(教師版) 數(shù)列求和第2講

1、第2講數(shù)列求和及綜合應(yīng)用考情解讀高考對本節(jié)知識主要以解答題的形式考查以下兩個問題：1.以遞推公式或圖、表形式給出條件，求通項(xiàng)公式，考查用等差、等比數(shù)列知識分析問題和探究創(chuàng)新的能力，屬中檔題；2.通過分組、錯位相減等轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的求和問題，考查等差、等比數(shù)列求和公式及轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用，屬中檔題1數(shù)列求和的方法技巧(1)分組轉(zhuǎn)化法有些數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將數(shù)列通項(xiàng)拆開或變形，可轉(zhuǎn)化為幾個等差、等比數(shù)列或常見的數(shù)列，即先分別求和，然后再合并(2)錯位相減法這是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列an·bn的前n項(xiàng)和，其中an，bn

2、分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列(3)倒序相加法這是在推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式時所用的方法，也就是將一個數(shù)列倒過來排列(反序)，當(dāng)它與原數(shù)列相加時若有公式可提，并且剩余項(xiàng)的和易于求得，則這樣的數(shù)列可用倒序相加法求和(4)裂項(xiàng)相消法利用通項(xiàng)變形，將通項(xiàng)分裂成兩項(xiàng)或n項(xiàng)的差，通過相加過程中的相互抵消，最后只剩下有限項(xiàng)的和這種方法，適用于求通項(xiàng)為的數(shù)列的前n項(xiàng)和，其中an若為等差數(shù)列，則.常見的裂項(xiàng)公式：；()；()；()2數(shù)列應(yīng)用題的模型(1)等差模型：如果增加(或減少)的量是一個固定量時，該模型是等差模型，增加(或減少)的量就是公差(2)等比模型：如果后一個量與前一個量的比是一個固定的數(shù)時，該模型是等比

3、模型，這個固定的數(shù)就是公比(3)混合模型：在一個問題中同時涉及等差數(shù)列和等比數(shù)列的模型(4)生長模型：如果某一個量，每一期以一個固定的百分?jǐn)?shù)增加(或減少)，同時又以一個固定的具體量增加(或減少)時，我們稱該模型為生長模型如分期付款問題，樹木的生長與砍伐問題等(5)遞推模型：如果容易找到該數(shù)列任意一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an1(或前n項(xiàng))間的遞推關(guān)系式，我們可以用遞推數(shù)列的知識來解決問題熱點(diǎn)一分組轉(zhuǎn)化求和例1等比數(shù)列an中，a1，a2，a3分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù)，且a1，a2，a3中的任何兩個數(shù)不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求數(shù)列a

4、n的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列bn滿足：bnan(1)nln an，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.思維啟迪(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)逐個推敲確定an的通項(xiàng)公式；(2)分組求和解(1)當(dāng)a13時，不合題意；當(dāng)a12時，當(dāng)且僅當(dāng)a26，a318時，符合題意；當(dāng)a110時，不合題意因此a12，a26，a318，所以公比q3.故an2·3n1 (nN*)(2)因?yàn)閎nan(1)nln an2·3n1(1)nln(2·3n1)2·3n1(1)nln 2(n1)ln 32·3n1(1)n(ln 2ln 3)(1)nnln 3，所以Sn2(133n1)111(1)n

5、3;(ln 2ln 3)123(1)nnln 3.當(dāng)n為偶數(shù)時，Sn2×ln 33nln 31；當(dāng)n為奇數(shù)時，Sn2×(ln 2ln 3)ln 33nln 3ln 21.綜上所述，Sn思維升華在處理一般數(shù)列求和時，一定要注意使用轉(zhuǎn)化思想把一般的數(shù)列求和轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列進(jìn)行求和，在求和時要分析清楚哪些項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列，哪些項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列，清晰正確地求解在利用分組求和法求和時，由于數(shù)列的各項(xiàng)是正負(fù)交替的，所以一般需要對項(xiàng)數(shù)n進(jìn)行討論，最后再驗(yàn)證是否可以合并為一個公式已知數(shù)列an中，a11，anan1()n(nN*)(1)求證：數(shù)列a2n與a2n1(nN*)都是等比數(shù)列；(

6、2)若數(shù)列an的前2n項(xiàng)和為T2n，令bn(3T2n)·n·(n1)，求數(shù)列bn的最大項(xiàng)(1)證明因?yàn)閍nan1()n，an1an2()n1，所以.又a11，a2，所以數(shù)列a1，a3，a2n1，是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；數(shù)列a2，a4，a2n，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列(2)解由(1)可得T2n(a1a3a2n1)(a2a4a2n)33()n，所以bn3n(n1)()n，bn13(n1)(n2)()n1，所以bn1bn3(n1)()n(n)3(n1)()n1(2n)，所以b1<b2b3>b4>>bn>，所以(bn)maxb2b3.熱點(diǎn)二

7、錯位相減法求和例2設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a11，Sn12Snn1(nN*)，(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若bn，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，nN*，證明：Tn<2.思維啟迪(1)n>1時，Sn2Sn1n兩式相減得an的遞推關(guān)系式，然后構(gòu)造數(shù)列求通項(xiàng)；(2)先利用錯位相減法求出Tn，再放縮(1)解Sn12Snn1，當(dāng)n2時，Sn2Sn1n，an12an1，an112(an1)，即2(n2)，又S22S12，a1S11，a23，2，當(dāng)n1時，式也成立，an12n，即an2n1(nN*)(2)證明an2n1，bn，Tn，Tn，兩式相減，得Tn2()2<2.思維升華錯位

8、相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和是一種重要的方法在應(yīng)用這種方法時，一定要抓住數(shù)列的特征，即數(shù)列的項(xiàng)可以看作是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)相乘所得數(shù)列的求和問題設(shè)數(shù)列an滿足a12，an1an3·22n1.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)令bnnan，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.解(1)由已知得，當(dāng)n1時，an1(an1an)(anan1)(a2a1)a13(22n122n32)222(n1)1.而a12，符合上式，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an22n1.(2)由bnnann·22n1知Sn1·22·233·25n·22n1.從而22

9、3;Sn1·232·253·27n·22n1.，得(122)Sn2232522n1n·22n1，即Sn(3n1)22n12熱點(diǎn)三裂項(xiàng)相消法求和例3已知等差數(shù)列an，公差d>0，前n項(xiàng)和為Sn，S36，且滿足a3a1,2a2，a8成等比數(shù)列(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn的值思維啟迪(1)利用方程思想可確定a，d，寫出an；(2)利用裂項(xiàng)相消法求Tn.解(1)由S36，得a22.a3a1,2a2，a8成等比數(shù)列，(2d)·(26d)42，解得d1或d，d>0，d1.數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ann.(

10、2)Tn(1)()()()()().思維升華裂項(xiàng)相消法適合于形如形式的數(shù)列，其中an為等差數(shù)列已知等差數(shù)列an是遞增數(shù)列，且滿足a4·a715，a3a88.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)令bn(n2)，b1，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.解(1)根據(jù)題意a3a88a4a7，a4·a715，所以a4，a7是方程x28x150的兩根，且a4<a7，解得a43，a75.設(shè)數(shù)列an的公差為d，由a7a4(74)·d，得d.故等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ana4(n4)·d3(n4)·.(2)當(dāng)n2時，bn()，又b1(1)，所以Snb1b2bn(1)

11、(1).即數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.1數(shù)列綜合問題一般先求數(shù)列的通項(xiàng)公式，這是做好該類題的關(guān)鍵若是等差數(shù)列或等比數(shù)列，則直接運(yùn)用公式求解，否則常用下列方法求解：(1)an(2)遞推關(guān)系形如an1anf(n)，常用累加法求通項(xiàng)(3)遞推關(guān)系形如f(n)，常用累乘法求通項(xiàng)(4)遞推關(guān)系形如“an1panq(p、q是常數(shù)，且p1，q0)”的數(shù)列求通項(xiàng)，常用待定系數(shù)法可設(shè)an1p(an)，經(jīng)過比較，求得，則數(shù)列an是一個等比數(shù)列(5)遞推關(guān)系形如“an1panqn(q，p為常數(shù)，且p1，q0)”的數(shù)列求通項(xiàng)，此類型可以將關(guān)系式兩邊同除以qn轉(zhuǎn)化為類型(4)，或同除以pn1轉(zhuǎn)為用迭加法求解2數(shù)列求和中應(yīng)用

12、轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型：(1)錯位相減法求和時，將問題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的求和問題求解(2)并項(xiàng)求和時，將問題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和(3)分組求和時，將問題轉(zhuǎn)化為能用公式法或錯位相減法或裂項(xiàng)相消法或并項(xiàng)法求和的幾個數(shù)列的和求解提醒：運(yùn)用錯位相減法求和時，相減后，要注意右邊的n1項(xiàng)中的前n項(xiàng)，哪些項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列，以及兩邊需除以代數(shù)式時注意要討論代數(shù)式是否為零3數(shù)列應(yīng)用題主要考查應(yīng)用所學(xué)知識分析和解析問題的能力其中，建立數(shù)列模型是解決這類問題的核心，在解題中的主要思路：首先構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列模型，然后用相應(yīng)的通項(xiàng)公式與求和公式求解；通過歸納得到結(jié)論，再用數(shù)列知識求解真題感悟1(2013·湖

13、南)設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，Sn(1)nan，nN*，則：(1)a3_；(2)S1S2S100_.答案(1)(2)解析anSnSn1(1)nan(1)n1an1(n2)，an(1)nan(1)n1an1(n2)當(dāng)n為偶數(shù)時，an1(n2)，當(dāng)n為奇數(shù)時，2anan1(n2)，當(dāng)n4時，a3.根據(jù)以上an的關(guān)系式及遞推式可求a1，a3，a5，a7，a2，a4，a6，a8，.a2a1，a4a3，a6a5，S1S2S100(a2a1)(a4a3)(a100a99).2(2014·課標(biāo)全國)已知數(shù)列an滿足a11，an13an1.(1)證明an是等比數(shù)列，并求an的通項(xiàng)公式；(2)證明&

14、lt;.證明(1)由an13an1，得an13(an)又a1，所以an是首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列an，因此an的通項(xiàng)公式為an.(2)由(1)知.因?yàn)楫?dāng)n1時，3n12×3n1，所以.于是1(1)<.所以<.押題精練1如圖，一個類似楊輝三角的數(shù)陣，則第n(n2)行的第2個數(shù)為_答案n22n3解析由題意可知：圖中每行的第二個數(shù)分別為3,6,11,18，即a23，a36，a411，a518，a3a23，a4a35，a5a47，anan12n3，累加得：ana2357(2n3)，ann22n3.2秋末冬初，流感盛行，特別是甲型H1N1流感某醫(yī)院近30天每天入院治療甲流的人數(shù)依

15、次構(gòu)成數(shù)列an，已知a11，a22，且an2an1(1)n(nN*)，則該醫(yī)院30天入院治療甲流共有_人答案255解析由于an2an1(1)n，所以a1a3a291，a2，a4，a30構(gòu)成公差為2的等差數(shù)列，所以a1a2a29a301515×2×2255.故該醫(yī)院30天入院治療甲流的人數(shù)為255.3已知數(shù)列bn滿足3(n1)bnnbn1，且b13.(1)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；(2)已知，求證：<1.(1)解因?yàn)?(n1)bnnbn1，所以.則3×，3×，3×，3×，累乘，可得3n1×n，因?yàn)閎13，所以bnn·

16、;3n，即數(shù)列bn的通項(xiàng)公式bnn·3n.(2)證明因?yàn)?，所以an·3n.因?yàn)?#183;·()···，所以(1··)(··)(··)1·.因?yàn)閚N*，所以0<·，所以1·<1，所以<1.(推薦時間：60分鐘)一、選擇題1數(shù)列an共有5項(xiàng)，其中a10，a52，且|ai1ai|1，i1,2,3,4，則滿足條件的不同數(shù)列的個數(shù)為()A3 B4C5 D6答案B解析設(shè)biai1ai，i1,2,3,4，則bi等于1或1，由a5(a5a4)

17、(a4a3)(a3a2)(a2a1)b4b3b2b1，知bi(i1,2,3,4)共有3個1,1個1.所以符合條件的an共有4個2已知在數(shù)列an中，a160，an1an3，則|a1|a2|a3|a30|等于()A445 B765C1 080 D3 105答案B解析an1an3，an1an3.an是以60為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列an603(n1)3n63.令an0，得n21.前20項(xiàng)都為負(fù)值|a1|a2|a3|a30|(a1a2a20)a21a302S20S30.Snn×n，|a1|a2|a3|a30|765.3在等差數(shù)列an中，a12 013，其前n項(xiàng)和為Sn，若2，則S2 013的

18、值等于()A2 011 B2 012C2 010 D2 013答案D解析根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，得數(shù)列也是等差數(shù)列，根據(jù)已知可得這個數(shù)列的首項(xiàng)a12 013，公差d1，故2 013(2 0131)×11，所以S2 0132 013.4已知數(shù)列an滿足an1anan1(n2)，a11，a23，記Sna1a2an，則下列結(jié)論正確的是()Aa1001，S1005 Ba1003，S1005Ca1003，S1002 Da1001，S1002答案A解析由題意知，a11，a23，a32，a41，a53，a62，a71，由此可以得出數(shù)列an是以6為一個周期，所以a100a41，S100a1a2a3a45

19、，故選A.5數(shù)列an的通項(xiàng)公式anncos ，其前n項(xiàng)和為Sn，則S2 012等于()A1 006 B2 012 C503 D0答案A解析用歸納法求解anncos ，a10，a22，a30，a44，a50，a66，a70，a88，.由此易知a4n2(4n2)，a4n4n，且a1a2a3a4242，a5a6a7a8682，a4n3a4n2a4n1a4n(4n2)4n2.又2 0124×503，a1a2a2 0122222×5031 006.503個6數(shù)列an滿足a11，且對任意的m，nN*都有amnamanmn，則等于()A. B. C. D.答案A解析令m1，得an1ann

20、1，即an1ann1，于是a2a12，a3a23，anan1n，上述n1個式子相加得ana123n，所以an123n，因此2，所以22.二、填空題7(2014·廣元模擬)在數(shù)列an中，a11，an2(1)nan1，記Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則S60_.答案480解析an2(1)nan1，a3a11，a5a31，a7a51，且a4a21，a6a41，a8a61，a2n1為等差數(shù)列，且a2n11(n1)×1n，即a11，a32，a53，a74，S4a1a2a3a41124，S8S4a5a6a7a83418，S12S8a9a10a11a1256112，S604×15×4480.8設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若(nN*)是非零常數(shù)，則稱該數(shù)列為“和等比數(shù)列”；若數(shù)列cn是首項(xiàng)為2，公差為d(d0)的等差數(shù)列，且數(shù)列cn是“和等比數(shù)列”，則d_.答案4解析由題意可知，數(shù)列cn的前n項(xiàng)和為Sn，前2n項(xiàng)和為S2n，所以22.因?yàn)閿?shù)列cn是“和等比數(shù)列”，即為非零常數(shù)，所以d4.9設(shè)Sn(nN*)，且Sn1·Sn2，則n的值是_答案5解析Sn1(1)()()1，Sn2.Sn1·