推薦第九章-方向導數(shù)與梯度

1、1方向導數(shù)與梯度方向導數(shù)與梯度實例實例：一塊長方形的金屬板，四個頂點的坐標是：一塊長方形的金屬板，四個頂點的坐標是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐標原點處有一個火在坐標原點處有一個火焰，它使金屬板受熱假定板上任意一點處的溫焰，它使金屬板受熱假定板上任意一點處的溫度與該點到原點的距離成反比在度與該點到原點的距離成反比在(3,2)處有一個處有一個螞蟻，問這只螞蟻應沿什么方向爬行才能最快到螞蟻，問這只螞蟻應沿什么方向爬行才能最快到達較涼快的地點？達較涼快的地點？問題的問題的實質實質：應沿由熱變冷變化最驟烈的方應沿由熱變冷變化最驟烈的方向（向（即梯度方向即梯度方向）爬行）爬行2一、方

2、向導數(shù)的定義一、方向導數(shù)的定義 討論函數(shù)討論函數(shù) 在一點在一點p沿某一沿某一方向的變化率問題方向的變化率問題),(yxfz 引射線引射線內有定義，自點內有定義，自點的某一鄰域的某一鄰域在點在點設函數(shù)設函數(shù)lppuyxpyxfz)(),(),( ).(),(,puplyyxxplx 上的另一點且上的另一點且為為并設并設為為的轉角的轉角軸正向到射線軸正向到射線設設 oyxlp xyp3 |pp,)()(22yx ),(),(yxfyyxxfz 且且, z 考慮考慮當當 沿著沿著 趨于趨于 時，時，p pl ),(),(lim0yxfyyxxf 是否存在？是否存在？的的方方向向導導數(shù)數(shù)沿沿方方向向則

3、則稱稱這這極極限限為為函函數(shù)數(shù)在在點點在在，時時，如如果果此此比比的的極極限限存存趨趨于于沿沿著著當當之之比比值值，兩兩點點間間的的距距離離與與函函數(shù)數(shù)的的增增量量定定義義lpplpyxppyxfyyxxf 22)()(),(),( 4記為記為.),(),(lim0 yxfyyxxflf 方向導數(shù)的幾何意義方向導數(shù)的幾何意義 ),(),(lim),(0000000yxfyyxxflyxfx 5 yyyxxx 00過直線過直線 作平行于作平行于 z 軸的平面軸的平面 與曲面與曲面 z = f ( x , y ) 所交的曲線記為所交的曲線記為 c c上上考考察察在在 對對應應的的方方向向與與lpp

4、0 ),(),(0000yxfyyxxf 表示表示c 的割線向量的割線向量 的的交交角角的的正正切切值值與與lpp0即即的的斜斜率率關關于于lpp0時時當當0 ),(),(0000yxyyxx 即即割線轉化為切線割線轉化為切線6上式極限存在就意味著當點上式極限存在就意味著當點),(00yyxx ),(00yx趨于點趨于點 曲線曲線c在點在點 p0 有唯一的切線有唯一的切線它關于它關于 方向的斜率方向的斜率l就是方向導數(shù)就是方向導數(shù)),(00yxlf lcm0tp0pml7證明證明由于函數(shù)可微，則增量可表示為由于函數(shù)可微，則增量可表示為)(),(),( oyyfxxfyxfyyxxf 兩邊同除以

5、兩邊同除以,得到得到8 )(),(),(oyyfxxfyxfyyxxf 故有方向導數(shù)故有方向導數(shù) lf ),(),(lim0yxfyyxxf .sincos yfxf cossin例例 1 1 求求函函數(shù)數(shù)yxez2 在在點點)0 , 1(p處處沿沿從從點點 )0 , 1(p到到點點)1, 2( q的的方方向向的的方方向向導導數(shù)數(shù).9解解這這里里方方向向l即即為為1, 1 pq,故故x軸軸到到方方向向l的的轉轉角角4 .; 1)0, 1(2)0, 1( yexz, 22)0, 1(2)0, 1( yxeyz所所求求方方向向導導數(shù)數(shù) lz)4sin(2)4cos( .22 例例 2 2 求求函函

6、數(shù)數(shù)22),(yxyxyxf 在在點點（1，1）沿沿與與x軸軸方方向向夾夾角角為為 的的方方向向射射線線l的的方方向向導導數(shù)數(shù).并并問問在在怎怎樣樣的的方方向向上上此此方方向向導導 數(shù)數(shù)有有 （1）最最大大值值； （2）最最小小值值； （3）等等于于零零？10解解由方向導數(shù)的計算公式知由方向導數(shù)的計算公式知 sin)1 , 1(cos)1 , 1()1 , 1(yxfflf ,sin)2(cos)2()1 , 1()1 , 1( xyyx sincos),4sin(2 故故（1）當當4 時時，方方向向導導數(shù)數(shù)達達到到最最大大值值2;（2）當當45 時時，方方向向導導數(shù)數(shù)達達到到最最小小值值2

7、;（3）當當43 和和47 時時，方向導數(shù)等于方向導數(shù)等于 0.11推廣可得推廣可得三元函數(shù)方向導數(shù)的定義三元函數(shù)方向導數(shù)的定義對于三元函數(shù)對于三元函數(shù)),(zyxfu ，它在空間一點，它在空間一點),(zyxp沿著方向沿著方向 l的方向導數(shù)的方向導數(shù) ，可定義，可定義為為,),(),(lim0 zyxfzzyyxxflf （ 其其中中222)()()(zyx ）設設方方向向 l 的的方方向向角角為為 ,cos x,cos y,cos z.coscoscos zfyfxflf 12例例 3 3 設設n是是曲曲面面632222 zyx 在在點點)1 , 1 , 1(p處處的的指指向向外外側側的的

8、法法向向量量，求求函函數(shù)數(shù)2122)86(1yxzu 在在此此處處沿沿方方向向n的的方方向向導導數(shù)數(shù).解解令令, 632),(222 zyxzyxf, 44 ppxxf, 66 ppyyf, 22 ppzzf故故 zyxfffn , ,2, 6, 4 ,142264222 n方向余弦為方向余弦為,142cos ,143cos .141cos 13ppyxzxxu22866 ;146 ppyxzyyu22868 ;148 ppzyxzu22286 .14 故故ppzuyuxunu)coscoscos( .711 14二、梯度的概念二、梯度的概念?最快沿哪一方向增加的速度函數(shù)在點 p由由方方向向導

9、導數(shù)數(shù)公公式式知知問題：問題：15sin,cos, yfxf sincosyfxflf eyxgradf ),(,cos| ),(| yxgradf 其其中中),(,eyxgradf 當當1),(cos( eyxgradf時時，lf 有最大值有最大值. 函數(shù)在某點的梯度是這樣一個向量，它的函數(shù)在某點的梯度是這樣一個向量，它的方向與取得最大方向導數(shù)的方向一致方向與取得最大方向導數(shù)的方向一致,而它的模為而它的模為方向導數(shù)的最大值梯度的模為方向導數(shù)的最大值梯度的模為 22| ),(| yfxfyxgradf.gradfgradf p16當當xf 不不為為零零時時，x軸軸到到梯梯度度的的轉轉角角的的正

10、正切切為為xfyf tan),(yxfz 在幾何上在幾何上 表示一個曲面表示一個曲面曲面被平面曲面被平面 所截得所截得cz ,),( czyxfz所得曲線在所得曲線在xoy面上投影如圖面上投影如圖oyx1),(cyxf2),(cyxfpcyxf),(),(yxgradf梯度為等高線上的法向量梯度為等高線上的法向量等高線等高線17等高線的畫法等高線的畫法18例如例如,圖形及其等高線圖形圖形及其等高線圖形函數(shù)函數(shù)xyzsin 19梯度與等高線的關系：梯度與等高線的關系：向向導導數(shù)數(shù)的的方方于于函函數(shù)數(shù)在在這這個個法法線線方方向向模模等等高高的的等等高高線線，而而梯梯度度的的值值較較值值較較低低的的

11、等等高高線線指指向向數(shù)數(shù)從從數(shù)數(shù)線線的的一一個個方方向向相相同同，且且在在這這點點的的法法高高線線的的等等的的梯梯度度的的方方向向與與點點在在點點函函數(shù)數(shù)cyxfpyxpyxfz ),(),(),(20此時此時 f ( x , y ) 沿該法線方向的方向導數(shù)為沿該法線方向的方向導數(shù)為2222yxyyyxxxffffffffnf 0 gradf 故應從數(shù)值較低的等高線指向數(shù)值較高的等故應從數(shù)值較低的等高線指向數(shù)值較高的等高線，梯度的模等于函數(shù)在這個法線方向的方向高線，梯度的模等于函數(shù)在這個法線方向的方向導數(shù)，這個法線方向就是方向導數(shù)取得最大值的導數(shù)，這個法線方向就是方向導數(shù)取得最大值的方向。方向

12、。21梯度的概念可以推廣到三元函數(shù)梯度的概念可以推廣到三元函數(shù) 三三元元函函數(shù)數(shù)),(zyxfu 在在空空間間區(qū)區(qū)域域 g 內內具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導導數(shù)數(shù)，則則對對于于每每一一點點gzyxp ),(，都都可可定定義義一一個個向向量量(梯梯度度).),(kzfjyfixfzyxgradf 類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個向量，類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個向量，其方向與取得最大方向導數(shù)的方向一致，其模其方向與取得最大方向導數(shù)的方向一致，其模為方向導數(shù)的最大值為方向導數(shù)的最大值.2223例例 4 4 求求函函數(shù)數(shù) yxzyxu2332222 在在點點 )2 , 1 , 1 (處處的的梯梯度

13、度，并并問問在在 哪哪些些點點處處梯梯度度為為零零？解解 由梯度計算公式得由梯度計算公式得kzujyuixuzyxgradu ),(,6)24()32(kzjyix 故故.1225)2 , 1 , 1(kjigradu 在在)0 ,21,23(0 p處梯度為處梯度為 0.24例例5 求函數(shù)求函數(shù))(12222byaxz 沿曲線沿曲線12222 byax在點在點)2,2(ba處處的內法線方向的方向導數(shù)的內法線方向的方向導數(shù)解一解一用方向導數(shù)計算公式用方向導數(shù)計算公式 即要求出從即要求出從 x 軸正向沿逆時針軸正向沿逆時針轉到內法線方向的轉角轉到內法線方向的轉角在在12222 byax兩邊對兩邊對

14、x 求導求導02222 dxdybyax25解得解得yaxbdxdy22 abdxdym 0（切線斜率）（切線斜率）故法線斜率為故法線斜率為ba tan內法線方向的方向余弦為內法線方向的方向余弦為22cosbab 22cosbaa 而由而由)(12222byaxz 得得222,2byyzaxxz byzaxzmm2,200 26 coscosyzxzlz )(2()(22222baabbaba )( 2122baab 解二解二用梯度用梯度梯度是這樣一個向量，其方向與取得最大方向梯度是這樣一個向量，其方向與取得最大方向導數(shù)的方向一致，它的模等于方向導數(shù)的最大導數(shù)的方向一致，它的模等于方向導數(shù)的最

15、大值值, 即梯度是函數(shù)在這點增長最快的方向即梯度是函數(shù)在這點增長最快的方向 從等高線的角度來看，從等高線的角度來看，f ( x , y ) 在點在點 p 的梯度的梯度 27方向與過點方向與過點p 的等高線的等高線 f ( x , y ) = c 在這點在這點的法線的一個方向相同，且從數(shù)值較低的等高線的法線的一個方向相同，且從數(shù)值較低的等高線指向數(shù)值較高的等高線指向數(shù)值較高的等高線)(1),(2222byaxyxfz 等高線為等高線為f ( x , y ) = c 即即cbyax 12222212111cccc 若若橢圓橢圓122221cbyax 222221cbyax 大于橢圓大于橢圓因此因此

16、12222 byax在點在點)2,2(ba處的內法線恰好是梯度方向處的內法線恰好是梯度方向28故故22)()(|yzxzgradzlz pbyax424244 )(2122baab 1),(cyxf 2),(cyxf 29三、小結三、小結1、方向導數(shù)的概念、方向導數(shù)的概念（注意方向導數(shù)與一般所說偏導數(shù)的（注意方向導數(shù)與一般所說偏導數(shù)的區(qū)別區(qū)別）2、梯度的概念、梯度的概念（注意梯度是一個（注意梯度是一個向量向量）3、方向導數(shù)與梯度的關系、方向導數(shù)與梯度的關系.),(最最快快的的方方向向在在這這點點增增長長梯梯度度的的方方向向就就是是函函數(shù)數(shù)yxf思考題思考題30思考題解答思考題解答xfxfxzx

17、 )0 , 0()0 ,(lim0)0,0(.|lim0 xxx 同同理理：)0,0(yz yyy |lim0沿沿任任意意方方向向,zyxl 的的方方向向導導數(shù)數(shù), )0 , 0(),(lim0)0,0(fyxflz 1)()()()(lim22220 yxyx 31練練 習習 題題一、一、 填空題填空題: :1 1、 函數(shù)函數(shù)22yxz 在點在點)2 , 1(處沿從點處沿從點)2 , 1(到點到點 )32 , 2( 的方向的方向導數(shù)為的方向的方向導數(shù)為_._.2 2、 設設xyzyxzyxf 22232),(zyx623 , , 則則 )0 , 0 , 0(gradf_._.3 3、 已知場已知場,),(222222czbyaxzyxu 沿沿則則u場的梯度場的梯度方向的方向導數(shù)是方向的方向導數(shù)是_._.4 4、 稱向量場稱向量場a為有勢場為有勢場, ,是指向量是指向量a與某個函數(shù)與某個函數(shù) ),(zyxu的梯度有關系的梯度有關系_._.32三三、 設設vu,都都是是zyx,的的函函數(shù)數(shù), ,vu,的的各各偏偏導導數(shù)數(shù)都都存存在在且且連連續(xù)續(xù), ,證證明明: :ugradvvgraduuvgrad )(四四、 求求222222czbyaxu 在在點點),(000zyxm處處沿沿點點的的向向徑徑0r的