解析幾何常用結(jié)論

1、直線和圓常用結(jié)論1、 傾斜角的定義及范圍：當直線非水平線時，x軸的正方向繞這條直線和x軸的交點逆時針轉(zhuǎn)到和直線重合的位置所轉(zhuǎn)過的最小正角.傾斜角的取值范圍是：0,)2、 直線的斜率定義和斜率公式：斜率定義：（是直線的非直角傾斜角）斜率公式：過點的直線的斜率為：.斜率的幾何意義：非豎直直線上的任一個點向右運動一個單位，縱方向的改變量.3、 把垂直于直線的向量叫做直線的法向量，平行于直線的向量叫方向向量.利用法向量與方向向量很容易寫出直線的一般式方程. 已知點，則（1）與向量平行的直線的方程可設(shè)為：;（2）與向量垂直的直線的方程可設(shè)為：.口訣：相量垂直，相乘相加;向量平行 相除相減.4、 點關(guān)于點

2、的對稱點的坐標為：.特別地，點關(guān)于原點的對稱點的坐標為：，即.5、 直線關(guān)于點對稱的直線的方程為：.直線關(guān)于原點、x軸，y軸對稱的直線的方程分別為：，.6、 直線關(guān)于直線對稱的直線的方程分別為：，.7、 曲線關(guān)于點對稱的直線的方程為：.8、 點關(guān)于直線的對稱點的坐標為：，.特別地，當時，點關(guān)于直線的對稱點的坐標（x,y）滿足方程組，即坐標為：.點關(guān)于軸、軸，直線，直線的對稱點的坐標分別為：. 9、 過點作直線的垂線段，垂足的坐標為：，.10、 圓的四種方程:（1）圓的標準方程 .（2）圓的一般方程 (0).（3）圓的參數(shù)方程 .（4）圓的直徑式方程 (圓的直徑的端點是、).11、 過圓上一點m

3、的圓的切線方程為；以圓內(nèi)非圓心的一點為中點的弦所在直線的方程為 ； 過圓外一點m引圓的兩條切線，則過兩個切點的直線的方程為; 若m是圓內(nèi)除圓心（0，0）處的一點，則直線與這個圓的位置關(guān)系為相離; 若m是圓外一點，則直線與這個圓的位置關(guān)系為相交;若直線與圓(r>0)相切，則a,b,c與半徑r的關(guān)系為： 12、 過圓c :上一點的圓c的切線方程為.以圓c :內(nèi)非圓心的一點m為中點的圓c的弦所在直線的方程為.若直線與圓c : (r>0)相切，則a,b,c ,r, x0, y0的關(guān)系為：13、 點與圓的位置關(guān)系點與圓的位置關(guān)系有三種若，則點在圓外;點在圓上;點

4、在圓內(nèi).14、 直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系有三種:;.其中.15、 兩圓位置關(guān)系的判定方法設(shè)兩圓圓心分別為o1，o2，半徑分別為r1，r2，;.16、 圓的切線方程(1)已知圓若已知切點在圓上，則切線只有一條，其方程是.當圓外時, 表示過兩個切點的弦所在直線的方程過圓外一點的切線方程可設(shè)為，再利用相切條件求k，這時必有兩條切線，若只求得一個k值，注意不要漏掉另一條是平行于y軸的切線斜率為k的切線方程可設(shè)為，再利用相切條件求b，必有兩條切線(2)已知圓過圓上的點的切線方程為;斜率為的圓的切線方程為.橢圓的常用結(jié)論已知是橢圓的焦點，點p在橢圓上.1. 平面內(nèi)到兩個不重合定點的距離之和等于

5、常數(shù)的點的軌跡是橢圓或線段或不存在.當常數(shù)大于兩定點間的距離時是橢圓（當三點不共線時，兩邊之和大于第三邊）；當常數(shù)等于兩定點間距離時是線段；當常數(shù)小于兩定點間距離時軌跡不存在.2. pf1f2的周長為定值（分別是長半軸長和半焦距）.3. 焦點弦和另一焦點圍成的三角形周長為長軸長的4倍，即4 a.4. 當且僅當半焦距短半軸長時，橢圓上存在點，使，點p是以線段為直徑的圓與橢圓的公共點.若橢圓上的點m處于圓內(nèi)，則是鈍角，若m處于圓處，則是零角或銳角.當橢圓方程為時，點的坐標滿足：.5. 當橢圓上的點從長軸端點向短軸端點運動時，逐漸增大.當點處于短軸端點時，最大.6. 橢圓焦半徑的取值范圍是：.7.

6、焦半徑的中點到中心的距離的長的一半.8. 離心率的4種算法：；.9.10. 橢圓（ab0）的焦半徑公式：（1）, ( , ，).（2）若是橢圓的一個焦點，o是橢圓的中心，p是橢圓上一點，ofp,則，當時，.11. 若線段是過橢圓的一個焦點 f的一條弦，o是橢圓的中心，ofp或ofq,則，當時，.12. 若過長軸的一個端點a的一條弦ap, oap=,則；當時，.13. 一個焦點關(guān)于f1pf2的外角平分線對稱的點的軌跡是以另一個焦點為圓心，半徑為長軸長的圓.14. 橢圓可看成是以一個定點為圓心的一個大圓相內(nèi)切，且以另一個定點為圓心的小圓相外切的動圓圓心的軌跡.兩定點是焦點，長軸長等于兩定

7、圓的半徑和.15. 橢圓可看成是以一個圓的半徑瑞點和圓內(nèi)一點為瑞點的線段的垂直平分線與這條半徑的交點的軌跡.16. 若在橢圓內(nèi)非原點，則被平分的弦所在直線的方程是：.17. 線段ab是橢圓的不平行于對稱軸的弦，m為ab的中點，則，即.18. 若在橢圓上，則過的橢圓的切線l的方程是.19. 若在橢圓外 ，則過p作橢圓的兩條切線切點為p1、p2，則直線p1p2的方程是.20. 橢圓的任一條焦點弦的一個瑞點與另一個瑞點在相應(yīng)準線上的射影的連線過這個焦點到這條準線的垂線段的中點.21. 直線與橢圓（ab0）相切.22. 直線與橢圓（ab0）有公共點.“”時相切，“>”時相交.雙曲線的常用結(jié)論已知

8、是雙曲線的焦點，點p在雙曲線上.1. 平面內(nèi)到兩個不重合定點的距離之差的絕對值等于常數(shù)的點的軌跡是雙曲線或兩射線或不存在.當常數(shù)小于兩定點間的距離時是雙曲線（當三點不共線時，兩邊之差的絕對值小于第三邊）；當常數(shù)等于兩定點間距離時是以焦點為端點，線段的延長線和反向延長線；當常數(shù)小于兩定點間距離時軌跡不存在.2. 雙曲線的一條焦半徑與另一焦點圍成的三角形的周長焦點弦長的2倍+4a.3. 要求漸近線，常數(shù)改為零.要用漸近線方程設(shè)雙曲線方程，平方相減等非零（常數(shù)）.4. 雙曲線的焦點到漸近線的距離等于虛半軸長.5. 雙曲線的離心率等于雙曲線的實虛軸長相等（等軸雙曲線）漸近線垂直.6. 焦半徑的中點到中

9、心的距離的長的一半.7. 當雙曲線的焦半徑與漸近線無交點時，焦半徑的取值范圍是：；當雙曲線的焦半徑與漸近線有交點時，焦半徑的取值范圍是：.可用于已知焦半徑的長判斷焦半徑的條數(shù)或焦半徑處于雙曲線上的端點的個數(shù)，可以是04個5種情形.8. 雙曲線上總存在點，使，此時當雙曲線的方程為時，點的坐標滿足：.點p是以線段為直徑的圓與橢圓的公共點.若橢圓上的點m處于圓內(nèi)，則是鈍角，若m處于圓處，則是銳角.9. 當雙曲線上的點向頂點運動時，逐漸增大.當點處于頂點時，最大，是一個平角.10. 離心率的4種算法：；（是兩漸近線所成的焦點所在區(qū)域的角）；.11.12. 雙曲線（a0,bo）的焦半徑公式： （1）當在

10、右支上時，,.當在左支上時，,( , （2）若是雙曲線的一個焦點，o是雙曲線的中心，p是雙曲線上一點，ofp,則若線段是過雙曲線的一個焦點 f的一條弦，o是雙曲線的中心，ofp或ofq,則;13. 若過實軸的一個端點a的一條弦ap, oap=,則14. 一個焦點關(guān)于f1pf2的內(nèi)角平分線對稱的點的軌跡是以另一個焦點為圓心，半徑為實軸長的圓.15. 與以兩個不重合的定點為圓心的兩半徑不等的外離圓都外切的動圓圓心的軌跡是雙曲線的一支.兩定點是焦點，實軸長等于兩定圓的半徑差的絕對值.16. 雙曲線可看成是以一個圓的半徑瑞點和圓外一點為瑞點的線段的垂直平分線與這條半徑所在直線的交點的軌跡.1

11、7. 若在雙曲線（a0,b0）內(nèi)，則被p平分的弦所在直線的方程是： .18. ab是雙曲線（a0,b0）的不平行于對稱軸的弦，m為ab的中點，則，即.19. 若在雙曲線（a0,b0）上，則過點的切線方程是.20. 若在雙曲線（a0,b0）外 ，則過p作雙曲線的兩條切線，切點為p1、p2，則直線p1p2的方程是.21. 雙曲線的任一條焦點弦的一個瑞點與另一個瑞點在相應(yīng)準線上的射影的連線過這個焦點到這條準線的垂線段的中點.22. 非漸近線的直線與雙曲線（a，b0）相切.拋物線的常用結(jié)論拋物線中有一些常見、常用的結(jié)論，了解這些結(jié)論后在做選擇題、填空題時可迅速解答相關(guān)問題，在做解答題時也可迅速打開思路

12、.結(jié)論1.若ab是拋物線的焦點弦（過焦點的弦），且，則：，.即成等比數(shù)列.證明：焦點坐標為f(,0).設(shè)直線ab的方程為：推廣：結(jié)論2.若ab是過定點的拋物線的弦，且，則：，.即成等比數(shù)列.（注：點p不一定在拋物線的內(nèi)部，開口向上或向下的情形可與此類推）證明：設(shè)直線ab的方程為：特別地，當，故.可用文字敘述為：結(jié)論3.（1）過拋物線內(nèi)對稱軸上到頂點的距離等于通徑的定點的弦對著頂點處的角是直角.（2）若拋物線的弦對著頂點處的角是直角，則弦過定點，定點是拋物線內(nèi)部對稱軸上到頂點的距離等于通徑的點.以上性質(zhì)可敘述為：拋物線的定點弦，端點坐標積恒定.結(jié)論4.過拋物線的準線與軸的交點作兩條切線，則兩切線

13、垂直.當開口向左或向右時，切點的橫坐標等于焦點的橫坐標. 當開口向上或向下時，切點的縱等于焦點的縱坐標.（注：對拋物線的方程是標準方程時適用）推廣：結(jié)論5.過拋物線外一點（作拋物線的兩切切線，則切點橫坐標為 -t.證明：設(shè)兩條切線中的任一條的方程為：，(*) 直線與拋物線相切.=򢉠a 0 am2+4t=0.由（*）知：切點的縱坐標為.代入，得切點橫坐標為.結(jié)論6.過拋物線上一點p的切線的方程是：.設(shè)過點p的切線的方程為：,則把代入并整理，得由直線與拋物線相切知：由于點在拋物線上，故，于是切線方程為：.結(jié)論7.過拋物線的處側(cè)一點作兩條切線，則過兩切點的直線方程為：證明：設(shè)兩個切點

14、為.過的切線的方程為：由于點在切線上，故，即：點在直線上.同理可證：點在直線過兩切點的直線方程為：結(jié)論8.過拋物線的兩切線交點和切點弦中點的直線平行于對稱軸或與對稱軸重合，弦在對稱軸上的截距與兩切線交點的一次坐標反號.下面就拋物線方程為的情形加以證明.證明：過拋物線的處側(cè)一點作兩條切線，則過兩切點的直線方程為：，代入并整理，得設(shè)兩個切點為.切點弦，與點的縱坐標示相同，故切點的中點和點的直線平于對稱軸x軸或與x軸重合.把當代入解得：.即切點弦在對稱軸上的截距與點的一次字母坐標，即橫坐標互為相反數(shù).以拋物線內(nèi)部一點為中點的弦所在的直線的方程是：.結(jié)論9.拋物線的頂點為o,焦點為 f,焦準距為p,拋

15、物線上任一點為p,設(shè)ofp=,則焦半徑.證明：由前面結(jié)論知：故當時，的最大值為1，有最小值焦點弦pj最短.這時的焦點弦稱為通徑.特別地，拋物線的傾斜角為非直角的弦點弦長. 拋物線的傾斜角為非直角的弦點弦長結(jié)論10.通徑是最短的焦點弦.結(jié)論11焦點弦和頂點圍成的三角形的面積等于半通徑的平方除以弦與軸的夾角的正弦的商的一半.結(jié)論12.拋物線（p是焦準距）的焦點的兩端點為，則， 例：已知過拋物線的焦點的弦ab長為12，則直線ab傾斜角為 .解：12=（其中為直線ab的傾斜角），則，所以直線ab傾斜角為或.結(jié)論13：三個相切：（1）以拋物線焦點弦為直徑的圓與準線相切. （2）以焦點弦在準線上的射影為直

16、徑的圓和焦點弦相切.（3）以焦點弦為直徑的圓和過頂點垂直于軸的直線相切.已知ab是拋物線的過焦點f的弦，求證：（1）以ab為直徑的圓與拋物線的準線相切.(2)分別過a、b做準線的垂線，垂足為m、n，求證：以mn為直徑的圓與直線ab相切.證明：(1)設(shè)ab的中點為q,過a、q、b向準線l作垂線，垂足分別為m、p、n，連結(jié)ap、bp.bamnqpyxof由拋物線定義：，以ab為直徑為圓與準線l相切（2）作圖如（1），取mn中點p，連結(jié)pf、mf、nf，amof，amf=afm，amf=mfo，oamnpyxfbafm=mfo.同理，bfn=nfo，mfn=（afm+mfo+bfn+nfo）=90&

17、#176;，pfm=fmpafp=afm+pfm=fma+fmp=pma=90°，fpab以mn為直徑為圓與焦點弦ab相切.第三個相切的證明省略.結(jié)論14.焦點弦在準線上的射影對焦點處的角是直角.結(jié)論15.一條焦點弦的兩條焦半徑的倒數(shù)為定值，定值等于焦準距倒數(shù)的2倍.下面對特殊情形加以證明：已知直線ab是過拋物線焦點f，求證：為定值.證明：設(shè)，由拋物線的定義知：，又+=，所以+=-，且由結(jié)論一知：.則： =（常數(shù)）練習(xí)：1. 過拋物線的焦點作一直線交拋物線于兩點，若線段與的長分別是，則= 【解析：化為標準方程，得，從而取特殊情況，過焦點的弦垂直于對稱軸，則為通徑，即，從而，故】2.設(shè)

18、拋物線的焦點為，經(jīng)過點的直線交拋物線于兩點點在拋物線的準線上，且軸證明直線經(jīng)過原點【證明：拋物線焦點為設(shè)直線的方程為，代入拋物線方程，得若設(shè)，則軸，且點在準線；又由，得，故，即直線經(jīng)過原點】3.已知拋物線的焦點是，準線方程是，求拋物線的方程以及頂點坐標和對稱軸方程【解：設(shè)是拋物線上的任意一點，由拋物線的定義得整理，得，此即為所求拋物線的方程拋物線的對稱軸應(yīng)是過焦點且與準線垂直的直線，因此有對稱軸方程設(shè)對稱軸與準線的交點為，可求得，于是線段的中點就是拋物線的頂點，坐標是】備選1.拋物線的頂點坐標是，準線的方程是，試求該拋物線的焦點坐標和方程解：依題意，拋物線的對稱軸方程為設(shè)對稱軸和準線的交點是，可以求得設(shè)焦點為，則的中點是，故