生產函數(shù)和成本函數(shù)的對稱性

1、生產函數(shù)與成本函數(shù)的對稱性摘要：生產函數(shù)與成本函數(shù)是在生產過程中密切相關、相互對應的兩個函數(shù)。本文討論短期生產函數(shù)與短期成本函數(shù)、長期生產函數(shù)與長期成本函數(shù)的對稱關系。關鍵詞：生產函數(shù)成本函數(shù)對偶關系齊次函數(shù)彈性生產函數(shù)與成本函數(shù)是微觀經濟學中兩個重要的概念，它們分別是從實物形態(tài)和貨幣形態(tài)討論廠商生產行為的兩個方面。在生產過程中假定技術水平保持不變，則生產取決于要素投入。即生產過程中所使用的各種生產要素的數(shù)量與所能生產的最大產量之間的關系就 是生產函數(shù)。因而生產要素的投入量與要素價格完全決定了生產成本。在完全競爭的條件下，要素價格是既定不變的，因而生產要素直接溝通了生產函數(shù)與成本函數(shù)的關系。1

2、短期生產函數(shù)與短期成本函數(shù)的關系設生產函數(shù)表示為y = y ( Xj,X2.Xn),其中y是要素投入組合(Xj,X2.Xn)下的產量，xi是第i種要素的投入量。假設勞動L是惟一的可變投入要素，其它要素投入量都是固定不變的，則這時的短期生產函數(shù)可以簡化為y = y (L)。由生產函數(shù)在生產第二階段上的單調性，其反函數(shù)| =l(y)存在。所以，生產函數(shù)y = y (L )所對應的成本函數(shù)為 C = b +w L1=b +w l ( y)。若已知成本函數(shù) C = b +w L = b + f ( y)，由于成本函數(shù)是關于產量y的單調遞增函數(shù)，所以生產函數(shù)為y = f J (w L )。2長期生產函數(shù)

3、與長期成本函數(shù)的關系若長期生產過程中，所有要素投入均為可變。已知生產函數(shù)為y = y ( Xi ,X2.Xn)，設在n要素投入組合X = ( Xi ,X2.Xn)下的成本函數(shù)為c = 2Pini,其中pi為要素Xi ( i = 1,2, ?,i珀nn)的價格。假設Pi是固定不變的。在既定產量條件下求最小成本，知成本函數(shù)c = vpii=1n由如下模型確定 mi nc=W pi n i ,sty=y ( Xi ,X2.Xn)(1)i 4構造拉格朗日函數(shù)0/小化的一階條件為：尋丄i);八從(2)nL ( xi ,入)=、 p* (y-ydx?,xn),由極值原理，得成本最i 4反之,在既定成本投入

4、條件下求最大產量，知生產函數(shù)y = y ( x1 , x2 , ?, xn )由如下模型確定：maxy = y ( x1 , x2 , ?, xn ); sty=y ( Xi ,X2.xn)n構造拉格朗日函數(shù) 丄(xi ,入)=y ( x1 , x2 , ?, xn ) +入C- '、pi xi ,i丄n= 1,2,. n); c =c(y) =、 PjXj (4)idy，入=e'( y)為邊際成本 汙是有de由極值原理，得產量最大化的一階條件：應二丄(iPi 扎此處，不難驗證入=dy為最后一單位成本增加的產量de1，故在確定的生產函數(shù)y = y ( x1 , x2 , ?,

5、xn )n與成本函數(shù)C = C ( y)= 二Pi Xi,條件iT下，(3)、(4)的兩組條件是等價的。因而不難得出生產函數(shù)與成本函數(shù)的一般關系滿足:nc ( y) = C (y)、Xiy;pi =C'(y) -i 呂:Xi:-Xi(5)由(5)中解得x1 , x2 , ?, xn，代入n二：PiXi,，可得 y = y ( x1 , x2 ,?, xn )對應的成本函為C ( y) = Ci 土ny) (PiXi :反之，由于成iT本函數(shù)C = C ( y)=n、Pixi,是產量y的單調遞增函數(shù)i 二n,由C = Pixi,求其反函數(shù)，相應的i=1最優(yōu)生產規(guī)模下的生產函數(shù)為3互為對偶

6、關系的生產函數(shù)與成本函數(shù)的主要特征生產函數(shù)與成本函數(shù)的彈性特征：生產函數(shù)彈性與成本函數(shù)彈性互為倒數(shù)，生產函 數(shù)彈性又稱生產力彈性，是指在技術水平和投入要素價格不變的條件下，所有投入要素都按 同一比例變動時產出的相對變動。即所有投入要素都變動1%時產出的變動百分比。設生產函數(shù)為y = y (X ) , X = ( x1 , x2 ,?, xn )為投入要素，則生產函數(shù)彈性:dydydxdx(8)不難證明，所有投入要素按同一比例變動所引起的產出的相對變動，是各個投入要素的比例變動所引起的產出變動之和即dydxXiy(9)成本函數(shù)彈性簡稱成本彈性，是指在技術水平和投入要素價格不變的條件下，總產量沿著

7、擴張線的相對變動所引起的總成本的相對變動.即總產量沿著擴張線變動1%時總成本的den變動百分比設成本函數(shù)為C = C ( y) = PjXjKPjX則ECi=1dyde(10)由于總成本C=PxX,所以卻緩Px(dX) dXPxXX(11)dy將(11)式代入(8)式得：E ydXXdyydCCEe上式表明，成本函數(shù)彈性是生產力彈性的倒數(shù)即成本彈性小于、大于還是等于1,取決于生產力彈性大于、小于還是等于1.并依此表明規(guī)模報酬遞增、不變還是遞減。參考文獻：1 高鴻業(yè)西方經濟學(微觀部分)(第4版)M .北京：中國人民大學出版社，2007.2 黎旨遠.微觀經濟分析M .北京:清華大學出版社,1987. 160.3 湯石章.微觀經濟學M .上海:上海交通大學出版社,1995.