二重積分的對稱性ppt課件

1、1例例 設積分區(qū)域設積分區(qū)域 D x 軸對稱，軸對稱，D1 是是 D 中對應于中對應于 y 0 的部分，證明：的部分，證明：是是偶偶函函數(shù)數(shù)，即即關關于于若若被被積積函函數(shù)數(shù) ),( )1(yyxf).,(),(yxfyxf . ),(2 ),( 1 dyxfdyxfDD 則則是奇函數(shù)，即是奇函數(shù)，即關于關于若被積函數(shù)若被積函數(shù) ),( )2(yyxf).,(),(yxfyxf . 0 ),( dyxfD則則2例例 設積分區(qū)域設積分區(qū)域 D 關于關于 x 軸對稱，軸對稱，D1 是是 D 中對應于中對應于 y 0 的部分，證明：的部分，證明：是是偶偶函函數(shù)數(shù)，即即關關于于若若被被積積函函數(shù)數(shù) )

2、,( )1(yyxf).,(),(yxfyxf . ),(2 ),( 1 dyxfdyxfDD 則則證證（1）積分區(qū)域如圖：）積分區(qū)域如圖： ).()(,:21xyyxybxaD由積分區(qū)域由積分區(qū)域 D 關于關于 x 軸對稱性軸對稱性).()(21xyxy oxyab)(1xyy )(2xyy 1D3 )()(21),( ),( xyxybaDdyyxfdxdyxf dxdyyxfbaxyxy )()(22),( 是偶函數(shù)是偶函數(shù)關于關于 ),( )()(22yfdyyxfxyxy )(02),(2xydyyxf證證（1）積分區(qū)域如圖：）積分區(qū)域如圖： ).()(,:21xyyxybxaD由積

3、分區(qū)域由積分區(qū)域 D 關于關于 x 軸對稱性軸對稱性).()(21xyxy oxyab)(1xyy )(2xyy 1D4 )()(21),( ),( xyxybaDdyyxfdxdyxf dxdyyxfbaxyxy )()(22),( 是偶函數(shù)是偶函數(shù)關于關于 ),( )()(22yfdyyxfxyxy )(02),(2xydyyxf于是，于是， dyxfD ),( dxdyyxfbaxyxy )()(22),( dxdyyxfbaxy )(02),( 2 dyxfD ),(2 1 5是奇函數(shù)，即是奇函數(shù)，即關于關于若被積函數(shù)若被積函數(shù) ),( )2(yyxf).,(),(yxfyxf . 0

4、 ),( dyxfD則則證證（2）積分區(qū)域如圖：）積分區(qū)域如圖： ).()(,:21xyyxybxaD由積分區(qū)域由積分區(qū)域 D 關于關于 x 軸對稱性軸對稱性).()(21xyxy )()(21),( ),( xyxybaDdyyxfdxdyxf oxyab)(1xyy )(2xyy 1D6 dxdyyxfbaxyxy )()(22),( 是奇函數(shù)是奇函數(shù)關于關于 ),( )()(22yfdyyxfxyxy . 0證證（2）積分區(qū)域如圖：）積分區(qū)域如圖： ).()(,:21xyyxybxaD由積分區(qū)域由積分區(qū)域 D 關于關于 x 軸對稱性軸對稱性).()(21xyxy )()(21),( ),

5、( xyxybaDdyyxfdxdyxf oxyab)(1xyy )(2xyy 1D7 )()(21),( ),( xyxybaDdyyxfdxdyxf dxdyyxfbaxyxy )()(22),( 是奇函數(shù)是奇函數(shù)關于關于 ),( )()(22yfdyyxfxyxy . 0于是，于是， dyxfD ),( dxdyyxfbaxyxy )()(22),( dxba 0 20. 8積分區(qū)域積分區(qū)域 D 關于關于 x 軸對稱，軸對稱，D1 是是 D 中對應于中對應于 y 0 的部分，則：的部分，則：是是偶偶函函數(shù)數(shù)，即即關關于于若若被被積積函函數(shù)數(shù) ),( )1(yyxf).,(),(yxfyx

6、f . ),(2 ),( 1 dyxfdyxfDD 則則是奇函數(shù)，即是奇函數(shù)，即關于關于若被積函數(shù)若被積函數(shù) ),( )2(yyxf).,(),(yxfyxf . 0 ),( dyxfD則則是是偶偶函函數(shù)數(shù) y是是奇奇函函數(shù)數(shù) y二重積分的輪換對稱性：二重積分的輪換對稱性：9積分區(qū)域積分區(qū)域 D 關于關于 y 軸對稱，軸對稱，D1 是是 D 中對應于中對應于 x 0 的部分，則：的部分，則：是是偶偶函函數(shù)數(shù)，即即關關于于若若被被積積函函數(shù)數(shù) ),( )1(xyxf).,(),(yxfyxf . ),(2 ),( 1 dyxfdyxfDD 則則是奇函數(shù)，即是奇函數(shù)，即關于關于若被積函數(shù)若被積函數(shù)

7、 ),( )2(xyxf).,(),(yxfyxf . 0 ),( dyxfD則則是是偶偶函函數(shù)數(shù) x是是奇奇函函數(shù)數(shù) x10103 頁頁 2（2）. 4 : , )2(222軸軸圍圍成成的的右右半半閉閉區(qū)區(qū)域域及及 yyxDdxyD xyo22422 yx1D解解D 區(qū)域關于區(qū)域關于 x 軸對稱，且軸對稱，且.),( 2xyyxf 設設),(),(yxfyxf dxydxyDD 1222而而 . 20,40:21yyxD11 dxydxyDD 1222而而 . 20,40:21yyxD dxydxyDD 1222因此，因此，.1564 dxxydyy 2402202 2022)4(dyyy12103 頁頁 2（3）. 1 : , )3( yxDdeDyx 解解xyo111 1 xy 11 xyxy 11 xy1D deDyx deDyx 1213103 頁頁 2（3）. 1 : , )3( yxD