利用極坐標(biāo)計算二重積分PPT課件

1、.),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf ,dyc ).()(21yxy Y型區(qū)域:)(2yx )(1yx Dcdcd)(2yx )(1yx D第1頁/共30頁xy 1例例 6 6 改變積分改變積分 xdyyxfdx1010),(的次序的次序. 原原式式 ydxyxfdy1010),(.解積分區(qū)域如圖 .10, 10 :xyxD也可表示為 .10, 10 :yxyD第2頁/共30頁 例7 計算由四個平面x0 y0 x1 y1所圍成的柱體被平面z0及2x3yz6截得的立體的體積 四個平面所圍成的立體如圖 解: dxdyyxVD)326( 1010)326(dyyxdx 101

2、022326dxyxyy 1027)229(dxx所求體積為第3頁/共30頁281 02.|,:|,DIyxdxdyDxy例例 求求其其中中xy011 2解.|2中的絕對值符號去掉中的絕對值符號去掉必須將必須將xy 兩兩部部分分分分成成將將區(qū)區(qū)域域拋拋物物線線212、DDDxy 11,0:21 xxyD11, 2:22 xyxD 22122),( ),( |),(DyxxyDyxyxxyyxf 21)()(22DDdxdyxydxdyyxIdyxydxdyyxdxxx 2211021122)()(1546 2D1D第4頁/共30頁第三節(jié)第三節(jié) 二重積分計算方法（二）二重積分計算方法（二）利用極

3、坐標(biāo)計算二重積分第5頁/共30頁AoDiirr iirrriiiiiiiiirrr 2221)(21iiiirrr )2(21iiiiirrrr 2)(,iiirr .)sin,cos(),( DDrdrdrrfdxdyyxf 一、利用極坐標(biāo)系計算二重積分一、利用極坐標(biāo)系計算二重積分第6頁/共30頁.)sin,cos()()(21 rdrrrfd ADo)(1 r)(2 r二重積分化為二次積分的公式(一)區(qū)域特征如圖, ).()(21 r.)sin,cos(),( DDrdrdrrfdxdyyxf 第7頁/共30頁AoD)(r.)sin,cos()(0 rdrrrfd二重積分化為二次積分的公式

4、(二)區(qū)域特征如圖(曲邊扇形), ).(0 r Drdrdrrf )sin,cos(第8頁/共30頁 Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()(020 rdrrrfd極坐標(biāo)系下區(qū)域的面積. Drdrd 二重積分化為二次積分的公式(三)區(qū)域特征如圖(極點在區(qū)域內(nèi)部).(0 rDoA)(r,2 0第9頁/共30頁例例 1 1 寫寫出出積積分分 Ddxdyyxf),(的的極極坐坐標(biāo)標(biāo)二二次次積積分分形形式式，其其中中積積分分區(qū)區(qū)域域,11| ),(2xyxyxD 10 x.1 yx122 yx解在極坐標(biāo)系下在極坐標(biāo)系下 sincosryrx所所以以圓圓方方程程為為 1 r,直直線線

5、方方程程為為 cossin1 r, Ddxdyyxf),(.)sin,cos(201cossin1 rdrrrfd第10頁/共30頁例例 2 2 計算計算dxdyeDyx 22，其中，其中 D 是由中心在是由中心在原點，半徑為原點，半徑為a的圓周所圍成的閉區(qū)域的圓周所圍成的閉區(qū)域.解在在極極坐坐標(biāo)標(biāo)系系下下 D：ar 0， 20. dxdyeDyx 22 arrdred0202).1(2ae xy0a第11頁/共30頁解D：bra ， 20 . dyxD 22 20bardrrd)(31233ab )(3233ab 第12頁/共30頁 xxdyyxdx2212210)(求求 解 積分區(qū)域D如圖

6、所示 tan sec0 ,40| ),( D Dxxdddyyxdx 12122102)( dd tansec040112tansec40 d例4.第13頁/共30頁第四節(jié) 三重積分的概念及計算法（直角坐標(biāo)系下計算法）第14頁/共30頁一、三重積分的定義一、三重積分的定義.,),(),(),(,:Mzyxzyxzyx物體的質(zhì)量物體的質(zhì)量試求該試求該為連續(xù)函數(shù)為連續(xù)函數(shù)且且處的密度為處的密度為上的點上的點它在它在域域設(shè)有一物體占據(jù)空間區(qū)設(shè)有一物體占據(jù)空間區(qū)例例 方法：分割,取近似,求和,取極限個小塊個小塊把物體任意分把物體任意分n.,21nVVV ),()(iiiiiVV 取取一一點點體體積積也

7、也記記在在每每一一小小塊塊 iiiiiVM ),( niiiiiniiVMM11),( 則 niiiiiVM10),(lim 第15頁/共30頁第16頁/共30頁.叫做體積元素叫做體積元素其中其中dv, 的的平平面面來來劃劃分分用用平平行行于于坐坐標(biāo)標(biāo)面面在在直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系中中，如如果果.lkjizyxv 則則.積積元元素素叫叫做做直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系中中的的體體其其中中dxdydzV 第17頁/共30頁二、三重積分的計算二、三重積分的計算xyzo D1z2z2S1S),(1yxzz ),(2yxzz ab)(1xyy )(2xyy ),(yx如圖，,Dxoy面上的投影為閉區(qū)域面上的投影

8、為閉區(qū)域在在閉區(qū)域閉區(qū)域 ),(:),(:2211yxzzSyxzzS ,),(作作直直線線過過點點Dyx 穿出穿出穿入，從穿入，從從從21zz方法一(投影法）：直角坐標(biāo)系中將三重積分化為三 次積分計算第18頁/共30頁函函數(shù)數(shù)，則則的的只只看看作作看看作作定定值值，將將先先將將zzyxfyx),(, ),(),(21),(),(yxzyxzdzzyxfyxF上上的的二二重重積積分分在在閉閉區(qū)區(qū)間間計計算算DyxF),(.),(),(),(),(21 DyxzyxzDddzzyxfdyxF ,),()(:21bxaxyyxyD 得：fx, y,z dv =.),()()(),(),(2121

9、baxyxyyxzyxzdzzyxfdydx注意： 投影法是把三重積分化為二次積分和一次積分，且積分順序為“先一后二”，因此也稱為“先一后二”法.第19頁/共30頁解, 122 yxxyzo第20頁/共30頁.),(11221122222 xyxxxdzzyxfdydxI第21頁/共30頁 101010)(dzzyxdydxdxdydzM 1010)21(dyyxdx 101022121dxyyxy102)1(21 x 10)1(dxx23 例2 解 第22頁/共30頁221111122 =x,y,z | x + yz, - xy- x , -x 111112222),(yxxxdzzyxfd

10、ydxI積分區(qū)域可表示為:由曲面zx2y2及平面z1所化三重積分 dxdydzzyxfI),(積分，其中積分區(qū)域 xozy例 3解為三次圍成.第23頁/共30頁 3)1(zyxdxdydz yxxdzzyxdydx1031010)1(1(x y z)| 0z1xy 0y1x 0 x1 解 xyxdyzyxdx1010210)1(21 xdyyxdx1021081)1(21例4xozy111積分區(qū)域可表示為:第24頁/共30頁dxyyxx 101081)1(21dxxx 108183)1(2110216183)1ln(21xxx )852(ln21 xozy111 xdyyxdx1021081)1(21第25頁/共30頁z方法二：用截面法計算三重積分.第26頁/共30頁z zDccdxdyzyxfdz),(21 dvzyxf),( 截面法是把三重積分化為一次積分和二次積分， 且積分順序為“先二后一”，因此也稱為“先二后一”法.說明:第27頁/共30頁解解（一）（一） zdxdydz,10