江蘇省高三歷次模擬試題分類匯編第13章空間向量與立體幾何

1、目錄（基礎復習部分）第十三章空間向量與立體幾何2第01課空間向量與運算2第02課空間向量與空間角的計算2第十三章 空間向量與立體幾何第01課 空間向量與運算第02課 空間向量與空間角的計算（第22題圖）abcdea1b1c1d122如圖，已知長方體abcda1b1c1d1中，ab3，bc2，cc15，e是棱cc1上不同于端點的點，且（1） 當bea1為鈍角時，求實數(shù)的取值范圍；（2） 若，記二面角b1a1be的的大小為，求|cos|（第22題圖）xyzabcdea1b1c1d122解：（1）以d為原點，da為x軸，dc為y軸，dd1為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系 由題設，知b(2，3，0

2、)，a1(2，0，5)，c(0，3，0)，c1(0，3，5)因為，所以e(0，3，5) 從而(2，0，5)，(2，3，55) 2分 當bea1為鈍角時，cosbea10， 所以·0，即2×25(55)0， 解得 即實數(shù)的取值范圍是(，) 5分（2）當時，(2，0，2)，(2，3，3)設平面bea1的一個法向量為n1(x，y，z)，由 得取x1，得y，z1，所以平面bea1的一個法向量為n1(1，1) 7分易知，平面ba1b1的一個法向量為n2(1，0，0)因為cos< n1，n2>， 從而|cos| 10分在如圖所示的多面體中，四邊形為正方形，四邊形是直角梯形，

3、平面，（1）求證：平面；abcdpq（2）求平面與平面所成的銳二面角的大?。?）由已知，兩兩垂直，可以為原點，、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系 1分設，則，故， 2分因為，故，即， 又 4分所以，平面 5分（2）因為平面，所以可取平面的一個法向量 為， -6分點的坐標為，則， 設平面的一個法向量為，則，故即取，則，故 -8分設與的夾角為，則- 9分所以，平面與平面所成的銳二面角的大小為- 10分如圖，在長方體中，與相交于點，點在線段上（點與點不重合）（1）若異面直線與所成角的余弦值為，求的長度；abcpdcdoba（2）若，求平面與平面所成角的正弦值abcpdcdobayxz22.

4、解：（1）以，為一組正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系，由題意，知，設，.設異面直線與所成角為，則，化簡得，解得或，或5分（2），設平面的一個法向量為，即取，設平面的一個法向量為，即取，設平面與平面所成角為， 10分如圖，在四棱錐pabcd中，底面abcd，底面abcd是邊長為2的菱形，mpdcba（第22題），m為pc的中點（1）求異面直線pb與md所成的角的大?。唬?）求平面pcd與平面pad所成的二面角的正弦值解：（1）設ac與bd交于點o，以o為頂點，向量，為x，y軸，平行于ap且方向向上的向量為軸建立直角坐標系1分則，所以， 3分4分所以異面直線pb與md所成的角為 5分（2）設

5、平面pcd的法向量為，平面pad的法向量為，因為，由令，得， 7分 由令，得， 8分所以，所以10分baedc（南通調研一）如圖，在四棱錐a-bcde中，底面bcde為平行四邊形，平面abe平面bcde，abae，dbde，baebde90º（1）求異面直線ab與de所成角的大??；（2）求二面角b-ae-c的余弦值aceabe（南京鹽城模擬一）cabpb1c1a1第22題圖如圖，在直三棱柱中，動點滿足當時，（1）求棱的長；（2）若二面角的大小為，求的值解：（1）以點為坐標原點，分別為，軸，建立空間直角坐標系，設，則，所以， 2分當時，有，解得，即棱的長為 4分（2）設平面的一個法向量

6、為，則由得即令，則，所以平面的一個法向量為6分又平面與軸垂直，所以平面的一個法向量為因二面角的平面角的大小為，所以，結合，解得 10分（蘇州期末）如圖，已知正方形abcd和矩形acef所在的平面互相垂直，.（1）求二面角a-df-b的大小；abcfed（2）試在線段ac上確定一點p，使pf與bc所成角為.abcfedyzx22.解：（1）如圖，以，為正交基底建立空間直角坐標系，則，平面的法向量，設平面的法向量，則，令，得，從而，顯然二面角為銳角，故二面角的大小為（2）由題意，設，則，與所成角為，解得或（舍），所以點在線段的中點處（鎮(zhèn)江期末）已知四棱錐的底面為直角梯形，底面，且，是的中點（1）證

7、明：平面平面；（2）求與所成角的余弦值；（3）求平面與平面所成二面角（銳角）的余弦值mpadbcmpadbcxyz解：建立如圖所示的空間直角坐標系，則， 1分（1）因為，故，所以由題設知，且與是平面內的兩條相交直線，由此得面，又面，故平面面4分（2）因， 7分（3）設平面的一個法向量為，則，又，取，得，故同理可得面的一個法向量為，平面與平面所成二面角（銳角）的余弦值為 10分（蘇北三市調研三）如圖，在菱形中，沿對角線將折起，使，之間的距離為，若，分別為線段，上的動點（1）求線段長度的最小值；adpqbc（第22題）abcd（2）當線段長度最小時，求與平面所成角的正弦值解：取中點，連結，則，為直

8、角三角形，平面. ······2分以分別為軸，建立如圖空間直角坐標系，則，······3分（1）設，則······5分當時，長度最小值為······6分（2）由（1）知，設平面的一個法向量為n=由n,n得，化簡得，取n設與平面所成角為，則.故直線pq與平面acd所成角的正弦值為.·····10分（南京三模）p

9、abcd如圖，四棱錐pabcd中，pa平面abcd，adbc，abad，bc，ab1，bdpa2（1）求異面直線bd與pc所成角的余弦值；（2）求二面角apdc的余弦值解：（1）因為pa平面abcd，abÌ平面abcd，adÌ平面abcd，所以paab，paad 又adab，故分別以ab，ad，ap所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系pabcdxyz根據(jù)條件得ad所以b(1，0，0)，d(0，0)，c(1，0)，p(0，0，2) 從而(1，0)，(1，2) 3分設異面直線bd，pc所成角為q ，則cosq |cos，| 即異面直線bd與pc所成角的余弦值為 5分（2

10、）因為ab平面pad，所以平面pad的一個法向量為 (1，0，0) 設平面pcd的一個法向量為n(x，y，z)， 由n，n ，(1，2)，(0，2)，得 解得不妨取z3，則得n(2，2，3) 8分設二面角apdc的大小為j，則cosjcos，n 即二面角apdc的余弦值為 10分（鹽城三模）如圖，已知四棱錐的底面是菱形，對角線交于點，底面，設點滿足.（1）當時，求直線與平面所成角的正弦值；（2）若二面角的大小為，求的值.解：（1）以為坐標原點，建立坐標系，則，所以，.當時，得，所以，設平面的法向量，則，得，令，則，所以平面的一個法向量，所以，即直線與平面所成角的正弦值.5分（2）易知平面的一個

11、法向量.設，代入，得，解得，即，所以，設平面的法向量，則，消去，得，令，則，所以平面的一個法向量，所以，解得或，因為，所以.10分（前黃姜堰四校聯(lián)考）如圖，直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，為的中點，在線段上（1）若平面，求;（2）設，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值（第23題） 解：（1）因為直三棱柱中，以點為原點，分別為軸建立如圖所示空間直角坐標系.abcc1b1a1fdxyz因為，所以,所以. 設則.因為平面，所以.由，得或，故當平面時，可得或 5分（2）由（1）知平面的法向量為設平面的法向量為，則由,得令得，所以平面與平面所成的銳二面角的余弦值 10分（金海南三校聯(lián)考）如圖，在四棱錐pabcd中，已知棱ab，ad，ap兩兩垂直，長度分別為1，2，2.若(r)，且向量與夾角的余弦值為.(1)求的值；(2)求直線pb與平面pcd所成角的正弦值.解：依題意，以a為坐標原點，ab，ad，ap分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系axyz（如圖）， 則b(1，0，0)，d(0，2，0)，p(0，0，2)， 因為，所以c(，2，0)，2分 （1）從而(，2，2)，(1