級(jí)數(shù)收斂的巧妙判定PPT演示課件

1、10/28/20211級(jí)數(shù)收斂判別法10/28/20212內(nèi)容提要 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)復(fù)習(xí)和判斂法 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和一致收斂 求和號(hào)下取極限 冪級(jí)數(shù)與taylor展開(kāi) 三角級(jí)數(shù)與fourier展開(kāi) weierstrass定理10/28/20213常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)定義復(fù)習(xí) 級(jí)數(shù)定義：對(duì)于數(shù)列 , 稱為級(jí)數(shù)(無(wú)窮和). 稱 為級(jí)數(shù) 為前n項(xiàng)和或第n個(gè)部分和, 簡(jiǎn)稱部分和; 稱 為級(jí)數(shù) 的部分和序列. 數(shù)列中的項(xiàng)也稱為級(jí)數(shù)的項(xiàng). 1nnannnaaaa211nkknas11nna 1nns1nna10/28/20214常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂復(fù)習(xí) 級(jí)數(shù)收斂: 如果部分和序列 收斂就說(shuō)級(jí)數(shù) 收斂, 并且定義部分和序列 的極限為級(jí)

2、數(shù) 的和, 記為 1nns1nna1nna 1nnssnnknknnnsaalimlim1110/28/20215常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散復(fù)習(xí) 級(jí)數(shù)發(fā)散: 如果部分和序列 發(fā)散就說(shuō)級(jí)數(shù) 發(fā)散. 特別當(dāng)部分和序列發(fā)散向+或-，記為或 1nns1nna1nna1nna10/28/20216收斂級(jí)數(shù)的線性性質(zhì) 若級(jí)數(shù) 和 收斂, 則級(jí)數(shù) 收斂, 且1nna1nnb, ,r1 nnnba111 nnnnnnnbaba10/28/20217級(jí)數(shù)的斂散性與級(jí)數(shù)的前有限項(xiàng)無(wú)關(guān) 設(shè)n是一個(gè)給定的正整數(shù), 則級(jí)數(shù) 的斂散性(即收斂與否)與級(jí)數(shù) 的斂散性相同.證明: 習(xí)題#1nnannna10/28/20218常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的

3、分類 按級(jí)數(shù)各項(xiàng)的符號(hào)分為正項(xiàng)級(jí)數(shù)(如果級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)都非負(fù))和變號(hào)級(jí)數(shù)(如果有的項(xiàng)為正,也有的項(xiàng)為負(fù). 對(duì)收斂級(jí)數(shù)按其絕對(duì)值級(jí)數(shù) 是否收斂分為絕對(duì)收斂 級(jí)數(shù)和條件收斂 級(jí)數(shù)1nna10/28/20219常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂準(zhǔn)則 cauchy準(zhǔn)則: 級(jí)數(shù) 收斂的充分必要條件是: , n, mnn 推論: 如果絕對(duì)值級(jí)數(shù) 收斂, 則級(jí)數(shù) 收斂.1nnaamnkk1nna1nna10/28/202110例題一 判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性11121 (3) ,21 (2) ,1 ) 1 (nnnnnnn10/28/202111常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的必要條件 如果級(jí)數(shù) 收斂則 . 證明：記 . 注意n1,因此 1nna

4、0limnnannsslim1nnnssa0limlimlimlim11ssssssannnnnnnnn10/28/202112例題二 下列級(jí)數(shù)發(fā)散 1111 (3) , cos (2) ,1 ) 1 (nnnnnnnnn10/28/202113正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂原理 正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件是其部分和數(shù)列有上界. 證明證明: 此時(shí)部分和數(shù)列單調(diào)遞增的. 由單調(diào)數(shù)列收斂定理就得到結(jié)論. # 10/28/202114正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較原理 設(shè) 和 是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù), 且存在n, 當(dāng)nn時(shí), . 則下列兩個(gè)結(jié)論成立: 若 收斂, 則 收斂; 若 發(fā)散, 則 發(fā)散. 證明：練習(xí). #1nna1nnbnnba 1

5、nnb1nnb1nna1nna10/28/202115比較原理的極限形式 設(shè) 和 是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù), 存在n, 當(dāng)nn時(shí), . 如果 , 則下列結(jié)論成立.(1) 若 , 收斂, 則 收斂;(2) 若 , 發(fā)散, 則 發(fā)散. #0nalabnnnlim1nna1nnb), 0 l1nnb1nnb1nna1nna, 0( l10/28/202116例題三 討論下列級(jí)數(shù)的斂散性11112121 (5) 1cos1 ) 4(131 (3) ,431 (2) ,sin ) 1 (nnnnnnnnnnnnn10/28/202117正項(xiàng)級(jí)數(shù)積分判斂法 設(shè)級(jí)數(shù) 滿足 , 其中是上單調(diào)下降的正函數(shù). 則級(jí)數(shù) 的斂

6、散性(即收斂與否)與積分 的斂散性相同. 證明：習(xí)題#1nna)( , 1nfann1nna1f10/28/202118例題四 討論下列級(jí)數(shù)的斂散性211 (3) ,ln1 (2) ,1 ) 1 (nnnpnprnnn10/28/202119兩類標(biāo)準(zhǔn)級(jí)數(shù) 幾何級(jí)數(shù) : 當(dāng)|r|1時(shí), 收斂; p1時(shí),發(fā)散. 證明：積分判斂法11nnr11 npn10/28/202120級(jí)數(shù)的例子 euler常數(shù)： 不是級(jí)數(shù) 收斂的充分條件.例子：調(diào)和級(jí)數(shù)nknnnknn11)1ln(1lim11ln1 0limnna1nna11 nn10/28/202121參照幾何級(jí)數(shù)的判斂法 dalambert(達(dá)蘭貝爾)

7、判斂法 cauchy(柯西)判斂法10/28/202122dalambert(達(dá)蘭貝爾)判斂法 設(shè)級(jí)數(shù) 的各項(xiàng)為正, 如果極限則q1時(shí), 級(jí)數(shù)發(fā)散; q=1 時(shí)需用其他方法#1nnaqaannn1lim10/28/202123cauchy(柯西)判斂法 對(duì)于任意級(jí)數(shù) , 如果上極限則q1時(shí), 級(jí)數(shù)發(fā)散; q=1 時(shí)需用其他方法#1nnaqannn suplim10/28/202124例題五 判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性：1ln2ln111141 (5) ln1 (4)0)(x )1 ( (3) ,!)!12( (2) ,! ) 1 (nnnnnnnkknnnnxxnnnn10/28/202125正項(xiàng)級(jí)

8、數(shù)第二比較原理 設(shè) 和 是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù), 且存在n, 當(dāng)nn時(shí), . 則下列兩個(gè)結(jié)論成立: 若 收斂, 則 收斂; 若 發(fā)散, 則 發(fā)散. 證明：練習(xí). #1nna1nnbnnnnbbaa111nnb1nnb1nna1nna10/28/202126參照p級(jí)數(shù)的判斂法 raabe(拉貝, 1801-1859, 瑞士)判斂法:設(shè)級(jí)數(shù) 的各項(xiàng)為正, 如果極限 q1時(shí), 級(jí)數(shù)收斂; q1時(shí), 為簡(jiǎn)單起見(jiàn), 設(shè)即注意到: 因此raannrnn211 ,1,01nraannn211 ,11rnnrnnn111211 ,rrnnnnaannn1111 ,10/28/202128拉貝判斂法證明(續(xù)) q1時(shí),

9、 為簡(jiǎn)單起見(jiàn), 設(shè)即因此11 , 11nnaannnnnaannn111 , 111111 , 1nnaannn10/28/202129例題六 判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性： 11 (4) ,!1 (3) ),0( )() 1(! (2) ,) 12( !)!2(! !12 ) 1 (1111nnnnnnneennxnxxnnnn10/28/202130變號(hào)級(jí)數(shù)的判斂法 dirichlet判斂法 leibniz判斂法 abel判斂法10/28/202131dirichlet判斂法 設(shè)數(shù)列 單調(diào)遞減到零，級(jí)數(shù) 的部分和序列一致有界. 則級(jí)數(shù) 收斂, 并且 1nna1nnb1nnnba1111 (*)nnkknnnnnbaaba10/28/202132dirichlet判斂法的證明 注意等式(*)右端的級(jí)數(shù)收斂, 考慮左端級(jí)數(shù)的部分和令n趨于無(wú)窮, 就得到等式(*).njjnnkkjjkknkkkbabaaba11111110/28/202133leibniz判斂法 設(shè)數(shù)列 嚴(yán)格單調(diào)遞減到零，則級(jí)數(shù) 收斂. 證明：取 , 然后應(yīng)用dirichlet判斂法.# 1nna1) 1(nnnannb) 1(10/28/202134abel判斂法 設(shè)數(shù)列 單調(diào)遞減地收斂到a，級(jí)數(shù) 收斂. 則級(jí)數(shù) 收斂, 并且證明: 由dirichlet判斂法(*)右端第一個(gè)級(jí)數(shù)收斂. 余下利用級(jí)數(shù)