2.1.2熱輻射的基本定律解析

1、2.1.2 熱輻射的基本定律 第七章光的量子性 本章主要介紹歷史上在研究黑體輻射，光電效應(yīng)和康普頓效應(yīng)時，怎樣打破經(jīng)典理論 成見，逐漸認識到光的波粒二象性，并闡述波粒二象性的含義。 7 1 熱輻射、基爾霍夫定律 *幾種不同形式的輻射 物體向外輻射將消耗本射的能量。要長期維持這種輻射，就必須不斷從外面補償能量， 否則輻射就會引起物質(zhì)內(nèi)部的變化。在輻射過程中物質(zhì)內(nèi)部發(fā)生化學(xué)變化的，叫做化學(xué)發(fā) 光。用外來的光或任何其它輻射不斷地或預(yù)先地照射物質(zhì)而使之發(fā)光的過程叫做光致發(fā)光。 由場的作用引起的輻射叫場致發(fā)光。另一種輻射叫做熱輻射，這種輻射在量值方面和按波 長分布方面都取決全輻射體的溫度。 任何溫度的物

2、體都發(fā)出一定的熱輻射。 一物體 500 C左右，暗紅色。隨溫度不斷上升，輝光逐漸亮起來，而且波長較短的 輻射越來越多。1500 C變成明亮的白熾光。同一物體在一定溫度下所輻射的能量，在不同 光譜區(qū)域的分布是不均勻的，而且溫度越高，光譜中與能量最大的輻射相對應(yīng)的頻率也越 高。在一定溫度下，不同物體所輻射的光譜成份有顯著的不同。 二、輻射出射度和吸收比 從上面知道：在單位時間內(nèi)從物體單位面積向各個方向所發(fā)射的， 頻率在、：亠d： 范圍內(nèi)的輻射能量 與、.和T有關(guān)，而且足夠小時，可認為與 成正比 = ETd EVT是Y和T的函數(shù)，叫做該物體在溫度 T時發(fā)射頻率為V的單色輻射出射度 （單色 輻出度）。

3、它的物理意義是從物體表面單位面積發(fā)出的， 頻率在附近的單位頻率間隔內(nèi)的 輻射功率。它反映了在不同溫度下，輻射能量按頻率分布的情況。單位為 2 2 W/m =J/m s 從特體表面單位面積上所發(fā)出的各種頻率的總輻射功率，稱為物體的輻射出射度。用 （T）只是溫度的函數(shù)。E、,T和叮1仃）同表面情況有關(guān)。 另一方面，當(dāng)輻射照射到某一不透明物體表面時，其中一部分能量將被物體散射或反 射，另一部分能量則被物體所吸收。 用 貳w表示頻率在屮和V +dv范圍內(nèi)照射到溫度為 T的物體的單位面積上的輻射能量； dJT表示物體單位面積上所吸收的輻射能量，則譏仃）二 oO daT T V1 叫做該物體的吸收比。 0

4、乞A ,T 只是與其速度：有關(guān)(這一假設(shè)看來 是沒有什么根據(jù)的)，從而得到與麥克斯韋速度分布律形式很相似的公式。 :,為常數(shù)，上式稱為維恩公式。 (2 )瑞利一金斯定律 1900年瑞利與金斯試圖把能量均分定律應(yīng)用到電磁輻射能量密度按頻率頒的情況中, 他們假設(shè)空腔處于熱平衡時的輻射場將是一些駐波，根據(jù)能量均分定理，每一列駐波斯灣 平均能量 kT，與頻率無關(guān)，這樣可以算出 2兀2亠 2兀c. 上式稱為瑞利一金斯公式。 兩公式都符合普遍形式。 同實驗數(shù)據(jù)比較，在短波區(qū)域維恩公式符合的很好，但在長波范圍則有雖不太大但卻 是系統(tǒng)的偏離。瑞利公式與之相反，在長波部分符合的很好，但在短波波段偏離非常大， 不

5、僅如此：一 0, ； .,T ，從而叮1一這顯然是荒謬的，瑞利之后，金斯作過各種ST）亠e/T :c2 -c ；、,T 廠 kT n =0 努力，他發(fā)現(xiàn)，只要堅持經(jīng)典的統(tǒng)計理論，這一荒謬結(jié)論就不可避免。歷史上被人們稱為 紫外災(zāi)難。 73 普朗克公式和能量子假說 正確的黑體輻射公式是普朗克給出的（ 1900年） , 34 R是玻爾茲曼常數(shù)， =6.62 10 J s為一普適常數(shù)，稱為普朗克常數(shù)。普朗克公 式也符合普遍形式。 對于短波， kT ekT 1化為維恩公式 對于長波，： kT e -/kT / kT化為瑞一金公式在所有的波段里，普式 和實驗符合的很好。 普式的得來，起初是半徑驗的，即利用

6、內(nèi)插法將適用于短波的維恩公式和適用于長波 瑞利一金斯公式銜接起來，在得到上述公式之后，普朗克才設(shè)法從理論上去論證它。 為了推導(dǎo)簡單，選擇由大量包含各種因有頻率 的諧振子組成的系統(tǒng)。通過發(fā)射和吸 收，諧振子與輻射場交換能量。仔細計算輻射場與諧振子之間的能量交換，得黑體的色輻 出度為 2 2兀v - c 這里（,T），是頻率為 的諧振子在溫度為 T的平衡態(tài)中能量的平均值。 下在我們來計算 ：,T。在熱平衡態(tài)中能量；的幾率正比于ekT（玻爾茲曼正則分布）， 按照經(jīng)典物理學(xué)的觀念，諧振子的能量 ；在0到R間連續(xù)取值，從而 ./ kT , 0 d； :zkTd; 得到的就是導(dǎo)致紫外災(zāi)難的瑞利一金斯公式。

7、為了擺脫困難，普朗克提出如下一個非同尋 常的假設(shè)，諧振子能量的值只取某個基本單元 ；0的整數(shù)倍，即: ；=0, 0,2 ；。,3；0 這樣一來 卡 2兀民2 1 或 5 ec/k_1 O,T) =kT n =0 0/kT -n 0/kT e kT 利用等比級數(shù)的求和公式，可得, 0 .n 、e n z0 0 : _ 1 aanq 1 -e0 p 1 -q 求得： 名0 7 _e 0/kT -1 s? 22 ；0 7 2 c e0/kT -1 要此式符合普遍形式，必須含 ；0正比于 ,即；0 = 這里.是一個應(yīng)由實驗來確定 的比例系數(shù)。這樣 2兀戈v3 名VT =-怖 這便是普朗克公式。 c e

8、-1 綜上所述，我們看到，為了推導(dǎo)與實驗相符的黑體輻射公式，人們不得不作這樣的假 設(shè)：頻率為的諧振子，其能量取值為 ；0 = 的整數(shù)倍，；0 = .稱為能量子，這個假 設(shè)稱為普朗克能量子假設(shè)。從經(jīng)典物理學(xué)的眼光來看，這個假設(shè)是如此的不可思議，就連 變朗克本人也感到難以相信。他曾想盡量縮小與經(jīng)典物理學(xué)之間的矛盾，宣稱只假設(shè)諧振 子的能量是量子化的，而不必認為輻射場本射也具有不連續(xù)性。但后來的許多事實迫使我 們承認，輻射場也是量子化的。 普朗克因闡明光量子論而獲得 1918年諾貝爾物理學(xué)獎金。 74 光電效應(yīng) 本章將說明：頻率為 的電磁波是能量為 的光粒子體系，光不僅有波的性質(zhì)，而 且有粒子的性質(zhì)

9、。 、光電效應(yīng)及其實驗規(guī)律 電子在光的作用下從金屬表面發(fā)射出來的現(xiàn)象，稱為光電效應(yīng)，逸出來的電子稱為光 電子。 光電效應(yīng)的規(guī)律如下： 1. 飽和電流Im的大小與入射光的強度成正比，即光電子數(shù)目同光強成正比。 2. 光電子的最大初動能與光的強度無關(guān)，只與入射光的頻率有關(guān)， 大，光電子的能 量大。 3. 入射光的頻率低于 5，不論光的強度如何，照射時間多長，都沒有光電子輻射。 4. 光的照射和光電子的釋放幾乎是同時的，在測量精度范圍內(nèi)（ mo （對于碳M 0止2200m0）,康普 mc 頓位移就非常小，所以波長的變化可以略去不計。于是在康普頓散射中，有些光子是和所 謂的“自由電子”碰撞的，這些光子

10、的波長是變化的。另一些光子是同緊密束縛的電子及 原子核碰撞的，這些光子的波長不變。 個溫度在 絕對零度以上的物體（或表面）可以在電磁波譜的所有波長上四周發(fā)射能量。 在一個給定的溫度下， 所謂黑體是這樣一種物體， 它在各個波長及所有方向上發(fā)射的能量最 大，同時它又可以吸收各個波長及所有波長來的入射輻射。顯然， 然界中沒有一種物體完全滿足這一條件。 但是，在大氣輻射學(xué)中， 面（包括水面）輻射、云及大氣氣體的輻射等與黑體輻射進行比較， 體輻射的基本定律。 黑體是一種理想表面，自 經(jīng)常需要將太陽輻射、地 因此有必要介紹一下黑 2.1.2.1 基爾霍夫定律 在處于熱力學(xué)平衡條件的均勻介質(zhì)中， 輻射強度是

11、與方向無關(guān)的； 假定單色輻射的強度 I .沿光束路徑s的變化可以表示為 1dL r ds (2.1) (2.2) 這就是著名的基爾霍夫定律（Kirchhoff ）定律。它說明，在熱力學(xué)平衡條件下，介質(zhì)的（質(zhì) 量）源函數(shù)系數(shù)j.與（質(zhì)量）吸收系數(shù) k.之比，與介質(zhì)的性質(zhì)無關(guān)，只是溫度 T和波長 的函數(shù)。同樣的推導(dǎo)適用于處于熱力學(xué)平衡狀態(tài)的物體的面元。 此時，我們只需要發(fā)射強度 J，和吸收率A，代替源函數(shù)系數(shù)j,與吸收系數(shù)k.，即 (2.3) Kirchhoff定律說明，如果介質(zhì)吸收某一特定波長的輻射，它必將同時發(fā)射相同波長輻 射，且J ,二A,l ,，即發(fā)射強度等于吸收強度。又因為 J ,二；，

12、1 ,為發(fā)射率，所以發(fā) /V / u XL Zu Zu /u /u 射率等于吸收率。對于一個絕對黑體來說， J , = I ,因此J , / I , = A, = 1，而且適用于 所有波長；對于灰體來說， J , /1 , = A, ： 1。 /u /u /u 可以由基爾霍夫定律得到以下推論（ Goody and Yung， 1989）: 在腔體內(nèi)的各種均與介質(zhì)中，輻射是均勻的、非偏振的，而且是各向同性的； 介質(zhì)的發(fā)射強度J ,（或稱源函數(shù)）等于輻射強度 I , J = I 扎 扎 c2I，在腔體內(nèi)的所有介質(zhì)中都相等，其中 c2是有關(guān)介質(zhì)中的光速； 作為的一個直接結(jié)果， c2I，必定只是溫度T

13、的一個普適函數(shù)，寫作c2B（注意, 扎 V 波長與頻率V的關(guān)系是：V =C/扎），c是真空中的光速。 嚴格熱力學(xué)平衡存在的一個進一步的推論是， B必須具有下述形式 式中，F(xiàn)是一個未知函數(shù)，讀者可以在標(biāo)準(zhǔn)的熱力學(xué)教科書中找到這種陳述的證明。 2.1.2.2普朗克公式 結(jié)合公式（2.3）以及推論（2.4），可以看到，在基爾霍夫定律中，包含有一個函數(shù) I扎式中，ds是光束方向上的長度元量; T是介質(zhì)的密度。但是在熱力學(xué)平衡的條件下, dl ,/ds=o，由此得到 或B ,而最終是函數(shù) F,它表示黑體輻射強度的光譜分布。因此，確定函數(shù) 輻射理論的一個根本問題。在 19世紀的最后20年里，大量科學(xué)家投身

14、于這一問題的研究， 并極大地促進了量子理論的發(fā)展。最后，德國科學(xué)家普朗克（ Pla nek）獲得成功，他用一個 能量不連續(xù)的諧振子假設(shè)，按照玻爾茲曼的統(tǒng)計方法，得到以下表達式 式中，h是普朗克常數(shù)，h =6.626176 10 erg s ； k是玻爾茲曼（Boltzma nn ）常數(shù)， k =1.380662 1016 erg/deg ； c 為真空中的光速，c = 2.997924580 1010cm/s。 普朗克公式是描述黑體能量輻射的能量是怎樣隨頻率 及溫度T而變化的定量關(guān)系的 公式。由于頻率、與波長具有關(guān)系式：匸-c/ ，以及|小=I小.和d二弓小.， 兒 v 1 1 V 所以，如黑

15、體溫度 T以絕對溫標(biāo)K為單位，則波長的黑體輻射能量 B （T）（以 W/（m2 ”m）為單位）也可以寫作 (2.6) 由于歷史的原因，也經(jīng)常采用如下定義, 2 8 2 4 C1 三 2二he =3.741832 10 (W/m pJm， G = hc/k =1.438786 10 Jm K 式中，G、C2分別稱為第一輻射常數(shù)和第二輻射常數(shù)。于是，普朗克公式又可寫為 值得注意的是，普朗克函數(shù)在其兩個端點（長波方向和短波方向）附近的行為是完全不 同的。在長波方向，當(dāng) oc或VT 0時，由式（2.5）和（2.6），可得 這就是維恩（Wien ）分布。普朗克正是在總結(jié)了這兩種極端情況下的結(jié)果后，提出其

16、黑體 輻射公式的。 2.1.2.3斯特藩-玻爾茲曼定律F的形式成為 2hc (2.7) c2 將式(2.6)對0到二的所有波長進行積分， 即可得到溫度T的黑體輻射的總能量 B(T) 如果注意到 則最后可得 式中, _8 2 4 = 5.67032 10 W/(m K ) 稱為斯特藩-玻爾茲曼(Stefan-Boltzmann )常數(shù)。 斯特藩-玻爾茲曼定律表明，一個絕對黑體的總輻射通量密度與黑體溫度的 4次方成正 比。這里請讀者注意的是，在文獻中對普朗克公式可能有不同的定義。 也就是說，它可以被 定義成輻射強度，也可以被定義成輻射通量，二者相差一個因子 二，B I。其中，B是 通量，而I則是強

17、度。因此，斯特藩-玻爾茲曼定律也有可能被寫作 0 4 l(T)二 T4 (2.11) n 2.1.2.4維恩位移定律 在普朗克公式(2.7 )中，令 C2 x = 并取其對波長的微分，得 B(T) 0 B(T)d- ：2hc2 d- 0 (2.8) he、. kT B(T)= GT4 ： x3 0 ex -1 dx (2.9) dx = 15 B(T)二 7： 4C1 15C(2.10) 二3G 15C； 3 T4 B,(T _ G5(ex -1) -xex 弘-_ 扎6(ex -1)2 若令汨仃)=0,即(2.12) 5(ex -1) = xex 則可求得普朗克函數(shù) B,（T）的轉(zhuǎn)折點在 C

18、2 x 2 4.9651 mT 式中，m是黑體最大輻射強度所對應(yīng)的波長。如記 在日地平均距離上，積分的太陽輻射通量密度大致相當(dāng)于一個 6000K的黑體，所以其峰值 輻射波長在0.5m左右；另一方面，地球表面可以近似看成是一個溫度 300K左右的黑體, 故其峰值輻射波長約為 10 Jm o 普朗克常數(shù)的兩種形式（2.5）和（2.6）均表示在圖2.2中。圖中坐標(biāo) B的曲線說明 A 了大氣計算中一個非常重要的實際問題。 6000K的一個黑體在大于 5 Jm的波長上只具有其 能量的0.4% ;另一方面，一個 255K的黑體在小于5 Jm的波長上，只具有其能量的 0.4%。 因此，對大部分實際應(yīng)用來說，

19、可以獨立地處理太陽和地球輻射流束（亦見圖） 。 a = 0.28978cm K 或 mT =2897.8m K 這就是維恩（Wien ）位移定律。它表明，黑體最大輻射強度的波長與溫度 用輻射頻率m表示，則有 （2.13a） （2.13b） T成反比。如果 Tc =0.50995cm K (2.14) 圖 2.2 普朗克函數(shù)(Goody and Yu ng, 1989) 標(biāo)有縱距，B，的曲線表示與能量成正比的面積； *原圖誤為 600K，編者注 2. 2氣體分子能級躍遷與光譜特性 為了描述大氣氣體成分 （分子）的輻射特性，必須首先了解大氣分子光譜的一些基本知 識。 2.2.1大氣分子吸收光譜的形

20、成-能級與躍遷 按照量子力學(xué)的基本原理，如果忽略不同形態(tài)能量之間的相互作用， 則一個孤立分子的 能量可寫為 E = Ee Ev Er Et （2.15） 式中，Ee表示電子能；Ev是振動能；Er轉(zhuǎn)動能；而Et則是平動能。前三種能量都是量子 化的，由一個或多個量子數(shù)指定。量子數(shù)的任何組合則構(gòu)成一個能態(tài)（或量子態(tài)，或能級， 或光譜項）。 當(dāng)分子能量由一個能態(tài)躍遷到另一個能態(tài)時就吸收或發(fā)射輻射， 而被吸收或發(fā)射的量子 的頻率由Planek公式給出 :E=h、. （ 2.16a） 或 AE 二 （2.16b） h 式中，h為Planek常數(shù)；LE為躍遷能量。 最一般的躍遷涉及Ee，Ev和Er的同時變化，但它們各自的最小可能變化有很大的不 同，故可以初步區(qū)別它們。分子轉(zhuǎn)動能級的最小可能變化 ：Er（min），大致在1emJ左右， 對應(yīng)的吸收（或發(fā)射）光譜，處于微波或遠紅外；對于振動能級 Ev來說，.-：Ev（min） 般 D.