函數(shù)的極值與最值1PPT課件

1、1定義定義6.2),()(0 xfxf 或或)()(0 xfxf 極大值極大值 (或極小值或極小值), 函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為 極值.極值點(diǎn).極小值極小值(minimal value)極大值極大值(maximal value)一、函數(shù)的極值及其求法一、函數(shù)的極值及其求法1. 函數(shù)極值的定義使函數(shù)取得極值的點(diǎn)x0(自變量)稱為若在x0的某鄰域內(nèi), 恒有則稱 f (x0)為函數(shù)f (x)的一個(gè)第1頁(yè)/共40頁(yè)21x2x3x4x5x6x 函數(shù)的極大值、極小值 是局部性的. 在一個(gè)區(qū)間內(nèi),函數(shù)可能存在許多個(gè)極值,最大值與最小值,有的極小值可能大于某個(gè)極大值.只是一點(diǎn)附近的 xyOab)(xfy 第

2、2頁(yè)/共40頁(yè)3注注如如, ,3xy , 00 xy.0不是極值點(diǎn)不是極值點(diǎn)但但 x(1)的的叫做函數(shù)叫做函數(shù)為零的點(diǎn)為零的點(diǎn)使導(dǎo)數(shù)使導(dǎo)數(shù))()(xfxf 駐點(diǎn)駐點(diǎn). .可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)的駐點(diǎn)卻不一定是極值點(diǎn).但函數(shù)必是駐點(diǎn),費(fèi)馬引理費(fèi)馬引理那么3xy xyO 如果函數(shù) f (x)在x0處可導(dǎo),且 f (x)在x0處取得極值,. 0)(0 xf2. 極值的必要條件這是可導(dǎo)函數(shù)取得極值的必要條件.第3頁(yè)/共40頁(yè)4xyO32xy 極值點(diǎn)也可能是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)極值點(diǎn)也可能是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).如如,32xy 32xy 但但怎樣從怎樣從駐點(diǎn)駐點(diǎn)中中與與導(dǎo)數(shù)不存在導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)判斷一點(diǎn)的點(diǎn)判斷一點(diǎn)單減的分

3、界點(diǎn)單減的分界點(diǎn),(2)不可導(dǎo).0 x是極小值點(diǎn).是不是極值點(diǎn)若 x0 是連續(xù)函數(shù) f (x) 單增、則 x0必為極值點(diǎn).幾何上, 0 x在在第4頁(yè)/共40頁(yè)5定理定理6.10(6.10(第一充分條件第一充分條件) ),),()1(00時(shí)時(shí)若當(dāng)若當(dāng)xxx 0)( xf);0( ,),(00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xxx0)( xf),0( 則則f (x0)為為極大值極大值,)()2(0附近不變號(hào)附近不變號(hào)在在若若xxf 則則 f (x0)不是極值不是極值.(極小值);極值的一階充分條件極值的一階充分條件3. 極值的充分條件xyO0 x xyO0 x 設(shè) f (x)在x0點(diǎn)連續(xù), 且在x0的某去心鄰域.),(

4、0o內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo) xU第5頁(yè)/共40頁(yè)60 x0 x 一般求極值的步驟一般求極值的步驟求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù); 求駐點(diǎn)與不可導(dǎo)點(diǎn)求駐點(diǎn)與不可導(dǎo)點(diǎn);求相應(yīng)區(qū)間的導(dǎo)數(shù)符號(hào)求相應(yīng)區(qū)間的導(dǎo)數(shù)符號(hào), 判別增減性判別增減性;求極值求極值.(1)(2)(3)(4)不是極值點(diǎn)不是極值點(diǎn) xyOxyO第6頁(yè)/共40頁(yè)7例例解解.)1()1()(323的極值及單調(diào)區(qū)間的極值及單調(diào)區(qū)間求求 xxxf322)1()1(3)( xxxf313)1()1(32 xx312)1(3)711()1( xxx(1)(2)駐點(diǎn):, 1 x導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn):.117 x. 1 x(3)列表列表. 求相應(yīng)區(qū)間的導(dǎo)數(shù)符號(hào)求相應(yīng)區(qū)間的導(dǎo)數(shù)符號(hào), 判

5、別增減性判別增減性,確定極值點(diǎn)和極值確定極值點(diǎn)和極值.第7頁(yè)/共40頁(yè)8x)(xf )(xf), 1( 1 )117, 1( 117)1 ,117(1)1,( 0非極值非極值極小值極小值0)1( f極極小小值值2 . 2)117( f極大值極大值 0 不存在極大值極大值駐點(diǎn):, 1 x導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn):,117 x. 1 x.)1()1()(323的極值及單調(diào)區(qū)間的極值及單調(diào)區(qū)間求求 xxxf )(xf312)1(3)711()1( xxx單調(diào)增加區(qū)間:)., 1 ,117, 1 ,1,( 單調(diào)減少區(qū)間:.1 ,117第8頁(yè)/共40頁(yè)9 f (x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處取極大值處取極大值.定理定理6.1

6、1(6.11(第二充分條件第二充分條件) )證證, 0)(0 xf如果如果極大值極大值 (極小值極小值).0)(0 xf),0( 極值的二階充分條件極值的二階充分條件 )(0 xf, 0 00)()(lim0 xxxfxfxx 0)(lim0 xxxfxx 因此因此,|0 xx 當(dāng)當(dāng)充分小時(shí)充分小時(shí),由極限的保號(hào)性由極限的保號(hào)性. 0)(0 xxxf可見(jiàn)可見(jiàn),0)(xxxf 與與異號(hào)異號(hào).,0 xx 當(dāng)當(dāng); 0)( xf,0 xx 當(dāng)當(dāng). 0)( xf所以所以,自己證極小值情形自己證極小值情形. f (x0)為 對(duì)于對(duì)于駐點(diǎn)駐點(diǎn), 有時(shí)還可以利用函數(shù)在該點(diǎn)有時(shí)還可以利用函數(shù)在該點(diǎn)處的處的二階導(dǎo)

7、數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)號(hào)來(lái)判斷極值點(diǎn)的正負(fù)號(hào)來(lái)判斷極值點(diǎn). .第一充分條第一充分條件件第9頁(yè)/共40頁(yè)10例例解解.20243)(23的極值的極值求求 xxxxf2463)(2 xxxf, 0)( xf令令得得駐駐點(diǎn)點(diǎn))2)(4(3 xx, 66)( xxf)(f 18 )4( f故極大值故極大值,60 )(f 18 )2(f故極小值故極小值.48 因?yàn)橐驗(yàn)? 0 , 0 4 . 2, 421 xx2第10頁(yè)/共40頁(yè)11考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)(三三,四四)填空題填空題4分分下面命題中正確的是下面命題中正確的是,cossin)(xxxxf 設(shè)設(shè)解解.)2(,)0()A(是極小值是極小值是極大值是極大值 f

8、f.)2(,)0()B(是極大值是極大值是極小值是極小值 ff.)2(,)0()C(也是極大值也是極大值是極大值是極大值 ff.)2(,)0()D(也是極小值也是極小值是極小值是極小值 ffxxxxxfsincossin)( xxcos xxxxfsincos)( 1)0( f2)2( f. 0 , 0 第11頁(yè)/共40頁(yè)12注注,0)(0時(shí)時(shí) xf仍用第一充分條件仍用第一充分條件定理定理6.11(第二充分條件第二充分條件)不能應(yīng)用不能應(yīng)用. .事實(shí)上事實(shí)上, 0)(0 xf當(dāng)當(dāng),0)(0時(shí)時(shí) xf也可能有極小值也可能有極小值, 也可能沒(méi)有也可能沒(méi)有如如,)(41xxf ,)(42xxf 33

9、)(xxf 處處在在0 x分別屬于上述三種情況分別屬于上述三種情況. . f (x)在點(diǎn)在點(diǎn) x0處處可能有極大值可能有極大值,極值極值. .第12頁(yè)/共40頁(yè)13例例解解.)2(1)(32的極值的極值求求 xxf)2()2(32)(31 xxxf,2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x; 0)( xf,2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x. 0)( xf1)2( f.)(不存在不存在xf 32)2(1)( xxf所以所以,第一充分條件第一充分條件xyO12 但函數(shù)但函數(shù) f (x)在該點(diǎn)連續(xù)在該點(diǎn)連續(xù).為為f (x)的極大值的極大值.第13頁(yè)/共40頁(yè)14第一充分條件來(lái)判定有無(wú)極值第一充分條件來(lái)判定有無(wú)極值;對(duì)于只有駐點(diǎn)

10、而沒(méi)有導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)對(duì)于只有駐點(diǎn)而沒(méi)有導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn),則可用第二充分條件判斷有無(wú)極值則可用第二充分條件判斷有無(wú)極值. 運(yùn)用第一、第二充分條件需要注意運(yùn)用第一、第二充分條件需要注意:若函數(shù)有導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)時(shí), 則可用(1)(2)第14頁(yè)/共40頁(yè)15設(shè)y = f (x)是方程的一個(gè)的一個(gè)解解, 若若,0)(0 xf且且,0)(0 xf則則f (x)在在x0( )(A) 取得極大值取得極大值(B) 取得極小值取得極小值(C) 在某鄰域內(nèi)單調(diào)增加在某鄰域內(nèi)單調(diào)增加(D) 在某鄰域內(nèi)單調(diào)減少在某鄰域內(nèi)單調(diào)減少提示提示)(4)(00 xfxf A0 利用方程利用方程, 代入代入x0得得042 yyy第1

11、5頁(yè)/共40頁(yè)16定理定理6.126.12 )()()(000 xfxfxf設(shè)設(shè), 0)(0)( xfn, 3 , 2 n),0( 則則 f (x0)是是f (x)的的極大極大 值值.0)(0)( xfn若若(小小)如如,ee)(2xxfxx 則則,2ee)(xxfxx , 0)0( f, 0)(0)1( xfn, 2ee)( xxxf, 0)0( f,ee)(xxxf , 0)0( f. 02)0()4( f (1) 當(dāng)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)為偶數(shù)時(shí), (2) 當(dāng)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)為奇數(shù)時(shí), f (x0)不是不是f (x)的的極值極值.)(0的極小值點(diǎn)的極小值點(diǎn)為為xfx ,ee)()4(xxxf 第16頁(yè)

12、/共40頁(yè)17考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)(三三,四四)選擇題選擇題4分分當(dāng)當(dāng)a取下列哪個(gè)值時(shí)取下列哪個(gè)值時(shí), 函數(shù)函數(shù)恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn). .axxxxf 1292)(23(A) 2.(B) 4.(C) 6.(D) 8.解解12186)(2 xxxf)23(62 xx)2)(1(6 xx令令0)( xf. 2, 121 xx得駐點(diǎn)得駐點(diǎn)x)(xf)(xf )1 ,( 10)2 , 1( 20), 2( 極大極大極小極小)1292(lim)(lim23axxxxfxx . )1292(lim323xaxxxx yOx 1 2af 4)2(0 得得. 4 a第17頁(yè)/共40頁(yè)18考研數(shù)學(xué)考

13、研數(shù)學(xué)(一一)選擇題選擇題4分分設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x)在在如圖所示,),( 內(nèi)連續(xù), 其導(dǎo)函數(shù)的圖形則則 f (x)有有(A) 一個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn)一個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn).(B) 兩個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn)兩個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn).(C) 兩個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn)兩個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn).(D) 三個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn)三個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn).xOy 兩個(gè)兩個(gè)紅點(diǎn)紅點(diǎn)是極大值點(diǎn)是極大值點(diǎn), 兩個(gè)兩個(gè)綠點(diǎn)綠點(diǎn)是極小值點(diǎn)是極小值點(diǎn).第18頁(yè)/共40頁(yè)19考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)(三三)填空題填空題4分分則則|,)1(|)(xxxf 設(shè)設(shè)(A) x = 0是是f (x)的極值點(diǎn)的極值

14、點(diǎn), 但但(0,0)不是曲線不是曲線y = f (x)(B) x = 0不是不是f (x)的極值點(diǎn)的極值點(diǎn), 但但(0,0)是曲線是曲線y = f (x)的拐點(diǎn).的拐點(diǎn).(C) x = 0是是f (x)的極值點(diǎn)的極值點(diǎn), 且且(0,0)是曲線是曲線y = f (x)的拐點(diǎn).(D) x = 0不是不是f (x)的極值點(diǎn)的極值點(diǎn), (0,0)也不是曲線也不是曲線y = f (x)的拐點(diǎn). 1),1(10),1(0),1()(xxxxxxxxxxf,0處處在在 x導(dǎo)數(shù)不存在第19頁(yè)/共40頁(yè)20設(shè)設(shè)f (x)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且, 0)0( f, 1|)(lim0 xxfx則則( )成立

15、成立.(A) f (0)不是不是f (x)的極值的極值, (0, f (0)也不是曲線也不是曲線 y = f (x)的拐點(diǎn)的拐點(diǎn)(B) f (0)是是f (x)的極小值的極小值(C) (0, f (0)是曲線的拐點(diǎn)是曲線的拐點(diǎn)(D) f (0)是極大值是極大值B由局部保號(hào)性定理由局部保號(hào)性定理.第20頁(yè)/共40頁(yè)21baabab二、最大值最小值問(wèn)題二、最大值最小值問(wèn)題1. 最值的求法xyOxyOxyO第21頁(yè)/共40頁(yè)22(1)其中最大(小)者就是 f (x) 求連續(xù)函數(shù)求連續(xù)函數(shù) f (x)在閉區(qū)間在閉區(qū)間a, b上的最大上的最大(小小)值的方法值的方法:將閉區(qū)間將閉區(qū)間a, b內(nèi)所有駐點(diǎn)和

16、導(dǎo)數(shù)不存在內(nèi)所有駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在最值必最值必(2)在端點(diǎn)處達(dá)到.的點(diǎn)(即為極值嫌疑點(diǎn))處的函數(shù)值和區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值 f (a), f (b)比較,在閉區(qū)間a, b上的最大(小)值. 當(dāng)當(dāng) f (x)在閉區(qū)間在閉區(qū)間a, b上上單調(diào)單調(diào)時(shí)時(shí),第22頁(yè)/共40頁(yè)23例例解解因因3223134322)1(3)1(2 xxxx駐點(diǎn)駐點(diǎn):,21 x導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn):, 0 x. 1 x最大值與最小值.上的上的在在求函數(shù)求函數(shù)2 , 2)1()(31232 xxxfxxxxf2)1(3132)(32231 第23頁(yè)/共40頁(yè)24僅需計(jì)算僅需計(jì)算:, 1)0( f.34)2(33 f, 1)1(

17、 f比較得比較得:因因 f (x)是偶函數(shù)是偶函數(shù),43最大值最大值為為最小值最小值為為.3433 ,4)21(3 f122 21 21駐點(diǎn)駐點(diǎn):,21 x導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn):, 0 x. 1 xxyO最大值最大值與最小值.上的上的在在求函數(shù)求函數(shù)2 , 2)1()(31232 xxxf第24頁(yè)/共40頁(yè)25上的最小值為上的最小值為在區(qū)間在區(qū)間函數(shù)函數(shù)1 , 0(2xxy 解解駐點(diǎn)駐點(diǎn):令令e1 xe2e xxln2e 最小值最小值考研數(shù)學(xué)(二), 填空題, 4分xxy2 )2ln2(eln2 xyxx0 ye2e)e1( y (0)y xxx20lim xxxln20elim xx

18、xln2lim0exxx1ln2lim0e 20112limexxx xx 0lim2e1 1(1) y第25頁(yè)/共40頁(yè)26上的上的在在求函數(shù)求函數(shù)3, 0e|2|)(xxxf 解解 32e )2(20e )2()(xxxxxfxx 32e )1(20e )1()(xxxxxfxx,)3 , 0(內(nèi)內(nèi)在在駐點(diǎn)駐點(diǎn):導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn):, 1 x, 2 x, 2)0( f,e)3(3 f, e)1( f, 0)2( f最大值最大值最小值最小值最大值與最小值最大值與最小值.第26頁(yè)/共40頁(yè)27(3)(4)若連續(xù)函數(shù)若連續(xù)函數(shù) f (x)在區(qū)間在區(qū)間I內(nèi)只有內(nèi)只有一個(gè)極值一個(gè)極值且 f

19、 (x0)為極大(小)值,間 I上的最大(小)值. 對(duì)實(shí)際問(wèn)題常?？墒孪葦喽ㄗ畲髮?duì)實(shí)際問(wèn)題常?？墒孪葦喽ㄗ畲?小小)值值必在區(qū)間內(nèi)部取得, 如果連續(xù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)又僅有一個(gè)極值嫌疑點(diǎn), 那末這點(diǎn)處的函數(shù)值就是最大(小)值.則 f (x0)就是f (x)在區(qū)點(diǎn)x0,第27頁(yè)/共40頁(yè)28實(shí)際問(wèn)題求最值應(yīng)注意實(shí)際問(wèn)題求最值應(yīng)注意(1) 建立目標(biāo)函數(shù)建立目標(biāo)函數(shù);(2) 求最值求最值;若目標(biāo)函數(shù)只有唯一駐點(diǎn)若目標(biāo)函數(shù)只有唯一駐點(diǎn), 則該點(diǎn)的函數(shù)則該點(diǎn)的函數(shù)值即為所求的最大(小)值.第28頁(yè)/共40頁(yè)29Ozyx例例解解hrV22 目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù),222Rhr 由由得得,)(222hhRV Rh 0)

20、3(222hRVh h2hrR2. 應(yīng)用舉例應(yīng)用舉例(1)(2) 求最大值點(diǎn)求最大值點(diǎn)半徑為R.求內(nèi)接于球的圓柱體的最大體積求內(nèi)接于球的圓柱體的最大體積, 設(shè)球的設(shè)球的設(shè)圓柱體的高為設(shè)圓柱體的高為2h , 底半徑為r, 體積為V ,第29頁(yè)/共40頁(yè)30 圓柱體的最大體積一定存在圓柱體的最大體積一定存在, 故故唯一駐點(diǎn)唯一駐點(diǎn)3Rh 就是最大值點(diǎn)就是最大值點(diǎn), 最大體積為最大體積為3)3(222RRRV .3343R 令令, 0 hV得得3Rh (舍去負(fù)值舍去負(fù)值)唯一駐點(diǎn)唯一駐點(diǎn))3(222hRVh 函數(shù)的極值與最大值最小值第30頁(yè)/共40頁(yè)31例例解解某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品年銷(xiāo)售量為100萬(wàn)件.

21、假設(shè) (1)這些產(chǎn)品分成若干批生產(chǎn),每批需生產(chǎn)準(zhǔn)備1000元(與批量大小無(wú)關(guān)); (2) 產(chǎn)品均勻銷(xiāo)售(即產(chǎn)品的平均庫(kù)存量為批量的一半), 且每件產(chǎn)品庫(kù)存一年需庫(kù)存費(fèi)0.05元.試求使每年生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)與庫(kù)存費(fèi)之和為最小的最佳批量(稱為經(jīng)濟(jì)批量).設(shè)每年生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)與庫(kù)存費(fèi)之和為C, 批量為x,則 )(xCC x10000001000 205. 0 x40109xx 第31頁(yè)/共40頁(yè)32 )(xCC x10000001000 205. 0 x40109xx 由,10401)(29xxC 得得唯一駐點(diǎn)唯一駐點(diǎn)5102 x 因?yàn)檫@是因?yàn)檫@是實(shí)際問(wèn)題實(shí)際問(wèn)題, 批量為批量為20萬(wàn)件萬(wàn)件.一定存在最小值一

22、定存在最小值, 故最佳故最佳 庫(kù)存在正常生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)活動(dòng)中是不可避免的庫(kù)存在正常生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)活動(dòng)中是不可避免的. 但庫(kù)存太多會(huì)使資金積壓但庫(kù)存太多會(huì)使資金積壓, 庫(kù)存變質(zhì)會(huì)造成浪費(fèi)庫(kù)存變質(zhì)會(huì)造成浪費(fèi). 因此因此, 確定最優(yōu)確定最優(yōu)(或最適當(dāng)或最適當(dāng))的庫(kù)存量是很重要的的庫(kù)存量是很重要的.第32頁(yè)/共40頁(yè)33例例解解 如圖如圖,),(2000 xxxyy ,200 xy ),0,21(0 xA)16, 8(200 xxB ),0, 8(C ABCS)80(0 x21)218(0 x )16(200 xx xyOABCTP 設(shè)所求切點(diǎn)為設(shè)所求切點(diǎn)為 P(x0, y0),則切線則切線PT為為由直線由直線8

23、, 0 xy及拋物線及拋物線2xy 圍成一圍成一個(gè)曲邊三角形個(gè)曲邊三角形, 在曲邊在曲邊2xy 上求一點(diǎn)上求一點(diǎn), 使曲線在使曲線在該點(diǎn)處的切線與直線80 xy及及所圍成的三角形面積最大.第33頁(yè)/共40頁(yè)34 282800200 xxxSx解得解得,3160 x274096)316( S故故)16)(218(212000 xxxSABC 160 x唯一駐點(diǎn)唯一駐點(diǎn)200)28(xx 2382800 xx令令, 00 xS因這樣的因這樣的面積有最大值面積有最大值, 2316,316P點(diǎn)點(diǎn)為所求為所求.為所有三角形中面積的最大值為所有三角形中面積的最大值.(舍去舍去).第34頁(yè)/共40頁(yè)35三、小結(jié)極大值可能小于極小值極大值可能小于極小值,函數(shù)的極值必在駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)取得函數(shù)的極值必在駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)取得.極值的極值的判別法判別法第一充分條件第一充分條件; (合適選擇好合適選擇好極值:局部性概念;極小值可能大于極極值極值與與最值最值的區(qū)別的區(qū)別最值最值: 整體性整體性概念概念.實(shí)際問(wèn)題求最值的步驟實(shí)際問(wèn)題求最值的步驟.第二充分條件第二充分條件, 用哪個(gè)充分條件可簡(jiǎn)化計(jì)算、注意使用條件).大值.第35頁(yè)/共40頁(yè)36思考題思考題有有對(duì)任意的對(duì)任意的試證明試證明設(shè)設(shè),N,0 nmax.)()(n