剪切應力計算

1、 拉伸、壓縮與剪切1 基本概念及知識要點1.1 基本概念軸力、拉（壓）應力、力學性能、強度失效、拉壓變形、胡克定律、應變、變形能、靜不定問題、剪切、擠壓。以上概念是進行軸向拉壓及剪切變形分析的基礎，應準確掌握和理解這些基本概念。1.2 軸向拉壓的內(nèi)力、應力及變形1橫截面上的內(nèi)力：由截面法求得橫截面上內(nèi)力的合力沿桿的軸線方向，故定義為軸力，符號規(guī)定：拉力為正，壓力為負。工程上常以軸力圖表示桿件軸力沿桿長的變化。2軸力在橫截面上均勻分布，引起了正應力，其值為正應力的符號規(guī)定：拉應力為正，壓應力為負。常用的單位為mpa、pa。3強度條件強度計算是材料力學研究的主要問題之一。軸向拉壓時，構件的強度條件

2、是可解決三個方面的工程問題，即強度校核、設計截面尺寸及確定許用載荷。4胡克定律線彈性范圍內(nèi)，桿的變形量與桿截面上的軸力、桿的長度l成正比，與截面尺寸a成反比；或描述為線彈性范圍內(nèi)，應力應變成正比，即式中的e稱為材料的彈性模量，ea稱為抗拉壓剛度。胡克定律揭示在比例極限內(nèi)，應力和應變成正比，是材料力學最基本的定律之一，一定要熟練掌握。1.3 材料在拉壓時的力學性能材料的力學性能的研究是解決強度和剛度問題的一個重要方面。材料力學性能的研究一般是通過實驗方法實現(xiàn)的，其中拉壓試驗是最主要、最基本的一種試驗，由它所測定的材料性能指標有：材料抵抗彈性變形能力的指標；材料的強度指標；材料的塑性指標。低碳鋼的

3、拉伸試驗是一個典型的試驗。詳見教材，應理解本部分知識。1.4 簡單拉壓靜不定問題1 未知力的個數(shù)超過靜力平衡方程個數(shù)的問題為靜不定問題，其中未知力可以是結(jié)構的約束反力或構件的內(nèi)力。2 解決靜不定問題，除列出靜力平衡方程外，還需列出一定數(shù)量的補充方程，這些補充方程可由結(jié)構各部分變形之間的幾何關系以及變形和力之間的物理關系求得，將補充方程和靜力平衡方程聯(lián)立求解，即可得出全部未知力。3 靜不定結(jié)構還有一個特性，即由于桿件在制造中的誤差，將引起裝配應力；由于溫度變化會引起溫度應力。1.5 應力集中的概念工程實際中，由于結(jié)構上和使用上的需要，有些零件必須有切口、切槽和螺紋等。在構件尺寸的突變處，發(fā)生局部

4、應力急劇增加的現(xiàn)象，稱為應力集中現(xiàn)象。1.6 剪切和擠壓的實用計算1 工程中經(jīng)常使用到聯(lián)接件，如鉚釘、銷釘、鍵或螺栓等。聯(lián)接件一般受剪切作用，并伴隨有擠壓作用，因而聯(lián)接件應同時滿足剪切強度和擠壓強度。有時還要考慮被聯(lián)接部分的拉伸強度問題。2 兩作用外力之間發(fā)生相互錯動的面稱為剪切面。剪切面上的切應力為，其中為剪力，a為剪切面的面積，即假設切應力在剪切面上均勻分布。剪切強度條件3 產(chǎn)生相互擠壓的表面稱為擠壓面。擠壓面上的擠壓應力為，式中f為擠壓力，abs為擠壓面積，即假設擠壓應力在擠壓面上均勻分布。擠壓強度條件為2 重點與難點及解析方法2.1 軸向拉壓的應力、強度計算及變形計算強度計算是本章的重

5、點內(nèi)容，它能夠解決三類工程問題。而胡克定律是聯(lián)系力與變形的基本定律，應重點掌握。解析方法：1 對等截面直桿，橫截面上的正應力最大，強度計算時必須明確在哪個截面進行強度計算；而縱向截面上的應力等于零。2應用胡克定律計算變形時，內(nèi)力應以代數(shù)值代入。求解結(jié)構上節(jié)點的位移時，設想交于該節(jié)點的各桿，沿各自的軸線自由伸縮，從變形后各桿的終點作各桿軸線的垂線，這些垂線的交點即為節(jié)點新的位置。2.2 簡單拉壓靜不定問題解靜不定問題的關鍵是列出正確的變形幾何關系。在列幾何關系時，注意假設的變形應是桿件可能的變形。解析方法：1 列靜力平衡方程；2根據(jù)變形協(xié)調(diào)關系列出變形的幾何關系；3 列出力與變形之間的物理關系；

6、4 聯(lián)立解方程組求出未知力。2.3材料在拉壓時的力學性能力學性能是材料在外力作用下表現(xiàn)出的變形、破壞等方面的特性。是通過實驗研究的方法來實現(xiàn)的，這種方法對我們以后的工程設計有一定的指導作用。應理解力學性質(zhì)中涉及到的幾個強度指標及塑性指標。2.4 剪切和擠壓的強度計算聯(lián)接件的強度計算，關鍵在于正確判斷剪切面和擠壓面。剪切面積為受剪面的實際面積，當擠壓面為半圓柱面時，一般取圓柱的直徑平面面積為擠壓面面積，以簡化運算。3 典型問題解析3.1 軸向拉壓的強度、變形計算例題2.1：已知ac桿為直徑d25mm 的a3圓鋼，材料的許用應力141mpa，ac、ab桿夾角30°，如圖21（a）所示，

7、a處作用力f20kn，求：1 校核ac桿的強度；2 選擇最經(jīng)濟的直徑d；3 若用等邊角鋼，選擇角鋼型號。（b）（a） 圖21解：1校核ac桿的強度用一截面將ac、ab桿截開，取a節(jié)點作為研究對象，如圖21（b）所示，利用平衡方程計算。代入強度條件，校核ac桿的強度 滿足強度要求,安全。2 選擇最佳截面尺寸，根據(jù)強度條件ac桿的直徑取為20mm，即可滿足強度要求。3選擇等邊角鋼型號 a284mm2 ，查表可選50×3號等邊角鋼。解題指導：桿件軸力方向未知時，可使用設正法，即假設軸力為正，由平衡方程求解出的結(jié)果為正，說明是拉力；結(jié)果為負，說明是壓力。例題2.2：零件受力如圖22所示，其中

8、fp50 kn。求零件橫截面的最大正應力，并指出發(fā)生在哪一橫截面上。圖22解：用截面法分析零件各橫截面上的軸力，得軸力都是相同的，即 又因為開孔使截面積減小，所以最大正應力可能發(fā)生在孔徑比較小的兩個橫截面上i一i或iiii上。對于i一i截面，其橫截面積 對于ii一ii截面，其橫截面積 則最大正應力發(fā)生在i一i截面,，其上之正應力 解題指導：由于開孔，在孔邊形成應力集中，因而橫截面上的正應力并不是均勻分布的。嚴格地講，不能采用上述方法計算應力。上述方法只是不考慮應力集中時的應力，稱為“名義應力”。如果將名義應力乘上一個應力集中系數(shù)，就可得到開孔附近的最大應力。應力集中系數(shù)可從有關手冊中查得。 例

9、題2.3圖23（a）所示鉸接正方形結(jié)構，各桿的橫截面面積均為30cm2，材料為鑄鐵，其許用拉應力，許用壓應力，試求結(jié)構的許可載荷。解：1 求各桿軸力取b節(jié)點作為研究對象，如圖23（b）所示，代平衡方程， （拉）即ab、bc桿軸力為取a節(jié)點作為研究對象，如圖23（c）所示，代平衡方程， （壓）即ad、dc桿軸力為，ac桿軸力為。圖232 求許可載荷由斜桿的拉伸強度條件 由ac桿的壓縮強度條件 故結(jié)構的許可載荷為解題指導：盡管拉力要比壓力小約40%，但結(jié)構的許可載荷還是受拉伸強度所限制,這是因為鑄鐵的抗拉強度要比其抗壓強度低得多。在工程實際中，受壓構件通常選用鑄鐵等脆性材料，而受拉構件一般選用低碳

10、鋼等塑性材料，以合理地利用各種材料的力學性能。 例題2.4：圖24（a）所示之結(jié)構中，ab和ac均為q235鋼制成的圓截面桿，直徑相同d20mm，許用應力160 mpa。試確定該結(jié)構的許用載荷。圖24解：1 由平衡條件計算各桿軸力，設ab桿軸力為，ac桿軸力為，如圖24（b）所示。對于節(jié)點a，由得 （1）由得 （2）將（1）、（2）式聯(lián)解 可見ab桿比ac桿受力大，而兩者的材料及橫截面尺寸都是相同的。因此，兩根桿的危險程度不同。如果ab桿的強度得到滿足，ac桿的強度也一定安全。2 根據(jù)強度條件計算許用載荷有據(jù)此解得 因而得kn若改為，由強度條件計算許用軸力 由于ab、ac桿不能同時達到最大許用

11、容許軸力，則將，代入（2）式，解得這個解顯然是錯誤的。解題指導：上述錯誤解法，實際上認為兩根桿同時達到了危險狀態(tài)。但實際上，兩根桿的材料、截面尺寸相同，而受力不同，因而應力不同，其中受力較大的桿中應力達到許用應力時，另一根的應力必然小于許用應力。因而二者不可能同時到達危險狀態(tài)。例題2.5：1、2桿均為圓截面鋼桿，桿端為鉸接。兩桿長度l、直徑d、材料e均相等，a處作用力f，如圖25所示，試求節(jié)點a在力f作用下的位移。解：圖25在力f作用下，桿1、2為軸向拉伸，由靜力平衡關系得：代入胡克定律解得1、2桿的變形量但兩桿鉸接在一起，不能自由伸長，可判斷出變形后節(jié)點a位移向下。分別以b、c為圓心，、為半

12、徑作圓弧，所作圓弧的交點a1就是桿件變形后節(jié)點a的位置。在實際工程中，為了便于計算，從桿件變形后的端點作桿件的垂線，用垂線代替圓弧線，近似認為其交點a2為變形后a的位置，aa2為節(jié)點a的位移。這種求位移的方法稱為圖解法。a點的位移：解題指導：理論上計算節(jié)點位移時，應由兩桿伸長后的長度為半徑畫圓弧，兩圓弧的交點即為節(jié)點新的位置。但由于桿件的變形是小變形，實際上是用切線代替圓弧來簡化運算。作圖法簡單易行，計算結(jié)果滿足工程要求。3.2 簡單拉壓靜不定問題例題2.6：已知1桿的抗拉壓剛度e1a1， 2、3桿的抗拉壓剛度相等e2a2e3a3 。三桿鉸接在一起，l 1l 2 l 3l 。試求在力f作用下各

13、桿的內(nèi)力。解：圖26用截面同時截開1、2、3桿，取節(jié)點a為研究對象，由靜力平衡關系： （1）三個未知數(shù)，兩個獨立平衡方程，為一次靜不定問題。根據(jù)圖解法，作節(jié)點a的位移圖，得變形關系： （2）代物理關系： （3）（1）、（2）、（3）聯(lián)立解得 解題指導：由此例題可知,靜不定結(jié)構各桿件受力與桿件剛度比有關，這是靜不定結(jié)構區(qū)別于靜定結(jié)構的顯著特征之一。例題2.7：已知正方形截面組合桿，由兩根截面尺寸相同、材料不同的桿1和桿2組成，二者的彈性模量為e1和e2（e1e2），若使桿1和桿2均勻受壓，求載荷f的偏心距e。解：圖27靜力平衡關系： （1）為一次靜不定問題。變形關系； 物理關系： （2）（1）、

14、（2）、（3）聯(lián)立解得 （3）代入（1）中第二式解得偏心距e為例題2.8：已知桿1為鋼桿e1210gpa, ， a1 =30cm2。桿2為銅桿，e2105gpa, ，a 2=30cm2。載荷f50kn。若ab為剛桿且始終保持水平，試問溫度升高還是降低？求溫度的改變量t。解： 圖28設由f、t引起的總的內(nèi)力為、， 靜力平衡關系： （1）為一次靜不定問題。變形關系： （2）物理關系： （3）（1）、（2）、（3）聯(lián)立解得即溫度降低26.5，可保證ab剛桿始終保持水平。解題指導：裝配應力和溫度應力同屬于靜不定問題，求解簡單靜不定問題的關鍵是列出正確的變形幾何關系。3.3 剪切和擠壓例題2.9：如圖所

15、示沖床，沖頭，沖剪鋼板mpa，設計沖頭的最小直徑值及鋼板厚度最大值。 解：圖291 按沖頭壓縮強度計算2按鋼板剪切強度計算解題指導：對于剪切的強度計算，關鍵是確定剪切面和擠壓面?？梢韵日易冃芜^程中相互壓緊的面即為擠壓面，可能產(chǎn)生剪切破壞的面即為擠壓面。例題2.10：如圖210所示連接，d、t、d均已知，材料的許用應力分別為、bs。試確定許用載荷。解：圖2101由強度條件2由剪切強度條件：3由擠壓強度條件：許用載荷為三個力中較小者，即例題2.11：木榫接頭如圖所示。，。試求榫接頭的切應力和擠壓應力。圖211解：先分析木榫接頭的剪切面和擠壓面例題2.11： 圖示傳動軸，齒輪與軸用平鍵聯(lián)接，傳遞轉(zhuǎn)矩

16、kn×m。若鍵的尺寸mm、mm，材料的mpa，mpa，試求鍵的長度。解：1 受力分析鍵的受力如圖212（b）、（c）所示2 求鍵的長度由剪切強度條件所以由擠壓強度條件則mm故鍵的長度應取 mm。在工程實際中，鍵為標準件，應按有關規(guī)定選用。解題指導：從上述計算可見，當平鍵的擠壓應力達到許用值時，鍵的工作剪應力遠低于許用剪應力。對于標準鍵（或花鍵），其擠壓強度是主要矛盾，而其剪切強度一般都是足夠的；對于鉚釘、螺栓等聯(lián)接件，其剪切強度往往是主要的，擠壓強度通常都能得到滿足。4 自我測試拉 壓1. 軸向拉伸桿，正應力最大的截面和切應力最大的截面（ ）。(a）分別是橫截面、45°斜截

17、面； （b）都是橫截面，（c）分別是45°斜截面、橫截面； （d）都是45°斜截面。正確答案是 。2. 軸向拉壓桿，在與其軸線平行的縱向截面上（ ）。（a） 正應力為零，切應力不為零；（b） 正應力不為零，切應力為零；（c） 正應力和切應力均不為零；（d） 正應力和切應力均為零。正確答案是 。3. 應力應變曲線的縱、橫坐標分別為fn /a，l / l，其中（ ）。（a）a 和l 均為初始值； （b）a 和l 均為瞬時值； （c）a 為初始值，l 為瞬時值； （d）a 為瞬時值，l 均為初始值。正確答案是 。4. 進入屈服階段以后，材料發(fā)生（ ）變形。（a） 彈性； （b）線

18、彈性； （c）塑性； （d）彈塑性。正確答案是 。5. 鋼材經(jīng)過冷作硬化處理后，其（ ）基本不變。(a) 彈性模量；（b）比例極限；（c）延伸率；（d）截面收縮率。正確答案是 。6. 設一階梯形桿的軸力沿桿軸是變化的，則發(fā)生破壞的截面上 （ ）。（a）外力一定最大，且面積一定最??；（b）軸力一定最大，且面積一定最?。唬╟）軸力不一定最大，但面積一定最小；（d）軸力與面積之比一定最大。正確答案是 。7. 一個結(jié)構中有三根拉壓桿，設由這三根桿的強度條件確定的結(jié)構許用載荷分別為f1、f2、f3，且f1 > f2 > f3，則該結(jié)構的實際許可載荷 f 為（ ）。（a） f1 ； （b）f2

19、； （c）f3； （d）（f1f3）/2。正確答案是 。8. 圖示桁架，受鉛垂載荷f50kn作用，桿1、2的橫截面均為圓形，其直徑分別為d1=15mm、d2=20mm，材料的許用應力均為150mpa。試校核桁架的強度。9. 已知直桿的橫截面面積a、長度l及材料的重度、彈性模量e，所受外力p如圖示。求：（1）繪制桿的軸力圖； （2）計算桿內(nèi)最大應力； （3）計算直桿的軸向伸長。 剪 切1在連接件上，剪切面和擠壓面分別（ ）于外力方向。 （a）垂直、平行； （b）平行、垂直； （c）平行； （d）垂直。正確答案是 。2. 連接件應力的實用計算是以假設（ ）為基礎的。（a） 切應力在剪切面上均勻分布；（b） 切應力不超過材料的剪切比例極限；（c） 剪切面為圓形或方行；（d） 剪切面面積大于擠壓面面積。正確答案是 。3.在連接件剪切強度的實用計算中,剪切許用力是由( )得到的