《拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程》教學(xué)設(shè)計(jì)二

高中數(shù)學(xué)精選資源3/3《拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程》教學(xué)設(shè)計(jì)二教學(xué)設(shè)計(jì)一、創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)興趣視頻講述有關(guān)阿基米德的故事，引出拋物線.傳說公元前215年，古羅馬帝國派強(qiáng)大的海軍，乘戰(zhàn)艦攻打古希臘名城敘拉古.小小的敘拉古難敵來勢(shì)洶洶的古羅馬大軍，人們就把希望寄托在居住在這里的阿基米德身上.當(dāng)時(shí)年過古稀的阿基米德，雖然沒有絕世的武功，卻有聰明的頭腦.他挺身而出，發(fā)動(dòng)全城的婦女拿著自己的銅鏡來到海岸邊，在阿基米德的指揮下，大家站成一條完美的曲線，讓手中的銅鏡反射的太陽光恰好集中照射到敵艦的船帆上.頓時(shí)，敵艦起火，不可一世的古羅馬海軍大敗而歸.究竟是怎樣的曲線才能有如此強(qiáng)大的威力呢？設(shè)計(jì)意圖：通過視頻故事激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，引出本節(jié)課的主要研究對(duì)象，同時(shí)設(shè)置伏筆，為拋物線的應(yīng)用做好鋪墊，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力.二、探究新知1.師生探究，抽象定義.結(jié)合信息技術(shù)，動(dòng)態(tài)作圖.作圖步驟：點(diǎn)F是定點(diǎn)；l是不經(jīng)過點(diǎn)F的定直線；H是l上任意一點(diǎn)；過點(diǎn)H作直線l的垂線n;作線段FH的垂直平分線m交n于點(diǎn)M;拖動(dòng)點(diǎn)H，觀察點(diǎn)M的軌跡.問題1：過點(diǎn)H的直線n與直線l垂直，說明了什么？教學(xué)預(yù)設(shè)：點(diǎn)M到直線l的距離恰好為線段MH的長(zhǎng).問題2：點(diǎn)M在線段FH的垂直平分線上，有什么特點(diǎn)？教學(xué)預(yù)設(shè)：線段MF的長(zhǎng)等于線段MH的長(zhǎng)，進(jìn)而點(diǎn)M到定點(diǎn)F的距離與到定直線l的距離相等.設(shè)計(jì)意圖：通過這些問題的設(shè)計(jì)，讓學(xué)生體會(huì)隨著點(diǎn)H的移動(dòng)，點(diǎn)M到定點(diǎn)F的距離與到定直線l的距離始終相等，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生抽象出拋物線的定義，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).問題3：為什么要強(qiáng)調(diào)定直線l不經(jīng)過定點(diǎn)F呢？（動(dòng)態(tài)演示當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)F時(shí)點(diǎn)M的軌跡形狀）定義：一般地，設(shè)F是平面內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)，l是不過點(diǎn)F的一條定直線，則平面上到F的距離與到l的距離相等的點(diǎn)的軌跡稱為拋物線，其中定點(diǎn)F稱為拋物線的焦點(diǎn)，定直線l稱為拋物線的準(zhǔn)線.設(shè)計(jì)意圖：通過問題的方式，引起學(xué)生的注意，強(qiáng)化對(duì)“定直線不過定點(diǎn)”這個(gè)限制條件的認(rèn)識(shí)，完善拋物線的定義.2.利用定義，繪制曲線.問題4：通過拋物線的定義，能不能在下圖所給的圖形中描出一條拋物線呢?設(shè)計(jì)意圖：圓上的點(diǎn)到圓心的距離都相等，平行線上的點(diǎn)到定直線的距離都相等，所以可以借助此圖形找到些到定點(diǎn)和到定直線距離都相等的點(diǎn)，進(jìn)而描出一條拋物線，通過這個(gè)練習(xí)，讓學(xué)生進(jìn)一步熟悉拋物線的定義，掌握定義的本質(zhì).3.建坐標(biāo)系，求其方程問題5：對(duì)于確定的拋物線，如何選擇坐標(biāo)系能使所求的方程更簡(jiǎn)單呢？引導(dǎo)學(xué)生試著建立坐標(biāo)系，同學(xué)之間互相借鑒對(duì)照，最后形成三個(gè)比較常見的方案（如圖所示）.設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生自主提出問題，并從數(shù)學(xué)的角度分析問題，避免直接將結(jié)論強(qiáng)加給學(xué)生，注重知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展過程，充分暴露結(jié)論的形成過程，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)處理類似數(shù)學(xué)問題的思路和方法，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).在學(xué)生充分嘗試的基礎(chǔ)上，教師和學(xué)生一起研究其中一個(gè)方案在板演的過程中，注重運(yùn)算技巧的指導(dǎo)，同時(shí)強(qiáng)調(diào)引入p的意義是焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的距離，并以此說明為何p是大于零的.在得出其中一種方案后，啟發(fā)學(xué)生有沒有更簡(jiǎn)單的方法得到其他幾種情況的方程，引導(dǎo)學(xué)生從曲線的平移這個(gè)角度得到曲線方程，進(jìn)而簡(jiǎn)化運(yùn)算過程.對(duì)比分析三種方案，最終選擇形式較簡(jiǎn)單的方案二的結(jié)果作為拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，同時(shí)寫出其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.接著給出一個(gè)鞏固性練習(xí)：若拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是，你能說出它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程嗎？設(shè)計(jì)意圖：以此練習(xí)加強(qiáng)學(xué)生對(duì)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的認(rèn)識(shí)，初步熟悉方程中一次項(xiàng)的系數(shù)與焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程的關(guān)系.思考：如果建立的平面直角坐標(biāo)系分別如下圖的（1）（2）（3）所示，其他條件不變，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程有變化嗎？此時(shí)能否通過得到拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程具有的形式呢？學(xué)生小組合作完成得出這三種情況下的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.設(shè)計(jì)意圖：以此思考問題加強(qiáng)學(xué)生對(duì)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的認(rèn)識(shí)，使學(xué)生初步熟悉在各種情況下建立平面直角坐標(biāo)系后的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.4.類比分析，對(duì)比記憶.總結(jié)常見的四種拋物線類型，分別寫出其對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程.通過表格的形式，類比得出其他結(jié)論.在總結(jié)的過程中，從對(duì)稱變換的角度簡(jiǎn)化運(yùn)算，幫助學(xué)生記憶相關(guān)內(nèi)容在推導(dǎo)開口向上的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的過程中，學(xué)生可能會(huì)遇到困難，可以借助關(guān)于直線對(duì)稱的兩點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系來得出相應(yīng)結(jié)論.設(shè)計(jì)意圖：類比拋物線的四種常見形態(tài)，從變換的角度分析問題并得出結(jié)論,避免重復(fù)運(yùn)算,同時(shí)對(duì)比記憶,有助于形成良好的知識(shí)網(wǎng)絡(luò).三、新知運(yùn)用,鞏固提高例1分別根據(jù)下列條件,求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和準(zhǔn)線方程:（1）拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是3,而且焦點(diǎn)在軸的正半軸上;（2）拋物線的焦點(diǎn)是.解（1）根據(jù)題意可知,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程具有的形式,而且,因此所求標(biāo)準(zhǔn)方程為.準(zhǔn)線方程為.（2）因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)是,所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程具有的形式,而且,因此,從而所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.準(zhǔn)線方程為.設(shè)計(jì)意圖:鞏固通過拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程求焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程的方法,以此來對(duì)比記憶標(biāo)準(zhǔn)方程的一般形式、開ロ方向,并進(jìn)一步明確的幾何意義.例2分別根據(jù)下列條件,求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和標(biāo)準(zhǔn)方程:（1）拋物線的焦點(diǎn)到軸的距離是2,而且焦點(diǎn)在,軸的正半軸上;（2）拋物線的焦點(diǎn)是雙曲線的焦點(diǎn)之一.解（1）由已知可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為,因此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程具有的形式,且,從而所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.（2）因?yàn)殡p曲線中,,又因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在軸上,所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為或,5).如果拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程具有的形式,且,此時(shí)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是；如果拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程具有的形式,且,此時(shí)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.設(shè)計(jì)意圖:對(duì)于沒有明確拋物線的開ロ方向的類型,要學(xué)會(huì)從不同的角度進(jìn)行分類討論,進(jìn)而增加思維的條理性和嚴(yán)密性.例3已知平面直角坐標(biāo)系中,動(dòng)點(diǎn)到的距離比到軸的距離大2,求的軌跡方程,并在平面直角坐標(biāo)系中作出軌跡曲線.解設(shè)的坐標(biāo)是,則根據(jù)題意可知，化簡(jiǎn)得.當(dāng)時(shí),方程可變?yōu)?這表示的是端點(diǎn)在原點(diǎn)、方向?yàn)檩S正方向的射線,且不包括端點(diǎn),如圖所示;當(dāng)時(shí),方程可變?yōu)?這表示的是焦點(diǎn)為的拋物線,如圖所示.設(shè)計(jì)意圖：通過利用拋物線的定義，結(jié)合已有的坐標(biāo)系得到非“標(biāo)準(zhǔn)”方程，在鞏固知識(shí)、熟練方法的同時(shí)，增強(qiáng)學(xué)生思維靈活性四、質(zhì)疑反思，強(qiáng)化定義問題6：與初中學(xué)習(xí)的二次函數(shù)圖像相比較，今天學(xué)習(xí)的拋物線與二次函數(shù)圖像形式的拋物線是不是一回事呢？以為例，引導(dǎo)學(xué)生分析能否從標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線的定義角度出發(fā)得出結(jié)論能說明這一情況之后，再分析對(duì)于一般的二次函數(shù)是否會(huì)有相同的結(jié)論設(shè)計(jì)意圖：和已經(jīng)學(xué)過的知識(shí)做比較，進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)拋物線定義的理解，同時(shí)完成相關(guān)知識(shí)體系的建構(gòu)，提升學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)五、回歸應(yīng)用，解決問題問題7：本節(jié)課最開始提到的問題，當(dāng)光線從一定的方向射向拋物線時(shí)會(huì)被反射聚焦到焦點(diǎn)上，我們能從本節(jié)課所學(xué)的知識(shí)加以說明嗎？如圖所示，當(dāng)光線入射到點(diǎn)M時(shí)，由物理學(xué)的知識(shí)可知，光線是按切線的方向進(jìn)行反射的，只要能說明我們?cè)陂_始作圖的過程中提到的垂直平分線m是拋物線的切線，即可說明這個(gè)問題所以，問題轉(zhuǎn)化為證明此直線是拋物線的切線而想要證明此直線是拋物線的切線，只需要用本課所學(xué)的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程與直線方程聯(lián)立，看方程組的解的個(gè)數(shù)即可.設(shè)計(jì)意圖：通過本節(jié)課所學(xué)的知識(shí)，解決課始提到的問題，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力.六、小結(jié)提升，布置作業(yè)1.小結(jié)：2.作業(yè)：（1）教材第153頁練習(xí)A第1，2，3題.（2）請(qǐng)查閱資料，看看拋物線在生活中還有哪些應(yīng)用？設(shè)計(jì)意圖：鞏固本節(jié)所學(xué)的知識(shí)，掌握拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程，同時(shí)因材施教，引導(dǎo)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)生活中的拋物線，讓不同層次的學(xué)生均有收獲，增加學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).板書設(shè)計(jì)2.7.1拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程1.拋物線的定義一般地，設(shè)F是平面內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)，l是不過點(diǎn)F的一條定直線，則平面上到F的距離與到l的距離相等的點(diǎn)的軌跡稱為拋物線，其中定點(diǎn)F稱為拋物線的焦點(diǎn)，定直線l稱為拋物線的準(zhǔn)線2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程3.例題例1例2例3教學(xué)研討本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)從故事中涉及的問題開始，到解決故事中的問題結(jié)束，整個(gè)環(huán)節(jié)較為完整，內(nèi)容充實(shí)，學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)相對(duì)得到較為充分的補(bǔ)充.不過教學(xué)時(shí)有的地方還可以進(jìn)行一些擴(kuò)充，如可以增添一些有關(guān)軌跡的問題串：（1）平面內(nèi)，到一個(gè)定點(diǎn)