第九章 三重積分及應用

1、 第九章第九章 重積分重積分 知識總結知識總結二重積分的計算二重積分的計算三重積分的計算三重積分的計算重積分的運用重積分的運用二二. . 三重積分的計算三重積分的計算1 1、投影法投影法 (“(“先單后重先單后重” “ “先一后二先一后二”) )2 2、截面、截面法法 (“(“先重后單先重后單” “ “先二后一先二后一”) )3 3、柱坐標代換柱坐標代換4 4、球、球坐標代換坐標代換5 5、利用三重積分的對稱性、利用三重積分的對稱性zxyD),(2yxzz ),(1yxzz yxdd21( , )( , )d d( , , )dxyzx yDzx yx yf x y zzvzyxfd),(關鍵

2、：正確的判斷上、下曲面關鍵：正確的判斷上、下曲面; 找對投影區(qū)域找對投影區(qū)域.12( , , )| ( , )( , ), ( , )xyx y z z x yzz x yx yD 1、 投影法投影法 (“先單后重先單后重” “先一后二先一后二”)方法一方法一: 根據(jù)圖形根據(jù)圖形:zxyD),(2yxzz ),(1yxzz yxdd方法二方法二:根據(jù)方程根據(jù)方程:投影區(qū)域可由含投影區(qū)域可由含z的某曲面與其它曲面交線的投的某曲面與其它曲面交線的投影曲線所圍。影曲線所圍。即：可選定一個含即：可選定一個含z的方程然后再和其它所有方程的方程然后再和其它所有方程（包含柱面方程和另一個含（包含柱面方程和另

3、一個含z的方程）相交。的方程）相交。利用平行于利用平行于z軸的直線穿曲面，穿出軸的直線穿曲面，穿出和穿入點就對應上、下曲面，注：中和穿入點就對應上、下曲面，注：中間所夾立體的邊界應為柱面。間所夾立體的邊界應為柱面。投影點的全體即為投影區(qū)域。投影點的全體即為投影區(qū)域。已給邊界曲面方程中含已給邊界曲面方程中含z的若只有的若只有兩個，則其必分別為上、下曲面兩個，則其必分別為上、下曲面,其它其它不含不含z的方程必對應柱面。的方程必對應柱面。例例. 計算積分計算積分dddzxyz其中其中 由曲面由曲面222,xyyxz0,1zy法一法一: 積分域為積分域為:原式原式220dxyz z及平面及平面220y

4、xz12 yx11x12dxy11dx所圍所圍 .xyz220dxyxyDdxdyz z例例. 計算積分計算積分dddzxyz其中其中 由曲面由曲面222,xyyxz0,1zy法二法二:xyD原式原式220dxyz z及平面及平面220yxz12 yx11x12dxy11dx所圍所圍 .220dxyxyDdxdyz z找上下半曲面：找投影區(qū)域：找投影區(qū)域：220zzxy20zyx01zyZDbayxzyxfzdd),(dvzyxfd),(abxyzzzD適用范圍：適用范圍：積分區(qū)域介于兩個平行于坐標面的平面之間積分區(qū)域介于兩個平行于坐標面的平面之間;在平行于坐標面的截面上二重積分易算在平行于坐

5、標面的截面上二重積分易算典型題目：典型題目：被積函數(shù)只為某一變量的函數(shù)被積函數(shù)只為某一變量的函數(shù);且截面面積易求且截面面積易求( , , )|,( , )zx y zazb x yD 2、 截面截面法法 (“先重后單先重后單” “先二后一先二后一”)zD1zD2例例(截面法截面法): 計算積分計算積分2222RzyxzRzyx2222及,ddd2zyxz其中其中 是是兩個球兩個球 ( R 0 )的公共部分的公共部分.提示提示: 被積函數(shù)缺被積函數(shù)缺 x , y 原式原式 =zDyx1ddzzzRzRd)2(2022zzRd202zDyx2ddzzRRd22zzRzRRd)(2222548059

6、RRzyxo2Rzyxzyxfddd),(柱面坐標本質：投影法中的二重積分利用了極柱面坐標本質：投影法中的二重積分利用了極坐標計算坐標計算22()f xy積分區(qū)域為柱體區(qū)域或投影域適用極坐標表示;被積函數(shù)為型3、柱坐標代換柱坐標代換1212 ( , , )|,( )( ), ( , )( , )zzzz 若2211( )( , )( )( , )(cos ,sin ,)dzzddfzz 柱面坐標適用范圍：柱面坐標適用范圍：o oxyz例例. 計算三重積分解解: 在柱面坐標系下h:hz42dhdh2022)4(124)41ln()41(4hhhhz h2020h202d120d,1ddd22yx

7、zyxzyx422)0( hhz所圍成 .與平面其中由拋物面24原式 =,R),(3zyxM設),(z其柱坐標為就稱為點M 的球坐標.,ZOMMoxyzzr( , , )r 則0200rcossinrx sinsinry cosrz , rOM 令zyxzyxfddd),( sincos , sinsin , cos)f rrrdddsin2rr222: ()f xyz適用范圍積分區(qū)域為球形區(qū)域、被積函數(shù)為型4、球、球坐標代換坐標代換zyxzyxfddd),(222: ()f xyz適用范圍 積分區(qū)域為球形區(qū)域、被積函數(shù)為型1212 ( , , )|,( )( ), ( , )( , )rrr

8、r 若2211( )( , )2( )( , )( sincos , sinsin , cos)sindrrddf rrrrr 確定確定r, , 的變化范圍的方法的變化范圍的方法:：根據(jù)投影區(qū)域：從原點出發(fā)穿過立體的射線于z軸正向的夾角r：從原點出發(fā)穿過立體的射線于邊界曲面的交例例.222(0)xyzaz a0cosra,2002 ,yzxarozyRx例例.2222(0)xyzRR:0,02 ,0rR:22zxy例：錐面2222Rzyx:所圍立體所圍立體.40Rr 020與球面與球面xyzo4Rr 例例. .由球面x2+y2+z22Rz=0和圓錐面cot2(x2+y2)=z2圍成的立體。0y

9、zxx2+y2+z22Rz=0: r=2Rcos cot2(x2+y2)=z2: =.0r2Rcos02，:0例例. .0)0(,222222圍成平面及zbayxazyxbz解解: : 兩球面方程分別為:r=b和r=a,(a 0 )的公共部分的公共部分.提示提示:原式原式 =548059RRzyxo2R2 cos3rr2 cosrRrR或或 =22223000cossinRddrrdr22cos2222003cossinRddrrdr22222000cossinRddrrdr2222202cos3cossinRRddrrdr例例(球坐標法球坐標法)2222xyz22xyz及的公共部分的公共部分

10、.解解: 對稱性對稱性2zyxo122222000sinddrrdr2coscscr222sincosrrr或或 =22coscsc222004sinddrrdr22224000sinddrrdr2222220coscsc4sinddrrdr(222)d d d0,xyyzxzx y z例例(球坐標法球坐標法): 計算積分計算積分2() d d d ,xyzx y z222dxyzV例例.,)0(, 0)0(,)(存在設ffCuf，求)(1lim40tFtt)(tF解解: 在球坐標系下trrrftF02020d)(dsind)(trrrf02d)(440)(limttFt利用洛必達法則與導數(shù)定

11、義,得3204)(4limtttftttft)(lim0)0(f0)0(Fzyxzyxftzyxddd)(2222222其中 0)0(f 5、 利用三重積分的對稱性利用三重積分的對稱性( , , )d0( , , )z2( , , )d( , , )f x y zvf x y zf x y zvf x y z上關于 為奇函數(shù)關于z為偶函數(shù)( , , )(),f x y zCxoy設且域關于面對稱 則當區(qū)域關于當區(qū)域關于yoz 軸對稱軸對稱, 函數(shù)關于函數(shù)關于x 有奇偶性時有奇偶性時, 當區(qū)域關于當區(qū)域關于xoz 軸對稱軸對稱, 函數(shù)關于函數(shù)關于y 有奇偶性時有奇偶性時,仍仍有類似結果有類似結果

12、.例例. 計算計算,ddd)sin5(2222zyxyxxyxI其中其中.4, 1),(2122圍成由zzyxz解解:zyxxIddd2利用對稱性利用對稱性zyxyxddd)(2122yxyxzzDdd)(d212241zrrz2032041ddd21214zxoy1zDzyxyxyxdddsin52220重積分計算的基本方法重積分計算的基本方法1. 選擇合適的坐標系選擇合適的坐標系使積分域多為坐標面使積分域多為坐標面(線線)圍成圍成;被積函數(shù)用此坐標表示簡潔或變量分離被積函數(shù)用此坐標表示簡潔或變量分離.2. 選擇易計算的積分序選擇易計算的積分序積分域分塊要少積分域分塊要少, 累次積分易算為妙

13、累次積分易算為妙 .根據(jù)圖形根據(jù)圖形根據(jù)方程根據(jù)方程3. 掌握確定積分限的方法掌握確定積分限的方法 累次積分法累次積分法小結：小結：三、重積分的應用三、重積分的應用1. 幾何方面幾何方面面積面積 ( 平面域或曲面域平面域或曲面域 ) , 體積體積 , 形心形心質量質量, 轉動慣量轉動慣量, 質心質心, 引力引力 證明某些結論等證明某些結論等 2. 物理方面物理方面3. 其它方面其它方面注：一定要用對稱性結論注：一定要用對稱性結論一、一、幾何方面幾何方面 曲頂柱體曲頂柱體的頂為連續(xù)曲面),(yxfz 則其體積為DyxyxfVdd),(,),(Dyx 占有空間有界域空間有界域 的立體的體積為zyx

14、Vddd例例. 求球體22224azyx被圓柱面xayx222)0( a所截得的(含在柱面內的)立體的體積. 解解: 設由對稱性可知:02 cos , 02Da2244ddDVa 20d42 cos2204daa d)sin1 (3322033a)322(3323aoxyza222240: 4axyDVdvdxdydz注的面積公式：221( , )( , ) dxyxyDSfx yfx y曲面:( , ),zf x y( , ),xyx yD的面積公式：221( , )( , ) dyzyzDSgy zgx y曲面:( , ),xg y z( , ),yzy zD的面積公式：221( , )(

15、 , ) dxzxzDShy zhx y曲面:( , ),yh x z( , ),xzx zD曲面的面積曲面的面積注：如果圖不好畫則可根據(jù)方程：注：如果圖不好畫則可根據(jù)方程：1先利用對稱性：所有方程中若某個變量都是平方先利用對稱性：所有方程中若某個變量都是平方形式，則圖形一定關于相應坐標面對稱，利用對稱性形式，則圖形一定關于相應坐標面對稱，利用對稱性后只需考慮正半部分后只需考慮正半部分2求投影區(qū)域應利用所求曲面和其它相交求投影區(qū)域應利用所求曲面和其它相交含于球面2222xyza例例. 求圓柱面22xyax)0( a部分的面積. oxyza22: xyax分析：14SS21: yaxx 找投影區(qū)

16、域：找投影區(qū)域：220 xyaxz222222xyaxxyza220 xyaxx例例. 計算雙曲拋物面yxz 被柱面222Ryx所截解解: 曲面在 xoy 面上投影為222:,xyDxyR則221d dxyxyDAzzx y221d dxyDxyx y2200d1dR )1)1( 32232R出的面積 A .二、物體的質心二、物體的質心設空間有n個質點, ),(kkkzyx其質量分別, ),2, 1(nkmk由力學知, 該質點系的質心坐標,11nkknkkkmmxx,11nkknkkkmmyynkknkkkmmzz11分別位于為為若物體為占有xoy 面上區(qū)域 D 的平面薄片, ),(yx為(

17、, )d d1( , )d d( , )d dDDDxx yx yxxx yx ymx yx y( , )d d1( , )d d( , )d dDDDyx yx yyyx yx ymx yx y,常數(shù)時d d,Dx x yxSd dDy x yyS(S為 D 的面積)得D 的形心坐標:可導出則它的質心坐標為:其面密度 采用 “分割, 以常代變, 求和, 取極限”( , , )d dd1( , , )d dd( , , )d ddxx y zxyzxxx y zxyzmx y zxyz推廣: 設物體占有空間域 ,( , , ),x y z有連續(xù)密度函數(shù)則其質心公式: ( , , )d dd1(

18、 , , )d dd( , , )d ddyx y zxyzyyx y zxyzmx y zxyz( , , )d dd1( , , )d dd( , , )d ddzx y zxyzzzx y zxyzmx y zxyz( , , ),x y z當常數(shù)時則得形心坐標：,dddVzyxxx,dddVzyxyyVzyxzzddd的體積為zyxVddd4例例. 求位于兩圓sin2rsin4r和的質心. 2D解解: 利用對稱性可知0 x而DyxyAydd121sind d3D 4sin22sinddsin956042956dsin295620437之間均勻薄片0dsin3143212oyxCVzyx

19、zzddd例例. 一個煉鋼爐為旋轉體形一個煉鋼爐為旋轉體形, 剖面壁線剖面壁線的方程為的方程為, 30,)3(922zzzx內儲有高為內儲有高為 h 的均質鋼液的均質鋼液,解解: 利用對稱性可知質心在利用對稱性可知質心在 z 軸上，軸上，,0 yx采用柱坐標采用柱坐標, 則爐壁方程為則爐壁方程為,)3(922zzrzyxVdddhzzz02d)3(9zDhyxzddd0因此因此故故自重自重, 求它的質心求它的質心.oxzh若爐若爐不計爐體的不計爐體的其坐標為其坐標為hzzz022d)3(9zDhyxzzddd0zyxdzdd)51233(923hhh225409043060hhhhhzoxzh

20、)41229(923hhhV三、物體的轉動慣量三、物體的轉動慣量設物體占有空間區(qū)域 , 有連續(xù)分布的密度函數(shù). ),(zyx該物體位于(x , y , z) 處的微元 vzyxyxd),()(22因此物體 對 z 軸 的轉動慣量:zyxzyxyxIzddd),()(22zIdxyoz對 z 軸的轉動慣量為 因質點系的轉動慣量等于各質點的轉動慣量之和, 故 連續(xù)體的轉動慣量可用積分計算. 類似可得:zyxzyxIxddd),( zyxzyxIyddd),( zyxzyxIoddd),( )(22zy )(22zx )(222zyx對 x 軸的轉動慣量對 y 軸的轉動慣量對原點的轉動慣量如果物體是平面薄片,面密度為Dyxyx),(),(DxyxyxIdd),( DoyxyxIdd),( 則轉動慣量的表達式