x 2D、 x 28、已知 xy 0, 化簡二次根式 xy的正確結(jié)果是 ()x2A.yB.-yC.-yD.-y9、已知二次根式x 2 的值為 3，那么 x 的值是（）A、 3B、 9C、 -3D、3 或 -310、若 a15，則 a、b 兩數(shù)的關(guān)系是（）， b55A、 abB 、 ab5C、 a、b 互為

10、相反數(shù)D、 a、b 互為倒數(shù)二、填空題 ( 共 30 分) ：11、當(dāng) a=-3 時(shí)，二次根式1 a的值等于。12若(x2)(3 x)x 23x 成立。則 x 的取值范圍為；13、實(shí)數(shù) a 在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡:=_.14、若 ab 0, 則化簡a2b的結(jié)果是 _.15、已知 y2xx2 1，則 y。x16、已知： 當(dāng) a 取某一范圍內(nèi)的實(shí)數(shù)時(shí)，代數(shù)式(2-a) 2+(a-3) 2的值是一個(gè)常數(shù) （確定值），則這個(gè)常數(shù)是；17、若 x1x y0 ，則 x 2006y 2005 的值為；18、若正三角形的邊長為25cm，則這個(gè)正三角形的面積是_cm2。19、在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（ - 3 ， -1 ）到原點(diǎn)的距離是。、觀察下列等式： 1；1=3+2；14+3；，2021= 2+134=23請(qǐng)用字母表示你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律：。三、解答題（ 50 分）：21、計(jì)算（每小題3 分，共 18 分）優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載62( 3)2(2)(2 23)(2 23)（1）252232 5161（3） 3123(4)280 1-2（5）（ 6） ( 3+1)( 3-1)+( 2-1) -(- 3)22、 （ 8 分）已知： a3 2， b3 2 ，分別求下列代數(shù)式的值：（ 1） a2b ab2；（2） a2ab b2a2 -1a2-2a+123、（ 5 分）先