二階倒立擺試驗報告

1、HI品文檔研究生課程實驗報告課程名稱:線性系統(tǒng)實驗名稱: 平面二級倒立擺實驗 班級:12S0441 學號：12S104057 姓 名：白俊林 實驗時間：2012年12月21 H控制科學與工程教學實驗中心1. 實驗目的1）熟悉 Matlab/Simulink 仿真；2）掌握LQR控制器設計和調節(jié)；3）理解控制理論在實際中的應用。倒立擺研究的意義是，作為一個實驗裝置，它形象直觀，簡單，而且參 數和形狀易于改變；但它又是一個高階次、多變量、非線性、強耦合、不確定 的絕對不穩(wěn)定系統(tǒng)的被控系統(tǒng)，必須采用十分有效的控制手段才能使之穩(wěn)定。 因此，許多新的控制理論，都通過倒立擺試驗對理論加以實物驗證，然后在應

2、 用到實際工程中去。因此，倒立擺成為控制理論中經久不衰的研究課題，是驗 證各種控制算法的一個優(yōu)秀平臺，故通過設計倒立擺的控制器，可以對控制學 科中的控制理論有一個學習和實踐機會。2. 實驗內容1）建立直線二級倒立擺數學模型對直線二級倒立擺進行數學建模，并將非線性數學模型在一定條件下化 簡成線性數學模型。對于倒立擺系統(tǒng)，由于其本身是自不穩(wěn)定的系統(tǒng)，實驗建 立模型存在一定的困難，但是經過小心的假設忽略掉一些次要的因素后，倒立 擺系統(tǒng)就是一個典型的運動的剛體系統(tǒng)，可以在慣性坐標系內應用經典力學理 論建立系統(tǒng)的動力學方程。對于直線二級倒立擺，由于其復雜程度，在這里利 用拉格朗日方程推導運動學方程。由于

3、模型的動力學方程中存在三角函數，因此方程是非線性的，通過小 角度線性化處理，將動力學非線性方程變成線性方程，便于后續(xù)的工作的進 行。2)系統(tǒng)的MATLAB仿真依據建立的數學模型，通過MATLAB仿真得出系統(tǒng)的開環(huán)特性，采取相應的控制策略，設計控制器，再加入到系統(tǒng)的閉環(huán)中，驗證控制器的作用, 并進一步調試?？刂葡到y(tǒng)設計過程中需要分析內容主要包括得出原未加控制器 時系統(tǒng)的極點分布，系統(tǒng)的能觀性，能控性。3) LQR控制器設計與調節(jié)實驗利用線性二次型最優(yōu)(LQR)調節(jié)器MATLAB仿真設計的參數結果對平面二階倒立擺進行實際控制實驗，參數微調得到較好的控制效果, 記錄實驗曲線。4)改變控制對象的模型參

4、數實驗調整擺桿位置，將擺桿1朝下，擺桿2朝上修改模型參數、起擺條件 和控制參數，重復3的內容。3. 實驗步驟1)倒立擺系統(tǒng)模型在忽了空氣流動，各種摩擦之后，可將倒立擺系統(tǒng)抽象成小車、勻質桿和質量塊組成的系統(tǒng)，如圖1所示。圖1直線兩級倒立擺物理模型下面利用拉格朗日方程推導運動學方程拉格朗日方程為：Lq, &Tq, & Vq, (&g丄Ldt (& q楮品文檔2 2Tm1 2d x h sin 1 dtQhSndt-mi& mhXi&cos j 丄 mfA222Tm1o 2 1 22ITI lii ml-2 623(8)(9)m & m ii

5、) &&cos 12m h2 &23同樣可以求出Tm2d(x 2h sin 1 Ssin 2dt1m22d(2h cos 1 h cos 2)dt12m& 2h &cos 12&込 22-m22h &sin 1 b&sin 222(10)E2I2忡2I26(11)(12)4I2 &93IITm24I1I2 &1&2 COS 21m X 2&2h&cos 1 S&cos 2rrio2221 d(x 2lisin 1)d(2h cos 1)2 dtdt(13) 丄譏& 2m3li

6、&牝 os 1 2m3li22楮品文檔Am2 4I；& 出；&234hl2&&cos 2m3) 82 2m3h) &&cos2系統(tǒng)的總勢能為：V Vm1 vm2Vm3m, gicos i2m3gh cos 1從而拉格朗日算子：21i cos 1 I2COS(15)T h2gX2md)&&耐 &2因此，可以得到系統(tǒng)的總動能為:TTM Tm1 Tm2 Tm3丄葉)& mih&&2 2cosAm2 ) &2)& 2h &cos 1 l2(14)2&COS 2(16)

7、(17)m2 X 2&2h&cos 1 h&cos 21 2 &4 2 &&&m2 4h 112 2 41,2 淫 cos2 31m3)& 2m3h*&cos 12m3l；&2mglicosi2m3gh cos 1 rri2g 2h cos 1I2C0S 2由于因為在廣義坐標1,2±均無外力作用，有以下等式成立：di dt &g Ldt &(18)HI品文檔展開(17 ) ,(18 )式，分別得到(19) ,(20 )式6說&嘰4何3血訕朋3(沁聰(2 J”)g 2(m2 mJXg

8、sin 1 Xcos J) 03g sin 2 6h sin( 12) 4I2 辱 6h A&cos( 2 i) 3&cos 20(20)1 3m2gcos( 2i)sin 2將(19) , ( 20)式對-2求解代數方程，得到以下兩式1(3( 2gmsin 1 4gm2 sin 1 Anygsin6rr)2hcos( 12)sin( 121 禺& 4mJ2sin( 12)辱 2m|Xfcos 14msXfcos 1 3m2Xfcos( 12) cos 2)/(21)阻意編輯(2h( 4m-i12m212g 9rri2 cos (1 沖2mJ hlo ( Gcairi

9、osin( 12) 3Xfcos 2)2rri2li2l2 cos( 12 )(6rri2l2 & sin( 132)3( 口 2(m2 ma)(gsin 11)/16(石口 2(0223(m)2lTl3)12COS2( 1 2)(23)(24)(22)表示成以下形式：&& fi (x,12(8 & &鋤& f2(X,1'2» & & & 碉取平衡位置時各變量的初值為零，HI品文檔A (x, 1,2,& &, &，&) (0,0,0,0,0,0,0)將(23)式在平衡位置進

10、行泰勒級數展開，并線性化,3( 2qm) 14qm) 24qmh)K122( 4m 3rri2 12m3)hK132( 4rrii9m) 2g3m2 12m3)liKufi&Kl5Kl6ITI2 4ITI3)2( 4m, 3m212m3)h帶入(21 )式，得到線性化之后的公式辱 M2 1 M3 2"7X&將(24)式在平衡位置進行泰勒級數展開，并線性化，K21K22-f22g(g 2(m?叫)1 1641D2I2 (mi 3(m2mh)l29(25)(26)(27)(28)(29)(30)(31)(32)(33)(34)(35)HI品文檔K23 AO4g(g 3(譏

11、吩)163(4mJ2石(m 3 (mug) i2)(36)(36)K24A|A°O)&f2 1K25& A0°1K26 &人| A0°42(mi2(m7m3)(mi3(%m3)4m2l216(mi3(m2m0)l2(37(38)(39)(40)帶入(22 )式，得到K22 1k23 2K27X&(41)即:K12 1k13 2Kl?X&(42)K22 1K23 2K27X&(43)現在得到了兩個線性微分方程，由于我們采用加速度作為輸入, 因此還需加上一個方程(44)u X&取狀態(tài)變量如下:楮品文檔X入51XX

12、 I 12 &© 2x3 &XX4 &由(33 ) ,(41 ),(42 )式得到狀態(tài)空間方程如下：X&1000100X10X&20000100X&30000010U(46)X&4000000X41X&50M2M3000x5M7X&60K22K23000K27其中直線兩級倒立擺系統(tǒng)參數為:M小車質量2.32kgmi擺桿1質量0.04kgm2擺桿2質量0.132kgm3質量塊質量0.208kg1擺桿1與垂直向上方向的夾角2擺桿2與垂直向上方向的夾角h擺桿1到轉動中心質心的距離0.09mk擺桿1到轉動中心質心的距離0

13、.27mF作用在系統(tǒng)上的外力楮品文檔由以上方程，將以下參數代入M 1.32m 0.04(47)m2 0.1 32m3 0.208g 9.810.09-20.27求出各個K值:K12 77.0642 K22-38.5321Ki3-21.1927 K2337.8186(48)K” 5.7012 K27-0.0728得到狀態(tài)矩陣為：A =0 1.0000001.0000000001.0000000HI品文檔0 86.69070-40.3112-21.617239.45001.00006.6402-0.0877D=0 0 0 0 0 0*2) 根據建模結果仔細計算并尋找合適的理論控制器參數。設 R=1

14、 ,Q=diag(200 300 300 0 0 0),利用 matlab 提供的Iqr函數，可求得：K =14.1421 103.1881 -174.1691 15.2682 3.0199 -28.24513) 進入matlab command窗口，鍵入仿真文件，進行仿真實驗利用固高公司提供的Simulink方框圖，輸入控制參數k,進 行實物仿 真，并通過調整Q的值來調整k的值，以達到控制系統(tǒng)的設計要求。通過調節(jié)參數請仔細觀察思考控制器參數對系統(tǒng)瞬態(tài)響應和穩(wěn)態(tài)響應的 影響。找到幾組合適的控制器參數作為實際控制的參數。4) 倒立擺系統(tǒng)實物調試具體步驟如下：將小車推到導軌的中央，并且 使擺桿處于

15、自由下垂的靜止狀態(tài)，給小車的驅動器的電源接通電源，進 入MATLAB的SIUMLINK中，調出實物仿真文件，填入設計的控制器參數 (O,pi,pi),編譯，連接實物，雙手將倒立擺豎直的緩慢的立起，倒立擺進入到 與豎直方向夾角小于10度的范圍內，控制器啟動，觀察控制器的控制效果。 成功后，從新設計控制器，并使參考位置為設為(O,O,pi),重復(O,pi,pi)試驗 過程。5)將保存的實驗數據畫出圖形，分析實際控制效果與仿真曲線的區(qū) 別。4. 實驗數據和曲線實驗一中，實驗數據為：Q=diag(2OO 300 300 0 0 O)K =14.1421103.1881-174.169115.2682

16、3.0199-28.2451實驗仿真曲線為：圖2參考位置為設為(0, pi, pi)仿真圖實驗實物曲線為:圖3參考位置為設為(0, pi, pi)實驗曲線實驗二數據為:k =-14.1421 -55.3918 121.8639 -13.4838-5.822720.6980Q=diag(200 300 100 0 0 0)實驗二數據為：Q=diag(200 300 300 0 0 0)-14.1421 -56.2117 124.5101 -13.6940 -5.8802 21.0735實驗仿真曲線為：圖4參考位置為設為（0. 0, pi）仿真圖實物仿真曲線為:圖5參考位置為設為（0, 0, pi）實驗曲線5. 實驗結果分析從仿真和實驗曲線來看兩個實驗都達到了預期目標。兩實驗的仿真曲線都約在2.5S左右達到平衡位置，而實際結果來看，第一個實驗在12S左右才達到平衡，第二個實驗相對較好，擺桿在5S左右達到平衡，但是小車位置確一直在滑動。設備實際運行結果沒有仿真結果好，這說明模型與實際系統(tǒng)是存在差